(GV đặng thành nam) 64 câu hình học không gian image marked image marked

Câu 1 (Gv Đặng Thành Nam 2018) Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật
có diện tích bằng 8. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
A. 16 .

B. 4 .

C. 8 .

D. 12 .

Đáp án C
Có 2r  h = 8  S xq = 2 rh = 8 .
Câu 2: (Gv Đặng Thành Nam 2018) Thể tích của khối hộp đứng có diện tích đáy bằng S, độ
dài cạnh bên bằng h là
A. Sh.

B.

Sh
.
3

C.

Sh
.
6

D.

Sh

.
2

Đáp án A
Câu 3: (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hình lập phương ABCD.ABC D cạnh bằng a.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AD  bằng
A.

a 2
.
2

B. a.
C. a 2.
D. a 3.
Đáp án B
Câu 4(Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh
bằng a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng

A. 45.

B. 60.

C. 30.

D. 90.

Đáp án A
Gọi O là tâm mặt đáy có SO ⊥ ( ABCD) và SDO = ( SD, ( ABCD ) ) .
Có OD =

a 2
a 2
SO
, SO = SD 2 − OD 2 =
 tan SDO =
= 1  SDO = 450.
2
2
OD


Câu 5(Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có tất cả các
cạnh bằng a. Côsin góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC′ bằng

A.

1
.
4

2
.
4

B.

C.

1

.
2

D.

3
.
4

Đáp án A

(

)

Có AB.BC  = AB AC  − AB =

AB2 + AC 2 − BC 2 AB2 + AB 2 − BB2 a 2
−
= .
2
2
2

a2
AB.BC 
1
2
Do đó cos ( AB, BC  ) = cos AB, BC  =
=

= .
AB.BC 
2a. 2a 4

(

)

Câu 6(Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho tứ diện ABCD đều cạnh 3a. Tính diện tích xung
quanh của hình nón có đỉnh là A, đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
A. 3 3 a .
2

3 2 a 2
.
B.
2

3 3 a 2
.
C.
2

9 a 2
D.
.
4

Đáp án A
Bán kính đáy của hình nón bằng bán kính ngoại tiếp đáy r = RBCD =

3a
= 3a.
3

2
Chiều cao nón bằng chiều cao của tứ diện h = cb2 − RBCD
= 9a 2 − 3a 2 = 6a.

Vậy Sxq =  rl =  3a 6a 2 + 3a 2 = 3 3 a 2 .
Câu 7(Gv Đặng Thành Nam 2018): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có
AB = 1, BC = 2, AA = 3. Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ACD′) và (BCD′A′) bằng


A.

2 10
.
7

B.

3
.
7

C.

3 35
.

35

D.

910
.
35

Đáp án A
Chọn gốc tọa độ tại D, các tia Ox, Oy, Oz trùng với các tia DC , DA, DD
1 1 1 
Có C (1;0;0 ) , A ( 0; 2;0 ) , D ( 0;0;3)  n( ACD) =  ; ;  .
1 2 3 

Và B (1; 2;0 )  n( BCDA) = CB, CD = ( 6;0; 2 ) .

Do đó cos  =

n( ACD) .n( BCDA)

=

n( ACD) . n( BCDA)

1
1
1
.6 + .0 + .2
1
2

3
2

2

1  1   1 
  +  + 
1  2   3 

2

62 + 02 + 22

=

2 10
7

Câu 8(Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm các cạnh AB, BC. Điểm P trên cạnh CD sao cho PC = 2PD. Mặt phẳng (MNP)
cắt cạnh AD tại Q. Thể tích của khối đa diện BMNPQD bằng
A.

11 2
.
216

B.

2

.
27

C.

5 2
.
108

D.

7 2
.
216

Đáp án D
Có MN //AC  ( MNP )  ( ACD ) = PQ//MN . Ta chia khối đa diện thành các khối tứ diện
VBMNPQD = VD.PQB + VB.MNQ + VB.PQN

Thể tích khối tứ diện đều đã cho là V0 =

2
.
12


2

Có VD.PQB =

DP DQ DB
1
1
.
.
V0 =   V0 = V0
DC DA DB
9
3

Và VB.MNQ =

BM BN BQ
1
1 S
1 AQ
1
.
.
VB. ACQ = VB. ACQ = . ACQ V0 = .
V0 = V0 .
BA BC BQ
4
4 S ACD
4 AD
6

Và VB.PQN =

BP BQ BN

1
1 S
1 2
1
.
.
VB.PQC = VB.PQC = . PQC V0 = . V0 = V0
BP BQ BC
2
2 S ADC
2 9
9

1 1 1
1 1 1 2 7 2
Vậy VBMNPQD =  + +  V0 =  + + 
=
.
9 6 9
 9 6 9  12 216
Câu 9Gv Đặng Thành Nam 2018)Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và
chiều cao bằng h là
1
A. V = Bh.
3

B. V =

1
Bh.

2

C. V =

1
Bh.
6

D. V = Bh.

Đáp án D
Câu 10(Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông
và diện tích toàn phần bằng 64 a 2 . Bán kính đáy của hình trụ bằng
A. r = 4a.

B. r = 2a.

C. r =

8 6a
.
3

D. r =

4 6a
.
3

Đáp án D

2
2

4 6a
8 6a
 Stp = 2 rh + 2 r = 64 a
r=
,h =
.
Ta có 
3
3

 2r = h

Câu 11: (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông
góc với nhau và OB = OC. Gọi M là trung điểm BC , OM = a (tham khảo hình vẽ bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC bằng
A. a.

B.

2a.

C.

a 2
.
2

D.

a 3
.
2


Đáp án A
OM ⊥ OA, OM ⊥ BC  d (OA, BC ) = OM = a.

Câu 12: (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh
bằng nhau. Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai đường
thẳng BM và AD bằng

A.

3 5
.
10

B.

3 5
.
20

C.

55
.

10

D.

155
.
20

Đáp án A
Ta có AD //BC  ( AD, BM ) = ( BC , BM ).
Tam giác BCM có
2 ( BS 2 + BD 2 ) − SD 2
2 ( a 2 + 2a 2 ) − a 2
3a
5a
BC = a, CM =
, BM =
=
=
.
2
4
4
2

Vậy cos( BM , AD) = cos MBC =

BM 2 + BC 2 − CM 2
2 BM .BC

5a 2
3a 2
2
+a −
4 = 3 5.
= 4
10
5
2 a2
4

Câu 13(Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hình lập phương ABCD.ABCD (tham khảo hình
vẽ bên). Tang góc giữa đường thẳng BD′BD′ và mặt phẳng ( ADDA) bằng

A.

3
.
3

Đáp án C

B.

6
.
3

C.

2
.
2

D.

2
.
6


Ta có AB ⊥ ( ADDA)  AD là hình chiếu của BD′ lên mặt phẳng ( ADDA).
Vì vậy tan ( BD,( ADDA) ) = tan BDA =

AB
1
=
.
AD
2

Câu 14(Gv Đặng Thành Nam 2018) Cho hình nón đỉnh S. Xét hình chóp S.ABC có
đáy ABC là tam giác ngoại tiếp đường tròn đáy của hình nón và AB = BC = 10a, AC = 12a
, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB)) và (ABC) bằng 450. Thể tích khối nón đã cho bằng
B. 12 a 3

A. 9 a 3

C. 27 a 3

D. 3 a 3

Đáp án A
Ta có bán kính nội tiếp đáy r = rd =

S
( p − a )( p − b)( p − c)
=
= 3a.
p
p

Tâm O của đường tròn đáy là tâm nội tiếp tam giác ABC.
Do đó chiều cao h = SO = r tan 450 = 3a  V =

 r 2h
3

= 9 a 3 .

Câu 15: (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
bằng 1, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Gọi A, B , C  lần lượt là các điểm đối xứng
của A,B,C qua S. Thể tích của khối đa diện ABCABC  bằng
A. V =

2 3
.
3

B. V = 2 3.

C. V =

4 3
.
3

D. V =

3
.
2

Đáp án A

1 3 1
 2 3
.
Ta có V = 8VS . ABC = 8  . . . 3  =
3
3
3 4


Câu

16(Gv

Đặng

Thành

Nam

2018)Cho

khối

tứ

diện

ABCD

có

BC = 3, CD = 4, ABC = BCD = ADC = 900. Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng 600.
Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACD) bằng


A.

2 43
.
43

B.

43
.

86

C.

4 43
.
43

D.

43
.
43

Đáp án A
Hạ

AH ⊥ ( BCD)

tại

H

ta

có

 BC ⊥ AB
 BC ⊥ ( AHB)  BC ⊥ HB


 BC ⊥ AH

và

CD ⊥ AD
 CD ⊥ ( AHD)  CD ⊥ HD.

CD ⊥ AH

Vậy HBCD là hình chữ nhật và ADH = ( AD, HD) = ( AD, BC) = 600  AH = HD 3 = 3 3.
1 1
Suy ra VABCD = . .3.4.3 3 = 6 3.
3 2

Và HC = 5, AC 2 = 27 + 25 = 52.
2
=
Tam giác ABC có BC = 3, AC = 52, AB = 27 + 16 = 43  S ABC

387
.
4

2
Tam giác ACD có CD = 4, AC = 52, AD = 27 + 9 = 6  S ACD
= 144.

Vậy cos  = 1 −

9  52  36  3 2 43

=
.
387
43
4
 144
4

Câu 17Gv Đặng Thành Nam): Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng 10 và chiều cao
bằng 3 là:
A. 30.

B. 10.

C. 3.

D. 5.

Đáp án B
Ta có V =

Sh 10.3
=
= 10.
3
3

Câu 18(Gv Đặng Thành Nam) Cho hình nón có bán kính đáy bằng a, chiều cao bằng 2a.
Độ dài đường sinh của hình nón là

A. l = 3a.

B. l = 2 3a. C. l = 5a.

D. l = 4a.

Đáp án C
Ta có: l = r 2 + h2 = a2 + 4a2 = 5a.
Câu 19(Gv Đặng Thành Nam): Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ (tham khảo hình vẽ
bên). Góc giữa hai đường thẳng AC và BD′ bằng

A. 900.

B. 300.

C. 600.

D. 450.

Đáp án A
Ta có: AC ⊥ BD, AC ⊥ BB  AC ⊥ ( BDDB)  AC ⊥ BD.
Câu 20(Gv Đặng Thành Nam): Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ với
AB = 2 3, AA = 2 (tham khảo hình vẽ bên). Tang góc giữa đường thẳng AB′ và mặt phẳng

(BCC′B′) bằng

A.

3.

B.

1
3

.

C.

3
7

.

Đáp án C
Gọi M là trung điểm BC  AM ⊥ ( BCC B)  ( AB, ( BCC B) ) = ABM

D.

7
.
3


3
.2 3
AM
3
2


=
=
.
và tan AB M =
BM
4+3
7

Câu 21(Gv Đặng Thành Nam): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả cạnh bằng a
(tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng

A.

a 6
.
6

B.

a 3
.
3

C.

a 3
.
6

D.

a 6
.
3

Đáp án D
Có CD //AB  CD // ( SAB)  d (CD, SA) = d ( D, ( SAB)) = 2d (O, ( SAB)).

Mặt khác S.OAB là tứ diện vuông đỉnh O nên


1
1
1
1
1
1
1
6
=
+
+
=
+
+
= 2.
2
2
2

2
2
2
d (O, ( SAB)) SO OA OB
a
 a   a   a 

 
 

 2  2  2
2

Vậy d (CD, SA) =

2a a 6
=
.
3
6

Câu 22: (Gv Đặng Thành Nam) Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của A qua D. Mặt phẳng qua CE và vuông góc với mặt phẳng (ABD) cắt cạnh AB tại
điểm F. Tính thể tích V của khối tứ diện AECF.
A. V =

2a 3
.
30

B. V =

2a 3
.
60

C. V =

2a 3
.
40

D. V =

2a 3
.
15

Đáp án D
Gọi G là trọng tâm tam giác ABD  CG ⊥ ( ABD).
Do đó F = EG  AB  (CEF ) là mặt phẳng cần dựng.
Ta tính được

AF 2
AF AE
2
2a 3
2a 3
= V =
.

VABCD = .2.
=
.
AB 5
AB AD
5
12
15

Câu 23: (Gv Đặng Thành Nam) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành,

AB = 3, AD = 4, BAD = 1200. Cạnh bên SA = 2 3 vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là
trung điểm các cạnh SA, AD và BC (tham khảo hình vẽ bên). Tính góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (MNP).

A. 60

B. 45

C. 90

D. 30

Đáp án B

 MN / / SD
 ( MNP) / /( SCD)  (( SBC ), ( MNP)) = (( SBC ), ( SCD)).
Ta có 
 NP / /CD
1 1

3
Tính được VS .BCD = . .3.4. .2 3 = 6.
3 2
2


1
Ta có AC 2 = 32 + 42 − 2.3.4. = 13  SC 2 = 12 + 13 = 25.
2
2
Tam giác SBC có BC = 4, SC = 5, SB = 12 + 9 = 21  SSBC
= 75.

2
Tam giác CD = 3, SC = 5, SD = 12 + 16 = 28  SSCD
= 54.

Vì vậy cos  = 1 −

9  25  36
2
=
.
4  75  54
2

Câu 24(Gv Đặng Thành Nam): Cho hai điểm A,B cố định, AB = 1. . Tập hợp các điểm M
trong không gian sao cho diện tích tam giác MAB bằng 4 là một mặt trụ. Tính bán kính r của
mặt trụ đó.
B. r = 2.

A. r = 4.

C. r = 1.

D. r = 8.

Đáp án D
Ta có S MAB =

2S
AB.d ( M , AB)
2.4
 d ( M , AB) = MAB =
= 8.
2
AB
1

Vậy M thuộc mặt trụ có trục AB và bán kính r = 8.
Câu 25 (Gv Đặng Thành Nam) Thể tích của khối lập phương có độ dài cạnh bằng 6 là
A. 72. B. 216. C. 108. D. 36.
Đáp án B
Có V = 63 = 216.
Câu 26: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều
cạnh bằng 1. Tìm chiều cao của hình nón.
A. h =

2
.

2

B. h =

3
.
4

C. h =

1
.
2

D. h =

3
.
2

Đáp án D
Thiết diện qua trục là một tam giác cân có độ dài cạnh 2r, l, l vậy theo giả thiết có

2r = l = 1  h = l 2 − r 2 = 1 −

1
3
=
.
4

2

Câu 27(Gv Đặng Thành Nam) Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các mặt là hình thoi
và các góc đỉnh A bằng 60 (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng BD và A′C
bằng


A. 90 .

B. 30 .

D. 60

C. 45 .

Đáp án A
Ta có AB = AD, CB = CD, C B = C D  ( ACC ) là mặt phẳng trung trực của BD.
Do đó BD ⊥ ( ACC )  BD ⊥ AC .
Câu 28(Gv Đặng Thành Nam): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng
a (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng

A.

3
.
3

B.

1

.
2

C.

3
.
2

Đáp án A
Gọi H là tâm mặt đáy và M là trung điểm cạnh

CD  (SHM ) ⊥ CD  SMH = ((SCD),( ABCD)).

a
a 3
a
HM
3
, HM =  cos SMH =
= 2 =
.
Ta có SM =
2
2
SM a 3
3
2

D.

3
.
6


Câu 29(Gv Đặng Thành Nam): Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh AC
(tham khảo hình vẽ bên). Tang góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (BCD) bằng

A.

3
.
6

B.

2
.
3

C.

14
.
7

D.

14

.
2

Đáp án C
Gọi H là tâm mặt đáy, ta có AH ⊥ ( BCD) và gọi N là trung điểm CH  MN ⊥ ( BCD).
Do vậy ( BM ,( BCD)) = MBN.

2

 a 
a −

a 3
AH
a 6
 3
, MN =
=
=
.
Ta có AB = a  BM =
2
2
2
6
2

Do đó tan BMN =

MN

=
BN

MN
BM 2 − MN 2

=

a 6
14
6
=
.
2
2
7
3a a
−
4
6

Câu 30(Gv Đặng Thành Nam): Cho hình trụ (T ) có MN , PQ vuông góc với nhau lần lượt
là hai đường kinh nằm trên hai đường tròn đáy của hình trụ. Thể tích khối tứ diện MNPQ
bằng 10. Tính thể tích của khối trụ (T ) .
A. 60 .

B. 30 .

C. 45 .

Đáp án D
Ta có MN = PQ = 2r , d (MN , PQ) = h,(MN , PQ) = 900.

D. 15 .


1
1
2hr 2
Do đó VMNPQ = .MN .PQ.d ( MN , PQ).sin( MN , PQ) = .2r.2r.h.1 =
= 10.
6
6
3
Vì vậy r 2 h = 15  V(T ) =  r 2h = 15 .
Câu 31: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình vuông ABCD. Dựng khối da diện ABCDEF ,
trong đó EF = 2a và song song với AD (tham khảo hình vẽ bên). Tất cả các cạnh còn lại của
khối đa diện ABCDEF bằng a. Tính thể tích V của khối đa diện ABCDEF.

A. V =

2a 3
.
6

B. V =

5 2a 3
.
6

C. V =

2a 3
.
3

D. V =

2a 3
.
12

Đáp án C
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, D lên EF ta có EF ⊥ ( ABH ), EF ⊥ (CDK ).

a2 a 3
 EF − AD 
2
=
a
−
=
.
Ta có AH = BH = BK = CK = AF − 

2
4
2



2

2

2
a2
2 a
2a 3
(a + . ) =
.
Vì vậy V = VAHB.DKC + 2VF . AHB = S AHB . AD + S AHB .HF = S AHB .EF =
3
3 2
3
2 2
Câu 32: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C’ có
AB = 2, AA = 2 3 (tham khảo hình vẽ bên). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và

A’C


A.

2 17
.
17

B.

2 39
.
13

C.

2 33
.
11

D.

3
.
2

Đáp án B
Gọi I, M lần lượt là trung điểm AB′, BC
 AC / / IM  AC / /( ABM )  d ( AB, AC )) = d (C , ( ABM )) = d ( B, ( ABM )).

Kẻ BH ⊥ BM ( H  BM )  BH ⊥ ( ABM ).
Do đó d ( B, ( ABM )) = BH =

BB.BM
BB2 + BM 2

=

2 3.1 2 39
=

.
13
12 + 1

Câu 33Gv Đặng Thành Nam)Thể tích của khối hộp chữ nhật có độ dài các cạnh bằng a, b, c
là
A. V =

1
abc .
6

B. V =

1
abc .
2

C. V = abc .

1
D. V = abc .
3

Đáp án C
Câu 34: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình nón có bán kính đáy bằng a, độ dài đường sinh
bằng 2a. Góc ở đỉnh của hình nón bằng
A. 30 .

B. 120 .

C. 60 .

D. 150 .

Đáp án C
Ta có cos  =

l 2 + l 2 − (2r )2 (2a)2 + (2a)2 − (2a)2 1
=
=   = 600.
2
2
2l
2(2a)
2

Câu 35: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
các cạnh AB và CD. Biết AB = CD = AN = BN = CM = MD = a (tham khảo hình vẽ bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng


A.

a 3
.
3

B.

a 3
.
2

C.

a 3
.
6

D.

a 2
.
2

Đáp án B
Giả thiết có Δ ABN , Δ CDM đều cạnh
 MN ⊥ AB
a 3
a
 d ( AB, CD) = MN =
.
2
 MN ⊥ CD

Câu 36: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,

SA = 3a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SB (tham khảo hình vẽ bên).
Côsin góc giữa hai đường thẳng AM và SC bằng

A.

5
.
16

B.

11
.
16

C.

5
.
8

Đáp án C

Gọi N là trung điểm BC, có MN //SC  ( SC , AM ) = ( AM , MN ).
Ta có AM =

SB
a 3
SC
= a, AN =
, MN =
= a.

2
2
2

D.

3
.
8


3a 2
2a −
AM 2 + MN 2 − AN 2
4 = 5.
=
Do đó cos AMN =
2
2 AM .MN
2a
8
2

Câu 37(Gv Đặng Thành Nam): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng
a. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD (tham khảo hình vẽ bên). Tang góc giữa đường thẳng AG
và mặt phẳng (ABCD) bằng

A.

17

.
17

B.

2 5
.
5

C.

5
.
5

D.

2 17
.
17

Đáp án A
Gọi O là tâm hình vuông ABCD và M là trung điểm CD có SO =

a 2
và H là hình chiếu
2

vuông góc của G lên mặt phẳng (ABCD).
Có AM =

a 5
1
a 2
a 3
, SM =
.
và GH = SO =
3
2
6
2

(

Vì GS = −2GM  AS − AG = −2 AM − AG

)

Nên 3AG = 2 AM + AS  9 AG2 = 4 AM 2 + AS 2 + 4 AM AS
Và 9 AG 2 = 4 AM 2 + AS 2 + 2 ( AM 2 + AS 2 − SM 2 ) = 6 AM 2 + 3 AS 2 − 2SM 2
2

2

a 5
a 3
2
2
2

2
= 6 
 + 3a − 2 
 = 9a  AG = a .
 2 
 2 
Vì vậy GH =

a 2
, AH =
6

AG 2 − GH 2 = a 2 −

a 2 a 34
=
.
18
6

a 2
GH
17
 tan  =
= 6 =
.
AH a 34
17
6

Câu 38: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình trụ (T) có diện tích đáy bằng 48π và hai dây cung
AB,CD lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy của (T) sao cho ABCD là một hình vuông có độ


dài cạnh bằng 10 và các cạnh của hình vuông này không song song với đường sinh của (T)
(tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích của khối trụ (T).

A. 288 .

B. 96 2 .

C. 192 2 .

D. 384 .

Đáp án B
Giả sử hình vuông ABCD có độ dài cạnh a.

CD ⊥ AD
 CD ⊥ ( AHD)  CD ⊥ HD  HC = 2 R.
Kẻ các đường sinh AH,BK ta có 
CD ⊥ AH
Theo pitago ta có

AD2 = AH 2 + HD 2 = AH 2 + ( AC 2 − CD 2 )  a 2 = h2 + 4R 2 − a 2  h = 2a 2 − 4R 2 .
Vậy h = 2a 2 − 4R 2 = 2 (10 ) − 4 ( 48) = 2 2  V = Sh = 48 .2 2 = 96 2 .
2

Câu 39: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình hộp chữ nhật

ABCD.ABCD có

AB = 4, AD = 5, AA = 6 . Gọi M , N , P lần luợt là trung điểm các cạnh AD, C D và DD

(tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai mặt phẳng ( ABD) và ( MNP ) bằng

A.

181
.
469

B.

120 13
.
469

C.

19
.
469

Đáp án A
Chọn hệ trục toạ độ sao cho
A(0;0;0), B(4;0;0), C (4;5;0), D(0;5;0), A(0;0;6), D (0;5;6), C (4;5;6).

 5 
Vậy M  0; ;6  , N (2;5;6), P(0;5;3).

 2 
 15

Và n1 =  AB , AD  = (−30; −24; 20), n2 =  MN , MP  =  − ;6;5  .
 2


D.

60 61
.
469


Vậy cos ( ( AB D ), ( MNP) ) =

n1 n2

 15 
−30  −  − 24 ( 6 ) + 20 ( 5 )
 2

=

n1 n2

2

30 + 24 + 20
2

2

2

=

 15 
2
2
  +6 +5
 2

181
.
469

Câu 40(Gv Đặng Thành Nam)Cho hai tam giác đều ABC và ABD có độ dài cạnh bằng 1 và
nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. Gọi S là điểm đối xứng của B qua đường thẳng DC.
Tính thể tích của khối đa diện ABDSC.
A.

3
.
4

B.

3
.

8

C.

1
.
2

D.

1
.
4

Đáp án D
Gọi I,H lần lượt là trung điểm của CD,AB.

1 3
Ta có VABDSC = VS . ABD + VS . ABC = .
( d ( S , ( ABD)) + d (S , ( ABC )) ) .
3 4

Trong đó d ( S , ( ABD)) = 2d ( I , ( ABD)) = d (C , ( ABD)) = CH =
Và d ( S , ( ABC )) = 2d ( I , ( ABC )) = d ( D, ( ABC )) = DH =

3
.
2

3

.
2

1 3 3
3
3
1
+
. 3= .
Vậy VABDSC = .

 =
3 4  2
2  12
4

Câu 41Gv Đặng Thành Nam): Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 1 có thể
tích bằng
A.

3
.
12

B.

Đáp án B
Có V = S .h =

3

3
.1 =
.
4
4

3
.
4

C.

4 3
.
3

D.

4 3
.
9


Câu 42(Gv Đặng Thành Nam): Một khối nón và một khối trụ có chiều cao và bán kính đáy
đều bằng 1. Tổng thể tích của khối nón và khối trụ đó bằng
A.

4
.
3

B.

10
.
3

C. 4 .

D.

2
.
3

Đáp án A
Câu 43: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Góc
giữa hai đường thẳng AB′ và BC′ bằng (tham khảo hình vẽ bên).

A. 60.

B. 90. C. 45.

D. 30.

Đáp án A

Có AD//BC   ( AB, BC ) = ( AB, AD) = 600 vì tam giác ABD′ đều cạnh bằng

2a.

Câu 44(Gv Đặng Thành Nam): Tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và
OA = 1, OB = 2, OC = 3. . Tang của góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (ABC) bằng


A.

6
.
7

B.

13
.
6

C.

6 13
.
13

D.

6 7
.
7

Đáp án C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC), có
1
1
1
1
1 1 1 49
6
=
+
+
= + + =
 OH = .
2
2
2
2
OH
OA OB OC
1 4 9 36
7

Khi đó (OA,( ABC)) = (OA, HA) = AOH và

sin OAH =

OH 6
=  tan AOH =
OA 7

6

7
6
1−  
7

2

=

6 13
.
13

Câu 45: (Gv Đặng Thành Nam)Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Côsin của góc
tạo bởi hai mặt có chung một cạnh của tứ diện đều bằng
A.

2
.
3

B.

1
.
3

C.

2

.
4

D.

2
.
8

Đáp án B
Gọi O,M lần lượt là trọng tâm tam giác BCD, trung điểm cạnh CD. Khi đó
AMO = ( ( ACD), ( BCD) ) .

a 3
OM
1
Do đó cos ( ( ACD), ( BCD) ) =
= 6 = .
AM a 3 3
2
Câu 46(Gv Đặng Thành Nam): Cho tam giác OAB vuông tại O, OA = OB = 4. Lấy một
điểm M thuộc cạnh AB và gọi H là hình chiếu của M trên OA. Thể tích của khối tròn xoay
được tạo thành khi quay tam giác OMH quanh OA có thể tích lớn nhất bằng
A.

256
.
81

B.

81
.
256

C.

128
.
81

D.

8
.
3

Đáp án A
Đặt OH = x  HA = HM = 4 − x. Khối tròn xoay tạo thành là khối nón có bán kính đáy

r = 4 − x và chiều cao h = x.
1
1
1
  2 x + (4 − x) + (4 − x)  256
Vì vậy V =  r 2 h =  (4 − x) 2 x =  .2 x(4 − x)(4 − x )  
 = 81 .
3
3
6

6
3
3

4
Dấu bằng đạt tại 2 x = 4 − x  x = .
3


Câu 47(Gv Đặng Thành Nam)Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng
a, góc giữa đường thẳng B′C và mặt đáy bằng 30 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng A′C
và B′C′ bằng
A.

a 15
.
15

B.

a 15
.
5

C.

a 3
.
13

D.

a 39
.
13

Đáp án D
Góc giữa B′C và mặt đáy (ABC) bằng 300 nên BCB = 300 , suy ra BB = a tan 300 =

a
3

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,B′C′.
Vì BC / / BC  BC / / ( ABC ) mà (A′BC) chứa A′C nên:

d ( BC, AC ) = d ( BC, ( ABC ) ) = d ( N ; ( ABC ) )
Kẻ NHvuông góc với AM, ta có
BC  ⊥ AN , BC  ⊥ MN  BC  ⊥ ( AMN )  BC ⊥ ( AMN )  BC ⊥ NH

Vì NH ⊥ BC, NH ⊥ AM  NH ⊥ ( ABC )  NH = d ( N , ( ABC ) )
Ta có

1
1
1
3
4
13
3a 2
a 39

2
=
+
=
+
=

NH
=
 NH =
2
2
2
2
2
2
NH
NM
AN
a
3a
3a
13
13

Vậy d ( BC , AC ) = d ( N , ( ABC ) ) = NH =
Câu

48:

(Gv

Đặng

Thành

a 39
.
13

Nam)

Cho

khối

chóp

S.ABC

có

SA = SB = SC = a, ASB = 600 , BSC = 900 , CSA = 1200. Gọi M,N lần lượt là các điểm trên cạnh
AB và SC sao cho

CN AM
=
. Khi khoảng cách giữa M và N nhỏ nhất, tính thể tích V của
SC
AB

khối chóp S.AMN.
A. V =
Đáp án C

2a 3
.
72

B. V =

5 2a 3
.
72

C. V =

5 2a 3
.
432

D. V =

2a 3
.
432


2

2

a3
2a 3
1  1
1−   −  −  =
.
Ta có thể tích khối chóp S.ABC là V0 =
6
12
2  2

Đặt

CN AM
=
= m(0  m  1), ta có
SC
AB

SA = a , SB = b , SC = c , a = b = c = a, a.b =

a2
a2
, b .c = 0, c .a = − .
2
2

Theo đẳng thức trên ta có biểu diễn véctơ
SN = (1 − m)c , SM = SA + AM = a + m AB = a + m(b − a )

 MN = SN − SM = (1 − m)c − a + m(b − a )  = (m − 1)a − mb + (1 − m)c .

(

Do đó MN = (m − 1)a − mb + (1 − m)c
2

Dấu bằng đạt tại m =

)

2

11a 2
= (3m − 5m + 3)a 
.
12
2

2

5
SN
SN AM
5 1 2a 3 5 2a 3
V =
VS . AMC =
.
V0 = m(1 − m)V0 = . .

=
.
6
SC
SC AB
6 6 12
432

Câu 49Gv Đặng Thành Nam): Thể tích của khối tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và
OA, OB, OC đôi một tạo với nhau một góc 60 bằng

A.

a3
.
6

B.

a3
.
3

C.

2a 3
.
12

D.

2a 3
.
4

Đáp án C
Câu 50(Gv Đặng Thành Nam): Hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 và chiều cao bằng
Độ dài đường sinh của hình nón là
A. 2.

B. 2 3.

Đáp án A

 l = 2r
 r =1


Có  h = 3  h = 3 .
l 2 = h 2 + r 2  l = 2



C. 3.

D. 2 2.

3.

Câu 51: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB,C′D′ bằng

A.

2a.

B. a.

3a.

C.

D.

a 3
.
2

Đáp án A
Câu 52: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có tất cả các
cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,B′C′ (tham khảo hình vẽ bên).
Côsin góc giữa hai đường thẳng MN và AC bằng

A.

1
.
3

B.

5
.
3

C.

2
.
3

5
.
5

D.

Đáp án D
Gọi P là trung điểm cạnh BC  MP / / AC  ( AC , MN ) = ( MP, MN ).

Tam giác MPN vuông tại P có MP =

a
MP
, PN = a  cos PMN =
=
2
MN

a
2
2

a
2
  +a
2
 

=

5
.
5

Câu 53(Gv Đặng Thành Nam): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a, SA = a vuông góc với đáy. Côsin góc giữa đường

thẳng SC và mặt phẳng (SBD) bằng
A.

1
.
3

B.

2 2
.

3


C.

2
.
3

D.

5
.
3

Đáp án B
Có SC =

AC 2 + AS 2 = 3a, d (C , (SBD)) = d ( A, (SBD)) và

1
1
1
1
3
a
=
+
+
= 2  d (C , ( SBD)) =

.
2
2
2
d ( A, ( SBD)) AS
AB
AD
a
3
2

a
Do đó sin( SC , ( SBD)) =

d (C , ( SBD))
1
2 2
= 3 =  cos( SC , ( SBD)) =
.
SC
3
3a 3

Câu 54(Gv Đặng Thành Nam)Cho tam giác ABC có diện tích bằng 30. Quay tam giác ABC
quanh cạnh BC thu được vật thể tròn xoay có thể tích bằng 100π . Tính độ dài cạnh BC.
A. 6.

B. 9.

C. 12.

D. 18.

Đáp án C
Có VBC =

4 S 2
4  302
= 100  BC =
= 12.
3BC
3  100

Câu 55: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình lăng trụ đứng

ABC.ABC

có

AA = AB = AC = 1, BAC = 1200. Gọi M là trung điểm cạnh CC′. Côsin góc giữa hai mặt
phẳng (ABC) và (AB′M) bằng
A.

30
.
10

B.

70

.
10

C.

30
.
20

D.

Đáp án A
Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của ΔAB′M lên mặt phẳng (ABC).
1
3
3
=
Có S ABC = .1.1.
2
2
4
2

2

5
5
10
1
1

AB  = 2, B M = 1 +   =
, AM = 1 +   =
 S ABM =
.
2
2
4
2
2

3
30
.
Do đó cos  = 4 =
10
10
4

370
.
20