(GV mẫn ngọc quang) 24 câu nguyên hàm tích phân image marked image marked

Câu 1 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A.   f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx , với mọi hàm f (x), g (x) liên tục trên R.
B.   f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx , với mọi hàm f (x), g (x) liên tục trên R.
C.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm f (x) liên tục trên R.
D.  f ' ( x ) dx = f ( x ) + C với mọi hàm f (x) có đạo hàm trên R
Đáp án C
Phương pháp: Xem lại các tính chất nguyên hàm trong SGK Giải Tích 12, trang 95–96
Cách giải: Các mệnh đề A, B, D đúng
Mệnh đề ở ý C chỉ đúng với k  0
Câu 2
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Tìm giá trị của m để hàm số
2 3
F ( x ) = m x + ( 3m + 2 ) x2 − 4 x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x 2 + 10 x − 4.
C. m = −1.

A. m = 2.
B. m = 1.
Đáp án D
Ta có: F  ( x ) = 3m2 x 2 + 2 ( 3m + 2 ) x − 4. .

D. m = 1.

Khi đó F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )
2

m = 1
3m = 3


 m =1.


2 ( 3m + 2 ) = 10 m = 1
Câu 3 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm
số y = x3 − x; y = 2x và các đường thẳng
được xác định bởi công thức.
1

A. S =

0

 ( 3x − x ) dx

1

B. S =  ( 3x − x3 ) dx +  ( x 3 − 3x ) dx

3

−1

−1

1

0

0

1

−1

0

D. S =  ( x3 − 3x ) dx +  ( 3x − x 3 ) dx

C. S =  ( 3 x − x 3 ) dx
−1

Đáp án D
Phương pháp: Tìm các giao điểm của 2 đồ thị hàm số trên khoảng 2 cận.
Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị
Cách giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:
x3 − x = 2 x  x3 − x = 0  x = 0 (chỉ xét trên ( −1;1) )
Với x  ( −1;0 ) thì x 3 − 3 x  0; với x  ( 0;1) thì x3 − 3x  0
1

0

1

−1

−1

0

3
3
3

Diê ̣n tích cầ n tim
̀ là S =  x − 3x dx =  ( x − 3x )dx +  ( 3x − x )dx

Câu 4
2

(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Với các số nguyên a,b thỏa mãn
3

 ( 2 x + 1) ln xdx = a + 2 + ln b,

tính tổng

1

A. P = 27
B. P = 28
C. P = 60
Đáp án C
Phương pháp: Sử du ̣ng công thức tích phân từng phầ n.

D. P = 61





dx

 du =

x
2
v = x + x

u = ln x


Cách giải: đă ̣t 
dv = ( 2 x + 1) dx 


2

Tić h phân đã cho là I = ( x 2 + x ) ln x − 
2
1

1

x2 + x
dx = 6ln 2 −  ( x + 1) dx
x
1
2

x
2
3
3


= 6ln 2 −  + x  = 6ln 2 −  4 −  = ( −4 ) + + ln 64  a = −4; b = 64  P = 60
1
2
2
2




2

x+3
dx ?
x + 3x + 2
x+3
B.  2
dx = − ln x + 1 + 2ln x + 2 + C
x + 3x + 2
x+3
D.  2
dx = ln x + 1 + 2ln x + 2 + C
x + 3x + 2

Câu 5 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Tìm nguyên hàm 
x+3
dx = 2ln x + 1 − ln x + 2 + C
x + 3x + 2
x+3
C.  2
dx = 2ln x + 1 + ln x + 2 + C

x + 3x + 2

A. 

2

2

Đáp án A
2 ( x + 2 ) − ( x + 1)
x+3
1 
dx
dx
 2
dx = 
dx =  
−
−
dx = 2
x + 3x + 2
x +1
x+2
( x + 1)( x + 2 )
 x +1 x + 2 

I =

2

= 2ln x + 1 − ln x + 2 + C

Câu 6 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Giả sử



2

1

4ln x + 1
dx = a ln 2 2 + b ln 2 , với a, b là các số
x

hữu tỉ. Khi đó tổ ng 4a + b bằ ng
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
Đáp án D
Phương pháp: + Quan sát tić h phân ta tách biể u thức làm để tiń h riêng rẽ 2 phầ n:
I =

2

1

2 4ln x
21
4ln x + 1

dx = 
dx +  dx
1
1
x
x
x

+ Từ đó giải những tić h phân đơn giản hơn.
2

Cách giải: I = 
1

2 4ln x
21
2
4ln x + 1
dx = 
dx +  dx =  4ln xd ( ln x ) + ln x
1
1 x
1
x
x

2
1

= 2ln 2 x 12 + ln 2 = 2ln 2 2 + ln 2

Suy ra a = 2; b = 1. Suy ra 4a + b = 9.
Câu 7 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Diê ̣n tích hình phẳ ng đươ ̣c giới ha ̣n bởi các đồ thi ̣
hàm số y = x2 và y = x là:
A.

1
2

(đvdt)

B.

1
3

(đvdt)

1
(đvdt)
4

C.

D.

1
6

(đvdt)

Đáp án D
Nghiê ̣m của phương trình: x2 = x
Phương trình này có 2 nghiê ̣m x = 1 và x = 0
1

1

+ Vâ ̣y diê ̣n tić h cầ n phải tiń h là S = 0 x 2 − x dx = 0 ( x − x 2 )dx =  x 2 − x 3  =
3 0 6
2
1

1

1

1


(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Biế t F ( x ) = ( ax + b ) .e x là nguyên hàm của hàm số

Câu 8:

y = ( 2 x + 3) .e x . Khi đó a + b là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Đáp án B
u = 2 x + 3 du = 2dx

y = ( 2 x + 3) e x   ( 2 x + 3) e x dx 
x
x
 dv = e dx
 v=e

 ( 2 x + 3) e dx = ( 2x + 3) e −  e
x

x

x

2dx = ( 2 x + 3) e x − 2e x = ( 2 x + 1) e x

Khi đó a + b = 3 .
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho

Câu 9

n

n ln n −  ln xdx có giá tri ̣không vươ ̣t quá 2017

1

A. 2017
Đáp án B

B. 2018

n

I =  ln xdx . Đă ̣t ln x = u. Suy ra
1

I = x ln x 1n − 

n

1

C. 4034

D. 4036

1
dx = du; dx = dv  v = x
x

x
dx = n ln ( n ) − n + 1
x

Biể u thức ban đầ u sẽ là: n − 1
Để n − 1  2017 thì n  2018 và n nguyên dương. Nên sẽ có 2018 giá tri ̣của n.
Câu

10:

(GV
MẪN
NGỌC
QUANG
2018)
Biết hàm số
F ( x ) = ax + ( a + b ) x + ( 2a − b + c ) x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x 2 + 6 x + 2 .
3

Tổng a + b + c là:
A. 5 .
Đáp án A

2

C. 3 .

B. 4 .

D. 2 .

F  ( x ) = 3ax 2 + 2 ( a + b ) x + ( 2a − b + c )

3a = 3

a = 1


Ta có: F  ( x ) = f ( x )  2 ( a + b ) = 6  b = 2  a + b + c = 5 .
 2 a − b + c = 2 c = 2



(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Có bao nhiêu số a  ( 0;20 ) sao cho

Câu 11
a

 sin
0

5

2
x sin 2 xdx = .
7

A. 20 .
Đáp án D

B. 19 .

D. 10 .

C. 9 .

a

a

a

0

0

0

2
7

2
7

2
7

Ta có  sin 5 x sin 2 xdx = 2 sin 6 x cos xdx = 2 sin 6 xd ( sin x ) = sin 7 x 0a = sin 7 a = .
Do đó sin 7 a = 1  sin a = 1  a =


2

+ k 2 .

Vì a  ( 0;20 ) nên 0 



1
+ k 2  20  −  k  10 và k 
2
2

nên có 10 giá trị của k

4

Câu 12:

(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho tích phân I =  ( x − 1) sin 2 xdx. Tìm đẳng
0

thức đúng





4

4

B. I = − ( x − 1) cos 2 x −  cos 2 xdx .

A. I = − ( x − 1) cos 2 x 04 +  cos 2 xdx .
0

0






1
2

C. I = − ( x − 1) cos 2 x 04 +

4

1
cos 2 xdx .
2 0



1
2

D. I = − ( x − 1) cos 2 x 04 −

14

cos 2 xdx .
2 0

Đáp án C



du = dx
u = x − 1
1
14


Đặt 
ta có I = − ( x − 1) cos 2 x 4 +  cos 2 xdx
1
2
20
dv = sin 2 xdx v = − cos 2 x
0
2



4

Câu 13:

(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tính tích phân I =  cos 2 xdx
0

A. I =

 +2

B. I =

8
Chọn đáp án A.

 +2

C. I =

4

1
3

D. I =

2
3

Phương pháp: Biểu thức trong tích phân là hàm lượng giác bậc chẵn, ta thường sử dụng
công thức biến đổi lượng giác hạ bậc rồi mới tính tích phân.






14
1
1
 4  +2
Cách giải: I =  cos xdx =  (1 + cos 2 x ) dx =  x + sin 2 x  =
20
2
2
8
0
0
4

2

Câu 14:

(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tìm nguyên hàm I = 

1
B. I = ln 2 ( x 2 + 1) + C
4

A. I = ln ( x 2 + 1) + C
1
C. I = ln ( x 2 + 1) + C
2
Chọn B

D. I = ln 2 ( x 2 + 1) + C

(

)

Áp dụng công thức nguyên hàm hợp d ln ( x 2 + 1) =
I =

x ln ( x 2 + 1)

(

)

1
1
ln ( x 2 + 1) d ln ( x 2 + 1) = .ln 2 ( x 2 + 1) + C

2
4

2x
dx
x +1
2

x2 + 1

dx


Câu 15:
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho hình thang cong
(H) giới hạn bởi các đưởng y = 2x , y = 0, x = 0, x = 4 . Đường
thẳng x = 1(0  a  4) chia hình (H) thành hai phần có diện tích là

S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm a để S2 = 4S1
A. a = 3

B. a = log 2 13

C. a = 2

D. a = log 2

16
5

Đáp án C.
a

4

4
2x
2a − 1
2x
24 − 1

S1 =  2 dx =
=
;S2 =  2 x dx =
=
ln 2 0
ln 2
ln 2 a
ln 2
0
a
a

x

Từ S2 = 4S1 
Câu 16:

2 4 − 2a
2a − 1
= 4.
 2a = 4  a = 2
ln 2
ln 2

(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho a là một số thực khác 0, ký hiệu
a

a

b=

(thỏa đk)

dx
ex
− a x + 2a dx. Tính I =  ( 3a − x ) e x theo a và b
−a

A. I =

b
a

B. I =

b
ea

C. I = ab

D. I = bea

– Chọn B
Phương pháp: Cho a = 1, tính tính phân bằng máy tính và so sánh với các đáp án
– Cách giải
1

ex
dx = 1, 087... = b
x

+
2
−1

Cho a = 1, sử dụng máy tính CASIO ta tính được: 
2

dx

 (3 − x ) e

x

= 0, 400... = I  I =

0

b
e

b
.
ea
Câu 17 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
Kết hợp với các đáp án, ta được I =

và thỏa

mãn f ( −1)  0  f ( 0 ) . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f ( x ) , y = 0, x = −1 và x = 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?

0

1

−1

0

A. S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx
1

C. S =  f ( x ) dx
−1

Đáp án B
1

Ta có S =

 f ( x ) dx

−1

1

B. S =  f ( x ) dx
−1

1

D. S =

 f ( x ) dx

−1


Câu 18 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
f ( ln x )

e



mãn

x

1

1

A.



và thỏa

dx = e . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

f ( x )dx = 1

1

B.



f ( x ) dx = e

e

C.

0

0



e

f ( x ) dx = 1

D.

0

 f ( x )dx = e
0

Đáp án B
Giả sử F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x )
e
e
f ( ln x )
Ta có 
dx =  f ( ln x ) d ( ln x ) = F ( ln x ) = F (1) − F ( 0 ) = e
1
x
1
1
e

1

Ta có  f ( x )dx = F ( x )
0

1
= F (1) − F ( 0 ) = e nên B đúng
0

Câu 19 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A.



dx
=2 x +C

x

B.

dx

x

2

=

1
+C
x

C.

dx

 x + 1 = ln x + C

D.  2 x dx = 2 x + C

Đáp án A
Ta có



dx

dx
= 2
= 2 x + C nên A đúng
x
2 x
1

Câu 20:

(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Biết rằng

1

 x cos 2 xdx = 4 ( a sin 2 + b cos 2 + c ) , với
0

a, b, c  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a + b + c = 1

B. a − b + c = 0

C. a + 2b + c = 1

D. 2a + b + c = −1

Đáp án B

 du = dx
u=x




Đặt 
sin 2x .
dv = cos 2xdx
 v = 2
1
1
x.sin 2x 1 1
sin 2 1
−  sin 2xdx =
+ cos 2x
Khi đó I =
0 20
0
2
2
4
a=2
sin 2 cos 2 1 1

=
+
− = ( 2.sin 2 + cos 2 − 1)   b = 1  a − b + c = 0
2
4
4 4
c = −1


Câu 21:

(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi

quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x , y = 0 và x = 4 quanh trục Ox. Đường
thẳng x = a ( 0  a  4 ) cắt đồ thị hàm số y =

x tại M (hình vẽ bên). Gọi V1 là thể


tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng
V = 2V1 . Khi đó
B. a =

A. a = 2 2

5
2

C. a = 2

D. a = 3

Đáp án D
4

Ta có V =   xdx = 
0

x2 4
= 8  V1 = 4
2 0

Gọi N là giao điểm của đường thẳng x = a và trục hoành.
Khi đó V1 là thể tích tạo được khi xoay hai tam giác OMN và MNH quanh trục Ox
với N là hình chiếu của M trên OH.
2
1
1
Ta có V1 = a a +  ( 4 − a ) a
3
3

( )

( )

2

=

4
a = 4  a = 3
3

(GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho hàm số f ( x ) =

Câu 22

( )

1
. Nếu F x
sin2 x


3

là một



nguyên hàm của hàm số f ( x ) và đồ thị hàm số y = F( x ) đi qua M  ; 0  thì F (x) là:
A.

1

− cot x

B.

3 − cot x

C.

3

3
− cot x

2



D. − cot x + C

Chọn A.

3

Ta có cot =

1
3


3



, mà đồ thị hàm số y = F( x ) đi qua M  ; 0  nên chỉ có


đáp án A thỏa mãn.

Câu 23 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Biết rằng  e2x cos3xdx = e2x ( acos3x + bsin3x ) + c
, trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng a + b có giá trị là
A. −

1

13

B. −

5
13

C.

5
13

Chọn C.
Đặt f ( x ) = e2x ( acos3x + bsin3x ) + c . Ta có
f ' ( x ) = 2ae2 x cos3x − 3ae2 x sin 3x + 2 be2 x sin 3x + 3be2 x cos3x
= ( 2a + 3b) e2 x cos3x + ( 2 b − 3a) e2 x sin 3x

Để f (x) là một nguyên hàm của hàm số e2 x cos3x , điều kiện là

2
a = 13

2
a
+
3
b
=
1
5

f ' ( x ) = e2 x cos3x  

 a+ b = .
13
2b − 3a = 0  b = 3
 13

D.

1
13


Câu 24. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)

( )
C. − ( x − 1) 1 − x



2

1 − x2

dx bằng:

( )
D. ( x + 2)

A. − x2 + 2 1 − x2 + C

2

3x3

B. x2 + 1 1 − x2 + C

+C

2

Đáp Án A
t = 1 − x 2  dt = −



(

3x 3
1− x

2

1 − x2

x
1− x

(

dx;x 2 = 1 − t 2

2

)

(

)

dx =  −3 1 − t 2 dt =  3t 3 − 3 dt = t 3 − 3t + C

) − 3 1− x
3

2

(

) (

= 1 − x2 1 − x2 − 3 = − x2 + 2

)

1 − x2

1 − x2 + C