CÔ NGUYỄN THỊ LANH CHIA SẺ TÀI LIỆU LỚP 12 BÀI TOÁN TIỆM CẬN

NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

CÔ NGUYỄN THỊ LANH - CHIA SẺ TÀI LIỆU - LỚP 12

BÀI TOÁN TIỆM CẬN
Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có
bao nhiêu đường tiệm cận?
x 
y’

2



0
+

-

 6
y


A. 1.

0

B. 3.

C. 2.
D. 4.
Hướng dẫn giải
Dựa vào bảng biến thiên em có: lim y  0  y  0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 

lim  y  ; lim y    x  2 và x = 0 là hai đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x  2

x 0

→ Đáp án B
Câu 2: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Đường tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số là
x
y’





1






2

y
A. y  1.


B. y  2.

C. y  1  y  2.

D. Đồ thị hàm số khơng có đường TCN.

2

Hướng dẫn giải
Dựa vào bảng biến thiên em có: lim y  2 và lim y  2 nên đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang
x 

x 

của đồ thị hàm số.
→ Đáp án B
Câu 3: Cho hàm số y = f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có
bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1 .
/>
B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

/>
1


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ
Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biến thiên em có:
-Khi x  0 thì limy  2 nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.
-Khi x  0 thì limy   nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  0 .
-Khi x  1 thì limy   nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 .
-Khi x   thì limy  0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  0 .
Trong miền giá trị từ (; 1) em không xét.
Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.
→ Đáp án C
Câu 4: Cho hàm số y  f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có
bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1 .

B. 2 .

D. 4 .

C. 3 .
Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biến thiên em thấy:
-Khi x  (1) thì limy  0 nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.
-Khi x  (1) thì limy   nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 .
-Khi x  3 thì limy  2 nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.
-Khi x   thì limy  2 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  2 .
Trong miền giá trị từ (3; ) em không xét.
Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.
→ Đáp án B
Câu 5: Cho hàm số y  f  x  có lim f  x   1 và lim f  x   1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
x 

x 

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 và y = –1.
D. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là đường thẳng x = 1 và x = –1.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng y  y 0 được gọi là TCN của đồ thị hàm số nếu lim y  y 0 hoặc lim y  y0 .
x 

x 

Do đó đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 và y = –1.
→ Đáp án C
2x  1
Câu 6: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
là đường thẳng
x 1
A. x = 1.

B. x = –1.
C. y = - 2.
D. y = 2.
Hướng dẫn giải
/>
/>
2


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

Tập xác định của hàm số: D 

\ 1.

 Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

2x  1
là đường thẳng x = –1.
x 1

→ Đáp án B
Câu 7: Đường thẳng x = 5 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây
x 1
x 1
2x  1
2x  1
A. y 

B. y 
C. y 
D. y 
.
.
.
.
x 5
x 5
2x  5
3x  5
Hướng dẫn giải
x 1
Đường thẳng x = 5 là tiệm cận đứng của hàm số bậc nhất trên bậc nhất y 
.
x 5
→ Đáp án A
Câu 8: Cho hàm số y 

f x

g x

với f  x   g  x   0 và lim f  x   2; lim g  x   2. Trong các khẳng định
x 

x 

sau đây, khẳng định nào là đúng?
A. Đồ thị hàm số có thể có nhiều hơn một đường tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = 1 và y = –1.
Hướng dẫn giải
Em có: lim

f x

x 

g x

lim f  x 



x 

lim g  x 

 1  Đồ thị hàm số có thể có nhiều hơn 1 đường TCN.

x 

→ Đáp án A

x 1
. Khẳng định nào là đúng trong các khẳng định sau?
x  3x  2
A. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x = 1 và x = 2.

B. Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là y = 1.
C. Đồ thị hàm số có đúng 1 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x = -1 và x = -2.
Hướng dẫn giải
Câu 9: Cho hàm số y 

2

Tập xác định của hàm số: D 

\ 1;2.

x 1
1

 Đồ thị hàm số có TCĐ là x = 2 và TCN và y = 0.
x  3x  2 x  2
→ Đáp án C
Em có: y 

2

2x2  3
có số đường tiệm cận là
x2  3x  2
B. 2.
C. 3.
Hướng dẫn giải

Câu 10: Đồ thị hàm số y 

A. 1.
TXĐ: D 

D. 4.

\ 1;2 .

2x2  3
2x2  3


,
lim
 
2
2
x 1 x  3x  2
x 2 x  3x  2
 x  1,x  2 là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Em có lim

/>
/>
3


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

2x2  3
2x2  3

lim
 2  y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị đã cho.
x  x 2  3x  2
x  x 2  3x  2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận.
→ Đáp án C
Câu 11: Đồ thị hàm số nào dưới đây có ba đường tiệm cận ?
1  2x
1
x 3
x 1
A. y 
B. y 
C. y 
D. y  3




2
1 x
5x  1
4x
x  3x2  2x
Hướng dẫn giải
1  2x

● Với y 
thì x  1,y  2 là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số→ Có 2 đường tiệm cận
1 x
→ Loại đáp án A
x 3
1
1
● Với y 
thì x  , y  là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số→ Có 2 đường tiệm cận
5x  1
5
5
→ Loại đáp án C
x 1
● Với y  3
thì x  0,x  1,x  2,y  0 là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số→ Có 4
x  3x2  2x
đường tiệm cận → Loại đáp án D
1
● Với y 
thì x  2,x  2,y  0 là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số→ Có 3 đường tiệm
4  x2
cận → Chọn đáp án B
→ Đáp án B
Câu 12: Đồ thị hàm số nào dưới đây khơng có tiệm cận đứng ?

Em cũng có lim

A. y 

3x  1

x2  1

1
B. y   
x

x 3

x 2
Hướng dẫn giải

C. y 

D. y 

1

x  2x  1
2

1
● Đồ thị hàm số y   có tiệm cận đứng x  0 → Loại đáp án B
x
x 3
có tiệm cận đứng x  2 → Loại đáp án C
x 2
1
● Đồ thị hàm số y  2

có tiệm cận đứng x  1 → Loại đáp án B
x  2x  1
3x  1
● Đồ thị hàm số y  2
có mẫu thức ln dương →Chọn đáp án A
x 1
→ Đáp án A
Câu 13: Đồ thị hàm số nào dưới đây khơng có tiệm cận ngang ?

● Đồ thị hàm số y 

A. y 

x 4  3x2  7
3


C. y  2
2x  1
x 1
Hướng dẫn giải
Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang nếu limy  .
2x  3

x 1

B. y 

D. y 

3
 1
x 2

x 

● Đồ thị hàm số y 

/>
2x  3
có tiệm cận ngang y  2 → Loại đáp án A
x 1

/>
4


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

3
có tiệm cận ngang y  0 → Loại đáp án C
x 1
3
● Đồ thị hàm số y 
 1 có tiệm cận ngang y  1 → Loại đáp án D
x 2
● Đồ thị hàm số y 

2

x 4  3x2  7
x 4  32  7
x 4  32  7
có lim
  , lim
   Đồ thị hàm số
x 
x 
2x  1
2x  1
2x  1
khơng có tiệm cận ngang→ Chọn đáp án B
→ Đáp án B
2x  1
Câu 14: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  2
là
x  3x  2
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Hướng dẫn giải
● Đồ thị hàm số y 

TXĐ: D 

\ 1;2 .

2x  1
2x  1
  , lim 2
   x  1, x  2 là hai tiệm cận đứng của đồ thị.
x 1 x  3x  2
x 2 x  3x  2
2x  1
 0  y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
Em cũng có lim 2
x  x  3x  2
 Có 3 đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
→ Đáp án D
Em có lim

2

ax  2
1
. Giá trị của a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  là tiệm cận
bx  1
5
đứng và đường thẳng y  1 là tiệm cận ngang là
Câu 15: Cho hàm số y 

1
B. a  ; b  5.
5

A. a  2; b  1.

C. a  1; b  2.

D. a  5; b  5.

Hướng dẫn giải

1
Hàm số có tiệm cận đứng là x   b  5 và tiệm cận ngang là y  1  a  5.
5
→ Đáp án D
x 5
Câu 16: Đồ thị hàm số y 
có số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là
x 5
B. 1.

A. 0.

C. 2.
Hướng dẫn giải

D. 4.

Tập xác định của hàm số: D  .
 Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.

lim y  lim

x 

x 

x 5
x 5
 1 và lim y  lim
 1 nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang y = 1 và
x 
x  x  5
x 5

y = -1.
→ Đáp án C
Câu 17: Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y 
A. 3.
/>
B. 2.

C. 1.

x2  x
là
x 3
D. 0.

/>
5


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ
Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số: D  (; 1] [0; )\ 3.

 lim  y  lim 

x2  x
  (Vì khi x  3 thì
x 3

x2  x  6 và  x  3  0 )

 lim  y  lim 

x2  x
  (Vì khi x  3 thì
x 3

x2  x  6 và  x  3  0 )

x  3

x  3

x  3

x  3

1

x 1
x2  x
x  1.
 lim y  lim
 lim
x 
x  x  3
x 
x 3
x2  x
 lim y  lim
 lim
x 
x  x  3
x 

x 1 
x 3

1
x  1.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận là y = –1; y = 1 và x = –3.
→ Đáp án A

2x  1  x2  x  3
là
x2  5x  6
C. x = 3 và x = 2.
D. x = 3.

Hướng dẫn giải

Câu 18: Tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. x = –3 và x = –2.

B. x = –3.

Tập xác định của hàm số: D 
Em có: y 

\ 2,3.

2x  1  x2  x  3 2x  1  x 2  x  3

.
x2  5x  6
 x  2 x  3





2x  1  x2  x  3
2x  1  x2  x  3
 limy  lim
 lim
x 2
x 2
x 2
 x  2 x  3

 x  2 x  3 2x  1  x2  x  3
2





 x  23x  1
3x  1
7
 lim
 .
x2
 x  2 x  3 2x  1  x2  x  3  x2  x  3 2x  1  x2  x  3  6

 lim

 lim y  lim
x 3

x 3

2x  1  x2  x  3
3x  1
 lim
 .
x

3
 x  2 x  3

 x  3 2x  1  x2  x  3









(Do khi x  3 thì 3x  1  10 và  x  3 2x  1  x2  x  3  0 )
 lim y  lim
x 3

x 3

2x  1  x2  x  3
3x  1
 lim
 .
2
x

3
 x  2 x  3
x

3
2x


1

x

x

3
 









(Do khi x  3 thì 3x  1  10 và  x  3 2x  1  x2  x  3  0 )
Vậy đường thẳng x = 3 là TCĐ còn đường thẳng x = 2 không là TCĐ.
→ Đáp án D
Câu 19: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

/>
x 2
là
x 3

/>
6

NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

C. x  1.
Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số: D=[-2;+).

A. x  3.

B. Khơng có.

D. x  2.

 Khơng tồn tại giới hạn của hàm số khi x  3.

 Đáp án B
Câu 20: Trong các đồ thị hàm số sau, đồ thị nào có một đường tiệm cận?
x 4
A. y  x4  3x2  4 .
B. y  2
.
x  x 1
2x  3
C. y  2x3  x2  3x  1 .
D. y 
.
x 2
Hướng dẫn giải

Em thấy đồ thị hàm số ở đáp án A và đáp án C là hàm đa thức nên khơng có tiệm cận.
Đồ thị hàm số ở đáp án D có tiệm cận đứng x  2 và tiệm cận ngang y  2 .
→ Đáp án B

3x
có bao nhiêu tiệm cận đứng?
x 4
B. 1 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải

Câu 21: Đồ thị hàm số y 
A. 0 .

2

D. 3 .

x  2
Em có: x2  4  0  
 Đồ thị có 2 tiệm cận đứng.
 x  2
→ Đáp án C
x
Câu 22: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  2
là
(x  1)(x  2)2

A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .
D. 4 .
Hướng dẫn giải
Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là: y  0 , 3 tiệm cận đứng là: x  1, x  1, x  2.
→ Đáp án D

x 1
có bao nhiêu tiệm cận đứng?
x  2016x  2017
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Hướng dẫn giải

Câu 23: Đồ thị hàm số y 
A. 0.

2

 x  1
Em có : x2  2016x  2017  0  
 x  2017
Với x  1  x  2017 thỏa mãn.
Vậy đồ thị có 1 tiệm cận đứng.
→ Đáp án B

x2  x  4
có bao nhiêu tiệm cận ngang?

x 3
B. 1.
C. 2.
Hướng dẫn giải

Câu 24: Đồ thị hàm số y 
A. 0.

/>
D. 3.

/>
7


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

x2  x  4
x2  x  4
x2  x  4
 lim

lim
1
x 
x 
x 3
(x  3)2

x2  6x  9

Em có: lim

x 

x2  x  4
x2  x  4
x2  x  4
 lim 

lim

 1
x 
x 
x 3
(x  3)2
x2  6x  9

lim

x 

 đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang
→ Đáp án C
2017
là
x
A. 0.

B. 2.
C. 1.
D. 3.
Hướng dẫn giải
Em thấy bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên hàm số có 1 tiệm cận ngang y  0 .
Câu 25: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

Hàm số có tiệm cận đứng x  0 .
→ Đáp án B
Câu 26: Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y 
A. m  0.

x 1

mx2  1
C. m > 1.
Hướng dẫn giải

B. m > 0.

có hai tiệm cận ngang là
D. Khơng có m.

Để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang thì phải tồn tại lim y  a và lim y  b.
x 

x 

*Với m = 0, lim y   và lim y    Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận.
x 

x 

 1 1 
*Với m < 0, tập xác định của hàm số là D   
;
.

m
m 

 Không tồn tại giới hạn tại vô cực của hàm số y.

*Với m > 0, tập xác định của hàm số là D  .
x 1
1
x 1
1
 lim y  lim


.
và lim y  lim
x 
x 
x 
x 
1
m
1

m
x m
x m 
x
x
→ Đáp án B
Câu 27: Cho hàm số y  x  m x2  x  1. Giá trị của m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
B. m  2.

A. m = 0.

C. m  1.
Hướng dẫn giải

Em có:





lim y  lim x  m x  x  1  lim

x 

x 

2



x2  m2 x2  x  1

x 

D. Không có m.

  lim 1  m  x
2

2

 m2 1  x 

x 
x  m x2  x  1
x  m x2  x  1
Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì lim y  a hoặc lim y  a với a  .
x 

x 

2
 Bậc của tử thức phải bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu thức  1  m  0  m  1.

→ Đáp án C
x2  1
(C) .
x2  2mx  m
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để (C) có ba đường tiệm cận.

Câu 28: Cho đồ thị hàm số y 

/>
/>
8


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

A. m  1 hoặc m  0 .

B. m  1 hoặc m  0 và m 

1
C. m  1 và m  .
3

D. 1  m  0 và m 

1
.
3

1
.
3

Hướng dẫn giải

Vì hàm số có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên hàm số có một tiệm cận ngang là: y  1.
Do đó để hàm số có 3 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 2 tiệm cận đứng
 f(x)  x2  2mx  m  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1




1

12  2m  m  0
m  1
m



3
x  1
1



 ( 1)2  2m  1  0  m 

2
3
 '  m  m  0 

 m  0
 m  0
 m  0

 m  1

 m  1

 m  1

 Đáp án B.
Câu 29: Với m  m0 thì đồ thị hàm số y 
nhất trong các giá trị sau
A. 6 .
B. 3 .

(2m  5)x  2
có tiệm cận ngang y  1 . Hỏi m0 gần giá trị nào
mx  1
C. 4 .
Hướng dẫn giải

D. 7 .

(2m  5)x  2
2m  5
1 m 5
có tiệm cận ngang y  1 nên
m
mx  1
 m  m0 sẽ gần nhất với giá trị 6.

Vì đồ thị hàm số y 

→ Đáp án A
Câu 30: Cho hàm số y 

mx  n
có đồ thị  C  . Biết đường tiệm cận ngang của  C  đi qua A  1;2
x 1

đồng thời điểm I  2;1 thuộc đồ thị  C  . Khi đó giá trị của m+n là
A. m  n  1.
TXĐ: D 

B. m  n  1.

C. m  n  3.
Hướng dẫn giải

D. m  n  3.

\ 1 .

Điều kiện m  n  0  m  n  0.
Đường tiệm cận ngang của đồ thị  C  là y  m.
Điểm A  1;2 thuộc đường tiệm cận ngang nên m  2.
Mặt khác I 2;1 thuộc đồ thị  C  nên 1 

2.2  n
 n  3  m  n  1.  TM 
21

→ Đáp án A

Câu 31: Cho hàm số y 

x 2
có đồ thị  C  có hai điểm phân biệt sao cho P, Q tổng khoảng cách từ P
x 2

hoặc Q tới hai tiệm cận là nhỏ nhất. Khi đó PQ2 bằng:
A. 32.
/>
B. 50.

C. 16.

D. 18.

/>
9


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ
Hướng dẫn giải

 x 2
Gọi M  x0 ; 0
  C  .
x0  2 


Đồ thị  C  có đường tiệm cận đứng x  2 và đường tiệm cận ngang y  1 .
Khi đó khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận lần lượt là x0  2 và

x0  2
4
1 

x0  2
x0  1

Suy ra tổng các khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận là
d  x0  2 

4
4
 2 x0  2 .
 4 . ( Theo BĐT Cauchy )
x0  2
x0  2

Dấu “=” xảy ra  x0  2 

 x0  4
4
2
  x 0  2  4  

x0  2
 x0  0

Khi đó P 0; 1 ,Q  4;3  PQ2  32.
→ Đáp án A
Câu 32: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 2.

B. 4.

x2  1  x
x2  9  4

là

C. 3.
Hướng dẫn giải

D. 1.

TXĐ: D   ; 3 \ 5  3;   \ 5 .
x2  1  x

lim

Em có

x2  9  4

x 5

lim

x 5

 lim

x2  1  x
x2  9  4

1.( x 2  1  x).( x 2  9  4)

x 5

 lim
x 5

(x2  5).( x 2  1  x)

  ,

1.( x 2  1  x).( x 2  9  4)
(x2  5).( x 2  1  x)

 

 x  5,x  5 là 2 đường tiệm cận đứng của đồ thị đã cho.
lim

1
1
x
1  2 1

2
x
x
 lim
 lim
 0,
2
x 
x 
9
9 4
x 9 4
| x| 1  2  4
1 2 
x
x
x

lim

1
1
x
 1  2 1
2
x
x
 lim
 lim
2

x2  9  4 x  | x| 1  9  4 x   1  9  4
x2
x2 x

x 

Mặt khác

x 

x2  1  x

x2  1  x

| x| 1 

| x| 1 

 y  0,y  2 là 2 đường tiệm cận ngang của đồ thị đã cho.

 Đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.
→ Đáp án B
xm
Câu 33: Giá trị của m để đồ thị hàm số y 
khơng có đường tiệm cận đứng là
mx  1
A. m  0,m  1.
B. m  1.
C. m  1.
D. m  1.

Hướng dẫn giải
● Với m  0 thì hàm số đã cho trở thành y  x , đồ thị hàm số này khơng có tiệm cận đứng.
/>
/>
10


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

● Với m  0
1
\  
m 

TXĐ: D 

x 1
 1 , đồ thị hàm số này khơng có tiệm cận đứng.
x 1
x   1
Với m  1 thì hàm số đã cho trở thành y 
 1 , đồ thị hàm số này khơng có tiệm cận
x  1
đứng.
1
 Với m  1 thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  
m
Vậy để đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận đứng thì m  0,m  1.

Với m  1 thì hàm số đã cho trở thành y 

→ Đáp án A

x2  1  3 x3  3x2  1
là
x 1
C. 1.
D. 4.
Hướng dẫn giải

Câu 34: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 3.

B. 2.

\ 1 .

TXĐ: D 

x2  1  3 x3  3x2  1
   x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 1

Em có lim
x 1

x2  1  3 x3  3x2  1
x2  1  3 x3  3x2  1
 2, lim

 0  y  0,y  2 là 2 đường
x 
x 
x 1
x 1
tiệm cận ngang của đồ thị.
Vậy có 3 đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
→ Đáp án A
Mặt khác lim

x2  2x  2  mx
có hai đường tiệm cận ngang.
x 2
C. m  0.
D. m  0,m  1.

Câu 35: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 
A. m .

B. m  1.

Hướng dẫn giải
TXĐ: D 

Em có lim

\ 2 .

x 

x2  2x  2  mx
 lim
x 
x 2

2 2
1  2 m
x x
1m
2
1
x

2 2
 1  2 m
x  2x  2  mx
x x
lim
 lim
 1  m.
x 
x 
2
x 2
1
x
Theo giả thiết đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang nên 1  m  1  m  2  0 ( luôn đúng)
→ Đáp án A
2

/>
/>
11


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

 x2  1
khi x  1

Câu 36: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y   x
là
2x

khi x  1
 x  1
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn giải
2x
Em có lim y  lim
   x  1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
x 1
x 1 x  1

x2  1

2x
 1; lim y  lim
2
x 
x 
x

x

x
x 1
 y  1,y  2 là 2 tiệm cận ngang của đồ thị.

Mặt khác lim y  lim

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.
→ Đáp án C
Câu 37: Xác định m để đồ thị hàm số y 

13

D. m  1.
12
Hướng dẫn giải
Để đồ thị hàm số đã cho có đúng 2 đường tiệm cận đứng thì phương trình

A. m  

13


12

3
có đúng hai đường tiệm cận đứng.
4x  22m  3 x  m2  1
2

B. 1  m  1.

C. m  

4x2  22m  3 x  m2  1  0 có 2 nghiệm phân biệt





   0  2m  3  4 m2  1  0  12m  13  0  m  
2

13

12

→ Đáp án C
Câu 38: Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số y  x  mx2  1 có đường tiệm cận ngang.
B. m  1.

C. m  1.
Hướng dẫn giải

 Với m  0 thì hàm số đã cho có TXĐ: D  .

A. 0  m  1.

D. m  1.





lim x  mx2  1   nên để đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang thì

Vì

x 





lim x  mx2  1  

x 



Mà lim x 
x 

x 

mx  1   lim
2

x 



mx2  1 x  mx2  1



x  mx2  1
1

1  m  x2  1  lim 1  m  x  x  .
 lim
x 

x  mx2  1

x 

1 m

1
x2

 1  m  0  m  1.  TM
1 
 1

;
 Với m  0 thì hàm số có TXĐ: D  
.
 m m 
Khi đó đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận ngang.
/>
/>
12


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

Vậy m = 1.
→ Đáp án D
Câu 39: Cho đường cong y 

2x  3
C và 3 điểm A, B, C nằm trên C  có hồnh độ tương ứng là 3;
x 1

 3;-2 . Giả sử d1 ,d2 ,d3 tương ứng là tổng các khoảng cách từ A, B, C đến hai đường tiệm cận của  C  .
Có bao nhiêu số nguyên dương m thỏa mãn d3  m  d2  d1  ?
A. 4.

B. 5.

C. 6.
Hướng dẫn giải

D. 7.

 2x  3 
Gọi M  x0 ; 0
   C .
x0  1 


Đồ thị  C  có đường tiệm cận đứng x  1 và đường tiệm cận ngang y  2 .
Khi đó khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận lần lượt là x0  1 và

2x0  3
5
2 

x0  1
x0  1

Suy ra tổng các khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận là d  x0  1 

5

x0  1

9
21
14
3 
1

 9 
Với A  3;  ,B 3;  ,C 2;  thì d1  ,d2  ,d3  
4 
3
2
4
3
 2 
Theo đầu bài em có

14
56
 21 9 
 m    m 
 m 1;2;3;4;5;6 .
3
9
 4 2

Có 6 giá trị của m thỏa mãn đầu bài.
→ Đáp án C
Câu 40: Tìm tất cả các gái trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 

x 1
có đúng một tiệm
x  3x2  m
3

cận đứng.
A. m  .

m  0
B. 

m  4

m  0
C. 

m  4
Hướng dẫn giải

m  0
D. 

m  4

Để đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 tiệm cận đứng thì phương trình x3  3x2  m  0 có đúng 1
nghiệm khác 1 hoặc có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm là 1.
Nghiệm của phương trình x3  3x2  m  0 là số giao điểm
của đường thẳng y  m và đồ thị hàm số y  x3  3x2 .
Từ đồ thị em thấy
● Phương trình x3  3x2  m  0 có duy nhất 1 nghiệm khác
1 thì m  0 hoặc m  4 .
● Phương trình x3  3x2  m  0 có 2 nghiệm phân biệt,
trong đó có 1 nghiệm bằng 1 thì m  4.
Kết hợp các điều kiện em được m  0 hoặc m  4 .
→ Đáp án C

y

-1

O

x

-4

/>
2

y=m

/>
13


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ
2x  1
có đồ thị  C  . Gọi M là một điểm bất kì trên  C  . Tiếp tuyến của  C  tại
x 1

Câu 41: Cho hàm số y 

M cắt các đường tiệm cận của  C  tại A và B. Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận của  C  . Tính diện
tích tam giác IAB.
A. S  2.

TXĐ: D 

B. S  12.

C. S  4.
Hướng dẫn giải

D. S  6.

\ 1 .

y

Đồ thị  C  có tiệm cận đứng x  1 và tiệm cận ngang y  2

A

 I 1;2 .

Giả sử M  x0 ;y 0  C  .
Em có y   

y

3

 x  1

3

 x0  1

2

2

M

 Khi đó tiếp tuyến của  C  tại M là

 x  x0  

2x0  1
x0  1

2

 2x  4 
6
 A  1; 0
,IB  2 x0  1 .
 ,B 2x0  1;2  IA 
x0  1
 x0  1 
Diện
tích
tam
giác
IAB
là

1
1 6
S  IA.IB  .
.2 x0  1  6.
2
2 x0  1

→ Đáp án D
Câu 42: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y 

I
B
1

O

x

2x  1
sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng
x 1

khoảng cách từ M đến trục hoành.
A. M 0; 1 ,M 3;2 .

B. M 2;1 ,M  4;3 .

C. M 0; 1 ,M  4;3 .

D. M 2;1 ,M 3;2 .

Hướng dẫn giải
Giả sử M  x0 ;y 0  C  .
TXĐ: D 

\ 1 .

Đồ thị  C  có tiệm cận đứng x  1 và tiệm cận ngang y  2 .
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1  x0  1 .
Khoảng cách từ M đến trục hoành d2  y 0 
Theo

đầu

bài

2x0  1
.
x0  1

em

2x  1
2
d1  d2  x0  1  0
  x0  1  2x0  1 .
x0  1

1
2

 Với x0   :  x0  1  2x0  1
2
 x0  0
 x20  4x0  0  
 TM
 x0  4

/>
y

có

d1
2

M

I
d2

O

1
x

/>
14


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

1
2
 Với x0   :  x0  1  2x0  1
2
 x20  2 ( Loại )
Vậy M 0; 1 hoặc M  4;3 .
→ Đáp án C

2x  3
có đồ thị  C  , gọi d là tiếp tuyến bất kì của  C  , d cắt hai đường tiệm
x 2

Câu 43: Cho hàm số y 

cận của đồ thị  C  tại hai điểm A và B. Khi đó khoảng cách giữa A và B ngắn nhất bằng
A. 4.

B. 2 2.
TXĐ: D 

D. 2.

C. 3 2.
Hướng dẫn giải

\ 2 .

Đồ thị  C  có tiệm cận đứng x  2 và tiệm cận ngang y  2  I 2;2 .
 2x  3 
Giả sử M  x0 ; 0
  C  .
x0  2 


Em có y   

1

 x  2

2

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại của  C  tại M là y  

1

 x 0  2

2

 x  x0  

2x0  3

x0  2

 2x  2 

A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại M với 2 đường tiệm cận  A  2; 0
 ,B 2x0  2;2 .
 x0  2 


2 
4
4
2
2
 AB   2 x0  2 ; 
 2. 4  x0  2 
2 2 .
  AB  4  x0  2 
2
2
x0  2 
 x 0  2
 x 0  2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4  x0  2 
2

4

 x 0  2

2

 x0  3



 x0  1

Vậy khoảng cách AB ngắn nhất là 2 2.
→ Đáp án B
Câu 44: Đồ thị hàm số y 
A. 4.

x2  1
có bao nhiêu đường tiệm cận ?
x2  4 x  5

B. 3.
Em có y 
TXĐ: D 

C. 2.
Hướng dẫn giải

D. 1.

x2  1
x2  1


x2  4 x  5  x  1 x  5

\ 5;5 .

/>
/>
15


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

1
1 2
x2  1
x2  1
x
Có lim 2
 lim
 1  lim 2
 y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm
x  x  4 x  5
x 
x  x  4 x  5
4
1  5
x

số đã cho.
lim

x 5

x2  1
x2  1

lim
   x  5, x  5 là 2 đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm
x2  4 x  5 x 5 x2  4 x  5

số đã cho.
→ Đáp án B
Câu 45: Cho hàm số y 

2x  1
C . Gọi M là điểm bất kì thuộc C  , tiếp tuyến tại M cắt đường tiệm cận
x 1

đứng và ngang của  C  lần lượt tại A và B, I là giao điểm hai đường tiệm cận. Xác định vị trí của M để
chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.

1 
A. M  1  3;2 
 ,M 1  3; 3 .
3






 


1 
B. M  1  3;2 
 ,M 1  3;  3 .
3






C. M 1  3;2  3 ,M 1  3;2  3 .






1  
1 
D. M  1  3;2 
 ,M  1  3;2 

3 
3

Hướng dẫn giải

Đồ thị  C  có tiệm cận đứng x  1 và tiệm cận ngang y  2  I 1;2 .
 2x  1 

3

Giả sử M  x0 ; 0
  C  , y   
2
x0  1 
 x  1


Khi đó phương trình tiếp tuyến tại của  C  tại M là y  

3

 x0  1

2

 x  x0  

2x0  1
x0  1

 2x  4 
Vì A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại M với 2 đường tiệm cận  A  1; 0
 ,B 2x0  1;2 .
 x0  1 

Khi đó IA 

6

,IB  2 x0  1 , AB  2
x0  1

 x0  1

2



9
2


3
Chu vi tam giác IAB là P  IA  IB  AB  2 x0  1 

x0  1


 2.2 x0  1 .

3
2 2
x0  1



 x0  1



  2


 x0  1

2

.

 x0  1

2

9



9

 x 0  1

2

 4 3  2 6.

 x0  1

2





 x0  1  3 M 1  3;2  3
3
2
  x0  1  3  

Dấu “=” xảy ra  x0  1 

x0  1
 x0  1  3
M 1  3;2  3




→ Đáp án C

/>
/>
16


NGUYỄN THỊ LANH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

Câu 46: Cho hàm số y 

x 1

có đồ thị  C  . Chu vi đường tròn tâm I là giao điểm hai đường tiệm cận
x 3

và tiếp xúc với hai nhánh của đồ thị hàm số  C  là
A.

5
.
2

B. 8 .

C. 4 .

D.

7
.
2

Hướng dẫn giải
Đồ thị hàm số  C  có hai đường tiệm cận là x  3 và y  1  I  3;1 .
Đường tròn tâm I, bán kính R tiếp xúc với hai nhánh tiệm cận có dạng:

 x  3   y  1 
2

2

2

4
2  x 1
2

 R 2  R 2   x  3  
 1    x  3 
2
2
 x 3 
 x  3

 x  3

2

.

4

 x  3

2

4

Vậy đường tròn  I,R  có bán kính nhỏ nhất khi R = 2 nên có chu vi là C  2 R  4 .
 Đáp án C

NGƯỜI NGHÈO NHẤT TRÊN THẾ GIỚI KHƠNG PHẢI NGƯỜI KHƠNG CĨ TIỀN MÀ LÀ

NGƯỜIKHƠNG CĨ GIẤC MƠ. NHỜ CÓ GIẤC MƠ MÀ CON NGƯỜI TRỞ NÊN VĨ ĐẠI.
NGƯỜI VĨ ĐẠI LÀ NGƯỜI BIẾN GIẤC MƠ THÀNH HIỆN THỰC
/>Giáo viên dạy trên trang : />
Giáo viên: Nguyễn Thị Lanh
/>
/>
17