Xac suat thong ke c4

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
PHẦN I: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
- Chương 1:
Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
- Chương 2:
Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
- Chương 3:
Một số quy luật phân phối xác suất

22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

1


XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
PHẦN II: THỐNG KÊ TOÁN
- Chương 1:
Cơ sở l{ thuyết mẫu
- Chương 2:
Ước lượng các tham số của Biến ngẫu nhiên
- Chương 3:
Kiểm định giả thuyết thống kê

22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

2

CHƯƠNG 1:
CƠ SỞ LÝ THUYẾT MẪU

Khái niệm về tổng thể và mẫu
Mẫu ngẫu nhiên
Thống kê

22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

3


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Tổng thể (population)
Tập hợp tất cả các phần tử đồng nhất theo một dấu hiệu
định tính hoặc định lượng nào đó.
Hoặc ngắn gọn:
Tổng thể là tất cả các đối tượng cần nghiên cứu.
Ví dụ:
Toàn bộ dân số của một nước (nghiên cứu kinh tế - xã hội
của nước đó)
Toàn bộ cây trong khu rừng (điều tra về trữ lượng gỗ của khu
rừng).
Các hộ gia đình trong một thành phố (tìm hiểu xu thế sử
dụng điện nước)
Sản phẩm của một nhà máy (kiểm tra chất lượng sản phẩm)
22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

4


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Dấu hiệu nghiên cứu
Dấu hiệu cần nghiên cứu k{ hiệu là 𝜒. Dấu hiệu
nghiên cứu được mô hình hóa bằng một biến
ngẫu nhiên là X. Ta có thể áp dụng các tính chất
của xác suất để nghiên cứu tổng thể.

22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

5


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Các đặc trưng của tổng thể
Trung bình tổng thể
Giả sử tổng thể có số lượng là N. Dấu hiệu χ là định lượng
nhận các giá trị x1 , x2 , … , xn . Trung bình của tổng thể là
1
m=
N

N

xi
i=1

Nếu trong tổng thế có các giá trị x1 , x2 , … , xk với tần số là
N1 , N2 , … , Nk
1
m=
N
22/09/2017

k

Ni x i
i=1

Xác suất và thống kê toán học

6


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Các đặc trưng của tổng thể
Kz vọng tổng thể
Giả sử tổng thể có số lượng là N. Dấu hiệu χ được mô hình
hóa bằng BNN X (BNN định lượng) nhận các giá trị
1
x1 , x2 , … , xn . Xác suất để lấy được phần tử xi , i = 1, n là
N

E X =m=
i=1

22/09/2017

1 1
xi . = .
N N

N

N

xi = m
i=1

Xác suất và thống kê toán học

7


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Các đặc trưng của tổng thể
Ví dụ: Tổng thể nghiên cứu là một xí nghiệp có 80 công
nhân với dấu hiệu nghiên cứu là năng xuất lao động (sản
phẩm/ đơn vị thời gian). Số liệu cho trong bảng sau:
Tính năng xuất lao động trung bình của mỗi công nhân.

22/09/2017

Năng xuất lao động

Số công nhân

100

6

110

10

120

20

130

24

140

14

150

6

Xác suất và thống kê toán học

8


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Các đặc trưng của tổng thể
Giải: Ta có N = 80
Năng xuất lao động trung bình của mỗi công nhân là

1
m=
N

22/09/2017

k

i=1

1
Ni xi =
80

6

Ni xi = 126
i=1

Xác suất và thống kê toán học

9

Khái niệm về tổng thể và mẫu
Các đặc trưng của tổng thể
Trung bình điều hòa
Giả sử tổng thể có số lượng là N. Dấu hiệu χ là định lượng
nhận các giá trị x1 , x2 , … , xn . Trung bình điều hòa k{ hiệu là
mh
N
mh =
N 1
i=1 x
i
Nếu trong tổng thế có các giá trị x1 , x2 , … , xk với tần số là
N1 , N2 , … , Nk
N
mh =
k Ni
i=1 x
i
22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

10


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Các đặc trưng của tổng thể
Trung bình điều hòa

Ví dụ:
Một xí nghiệp có hai phân xưởng cùng lắp ráp một loại sản
phẩm. Phân xưởng thứ nhất lắp ráp một sản phẩm hết 15
phút. Phân xưởng thứ hai lắp hết 20 phút. Cho biết một ngày
mỗi phân xưởng làm việc 8h. Hãy tính thời gian trung bình
để lắp ráp một sản phẩm.

22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

11


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Các đặc trưng của tổng thể
Trung bình điều hòa
Giải:
Thời gian trung bình để lắp ráp một sản phẩm chính là
trung bình điều hòa. Ta có k = 2
N
N
8.60+8.60
mh = k Ni = 2 Ni = 2 8.60 8.60 = 17,14 (phút)
i=1 x
i

22/09/2017

i=1 x

i

i=1 15

+ 20

Xác suất và thống kê toán học

12


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Các đặc trưng của tổng thể
Trung bình nhân
K{ hiệu là mg là căn bậc N của tích các giá trị mà dấu
hiệu tổng thể nhận
mg = N x1 . x2 … xN
Nếu trong tổng thế có các giá trị x1 , x2 , … , xk với tần số
là N1 , N2 , … , Nk
mg =

22/09/2017

N

N

N

N

X1 1 . X 2 2 . . . X k k

Xác suất và thống kê toán học

13


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Các đặc trưng của tổng thể
Trung bình nhân
Ví dụ:
Trong khoảng thời gian 10 năm, tốc độ tăng giá trị sản
lượng của một xí nghiệp như sau: Có 5 năm tốc độ tăng
trưởng so với năm trước là 110%, có 2 năm tăng trưởng
là 125 %, có 3 năm là 115 %. Tìm tốc độ tăng trưởng
trung bình trong 10 năm của xí nghiệp đó.

22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

14


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Các đặc trưng của tổng thể
Trung bình nhân
Giải:
Tốc độ tăng trưởng trung bình trong 10 năm chính là

trung bình nhân. Ta có:

mg =

N

Nk
N1 N2
X1 . X 2 . . . X k

=

10

1,15 . 1,252 . 1,153 =

1,167 hay 116,7 %.

22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

15


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Các đặc trưng của tổng thể
Phương sai tổng thể
Giả sử tổng thể có số lượng là N. Dấu hiệu χ là định lượng nhận
các giá trị x1 , x2 , … , xn . Xác suất để lấy được phần tử xi , i = 1, n

1
là . Phương sai của tổng thể k{ hiệu là σ2
N

1
σ =
N

N

2

xi − m

2

i=1

Nếu trong tổng thế có các giá trị x1 , x2 , … , xk với tần số là
N1 , N2 , … , Nk

1
σ =
N

k

2

22/09/2017

Ni . xi − m

2

i=1

Xác suất và thống kê toán học

16


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Các đặc trưng của tổng thể
Phương sai tổng thể
σ2 =
1
=
N
1
=
N

1
N
k

k

Ni . x i − m

2

i=1

Ni . xi2
i=1
k

1
− 2. m.
N

=
k

i=1

1
N

k

Ni . xi2 − 2. m. xi + m2
i=1

1
Ni xi +
N

k

1
Ni m =
N

k

Ni . xi2 − 2m2 + m2

2

i=1

i=1

Ni . xi2 − m2
i=1

Vậy:
1
σ =
N

k

Ni . xi2 − m2

2

22/09/2017

i=1

Xác suất và thống kê toán học

17


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Các đặc trưng của tổng thể
Mốt
Giả sử trong tổng thế có các giá trị x1 , x2 , … , xk với tần
số là N1 , N2 , … , Nk . Mốt là điểm mà tại đó tần số
Ni , i = 1, k lớn nhất.
Trung vị
Là điểm mà số lượng các điểm trong tổng thể nằm về
phía trái Trung vị bằng số lượng các điểm nằm về phía
phải của Trung vị trong tổng thể.

22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

18


Khái niệm về tổng thể và mẫu
Mẫu (Sample)
Khi không thể rà soát được cặn kẽ các giá trị của tổng

thể, người ta phải tiến hành nghiên cứu trên một nhóm
các đối tượng nhỏ các phần tử của tổng thể. Nhóm các
phần tử này được chọn một cách thích hợp cho mục
tiêu nghiên cứu gọi là “mẫu”. Các phần từ của tổng thể
thường được chọn một cách ngẫu nhiên bằng các kỹ
thuật lấy mẫu (Sampling technique)

22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

19


Mẫu ngẫu nhiên
Mẫu (Sample)
K{ hiệu N là kích thước của tổng thể
K{ hiệu n là kích thước của mẫu rút ra từ tổng thể
L{ do phải lấy mẫu
- Do kích thước tổng thể lớn
- Mức độ kém tin cậy của số liệu điều tra
- Việc tính toán quá lớn gây khó khăn, tốn kém
Suy phải nghiên cứu tổng thể qua mẫu

22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

20

Mẫu ngẫu nhiên
Mẫu ngẫu nhiên (Random Sample)
Định nghĩa:
Mẫu ngẫu nhiên kích thước n là tập hợp n biến ngẫu nhiên độc
lập X1 , X 2 , … , X n được lập từ BNN X trong tổng thể nghiên cứu và
có cùng phân phối xác suất với BNN X. Mẫu ngẫu nhiên k{ hiệu là:
W = X1 , X 2 , … , X n
Giả sử X1 nhận giá trị x1 , X 2 nhận giá trị x2 , … , X n nhận giá trị xn
thì w = x1 , x2 , … , xn được gọi là một mẫu cụ thể.
Vậy Mẫu ngẫu nhiên là một tập hợp các BNN, còn mẫu cụ thể là
một tập n giá trị cụ thể quan sát được khi thực hiện một phép thử
với mẫu ngẫu nhiên.
Ta cũng có:
E X1 = E X 2 = ⋯ = E X n = E(X) = m
D X1 = D X 2 = ⋯ = D X n = D(X) = σ2
22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

21


Mẫu ngẫu nhiên
Mẫu ngẫu nhiên (Random Sample)
Hàm phân phối thực nghiệm
Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên W = X1 , X 2 , … , X n
nhận n giá trị cụ thể w = x1 , x2 , … , xn ta xây
dựng hàm số
# xi < x

Fn x =
n
Trong đó:
# xi < x là số các giá trị mẫu xi mà nhỏ hơn x.
Hàm này được gọi là hàm phân phối thực nghiệm.
22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

22


Mẫu ngẫu nhiên
Mẫu ngẫu nhiên (Random Sample)
Định l{ Glivencô:
Giả sử F x là hàm phân phối của BNN X mà ta
đang cần tìm. Fn x là hàm phân phối thực nghiệm
nhận được từ cỡ mẫu n. Khi đó:
P
sup Fn x − F x → 0 khi n → ∞ = 1
−∞
Như vậy, hàm phân phối thực nghiệm là một xấp xỉ
của hàm phân phối l{ thuyết.

22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

23

Mẫu ngẫu nhiên
Các phương thức lấy mẫu
 Lấy mẫu không hoàn lại
Phần tử nào đã lấy ra thì không trả lại tổng thể
 Lấy mẫu có hoàn lại
Các phần tử được lấy theo phương thức hoàn lại, tức là
để lấy phần tử thứ k thì đã hoàn loại phần tử thứ
k − 1, k = 2, n

22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

24


Mẫu ngẫu nhiên
Các giả thiết lấy mẫu
 Lấy lần lượt từng phần tử vào mẫu (gọi là lấy đơn
giản để phân biệt với cách lấy cùng một lúc nhiều
phần tử vào)

 Mỗi phần tử được lấy hoàn toàn ngẫu nhiên (mọi
phần tử lấy vào đều có khả năng như nhau)
 Các phần tử được lấy theo phương thức hoàn lại.
Chú ý:
Khi cơ mẫu lớn ( n lớn) thì phương thức lấy có hoàn lại
và không hoàn lại coi là như nhau)

22/09/2017

Xác suất và thống kê toán học

25