Đề thi ĐH Khối A các năm 2002 - 2008

ĐỀ THI ĐH,CĐ KHỐI A NĂM 2002
Câu I: ( 2,5 điểm) Cho hàm số y = - x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 – m
2
)x + m
3
– m
2
(1) (m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm k để phương trình : -x
3
+ 3x
2
+ k
3
– 3k
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của hàm số (1).
Câu II: ( 1,5 điểm)
Cho phương trình :
01m21xx
2
3
2
3
=−−++

loglog
(2) (m là tham số).
1. Giải phương trình (2) khi m = 2.
2. Tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1;
3
3
].
Câu III: (2 điểm)
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2
π
) của phương trình :
.cos
sin
sincos
sin 3x2
x221
x3x3
x5
+=






+
+
+

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

3x4xy
2
+−=
, y = x + 3
Câu IV: (2 điểm)
1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung
điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông
góc với mặt phẳng (SBC).
2. Trong kgian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng :



=+−+
=−+−
∆
04z2y2x
04zy2x
1
:
và





+=
+=
+=
∆
t21z

t2y
t1x
2
:
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
∆
1
và song song với đường thẳng
∆
2
.
b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng
∆
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
Câu V: (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là
03yx3
=−−
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC.
2. Cho khai triển nhò thức :
n
3
x
n
n
1n
3
x

2
1x
1n
n
3
x
1n
2
1x
1
n
n
2
1x
0
n
n
3
x
2
1x
2C22C22C2C22









+
















++

















+








=








+
−
−
−
−
−
−
−

−−
−
−
...
( n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
1
n
3
n
C5C
=
và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.

ĐÁP ÁN :
Câu I: ( 2 điểm)
2.





≠
>
24m
4
15
m
Câu II: ( 2 điểm)
1. Giải phương trình : cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 ⇔ -2sin2x.sinx – 2sin
2

x = 0
⇔ 2sin
2
x.cosx + sin
2
x = 0 ⇔ sin
2
x ( 2cosx + 1) = 0 ⇔
)(
cos
sin
Zk
2k
3
2
x
kx
2
1
x
0x
∈




π+
π
±=
π=

⇔




−=
=
2. Giải phương trình :
1x2
−
+ x
2
– 3x + 1 = 0 ⇔



−=
=
22x
1x
Câu III: (2 điểm)
.:,:
1
1z
2
1y
1
1x
d
1

3z
1
2y
2
2x
d
21
+
=
−
=
−
−−
=
−
+
=
−
1. d
1
có VTCP
);;( 112a
1
−=
→
Gọi (P) là mp qua A và (P) ⊥ (d)
⇒ (P)
⇒






−=
→
);;( 112a : VTCP có
qua
1
A
(P) : 2x – y + z – 3 = 0
Gọi H = d
1

∩
(P) thì H(0; -1; 2) ; A’ đxứng với A qua d khi H là trung điểm của AA’ nên A’(-1; -4; 1)
2. (∆) qua A , vuông góc d
1
và cắt d
2
+ (∆) đi qua A, vuông góc với d
1
⇒ ∆ ⊂ (P)
+ Gọi K = ∆
∩
d
2
⇒ K = (P)
∩
d
2

+ (∆)
5
3z
3
2y
1
1x
K qua
A qua
−
=
−
=
−
−
∆⇒



:)(
Câu IV: (2 điểm)
1. Tính tích phân : I =
dxe2x
1
0
x2
∫
−
)(
=

4
e35
2
−
2. Hệ



=−
+−+=−
axy
y1x1ee
yx
)ln()ln(
ĐK :



−>
−>
1y
1x
(2) ⇒ y = a + x thế vào (1) ta được : e
x
– e
a + x
= ln(1 + x) – ln( 1 + a + x)
⇔ e
x
(1 – e

a
) – ln(1 + x) + ln( 1 + a + x) = 0 (3)
Xét f(x) = e
x
(1 – e
a
) – ln(1 + x) + ln( 1 + a + x) với x > -1
f’(x) = e
x
(1 – e
a
)
;






++
+
+
−
xa1
1
x1
1
∀ x > 1 và a > 0
x -1 +∞
Theo BBT ⇒ Đồ thò hàm số f(x) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất x > -1

⇒ (3) luôn có nghiệm duy nhất x > -1 (⇒ y = a + x > -1)
Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất ∀ a > 0
Câu V.a:
1. M ∈ d ⇒ M(t ; t + 3)
(C) có tâm I(1 ; 1) và bkính R = 1
Đường tròn tâm M có bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C)
⇔ IM = R’ + R ⇔ (t – 1)
2
+ (t + 2)
2
= 9 ⇔ t
2
+ t – 2 = 0 ⇔



−⇒−=
⇒=
);(
);(
12M2t
41M1t
2. *Cách 1 : Xét 2 trường hợp :
TH1 : 4 học sinh cần chọn làm nhiệm vụ chỉ thuộc một lớp , có :
6CC
4
4
4
5
=+

cách
TH2 : 4 học sinh cần chọn làm nhiệm vụ chỉ thuộc hai lớp
+ 4 học sinh chọn từ A và B có :
120CCC
4
4
4
5
4
9
=−−
cách
+ 4 học sinh chọn từ A và C có :
65CC
4
5
4
8
=−
cách
+ 4 học sinh chọn từ B và C có :
34CC
4
4
4
7
=−
cách
⇒ Có : 120 + 65 + 34 = 219 cách
Vậy có tất cả : 6 + 219 = 225 cách

*Cách 2 :
f(x)
f’(x)
+∞
-∞
_