he PT tuyen tinh tong quat1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.55 MB, 21 trang )
Chương 3:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
(LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT)
Ta đã biết một phương pháp sơ cấp để
giải hệ pttt (pp Gauss). Chương này sẽ
đưa thêm một phương pháp khác để
khảo sát hệ pttt một cách tổng quát
hơn nhờ vào công cụ ma trận và định
thức.
Các vấn đề định tính và định lượng,
chẳng hạn: Khi nào hệ có nghiệm? Có
bao nhiêu nghiệm? Mô tả tập hợp
nghiệm? Tìm nghiệm? Sẽ được giải
đáp trong chương quan trọng này.
Tât nhiên trong thực hành ta có thể kết
hợp nhiều phương pháp để cho kết
quả nhanh chóng và gọn gàng nhất!!
Trước tiên ta xét hai phương pháp là
phương pháp ma trận và phương
pháp định thức để giải một loại hệ đặc
biệt là: Hệ Cramer
§ 1: Phương pháp ma trận và định
thức
1. Hệ Cramer:
Định nghĩa: Hệ Cramer là hệ pttt thỏa
mãn 2 điều kiện:
Số phương trình bằng số ẩn.
Ma trận hệ số không suy biến
(
( )≠ )
Ví dụ: Hãy cho biết hệ sau có là hệ
Cramer?
−
−
+
+
+
+
=
=−
=
Giải:
Hiển nhiên: số PT = số ẩn (= )
=
=
−
−
=
Vậy hệ đã cho là hệ Cramer.
≠
2. Phương pháp ma trận.
Một hệ pttt luôn viết được dưới dạng
ma trận: AX = B (1)
Nếu hệ (1) là hệ Cramer thì
( )≠
⟶∃
=
⟺
. Từ đó,
⟺
=
=
⟺
=
=
Như vậy, Hệ Cramer luôn có nghiệm
duy nhất:
=
Phương pháp giải hệ nhờ công thức
trên được gọi là phương pháp ma trận
Ví dụ: Giải hệ sau bằng phương pháp
ma trận (phương pháp ma trận nghịch đảo):
−
−
+
+
+
+
=
=−
=
Giải:
=
=
−
−
=
≠
Hệ trên là hệ Cramer nên nó có
nghiệm duy nhất:
=
−
−
=
=
∗
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
=
=
Vậy nghiệm duy nhất là:
3. Phương pháp định thức
(Quy tắc Cramer)
=
−
−
−
,
,−
GABRIEL CRAMER
( 1704 – 1752)
Gabriel Cramer sinh ngày 31/7/1704 tại
Geneva, Thụy Sĩ mất 4/1/1752
ở
Bangnols-sur-ceze Pháp, Gabriel có rất
nhiều cố gắng trong việc học tập.
Năm 1722, khi mới 18 tuổi ông đã đạt
được học vị tiến sĩ cho luận án dựa
trên lý thuyết của âm thanh. Cramer nổi
tiếng là một người biên soạn thiên tài.
Cuốn sách nổi tiếng nhất của ông là “
Introduction à l’analyse des lignes
courbes algébraique”, trong đó có qui
tắc Cramer nổi tiếng.
Định lý sau đây còn gọi là Quy tắc
Cramer:
Định lý: Hệ Cramer n ẩn số , , … ,
luôn có nghiệm duy nhất xác định bởi
công thức:
=
Trong đó,
,
=
=
,…,
=
( ), A - ma trận hệ số
Cột thứ j
=
⋮
Các cột
còn lại
giống hệt
của d
Chứng minh:
Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất:
=
⋮
⟶
=
⋯
⋯
⋯
=
=
⋯
⋯
⋱ ⋯
⋯
+
⋮
⋮
+⋯+
Chính là
⟶
=
∎
Ví dụ: Giải hệ sau bằng quy tắc Cramer
−
−
+
+
+
+
=
=−
=
Giải:
=
=
−
−
=
≠
Hệ trên là hệ Cramer nên nó có
nghiệm duy nhất:
=
,
Cột số
hạng
tự do
= −
=
, =
−
−
=
=
=
−
−
−
−
−
Vậy nghiệm duy nhất là:
=
=−
,
,−
Ví dụ: Tìm m để hệ sau đây là hệ
Cramer, khi đó hãy giải hệ bằng quy
tắc Cramer.
−
+
+
+
−
−
+
= −
−
−
=
=−
=
Giải:
=
=
+
Hệ đã cho là hệ Cramer ⟺
⟺
+
≠
⟺
≠
≠−
Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất:
=
= −
,
=
, =
−
−
=
−
= −
−
−
−
= −
=
−
=
−
Vậy nghiệm duy nhất là:
=
−
+
,
=
−
+
, =
………….21 ………….
+
