Tính điều khiển được hoàn toàn của hệ thống tuyến tính qua một cách tiếp cận hình học

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC HOÀN TOÀN CỦA HỆ TUYẾN
TÍNH QUA MỘT CÁCH TIẾP CẬN HÌNH HỌC
(Hồ Quan Bằng - Nguyễn Duy An - Phùng xân Lễ - Nguyễn Thị Oanh Nguyệt -
Trần Bảo Quyên - Hoàng Thị Đức Hậu - Lớp Cao học Giải tích K15.)
1 Giới thiệu
Toàn bộ nội dung bài báo này được lấy từ bài báo [1], trong đó một số kết quả, bổ đề, chứng
minh đã được nhóm làm chi tiết hơn hoặc là trình bày lại theo một trật tự khác.
Xét hệ điều khiển tuyến tính (A, Ω) được cho bởi
˙x = Ax + u, t ≥ 0, x ∈ R
n
, u ∈ Ω, (1)
với A là một ma trận thực cấp n × n, Ω là tập con khác rỗng của R
n
.
Với mỗi T > 0, tập các điều khiển chấp nhận được là
U
T
(Ω) =

u(.) ∈ L
1
([0, T], R
n
) : u(t) ∈ Ω hầu khắp nơi

Đặt R
T
là tập hợp tất cả các trạng thái tiếp cận được từ gốc trong thời gian T theo một đường
cong nghiệm của (1), nghĩa là
R
T

=



x ∈ R
n
: x = −
T

0
e
−At
u(t)dt, u(.) ∈ U
T
(Ω)



.
Tập hợp R =

T >0
R
T
được gọi là tập tiếp cận được của hệ (A, Ω).
Hệ (A, Ω) được gọi là điều khiển được địa phương (tương ứng, điều khiển được hoàn toàn) nếu
R chứa một lân cận mở của 0 (tương ứng, nếu R bằng R
n
).
Bài toán đặc trưng cho tính điều khiển được địa phương và hoàn toàn của hệ (A, Ω) đặt dưới

nhiều giả thiết khác nhau của Ω đã được nghiên cứu từ những năm 1970 bởi một số nhà Toán
học. Có hai loại phương pháp được sử dụng trong các nghiên cứu trước đó. Một là giải tích,
cách tiếp cận này dựa trên các đặc trưng của ma trận A và đưa vào sử dụng các tính chất của
các hàm hầu như tuần hoàn. Cách tiếp cận thứ hai là dựa trên cơ sở xem xét các tính chất hình
học của tập tiếp cận được R bằng cách sử dụng định lí điểm bất động của Schauder như là một
công cụ chủ yếu trong các chứng minh. Sự tiến bộ của cách tiếp cận hình học đó là bên cạnh
việc trở nên đơn giản hơn, nó còn cung cấp cách nhìn tự nhiên vào sự phụ thuộc của tính điều
khiển của hệ với dữ liệu thu thập được.
Tuy cho tới hiện tại việc tiếp cận hình học đã được phát triển, nhưng cũng mới chỉ dừng lại ở
1
những hiểu biết về tính điều khiển được địa phương. Bài báo này có mục đích là đề cập đến
tính điều khiển được hoàn toàn của hệ dưới cách nhìn hình học.
Ta nhắc lại một số kí hiệu sử dụng sau này: R
n
là kí hiệu của không gian Euclidan thực n-chiều
cùng với tích vô hướng ·, · và với chuẩn  ·  = ·, ·
1/2
. C
n
là kí hiệu không gian định chuẩn
phức n-chiều: C
n
:= R
n
+ iR
n
. Nếu f ∈ C
n
và x ∈ R
n

ta có thể viết
f, x = Ref, x + i Imf, x .
Ta nói véc tơ f ∈ R
n
(tương ứng, f ∈ C
n
) là tựa vào (tương ứng, trực giao với) một tập con
V ⊂ R
n
nếu f, v ≤ 0 (tương ứng, f, v = 0) với mọi v ∈ V , và ta dặt
V
⊥
=

f ∈ R
n
: f, v = 0 với mọi v ∈ V

.
Nếu V là một tập hợp con của R
n
và L là một đa tạp tuyến tính trong R
n
thì int
L
(V ∩ L) là kí
hiệu cho phần trong của V ∩ L liên kết với L và riV là kí hiệu cho phần trong của V liên kết
với đa tạp tuyến tính bé nhất chứa V . Bao lồi và bao lồi đóng của Ω ⊂ R
n
được kí hiệu lần lượt

là coΩ và coΩ.
Cho A là một ma trận, A
∗
được kí hiệu là ma trận chuyển vị của A và λ(A) là tập tất cả các
giá trị riêng của A.
Cho C là một nón trong R
n
với đỉnh tại 0, khi đó nón đối ngẫu C
∗
của C được xác định bởi
C
∗
=

f ∈ R
n
: f, x ≥ 0 với mọi x ∈ C

2 Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1. Cho Ω là một tập con lồi của R
n
chứa điểm 0. Tập hợp
C
b
(Ω) =

f ∈ R
n
: sup
u∈Ω

f, u < ∞

được gọi là nón chắn (barrier cone)của Ω và tập hợp
C
r
(Ω) =

λ>0
λΩ
được gọi là nón lùi (recession cone) của Ω.
Các tính chất sau được suy ra từ định nghĩa trên
(i) C
b
(Ω) và C
r
(Ω) là các nón lồi có đỉnh là điểm 0.
2
(ii) C
r
(Ω) là nón lớn nhất chứa trong Ω.
(iii) Nếu A là ma trận thực cấp n × n thì AC
r
(Ω) ⊂ C
r
(AΩ). Chiều ngược lại của bao hàm
thức trên đúng nếu A khả nghịch.
(iv) C
b
(Ω) ⊂ −C
r

(Ω)
∗
.
(v) nếu Ω và C
b
(Ω) đóng thì C
b
(Ω) = −C
r
(Ω)
∗
.
Bổ đề 1. Cho C ⊂ R
p
là một nón lồi không tầm thường có đỉnh là điểm 0 và có phần trong
khác rỗng. Đặt {F
α
, α ∈ I} là họ các ma trận thực cấp n ×n sao cho F
α
F
β
= F
β
F
α
với α, β ∈ I.
Khi đó, nếu F
α
C ⊂ C với mỗi α ∈ I, thì tồn tại một véc tơ f ∈ C
∗

khác 0 sao cho, với mọi
α ∈ I
F
∗
α
f = λ
α
f với λ
α
≥ 0.
Bổ đề 2. Cho L là một không gian con A-bất biến của R
n
và cho 0 ∈ int
L
(R ∩ L), với R là tập
tiếp cận được của hệ (A, Ω). Nếu cho x
0
∈ L,
sup
t>0
e
At
x
0
 < ∞,
thì x
0
là điều khiển được về gốc, tức là x
0
∈ R.

Chứng minh. Lấy số nguyên N đủ lớn sao cho e
At
(x
0
/N) ∈ R với mọi t ≥ 0. Khi x
0
/N ∈ R
ta có
x
0
/N = −
T
1

0
e
−At
u
1
(t)dt
với T
1
≥ 0 và u
1
(.) ∈ U
T
1
(Ω). Tương tự như thế, khi e
AT
1

(x
0
/N) ∈ R ta có
e
AT
1
(x
0
/N) = −
T
2

0
e
−At
u
2
(t)dt
với T
2
≥ 0 và u
2
(.) ∈ U
T
2
(Ω). Từ đó, bằng phép đổi biến tích phân t = u − T
1
suy ra
x
0

/N = −
T
1
+T
2

T
1
e
−At
u
2
(t − T
1
)dt.
Một cách tổng quát, ta có N đẳng thức sau
x
0
/N = −
T

i

T

i
e
−At
u
i

(t − T

i
)dt.
3
với 1 ≤ i ≤ N, ở đây T

0
= T
0
= 0, T

i
= T

i−1
+ T
i−1
, T

i
= T

i
+ T
i
, và u
i
(.) ∈ U
T

i
(Ω).
Lấy tổng các đẳng thức trên và đặt u
0
(t) = u
i
(t − T

i
) với T

i
≤ t < T

i
, 1 ≤ i ≤ N, ta thu được
u
0
(.) ∈ U
T

N
(Ω) và hơn nữa x
0
tiếp cận được tới điểm gốc bởi điều khiển u
0
(.). Vậy x
0
∈ R 
Từ bổ đề trên ta thu được hai hệ quả thú vị sau.

Hệ quả 1. Cho (A, Ω) là điều khiển được địa phương. Khi đó tập tiếp cận được R của hệ trên
chứa đường cong nghiệm bất kì của hệ tự do ˙x ∈ Ax, t ≥ 0, sao cho nó bị chặn tại vô cùng.
Bổ sung thêm giả thiết là 0 ∈ coΩ. Khi đó R là lồi và ta có:
Hệ quả 2. Giả sử 0 ∈ coΩ. Cho L ⊂ R
n
là một không gian con bất biến của A và cho
0 ∈ int
L
(L ∩ S). Nếu x ∈ C
n
là một véc tơ riêng của A, tương ứng với giá trị riêng λ với
Reλ ≤ 0 sao cho Rex và Imx thuộc vào L, thì int
L
(L ∩ S) chứa mặt phẳng
span {Rex, Imx}
(Nếu λ là số thực thì int
L
(L ∩ S) chứa đường thẳng span {x}).
Chứng minh của hệ quả có thể tìm thấy trong [2].
Bổ đề 3. Giả sử 0 ∈ coΩ. Cho (A, Ω) là điều khiển được địa phương và lấy L là một không gian
con A-bất biến lớn nhất chứa trong R. Khi đó L
⊥
+ iL
⊥
không chứa véc tơ riêng của A
∗
tương
ứng với giá trị riêng λ với Reλ ≤ 0.
Chứng minh. Nếu L = {0} và từ hệ quả 2 thì A không có giá trị riêng λ với Reλ ≤ 0.
Bây giờ giả sử dimL = m > 0. Lấy Q là ma trận có các cột của nó là các véc tơ e

1
, e
2
, . . . , e
n
trong cở sở trực giao của R
n
và L = span {e
1
, e
2
, . . . , e
m
}. Khi đó ma trận A có thể được biểu
diễn như sau
A = Q


A
11
A
12
0 A
22


Q
∗
,
Với A

11
∈ R
m×m
. Xét hệ (
ˆ
A, PΩ) với
ˆ
A = Q


0 0
0 A
22


Q
∗
và P = Q


0 0
0 I


Q
∗
,
P là ma trận của phép chiếu trực giao từ R
n
lên L

⊥
. Kí hiệu
ˆ
R là tập tiếp cận được của hệ
(
ˆ
A, PΩ). Ta chứng minh các bao hàm thức sau
ˆ
AR
n
⊂ L
⊥
, PA =
ˆ
AP, PR ⊂
ˆ
R. (2)
4
Chứng minh P A =
ˆ
AP Ta có
P A = Q


0 0
0 I


Q
∗

.Q


A
11
A
12
0 A
22


Q
∗
= Q


0 0
0 I




A
11
A
12
0 A
22



Q
∗
= Q


0 0
0 A
22


Q
∗
=
ˆ
A
Mặt khác
ˆ
AP = Q


0 0
0 A
22


Q
∗
Q



0 0
0 I


Q
∗
= Q


0 0
0 I


Q
∗
=
ˆ
A
Vậy P A =
ˆ
AP .
Bây giờ ta giả sử ngược lại rằng tồn tại λ
0
∈ λ(A
∗
), Reλ ≤ 0, với một véc tơ riêng thuộc
vào L
⊥
+ iL
⊥

. Suy ra λ
0
∈ λ(
ˆ
A
∗
) = λ(
ˆ
A). Thật vậy, giả sử λ
0
∈ λ(A
∗
) ta chứng minh
λ
0
∈ λ(
ˆ
A
∗
) = λ(
ˆ
A)
λ
0
∈ λ(A
∗
) ⇐⇒ det(A
∗
− λ
0

I) = 0,
⇐⇒ det(A
∗
P
∗
− λ
0
P
∗
) = 0,
⇐⇒ det(P
∗
ˆ
A
∗
− λ
0
P
∗
) = 0,
⇐⇒ det(
ˆ
A
∗
− λ
0
I) = 0,
⇐⇒ λ
0
∈ λ(

ˆ
A
∗
) = λ(
ˆ
A).
Mặt khác, khi 0 ∈ intR, từ (2) suy ra
0 ∈ riR = int
L
⊥
(
ˆ
R ∩ L
⊥
).
Do đó, từ Hệ quả 2, với f
0
là một véc tơ riêng của
ˆ
A ứng với với giá trị riêng λ
0
, ri
ˆ
R chứa đường
thẳng γ
1
= span {f
0
} (nếu λ
0

∈ R) hoặc là mặt phẳng γ
2
= span {Ref
0
, Imf
0
} (nếu λ
0
∈ C).
Nhưng khi đó, ta cũng có R chứa không gian con {x ∈ R
n
: P x ∈ γ
1
} hoặc là {x ∈ R
n
: P x ∈ γ
2
},
rõ ràng là hai không gian trên đều lớn hơn L, điều này mâu thuẫn với giả thiết L là không gian
con lớn nhất. Do vậy, việc còn lại là ta phải chứng minh

x ∈ R
n
: P x ∈ ri
ˆ
R

⊂ R.
5
Thật vậy, nếu P x ∈ ri

ˆ
R, thì tồn tại một T
1
≥ 0 và một hàm hằng từng phần v(.) ∈ U
T
1
(P Ω)
sao cho
e
ˆ
AT
1


P x +
T
1

0
e
−
ˆ
At
v(t)dt


= 0
Lấy u
1
(.) ∈ U

T
1
(Ω) sao cho P u
1
(t) = v(t) với mọi t ∈ [0, T
1
], đẳng thức trên trở thành
P e
AT
1


x +
T
1

0
e
−At
u
1
(t)dt


= 0
Điều này có nghĩa là véc tơ
y = e
AT
1



x +
T
1

0
e
−At
u
1
(t)dt


nằm trong R. Giả sử y là tiếp cận được từ gốc bởi một điều khiển chấp nhận được u
2
(.) trong
thời gian T
2
, ta dễ dàng suy ra x cũng tiếp cận được từ gốc trong thời gian T
1
+ T
2
bởi điều
khiển
u(t) =



u
1

(t), 0 ≤ t ≤ T
1
,
u
2
(t − T
1
), T
1
< t ≤ T
1
+ T
2
.
Vậy x ∈ R, chứng minh được hoàn thành 
Bổ đề 4. Nếu f
0
là một véc tơ riêng thực (tương ứng, phức) của A
∗
sao cho f
0
∈ C
r
(R)
∗
(tương
ứng, f
0
trực giao với C
r

(R)), thì f
0
tựa vào (tương ứng, trực giao với) nón C
r
(Ω).
Chứng minh. Ta có thể giả sử C
r
(Ω) = 0, vì nếu không thì ta có trường hợp tầm thường.
Giả sử phản chứng f
0
, v
0
 > 0 (tương ứng f
0
, v
0
 = 0) với v
0
∈ C
r
(Ω).
Khi đó, cho véc tơ
x
0
= −
T

0
e
−At

v
0
dt ∈ C
r
(R) .
Ta có
f
0
, x
0
 =

f
0
, −
T

0
e
−At
v
0
dt

= −
T

0

f

0
, e
−At
v
0

dt = −
T

0
e
−λt
f
0
, v
0
dt < 0 (∗).
(vì e
−λt
f
0
, v
0
 là hàm khả tích và e
−λt
f
0
, v
0
 > 0 trên đoạn [0, T] nên

T

0
e
−λt
f
0
, v
0
dt > 0 trên
đoạn [0, T]).
Do đó từ (*) suy ra f
0
, x
0
 < 0 (tương ứng f
0
, x
0
 = 0) dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết là
f
0
∈ C
r
(R)
∗
(tương ứng với f
0
trực giao với nón C
r

(R)). Vậy chứng minh bổ đề hoàn tất.
6
3 Các kết quả chính
Rõ ràng là tính điều khiển được địa phương của hệ (A, Ω) là điều kiện cần để có tính điều
khiển được hoàn toàn của hệ đó. Điều kiện cho tính điều khiển được địa phương đã được thiết
lập trong nhiều bài báo trước đây, nhiệm vụ của chúng tôi là suy ra đặc trưng cho tính điều
khiển được hoàn toàn của hệ (A, Ω) với giả thiết 0 ∈ intR. Định lí sau đây là một kết quả như
thế
Định lí 1. Cho Ω là một tập lồi đóng chứa 0. Hệ (A, Ω) là điều khiển được hoàn toàn nếu
(a) (A, Ω) là điều khiển được địa phương;
(b) ma trận chuyển vị A
∗
của A không có véc tơ riêng f ∈ R
n
ứng với giá trị riêng thực λ > 0
tựa vào nón lùi C
r
(Ω), mà cũng không có véc tơ riêng f ∈ C
n
với giá trị riêng phức λ,
Reλ > 0, trực giao với nón C
r
(Ω).
Điều ngược là đúng khi nón chắn C
b
(Ω) là đóng.
Bây giờ cho Ω là tập tùy ý sao cho 0 ∈ coΩ. Khi đó R
T
(Ω) là lồi và
R

T
(Ω) = R
T
(coΩ)
với mỗi T > 0, do đó kéo theo rằng hệ (A, Ω) là điều khiển được hoàn toàn (tương ứng, địa
phương) nếu và chỉ nếu hệ (A, coΩ) là điều khiển được hoàn toàn (tương ứng, địa phương). Bên
cạnh đó, rõ ràng, C
b
(coΩ) = C
b
(Ω). Do vậy, trong trường hợp tổng quát hơn, định lí trên có thể
phát biểu như sau
Định lí 2. Cho Ω là một tập con của R
n
sao cho 0 ∈ intcoΩ. Hệ (A, Ω) là điều khiển được hoàn
toàn nếu
(a) (A, Ω) là điều khiển được địa phương;
(b)
1
ma trận chuyển vị A
∗
của A không có véc tơ riêng f ∈ R
n
ứng với giá trị riêng thực λ > 0
tựa vào nón lùi C
r
(coΩ), mà cũng không có véc tơ riêng f ∈ C
n
với giá trị riêng phức λ,
Reλ > 0, trực giao với nón C

r
(coΩ).
Điều ngược là đúng khi nón chắn C
b
(Ω) là đóng.
Giả thiết C
b
(Ω) là đóng không phải là quá hạn chế. Trong nhiều trường hợp thực tế, khi Ω
bị chặn hoặc là một tập đa diện thì điều kiện này dễ dàng thỏa mãn. Ngoài ra, trong trường
hợp này, kết quả trên có thể được kiểm tra dễ dàng cho tính điều khiển được hoàn toàn. Thật
vậy, khi Ω là bị chặn thì C
r
(coΩ) = 0, C
b
(Ω) = R
n
và kết quả là từ Định lí 2 dễ dàng suy ra kết
quả đã biết trước đây trong [3] như một hệ quả.
7
Hệ quả 3. Cho Ω là một tập bị chặn sao cho 0 ∈ intcoΩ. Hệ (A, Ω) là điều khiển được hoàn
toàn nếu và chỉ nếu nó là điều khiển được địa phương và với mọi λ ∈ λ(A), Reλ ≤ 0.
Giả sử cho Ω là tập đa diện, nghĩa là Ω là giao của một số hữu hạn các nửa không gian:
Ω = {u ∈ R
n
: h
i
, u ≤ α
i
, 1 ≤ i ≤ k} . (3)
Khi đó, rõ ràng, C

b
(Ω) là bao conic của các véc tơ h
i
, 1 ≤ i ≤ k, và khi đó C
b
(Ω) là đóng. Ngoài
ra, từ (v),
C
b
(Ω) = C
b
(coΩ) = −C
r
(coΩ)
∗
.
Do vậy, từ Định lí 2 ta thu được điều kiện sau cho tính điều khiển được của hệ tuyến tính với
ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính của điều khiển.
Hệ quả 4. Hệ (A, Ω) với tập điều khiển Ω xác định bởi (3) là điều khiển được hoàn toàn nếu
và chỉ nếu
(a) (A, Ω) là điều khiển được địa phương;
(b)
2
ma trận chuyển vị A
∗
của A không có véc tơ riêng f ∈ R
n
ứng với giá trị riêng thực λ > 0
thuộc vào bao conic H của các véc tơ h
i

, 1 ≤ i ≤ k, mà cũng không có véc tơ riêng f ∈ C
n
với giá trị riêng phức λ, Reλ > 0, Imλ = 0, sao cho ±Ref, ±Imf thuộc vào H.
Một hệ quả khác của Định lí 2 là ta có cách kiểm tra tính điều khiển được hoàn toàn trong
[3], ở đó không nhắc đến C
r
(Ω) và C
b
(Ω).
Hệ quả 5. Cho Ω là một tập tùy ý với 0 ∈ coΩ. Hệ (A, Ω) là điều khiển được hoàn toàn nếu
(a) (A, Ω) là điều khiển được địa phương;
(b)
3
với mỗi véc tơ riêng f ∈ R
n
(tương ứng, f ∈ C
n
) của A
∗
ứng với giá trị riêng thực λ > 0
(tương ứng, Reλ > 0 và Imλ = 0) tồn tại một dãy các điều khiển u
k
∈ Ω, (k = 1, 2, . . . ).
và  > 0 sao cho
lim
k→∞
f, u
k
 = ∞


tương ứng, lim
k→∞
| f, u
k
 | = ∞

. (4)
và, với mọi k,
f, u
k
 ≥ u
k


tương ứng, | f, u
k
 | ≥ u
k


. (5)
8
Để chứng minh cho hệ quả trên, ta chỉ cần chứng minh rằng (b)
3
kéo theo (b)
1
. Thật ra, từ
(4) ta có thể giả thiết mà không làm mất tính tổng quát rằng
lim
k→∞

u
k
 = ∞
và u
k
 > 1 với mọi k. Khi 0 ∈ coΩ, ta có
v
k
:= u
k
/u
k
 ∈ coΩ.
Lấy v
0
là một điểm tụ của v
k
. Khi đó, v
0
∈ C
r
(coΩ) (theo Định lí 8.2 của [4]). Nói cách khác,
từ (5) ta có f, v
0
 ≥  > 0 (tương ứng, | f, v
0
 | ≥  > 0). Tức là f không tựa vào (tương ứng,
trực giao với) nón C
r
(coΩ).

Chứng minh Định lí 1.
Để chứng minh điều kiện cần, giả sử ngược lại rằng (A, Ω) điều khiển được hoàn toàn và C
b
(Ω)
đóng, nhưng (b) không đúng. Khi đó, tồn tại f
0
∈ R
n
sao cho A
∗
f
0
= λf
0
, λ > 0 và f
0
∈ C
r
(Ω)
∗
,
hoặc là f
0
∈ C
n
sao cho A
∗
f
0
= λf

0
, Reλ > 0 và
{±Ref
0
, ±Imf
0
} ⊂ C
r
(Ω)
∗
.
Khi C
b
(Ω) = −C
r
(Ω)
∗
, từ tính chất (v), ta suy ra rằng
sup
u∈Ω
f
0
, u < ∞( tương ứng, sup
u∈Ω
| f
0
, u | < ∞)
Từ đó, theo cách chứng minh Bổ đề 5, ta có mâu thuẫn với tính điều khiển được hoàn toàn.
Các điều kiện (a) và (b) là đủ. Để chứng minh điều này, giả sử ngược lại rằng C
r

(R) = R
n
, với
R là tập tiếp cận được của hệ (A, Ω). Xác định L = C
r
(R) ∩ (−C
r
(R)).
Khi đó, L là không gian con lớn nhất chứa trong C
r
(R) và do vậy, không gian con điều khiển
được lớn nhất của (A, Ω), từ tính chất (ii) của nón lùi. Khi 0 ∈ Ω, ta kiểm tra được rằng, với
mọi t ≥ 0,
e
−At
R ⊂ R, (6)
từ đó kéo theo, theo tính chất (ii), (iii) của nón lùi, rằng
e
−At
C
r
(R) ⊂ C
r
(R), t ≥ 0. (7)
Điều đó chứng minh rằng, nói riêng, L là một không gian con A-bất biến. Bây giờ giả sử rằng
C
r
(R) có phần trong khác rỗng. từ Bổ đề 1, tồn tại một véc tơ khác không y
0
∈ C

r
(R)
∗
sao cho
e
−A
∗
t
y
0
= λ(t)y
0
, t ≥ 0,
9
từ đó bằng việc lấy vi phân, dễ dàng suy ra A
∗
y
0
=
ˆ
λy
0
(với
ˆ
λ :=
˙
λ(0) ). Khi y
0
∈ C
r

(R)
∗
, từ
Bổ đề 4, kéo theo y
0
tựa vào C
r
(Ω). Nói cách khác, ta thấy rằng y
0
là trực giao với L, do vậy,
từ Bổ đề 3,
ˆ
λ > 0 và ta có mâu thuẫn với điều kiện (b).
Bây giờ giả sử intC
r
= ∅. Khi C
r
(R) lồi, W := spanC
r
(R) là một không gian con thực sự
của R
n
, và theo (7), AW ⊂ W. Lấy y
0
∈ W
⊥
+ iW
⊥
là một véc tơ riêng của A
∗

tương ứng với
giá trị riêng λ. Khi L ⊂ W, ta có y
0
⊥ L và do vậy, từ Bổ đề 3, Reλ > 0. Nói cách khác, khi
y
0
⊥ C
r
(R), Bổ đề 4 chứng minh y
0
là trực giao với C
r
(Ω). Điều này, một lần nữa lại mâu thuẫn
với (b). Vậy Định lí 1 đã được chứng minh hoàn toàn 
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyen Khoa Son, Global controllability of linear autonomous systems: A geometric consid-
eration, Systems and Control Letters 6 (1985),207-212.
[2] A. Bacciotti, Linear system with pieceise constant controls, Boll. Un. Mat. Ital. A18 (1981)
102-105.
[3] V.I. Korobov, A.P. Marinich, E.N. Podol’skii, Controllability of linear autonomous systems
with restraints on controls, Differencial’nye Uravnenya 11 (1975) 1967-1979.
[4] R.T Rockafellar, Convex Ananlysis (Princeton University Press, Princeton, NJ, 1970).
10