Chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

CHUYÊN ĐỀ 10:
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. PHƯƠNG TRÌNH
I.

Phương trình cơ bản và các phương trình bậc cao:
1. Phương pháp:
 Đối với các phương trình cơ bản: ta có thể sử dụng máy tính để
bấm, nhưng chỉ có thể giải ra nghiệm luôn đối với phương trình từ
bậc 3 trở xuống.
 Đối với các phương trình bậc cao: ta sử dụng phương pháp nhẩm
nghiệm trên máy tính, sau đó sử dụng lược đồ hoocner hoặc chia
cho cụm nhân tử để chuyển phương trình về tích các cụm nhân tử
có bậc nhỏ hơn ( thường là bậc 2 và bậc 3). Sau đó ta có thể giải
phương trình bậc cao như các phương trình cơ bản.
Ví dụ: giải phương trình:
a. 𝑥 2 − 5𝑥 + 4 = 0 [𝑥=1
𝑥=4

b. 2𝑥 3 − 7𝑥 2 − 3𝑥 + 8 = 0
 (x-1)( 2𝑥 2 − 5𝑥 − 8) = 0
𝑥=1
𝑥=
[𝑥 =

II.

5+√89
4

5−√89
4

2. Bài tập tự luyên:
a. 𝑥 2 − 5𝑥 − 1 = 0
b. 2𝑥 2 − 𝑥 − 8 = 0
c. 𝑥 3 − 3𝑥 + 2 = 0
d. 3𝑥 4 − 2𝑥 3 − 53𝑥 2 − 4𝑥 + 12 = 0
e. (x+3)(x+12)(x-4)(x-16)=-20𝑥 2
f. (5 − 2𝑥)4 + (2 − 3𝑥)4 = (7 − 5𝑥)4
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Phương pháp:


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta phải đặt điều kiện và phá
dấu giá trị tuyệt đối. Ta cũng có thể đặt điều kiện sau đó bình
phương 2 vế để giải. nhưng cách này sẽ gặp khó khăn vì phương
trình sau khi bình phương sẽ trở thành phương trình bậc cao.
Ví dụ: giải phương trình:
|𝑥 2 + 2𝑥 − 4| = −2𝑥 − 6
ĐK:x ≤ −3
𝑥 = −2 − √2
= −2 + √2
𝑥 = ±√10
Thử lại và kiểm tra điều kiện, phương trình có nghiệm:
x=-2-√2 và x=-√10
2
𝑥 2 +4𝑥+2=0

[𝑥𝑥 2+2𝑥−4=−2𝑥−6
[
[𝑥
+2𝑥−4=2𝑥+6
𝑥 2 =10

III.

2. Bài tập tự luyện:
a. |𝑥 2 − 5𝑥 + 4| = 𝑥 2 + 6𝑥 + 5
b. 4𝑥 2 + 4𝑥 − |2𝑥 + 1| = 5
c. 𝑥 4 + 4𝑥 2 + 2|𝑥 2 − 2𝑥| = 4𝑥 3 + 3
Phương trình vô tỉ:
1. Dạng toán 1: đặt điều kiện và bình phương hai vế:
Đối với dạng toán này, thường có dạng:
√𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) hay √𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥) hay √𝑓(𝑥) = |𝑔(𝑥)|
Ta phải đặt điều kiện rồi bình phương hai vế để giải.
Ví dụ: √𝑥 2 − 4𝑥 + 6 = 𝑥 + 4
𝑥 2 − 4𝑥 + 6 = (𝑥 + 4)2

ĐK: x≥ −4

−4

12x=-16 x=

3

Bài tập tự luyện:
a. √𝑥 2 − 2𝑥 + 4=√2 − 𝑥

b. √3𝑥 2 − 9𝑥 + 1 = 𝑥 − 2
c. √3𝑥 2 − 9𝑥 + 1 = |𝑥 − 2|
d. (x-3)√𝑥 2 − 4 = 𝑥 2 − 9
e. √𝑥 2 − 3𝑥 + 2 − 3 − 𝑥 = 0
2. Dạng toán 2: đưa về phương trình cơ bản, bình phương 2
vế.


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

Đối với dạng toán này ta phải sử dụng các phương pháp như
biến đổi tương đương, tách ghép đối xứng, nhân với biểu thức
liên hợp… để chuyển phương trình về phương trình cơ bản, sau
đó bình phương 2 vế.
Ví dụ: giải phương trình:
5

3x-3√3𝑥 − 1 = 53√3𝑥 − 1=3x-5

ĐK: x≥

9(3x-1)=(3𝑥 − 5)  9𝑥 − 57𝑥 + 34 = 0
2

[

2

17
3

2
𝑥=
3

3

𝑥=

17

Thử lại và kiểm tra điều kiện, phương trình có nghiệm là:x=

3

Bài tập tự luyện:
a. √4 − √1 − 𝑥 = √2 − 𝑥
b. √𝑥 + 3 − √7 − 𝑥 = √2𝑥 − 8
c. √𝑥 + 2 − √3 − 𝑥=√5 − 2𝑥
d. √5𝑥 − 1 − √3𝑥 − 2 − √𝑥 − 1 = 0
3

3

3

e. √𝑥 + 1 + √𝑥 − 1 = √5𝑥
3. Dạng toán 3: làm xuất hiện hằng đẳng thức.
Đối với dạng toán này ta phải làm xuất hiện hằng đẳng thức
trong căn thức. Với mục đích là làm mất căn thức, làm đơn giản
bài toán và đưa về dạng đơn giản.

Ví dụ:
√𝑥 + 2√𝑥 − 1 + √𝑥 − 2√𝑥 − 1 = 𝑥+3
2

√(√𝑥 − 1 + 1)2 + √(√𝑥 − 1 − 1)2 =

𝑥+3
2

(1)

ĐK: x≥1
(1) √𝑥 − 1 + 1 + |√𝑥 − 1 − 1| =

[

𝑥+3
2

𝑥+3
2√𝑥−1=
2
𝑥+3
2=
2

[𝑥=5
𝑥=1

Thử lạ và kiểm tra điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là x=1

và x=5.


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

Bài tập tự luyện:
a. √𝑥 + 2 + 3√2𝑥 − 5 + √𝑥 − 2 − √2𝑥 − 5 = 2√2
b. √𝑥 − √4𝑥 − 4 + √𝑥 + √4𝑥 − 4 = 2
c. √𝑥 + 8 + 2√𝑥 + 7 + √𝑥 + 1 − √𝑥 + 7=4
4. Dạng toán 4: đặt một ẩn phụ:
Đối với bài toán này, ta đặt 1 biểu thức được lặp lại nhiều lần
thành ẩn mới. sau đó chuyển phương trình về ẩn mới (có thể
vẫn còn ẩn cũ).
Ví dụ:
√5𝑥 2 + 10𝑥 + 1 = 7 − 𝑥 2 − 2𝑥
ĐK: 5𝑥 2 + 10𝑥 + 1 ≥ 0
Đặt √5𝑥 2 + 10𝑥 + 1=t ; t≥ 0
Phương trình trở thành:
t=7-

𝑡 2−1
5

𝑡=4
 [𝑡=−9(𝑙𝑜ạ𝑖)
t=4

với t=4 ta có √5𝑥 2 + 10𝑥 + 1=4
5𝑥 2 + 10𝑥 − 15 = 0
𝑥=1

[𝑥=−3
Thử lại và kiểm tra điều kiện, phương trình có nghiệm là
x=1 và x=-3
Bài tập tự luyện:
a. (x+1)(x+4)=5√𝑥 2 + 5𝑥 + 28
3

b. x(x+5)=2√𝑥 2 + 5𝑥 − 2 − 2
c. √(4 + 𝑥)(6 − 𝑥)=𝑥 2 − 2𝑥 − 12
d. √sin 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + cos 𝑥 = 1
e. 𝑥 2 + 𝑥 + 12√𝑥 + 1 = 36
f. (4x-1)√𝑥 2 + 1=2𝑥 2 + 2𝑥 + 1
5. Dạng toán 5: phương trình tích, có thể đặt 2 ẩn phụ:


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

Đối với bài toán này, ta có thể dễ nhận thấy có 1 căn thức bằng
tích của 2 căn thức còn lại. ta có thể đặt 2 căn còn lại bằng 2 ẩn
u,v sau đó chuyển về hệ phương trình để giải.
Ta cũng có thể đặt 2 ẩn phụ đối với những bài toán không phải
dạng tích, sau đó chuyển về hệ giải bình thường.
ví dụ:
√𝑥 2 + 10𝑥 + 21=3√𝑥 + 3 + 2√𝑥 + 7 − 6
ĐK: x≥ −3
Đặt u=√𝑥 + 3, u≥0
V=√𝑥 + 7,v≥0
 𝑣 2 − 𝑢2 = 4
Ta có hệ:
(𝑢 − 2)(𝑣 − 3) = 0

𝑢𝑣 = 3𝑢 + 2𝑣 − 6
{
{
2
2
𝑣 −𝑢 =4
𝑣 2 − 𝑢2 = 4
[𝑢=2
𝑣=3

{
𝑣 2 − 𝑢2 =

𝑢=2
{
𝑣=2√2
[ 𝑣=3
{
4
𝑢=√5

𝑢=2
𝑥+3=2
Với {
{ √
𝑥 = 1
𝑣 = 2√2
√𝑥 + 7 = 2√2
𝑣=3
√𝑥 + 7 = 3

Với {
{
𝑥 = 2
𝑢 = √5
√𝑥 + 3 = √5
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x=1 và x=2.
Bài tập tự luyện:
a. √𝑥 2 + 8𝑥 + 15 = 3√𝑥 + 3 + 2√𝑥 + 5 − 6
b. √𝑥 2 − 𝑥 − 2 − 2√𝑥 − 2 + 2 = √𝑥 + 1
c. x-2√𝑥 − 1-(x-1) √𝑥 + √𝑥 2 − 𝑥=0
d. √(𝑥 + 2)(2𝑥 − 1) − 3√𝑥 + 6 = 4 − √(𝑥 + 6)(2𝑥 − 1) +
3 √𝑥 + 2
6. Dạng toán 6: nhân với biểu thức liên hợp:
Đối với dạng toán này ta sử dụng phương pháp nhân với biểu
thức liên hợp để làm cho biểu thức trở thành dạng cơ bản.
Ví dụ:
√𝑥 + 3 + √3𝑥 + 1 = 4


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12
−1

ĐK: x≥-

3

Phương trình trở thành:
√𝑥 + 3 − 2 + √3𝑥 + 1 − 2 = 0


𝑥−1
√𝑥+3+2

+

3(𝑥−1)
√3𝑥+1+2

=0

𝑥−1=0

[

1
3
+
=0 (𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚)
√𝑥+3+2 √3𝑥+1+2

x=1
Vậy phương trình có nhiệm là x=1.
Bài tập tự luyện:
a. √𝑥 + 1 + √𝑥 + 3 + √2𝑥 − 1=3√2
b. √2𝑥 + 2 − √2𝑥 − 1 = 𝑥
c. √11𝑥 + 2 + √𝑥 − 2 = √9𝑥 + 7 + √3 − 𝑥
d. √3𝑥 + 1 − √6 − 𝑥 + 3𝑥 2 − 14𝑥 − 8 = 0
7. Dạng 7: sử dụng phương pháp hàm đặc trưng( phương
pháp đạo hàm)
Cho phương trình 𝑓(𝑥)=0. Ta xét hàm số 𝑓(𝑥).

Tính 𝑓′(𝑥). Chứng minh hàm số 𝑓(𝑥) đồng biến hay nghịch
biến trên tập xác định. Khi đó phương trình 𝑓(𝑥)=0 có nhiều
nhất 1 nghiệm. sử dụng máy tính nhẩm nghiệm 𝑥0 của phương
trình.
Ví dụ:
√𝑥 + 3 + √3𝑥 + 1 = 4f(x)= √𝑥 + 3 + √3𝑥 + 1 − 4 = 0
−1

Đk: x≥

3

−1

Ta xét hàm số f(x)= √𝑥 + 3 + √3𝑥 + 1 − 4 với x≥
f’(x)=

1
2√𝑥+3

+

1
2√3𝑥+1

> 0 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑥 >
−1

Vậy hàm f(x) đồng biến với x≥

−1
3

3

Vậy phương trình f(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm.
Ta thấy f(1)=0x=1
Vậy phương trình có nghiệm là x=1
Bài tập tự luyện:

3


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

a. √𝑥 + 1 + √𝑥 + 3 + √2𝑥 − 1 = 3 + √2
b. √2𝑥 + 2 − √2𝑥 − 1 = 𝑥
c. 2x+√𝑥 + √𝑥 + 7 + 2√𝑥 2 + 7𝑥=49
d. √𝑥 2 − 2𝑥 + 5 + √𝑥 − 1 = 2

8. Dạng 8: sử dụng phương pháp lượng giác hóa:
Nếu trong phương trình chứa căn thức dạng:
 √𝑎2 − 𝑥 2 ta đặt x=a. sin 𝑥 hoặc x=a.cos 𝑡 sau đó phá dấu
căn thức và giải phương trình lượng giác.
 √𝑎2 + 𝑥 2 ta đặt x=a.tan 𝑥 hoặc x=a.cot 𝑡 sau đó phá dấu căn
thức và giải phương trình lượng giác.
Ví dụ:
4𝑥 3 − 3𝑥=√1 − 𝑥 2
ĐK: -1≤ 𝑥 ≤ 1
Đặt x=sin 𝑡 với

−𝜋
2

≤𝑡≤

𝜋
2

Phương trình trở thành:
-sin 3𝑡=cos 𝑡
𝜋

sin(−3𝑡) = sin( − 𝑡)
2

[

𝜋
2
𝜋
−3𝑡= +𝑡+𝑘2𝜋
2

−3𝑡= −𝑡+𝑘2𝜋

[

−𝜋
+𝑘𝜋

4
−𝜋 𝑘𝜋
𝑡= +
8
2

𝑡=

(k∈ )

(k∈ )
−𝜋

Kết hợp với điều kiện ta có t=

4

3𝜋

và t=

8


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12
−𝜋

Với t=

4

−√2
2

x=

3𝜋

3𝜋

8

8

Với t= x=sin

Bài tập tự luyện:
a. 𝑥 3 + √(1 − 𝑥 2 )3 = 𝑥√2 − 2𝑥 2
b. √1 + 𝑥 2 = 1 − 𝑥 2


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

B. Bất phương trình:
I.

Phương pháp:
Để giải một bài bất phương trình ta có 2 hướng giải quyết sau:

Giải

bất phương trình

Trực tiếp

Gián tiếp

1. Trực tiếp: ví dụ giải bất phương trình 𝑓(𝑥) > 0
ta giải bất phương trình bằng cách lập hệ bất phương trình có kèm
𝑓(𝑥) > 0
theo điều kiện ví dụ như:{
đ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖ê𝑛 để 𝑓(𝑥)𝑐ó 𝑛𝑔ℎĩ𝑎
ta sử dụng các phương pháp như bình phương, nhân liên hợp, đặt
ẩn phụ để… để giải bất phương trình.
 Lưu ý: đối với cách này chúng ta sẽ rất dễ nhầm dấu của bất
phương trình nếu kiến thức lắm không vững.
2. Gián tiếp: ví dụ giải bất phương trình 𝑓(𝑥) > 0
Thực chất đây là cách giải bất phương trình ta đã gặp từ lớp 9.
Các bước giải như sau:
 𝑏1 : ta đặt điều kiện cho 𝑓(𝑥) có nghĩa.
 𝑏2 : ta giải phương trình 𝑓(𝑥) = 0.
 𝑏3 : ta lập bảng xét dấu cho hàm 𝑓(𝑥).
 𝑏4 : đựa vào bảng xét dấu và kết luận tập nghiệm.


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

 Lưu ý: đối với hướng làm, khi lập bảng xét dấu phải kết hợp
cả điều kiện luôn.
Hướng làm này tương đối tối ưu đối với những bạn có kỹ
năng trình bày k tốt và muốn khắc phục lỗi sai khi làm bài.

3. Ví dụ:
Giải bất phương trình:
√𝑥 2 − 5𝑥 + 6 < 𝑥 + 4 (1)
a. Trực tiếp:
𝑥 > −4
𝑥≥3
{
(1) {
𝑥≤2
2
𝑥 − 5𝑥 + 6 < 𝑥 2 + 8𝑥 + 16
𝑥 > −4
𝑥≥3
{ {
𝑥≤2
13𝑥 > −10
𝑥 > −4
𝑥≥3
{
 𝑥≤2
−10
{𝑥 >
x∈(

−10
13

13

; 2] ∪ [3; +∞)

b. Gián tiếp:
Ta giải phương trình: điều kiện: x≤ 2 và x≥ 3
F(x)= √𝑥 2 − 5𝑥 + 6 − 𝑥 + 4 = 0
𝑥 > −4
{ 2
𝑥 − 5𝑥 + 6 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 16
𝑥 > −4
{𝑥 = −10
13

Bảng xét dấu F(x):
x
F(x)

−∞

−10
13

-4
+

0

2
-

3

+∞

-


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy để F(x)<0 thì x∈(
II. Bài tập tự luyện:
1. Giải các bất phương trình sau:
a. 𝑥 2 + 𝑥 + 1 > 0
b. 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 ≤ 0
c. 2𝑥 2 − 5𝑥 + 2 < 0
d. 2𝑥 3 − 7𝑥 2 − 8𝑥 + 13 ≤ 0
e. 5𝑥 3 + 9𝑥 2 − 𝑥 − 5 ≥ 0
2. Giải các bất phương trình sau:
a.
b.
c.
d.

3

≤1

𝑥−2
5𝑥+3
2𝑥−1
3

> −2

≥

𝑥+1
2𝑥−5
𝑥−4

2
𝑥−3
𝑥+1

<

𝑥−4

3. Giải các bất phương trình sau:
a. √2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 ≤ 𝑥 − 1
b. √𝑥 2 − 5𝑥 + 6 < 𝑥 + 4
c. √−𝑥 2 + 2𝑥 + 8 > 6 − 3𝑥
d. √𝑥 2 + 𝑥 + 2 ≥ 𝑥 − 2
4. Giải các bất phương trình sau:
a. √𝑥 + 3 ≥ √2𝑥 − 8 + √7 − 𝑥
b. √5𝑥 − 1 − √𝑥 − 1 > √2𝑥 − 4
c. √7𝑥 − 13 − √3𝑥 − 9 ≤ √5𝑥 − 27
d.

√2(𝑥 2 −16)
√𝑥−3

+ √𝑥 − 3 >

7−𝑥
√𝑥−3

5. Giải các bất phương trình sau (nhân liên hợp):
a.

𝑥2
(1+√1+𝑥)2

>𝑥−4

b. 2√𝑥 − 1 − √𝑥 + 2 > 𝑥 − 2
c.

2𝑥 2
(3−√9+2𝑥)2
2

< 𝑥 + 21

d. 4(𝑥 + 1) < (2𝑥 + 10)(1 − √3 + 2𝑥)2
6. Giải các bất phương trình (ẩn phụ):

−10
13

; 2] ∪ [3; +∞)

Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

a. √

𝑥
𝑥−1

b. 3√𝑥+

+√
3
2√𝑥

𝑥−1
𝑥

≥

3
√2
1

< 2𝑥 +

2𝑥

−7

c. -4√(4 − 𝑥)(2 + 𝑥) ≤ 𝑥 2 − 2𝑥 − 8

d. 2𝑥 2 + √𝑥 2 − 5𝑥 − 6 > 10𝑥 + 15
e. √7𝑥 + 7 + √7𝑥 − 6 + 2√49𝑥 2 + 7𝑥 − 42 < 181 − 14𝑥
f. x+1+√𝑥 2 − 4𝑥 + 1 ≥ 3√𝑥
g.

𝑥−√𝑥
1−√2(𝑥 2 −𝑥+1)

≥1

7. Giải các bất phương trình sau(dạng giản ước):
a. √𝑥 2 − 8𝑥 + 15 + √𝑥 2 + 2𝑥 − 15 ≤ √4𝑥 2 − 18𝑥 + 18
b. √𝑥 2 − 4𝑥 + 3 − √2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 ≥ 𝑥 − 1


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

C. Hệ phương trình:
1. Dạng 1: hệ bậc nhất 2 ẩn.
2. Dạng 2: hệ đối xứng loại 1.
3. Dạng 3: hệ đối xứng loại 2.
4. Dạng 4: hệ đồng bậc (đẳng cấp bậc 2, bậc 3).
5. Dạng 5: hệ sử dụng tính đơn điệu:
I.

Dạng 1: hệ bậc nhất 2 ẩn.
1. Lí thuyết:
Hệ có dạng:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 (1)
với 𝑎2 + 𝑏 2 ≠ 0 và 𝑎′2 + 𝑏′2 ≠ 0

{ ′
′
′
𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 = 𝑐 (2)
Ta rút thế x hoặc y từ phương trình (1) xuống phương trình (2) ta tìm
được x hoặc y. sau đó tìm nghiệm y hoặc x còn lại.
Ví dụ: giải hệ phương trình:
2𝑥 − 3𝑦 = 13
{
7𝑥 + 4𝑦 = 2
3𝑦+13

𝑥=
2
{
7𝑥 + 4𝑦 = 2
𝑥=2
{
𝑦 = −3
𝑥=2
Vậy hệ có nghiệm là {
𝑦 = −3
2. Bài tập tự luyện:
Giải các hệ phương trình sau:
2(𝑥 − 1) − 3𝑦 = 1
a. {
4𝑥 + 𝑦 = 2
2𝑥 − 3𝑦 = 5
b. {
𝑥+2=0

2𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0
c. {
𝑥 + 2𝑦 = 2
𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0
d. {
𝑥 + 4𝑦 + 3 = 0


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12
1

e.

𝑥
{5
𝑥

II.

8

− = 18
𝑦
4

+ = 51
𝑦

Hệ phương trình đối xứng loại 1.
1. Lý thuyết:

𝑓(𝑥; 𝑦) = 0
Dạng: (I) {
𝑔(𝑥; 𝑦) = 0
Ta đưa hệ (I) về hệ:
𝐹(𝑆; 𝑃) = 0
(II){
với S=x+y và P=xy
𝐺(𝑆; 𝑃) = 0
Giải hệ (II) được S;P.
Khi đó x;y là nghiệm của phương trình:
𝑡 2 − 𝑆𝑡 + 𝑃 = 0
Để hệ (I) có nghiệm thì hệ (II) có nghiệm thỏa mãn
𝑆 2 − 4𝑃 ≥ 0
Ví dụ: giải hệ phương trình:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦 = 7
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 5
Đặt S=x+y và P=xy, ta có:
𝑆=−4

2
{
(𝑙𝑜ạ𝑖 𝑣ì 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛 𝑆
{𝑆 − 𝑃 = 7[ 𝑃=9
{ 𝑆=3
𝑆+𝑃 =5
𝑃=2

2 −4𝑃≥0

𝑥=1
{𝑦=2
[ 𝑥=2
{𝑦=1

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là (1;2) và (2;1)
2. Bài tập tự luyện:
Giải các hệ phương trình sau:
𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 4
a. {
𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 + 𝑦 = 8
b. {
𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥−𝑦 =2
c. { 2
𝑥 + 𝑦 2 = 164
𝑥𝑦 + 𝑥 + 1 = 7𝑦
d. { 2 2
𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 + 1 = 13𝑦 2


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

III.

2𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 = 15
e. {
8𝑥 3 + 𝑦 3 = 35
𝑦 + 𝑦 2 𝑥 = 6𝑥 2

f. {
1 + 𝑥 2 𝑦 2 = 5𝑥 2
Hệ phương trình đối xứng loại 2:
1. Lý thuyết:
Là hệ phương trình mà khi thay x bởi y hay y bởi x thì phương trình 1
trở thành phương trình 2 và ngược lại.
Cách giải: ta trừ vế với vế của 2 phương trình ta được một phương
trình mới.
Nhóm phương trình thành phương trình tích dạng (x-y)g(x).
Ta xét hai trường hợp x=y và g(x)=0.
Thế vào 1 trong 2 phương trình của hệ ta được nghiệm (x;y).
Ví dụ: giải hệ phương trình sau:
𝑥 = 𝑦 2 − 2 (1)
{
𝑦 = 𝑥 2 − 2 (2)
Trừ vế với vế (1) cho (2) ta được:
x-y=𝑦 2 − 𝑥 2
(x-y)(x+y+1)=0
𝑥=𝑦
[𝑥+𝑦+1=0

Với x=y ta thế vào phương trình (1) ta được:
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
𝑥=𝑦=2
[𝑥=𝑦=−1

Với y=-x-1 thế vào phương trình (1) ta được:
𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0
[

−1+√5
−1−√5
𝑦= 2
2
−1−√5
−1+√5
𝑥=
𝑦= 2
2

𝑥=

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là (-1;-1) và (2;2) và
(

−1+√5 −1−√5
;
)
2
2

−1−√5 −1+√5

và (

2

;

2

2. Bài tập tự luyện:
Giải các hệ phương trình sau:

)


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

𝑥 2 − 2𝑥 = 𝑦
a. { 2
𝑦 − 2𝑦 = 𝑥
𝑦 3 + 3𝑥 2 𝑦 = 4
b. { 3
𝑦 + 3𝑦 2 𝑥 = 4
𝑦 2 +2

3𝑦 = 2
𝑥
c. {
𝑥 2 +2
3𝑥 = 2
𝑦
3
(𝑥

log 𝑥
+ 2𝑥 2 − 3𝑥 − 5𝑦) = 3
d. {
log 𝑦 (𝑦 3 + 2𝑦 2 − 3𝑦 − 5𝑥) = 3

IV.

√ 𝑥 + 1 + √7 − 𝑦 = 4
e. {
√𝑦 + 1 + √ 7 − 𝑥 = 4
Hệ phương trình đồng bậc (đẳng cấp bậc 2, đậc 3):
1. Lý thuyết:
Cách giải:
 Ta chia vế với vế của 2 phương trình với nhau được một
phương trình mới.
 Nhóm phương trình mới đó thành phương trình tích.
 Xét từng trường hợp đã có ở phương trình đó.
 Tìm ra nghiệm và kết luận.
Ví dụ: giải hệ phương trình:
3𝑥 2 − 5𝑥𝑦 − 4𝑦 2 = −3 (1)
{ 2
9𝑦 + 11𝑥𝑦 − 8𝑥 2 = 6 (2)
Chia vế với vế của (1) cho (2) ta được:
3𝑥 2 −5𝑥𝑦−4𝑦 2
9𝑦 2 +11𝑥𝑦−8𝑥 2

=

−1
2

2𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2 = 0
(x-y)(2x+y)=0
𝑥=𝑦

[2𝑥=−𝑦

Với x=y. ta thế vào phương trình (1), ta có:


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

-6𝑥 2 = −3
x=y=±

√2
2

𝑦

Với x=- thế vào phương trình 1 ta có:
2

−3𝑦 2
4

= −3

𝑦 2 = 4
y=±2
y=2x=-1 và y=-2x=1
√2 √2
)
2 2

vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là ( ;

√2
2

và (- ;-

√2
)
2

và

(-1;2) và (1;-2).

V.

2. Bài tập tự luyện:
Giải các hệ phương trình sau:
2𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 = 15
a. {
8𝑥 3 + 𝑦 3 = 35
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦 = 3
b. { 3
𝑥 + 2𝑦 3 = 𝑦 + 2𝑥
Hệ sử dụng tính đơn điệu:
1. Lý thuyết:
Cách giải:
 Ta chọn một trong 2 phương trình để chuyển về dạng f(u)=f(v).
 Xét hàm f(t), chứng minh hàm f(t) luôn đồng biến hoặc nghịch

biến. suy ra u=v. suy ra x=g(y) hay y=g(x).
 Thế x=g(y) hay y=g(x) vào phương trình còn lại.
 Giải phương trình, tìm ra nghiệm và kết luận.
Ví dụ:
Giải hệ phương trình sau:


Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT các lớp 10, 11, 12

𝑥 3 + √ 𝑥 − 1 = 𝑦 3 + √𝑦 − 1
{
𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑥 − 𝑦 = 2
Giải:
Điều kiện: x≥ 1;y≥ 1
Phương trình (1)f(x)=f(y) với hàm f(t)= 𝑡 3 + √𝑡 − 1 với t≥ 1.
Có f’(t)=3𝑡 2 +

1
2√𝑡−1

> 0 với mọi t≥ 1

Suy ra f(t) là hàm đồng biến với mọi t≥ 1
Suy ra x=y.
Thay x=y vào phương trình (2) ta được:
𝑥3 + 𝑥2 − 2 = 0

x=1y=0
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là (1;0).
2. Bài tập tự luyện:

(4𝑥 2 + 1)𝑥 + (𝑦 − 3)√5 − 2𝑦 = 0
a. {
4𝑥 2 + 𝑦 2 + 2√3 − 4𝑥 = 7
𝑥 3 + 3𝑦 2 − 6𝑦 + 4 = 0
b. { 2
𝑥 + 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑦 = 0
√𝑥 + 𝑦 − √3𝑥 + 2𝑦 = −1
c. {
√𝑥 + 1 + 𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 3 + 𝑥 = (𝑥 + 2)√𝑦 + 1
d. {
𝑥2 + 𝑦2 = 1