PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL: GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHỐNG LẠI CASIO

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
BÀI 23. GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHỐNG LẠI CASIO
1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG


1. Kỹ thuật ép hệ phương trình: Cho hệ thức

 f  x  dx  f  a, b, c 

, muốn tìm a, b, c thỏa





mãn hệ thức h  a, b, c   m . Ta sẽ tính giá trị tích phân

 f  x  dx  rồi lưu vào

A .



 f  a, b, c   A
Vậy ta sẽ ép được hệ phương trình 
. Để giải hệ phương trình này ta sẽ sử
h  a, b, c   m
dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE hoặc chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy
tính Casio
(Xem ví dụ minh họa 1, 2, 3, 4, 5, 6)
2. Kỹ thuật ép cận nguyên hàm: Cho nguyên hàm gốc  f  x  dx và nguyên hàm hệ quả

 f  u  t  dt

qua phép đổi biến x  u  t  . Để sử dụng được máy tính Casio ta ép hệ số cho


nguyên hàm gốc để trở thành tích phân xác định

 f  x  dx

. Vì nguyên hàm gốc và nguyên




hàm hệ quả là tương đương nên





'

f  x  dx   f  u  t   dx (  ',  ' là 2 cận mới)
'

(Xem ví dụ minh họa 7,8,9)
2) VÍ DỤ MINH HỌA
4
dx

VD1. Biết  2
 a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c
x x
3
A. S  6

B. S  2

4



Tính tích phân

x
3

C. S  2
D. S  0
(Câu 26 Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017)
Lời giải:

dx
và lưu vào biến A
x

2

ya1RQ)d+Q)R3E4= qJz



Khi đó A  a ln 2  b ln 3  c ln 5  A  ln  2a.3b.5c   2a.3b.5c  e A 

QK^Qz=

16
15

Trang 1/15


16 2.2.2.2

 2 4.31.51  2 a.3b.5c  a  4; b  1; c  1  S  2
15
3.5
 Đáp số chính xác là B

Dễ thấy

2

VD2. Cho I   ln  x  1 dx  a ln 3  b ln 2  c  a, b, c  Z  . Tính giá trị của biểu thức
1

A  abc
A. 0

B. 1

C. 2
D. 3
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)
Lời giải:
2

 Tính giá trị tích phân I   ln  x  1 dx rồi lưu giá trị này vào biến A
1

yhQ)+1)R1E2=qJz

eA
ec
eA
a b
a b
Để tính được 3 .2 ta sử dụng chức năng MODE 7 với hàm f  X   3 .2  c
e
w7aQK^QzRQK^Q)==p9=10=1=

 Khi đó a ln 3  b ln 2  c  A  ln(3a.2b.ec )  ln e A  3a.2b.ec  e A  3a.2b 

Quan sát màn hình xem giá trị nào của f  X  (cũng là của 3a.2b ) là số hữu tỉ thì nhận
Dễ thấy với X  c  1 thì 3a.2b  6.75 

27
 33.2 2  a  3; b  2
4

Tóm lại a  b  c  3  2  1  0
 Đáp án A là đáp án chính xác.

2

VD3. Cho I  


sin x  cos x
dx   a  b  ln 3  c ln 2  a, b, c  Q  . Tính giá trị của biểu thức :
sin x  cos x

4

A  abc

A. 0

B.

1
2

1
D. 2
3
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)
Lời giải:

C.


2

 Tính giá trị tích phân I  


sin x  cos x
dx rồi lưu giá trị này vào biến A
sin x  cos x

4

yajQ))pkQ))RjQ))+kQ))R
Trang 2/15


aqKR4EEaqKR2=qJz

 Khi đó  a  b  ln 3  c ln 2  A  ln(3a b.2c )  ln e A . Mà ta tính được e A  2

QK^Qz=

a b

c

0

1

2

 3 .2  2  3 .2  a  b  0; c 

1
2

1 1

2 2
 Đáp án B là đáp án chính xác.

Tóm lại a  b  c  0 


4

VD4 . Cho I   sin 4 xdx   a  b

 a, b  Q  . Tính giá trị của biểu thức

A ab

0

A.

11
32

B. 

5
32

C. 4

D. 7

(Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)
Lời giải:
2

 Tính giá trị tích phân I   ln  x  1 dx rồi lưu giá trị này vào biến A
1

yjQ))^4R0EaqKR4=qJz

 a  b  A

 Khi đó  a  b  A . Nếu đáp số A đúng thì hệ 
11 có nghiệm hữu tỉ (thuộc
a  b  32
Q)

==$$Rp5P32==

3
1
; b   là các số hữu tỉ

32
4
 B là đáp án chính xác

Rõ ràng a 

Trang 3/15



4

VD5. Cho I   x 1  sin 2 x  dx 

2 a

0

thức A  a  b
A. 20

b

B. 40

  a, b, c  Z  với

a
là phân số tối giản. Tính biểu
b

C. 60
D. 10
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)
Lời giải:

4

 Tính giá trị tích phân I   x 1  sin 2 x  dx rồi lưu giá trị này vào biến A
0

yQ)(1+j2Q)))R0EaqKR4=q
Jz

 Khi đó

2 a

 A . Nếu đáp số A đúng thì a  b  20  b  20  a  A 

2 a

b
20  a
Sử dụng chức năng SHIFT SOLVE để tìm a (với a là số nguyên )
QzQraqKd+Q)R20pQ)qr=
10=

Kết quả không ra một số nguyên  Đáp số A sai
 Nếu đáp số B đúng thì a  b  40  b  40  a  A 

2 a
40  a

$$$$R$4qr=20=

Vậy a  8  b  32
 Đáp án A là đáp án chính xác
2

VD6. Cho I   x3 ln 2 xdx 
1

thức A  a  b
A. 15

ae4  b
c

B. 28

 a, b, c  Z 

với

a b
; là các phân số tối giản. Tính biểu
c c

C. 36

D. 46
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)
Lời giải:

2

 Tính giá trị tích phân I   x3 ln 2 xdx rồi lưu giá trị này vào biến A
1

Trang 4/15


yQ)(1+j2Q)))R0EaqKR4=
qJz

ae 4  b
 A . Nếu đáp số A đúng thì c  15  a  b
c
 15 A  a. A  b. A  a.e 4  b
15 A  a. A  a.e 4
b
A 1
Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm a (với a là số ngun )
w7a15QzpQzQ)pQK^4$Q)R

 Khi đó

Qz+1==p9=10=1=

Kết quả khơng tìm ra một số nguyên  Đáp số A sai

36 A  a. A  a.e 4
 Tương tự như vậy với đáp số C đúng thì  b 
A 1
C$$$oo36=====

Ta tìm được nghiệm a  129 là một số hữu tỉ
 Đáp án C là đáp án chính xác

2

VD7. Cho tích phân I   esin x sin 2 xdx . Nếu đổi biến số t  sin x thì :
0


2

A. I   e t .t.dt
0

1

1

B. I   e t .t.dt
0

C. I  2  e t .t.dt
0



2

D. I  2  e t .t.dt
0

(Trích đề thi ĐH khối B năm 2005)
Lời giải:

2

 Tính giá trị tích phân I   esin x sin 2 xdx
0

yQK^jQ))$j2Q))R0EaqKR
2=

Trang 5/15


 Nếu đáp án A đúng thì giá trị tích phân ở câu A phải giống giá trị tích phân ở đề bài và

2

cùng bằng 2. Tính I   e t .t.dt
0

yQK^Q)$Q)R0EaqKR2=

Kết quả ra một số khác 2  Đáp số A sai
1

 Tương tự như vậy với đáp số C thì I  2  e t .t.dt  2
0

2yQ)QK^Q)R0E1=

 Đáp án C là đáp án chính xác
Chú ý : Đổi cận thì phải đổi biến  Dễ dàng loại được đáp án A và D
4

4x 1
dx thành tích phân
2x  1  2

VD8. Sử dụng phương pháp đổi biến đưa tích phân I  
0

5

 f  t  dt

. Khi đó f  t  là hàm nào trong các hàm số sau ?

3

A. f  t  
C. f  t  

2t 2  3
t2

B. f  t  

2t 2  3
2 t  2

D. f  t  

 2t

 2t

2



 8t  3  t  2 
t

2



 8t  3  t  2 
2t

(Trích đề thi ĐH khối D năm 2011)
4

 Tính giá trị tích phân I  

0

Lời giải:
4x 1
dx
2x  1  2

ya4Q)p1Rs2Q)+1$+2R0E4=

Trang 6/15


 Nếu đáp án A đúng thì f  t  

2t 2  3
và giá trị tích phân
t2

5

5

2t 2  3
2t 2  3
dt  6.2250... điều này là sai vì I  
dt  9.6923...
t2
t2
3
3

I 

ya2Q)dp3RQ)+2R3E5=

Kết quả ra một số khác 2  Đáp số A sai
 Tương tự như vậy với đáp số B chính xác
ya(2Q)dp8Q)+5)(Q)p2)RQ
)R3E5=

VD9. Nếu sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm, ta đặt t  3 1  ln x thì nguyên hàm
của

ln x. 3 1  ln x
dx có dạng :

x

A.  3t 3  t 3  1 dt

B.  t 3  t 3  1 dt

C.  3t 3  t 3  1 dt

D.  t 3  t 3  1 dt

Lời giải:
 Để có thể sử dụng máy tính Casio ta phải tiến hành chọn cận để đưa nguyên hàm (tích
phân bất định) trở thành tích phân (tích phân xác định) Ta chọn hai cận là 1 và e7 .
Tính giá trị tích phân

e7

ln x. 3 1  ln x
dx  43.1785...
1
x
ahQ))Oq^3$1+hQ))RQ)R1E

QK^7=

 x  1  t  3 1  ln1  1
 Khi tiến hành đổi biến thì ta phải đổi cận : 
Nếu đáp án A
 x  e7  t  3 1  ln 37  2
đúng thì giá trị tích phân ở câu A phải giống giá trị tích phân ở đề bài . Tính
2





I   3t 3 t 3  1 dt
1

yQK^Q)$Q)R0EaqKR2=

Trang 7/15


Kết quả ra một số khác 2  Đáp số A sai

1

 Tương tự như vậy với đáp số C thì I  2  e t .t.dt  2
0

y3Q)^3$(Q)^3$p1)R1E2=n

 Đáp án A là đáp án chính xác
Chú ý : Ta có thể chọn cận nào cũng được khơng nhất thiết phải là 1 và e7 (chỉ cần
thỏa mãn tập xác định của hàm số là được)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Trang 8/15



4

Bài 1. Cho tích phân

 tan

2

xdx  a  b

 a, b  Q  . Tính giá trị của biểu thức

P  ab

0

A. P 

5
4

B. P 

3
4

C. P 

1
4

D. P 

11
4

(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
1 x
Bài 2. Cho tích phân  a, b  Q   2 e x dx  a.e2  b.e  a, b  Q  . Tính giá trị của biểu thức
x
1
P  ab
A. P  1

B. P  0.5
C. P  1
D. P  2
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
2


2

cos 3 x  2 cos x
 2  3sin x  cos 2 x dx  a ln 2  b ln 3  c  a, b, c  Z  .

Bài 3. Cho tích phân

Tính

0

P  abc
A. P  3

B. P  2
C. P  2
D. P  1
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
4

Bài 4. Cho tích phân

 2x

1

2

dx
 a ln 2  b ln 5  c ln11  a, b, c  Z  . Tính giá trị của biểu
 5x  3

thức P  a  b  c
A. P  1

B. P  3
C. 2
D. 0
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
2 2
x  2x  2
Bài 5. Cho tích phân 
dx  a ln 2  b ln 3  c  a, b, c  Z  . Tính giá trị của biểu
x2  x
1
thức P  a  b  c
A. P  3
B. P  2
C. 4
D. 1
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Bài 6. Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t  x 2  1
2

I



2
3

dx
x x2 1
2

A.


2

đưa tích phân

thành tích phân nào sau đây ?
1

dt
2
t 1

B.

dt
2
t 1


1

2

C.

 t t

2

2

3

3

1

dt
1



D.

 t t
1

dt
2

1



3

3

(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Bài 7. Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t  1  3cos x đưa nguyên hàm
sin 2 x  sin x
I 
dx thành nguyên hàm nào sau đây ?
1  3cos x
A.



2t 2  1
t

dt

B.

1 2t 2  1
dt

9
t

C.



2t  1
t

dt

D.

1 2t  1
dt
9
t

(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)

Trang 9/15


Bài 8. Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t  1  3cos x
sin 2 x  sin x
I 
dx thành nguyên hàm nào sau đây ?
1  3cos x
A.



2t 2  1
t

dt

B.

1 2t 2  1
dt
9
t

C.



2t  1
t

dt

D.

đưa nguyên hàm

1 2t  1
dt

9
t

(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)

Trang 10/15


LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

4

Bài 1. Cho tích phân

 tan

2

xdx  a  b

 a, b  Q  . Tính giá trị của biểu thức

P  ab

0

A. P 

5
4

B. P 

3
4

C. P 

1
4

D. P 

11
4

(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Lời giải:

4

 Tính giá trị tích phân

 tan

2

xdx rồi lưu vào biến A

0

qw4ylQ))dR0EaqKR4=qJz

a  b  A

 Nếu đáp số A đúng ta có hệ phương trình 
5  a  1.7334... khơng phải là số hữu
a

b


4
tỉ  Đáp số A sai
w511=qK=Qz=1=1=5P4==

a  b  A
a  1

 Tương tự như vậy với đáp án B ta có hệ phương trình 
.  B là đáp số
3 
b

2
a

b




4
chính xác
==$$R3P4===

2

Bài 2. Cho tích phân  a, b  Q 
P  ab
A. P  1

1 x x
e dx  a.e2  b.e  a, b  Q  . Tính giá trị của biểu thức
2
x
1



B. P  0.5
C. P  1
D. P  2
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Lời giải:
2

 Tính giá trị tích phân

1 x x
e dx rồi lưu vào biến A

x2
1



ya1pQ)RQ)d$QK^Q)R1E2=qJz
Trang 11/15


ae 2  be  A
a  0.5
 Với đáp số A ta có hệ phương trình 

b  1
a  b  0.5
w51QKd=QK=Qz=1=1=0.5===

 Đáp số A chính xác

2

Bài 3. Cho tích phân

cos 3 x  2 cos x
 2  3sin x  cos 2 x dx  a ln 2  b ln 3  c  a, b, c  Z  .

Tính

0

P  abc
A. P  3

B. P  2
C. P  2
D. P  1
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Lời giải:

2

 Tính giá trị tích phân

cos 3 x  2 cos x

 2  3sin x  cos 2 x dx

rồi lưu vào biến A

0

yak3Q))+2kQ))R2+3jQ))pk2
Q))R0EaqKR2=qJz

 Vậy a ln 2  b ln 3  c  A  ln  2 a.3b.ec   ln  e A   2a.3b 

eA
. Tìm 2 a.3b bằng chức năng
c
e

lập bảng giá trị MODE 7 với biến X  c
w7aQK^QzRQK^Q)==p9=10=1=

Ta được 2a.3b  18 với X  c  2 . Vậy 18  2.32  2a.3b  a  1; b  2
 P  a  b  c  1  2  2  1  Đáp số chính xác là D
4

Bài 4. Cho tích phân

 2x
1

thức P  a  b  c
A. P  1

2

dx
 a ln 2  b ln 5  c ln11  a, b, c  Z  . Tính giá trị của biểu
 5x  3
B. P  3
C. 2
D. 0
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Lời giải:
Trang 12/15


4

 Tính giá trị tích phân

 2x

2

1

dx
 rồi lưu vào biến A
 5x  3

ya1R2Q)d+5Q)+3R1E4=qJz

 Vậy a ln 2  b ln 5  c ln11  A  ln  2a.5b.11c   ln  e A 
25 5.5

 52.2 1.111 .
22 2.11
Rõ ràng a  1; b  2; c  1  P  a  b  c  1  2  2  1
 Đáp số chính xác là D
 2a.5b.11c  e A 

2

Bài 5. Cho tích phân

x2  2x  2
1 x 2  x dx  a ln 2  b ln 3  c

 a, b, c  Z 

. Tính giá trị của biểu

thức P  a  b  c
A. P  3

B. P  2
C. 4
D. 1
(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Lời giải:
4
dx
 Tính giá trị tích phân  2
 rồi lưu vào biến A
2x  5x  3
1

yaQ)d+2Q)+2RQ)d+Q)R1E2=q
Jz

eA
 Vậy a ln 2  b ln 3  c  A  ln  2 .3 .e   ln  e   2 .3 .e  e  2 .3  c . Tìm 2 a.3b
e
bằng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với biến X  c .
w7aQK^QzRQK^Q)==p9=10=1=
a

b

c

A

a

b

c

A

a

b

8
 23.31  a  3; b  1 với X  c  1 .
3
 P  a  b  c  3  1  1  3  Đáp số chính xác là A

Ta được 2a.3b  2.66  6  

Bài 6. Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t  x 2  1
2

I



2
3

dx
x x2 1

đưa tích phân

thành tích phân nào sau đây ?

Trang 13/15


2

A.


2

1

dt
2
t 1

B.

2

dt
2
t 1


1

C.

 t t

2

2

3

3

1

dt
1

D.



 t t
1

dt
2

1



3

3

(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Lời giải:
2

 Tính giá trị tích phân I 



2
3

dx
2



x x 1


12

ya1RQ)sQ)dp1Ra2Rs3EEs2=

Tích phân nào có giá trị bằng
1

t
1


12

thì đó là đáp án đúng. Ta có đáp án B có giá trị :

dt


 1 12

2

3

qw4ya1RQ)d+1Ra1Rs3EE1=

 Đáp số chính xác là A

Chú ý : Giá trị tích phân không thay đổi theo phép đổi biến (đặt ẩn phụ)
Bài 7. Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t  1  3cos x
sin 2 x  sin x
I 
dx thành nguyên hàm nào sau đây ?
1  3cos x
A.



2t 2  1
t

dt

B.

1 2t 2  1
dt
9
t

C.



2t  1
t

dt

đưa nguyên hàm

D.

1 2t  1
dt
9
t

(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)
Lời giải:


 Chọn cận 0 và


2

2

sin 2 x  sin x
dx
1  3cos x
0

. Tính giá trị tích phân I  

yaj2Q))+jQ))Rs1+3kQ))R0E
aqKR2=

 x  0  t  1  cos 3x  4
 Tiến hành đổi biến thì phải đổi cận 
x    t  1

2
Trang 14/15


 Với đáp số D ta có 

1 1 2t  1
dt
9 4 t

a1R9$yap2Q)p1RsQ)R4E1=nn

 Đáp số chính xác là D
Chú ý : Chọn cận thế nào cũng được tuy nhiên nên chọn cận x sao cho t đẹp.

Trang 15/15