Đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán và bài giải chi tiết (đề 1)

Giáo viên:Tôn Nữ Bích Vân
ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10
Đề 1
Bài 1: Cho biểu thức K =








−
+
+








−
−
−
1a
2
1a
1
:

aa
1
1a
a
a. Rút gọn biểu thức K
b. Tính giá trị của K khi
223a
+=
c. Tìm các giá trị của a sao cho K < 0
Bài 2: Cho phương trình: x
2
- 2(m-3)x - 2(m-1) = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi
giá trị của m;
b) Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của
x
1
2
+ x
2
2
.
Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất
định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt
mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120
sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

Bài 4: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, A = 45
0
. Vẽ các đường
cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn.
b. Chứng minh: HD = DC
c. Tính tỉ số:
BC
DE
d. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA
vuông góc với DE.
Bài 5: Cho a, b là các số thực dương.
Chứng minh rằng:
( )
ab2ba2
2
ba
ba
2
+≥
+
++
1
Giáo viên:Tôn Nữ Bích Vân
Bài giải:
Bài 1: Điều kiện a > 0 và a
≠
1
K =









−+
+
+








−
−
−
)1a)(1a(
2
1a
1
:
)1a(a
1
1a
a

=
)1a)(1a(
1a
:
)1a(a
1a
−+
+
−
−
=
a
1a
)1a(.
)1a(a
1a
−
=−
−
−
b.
21a)21(223a
2
+=⇒+=+=
K =
2
21
)21(2
21
1223

=
+
+
=
+
−+
c. K < 0
0
a
1a
<
−
⇔

⇔



>
<−
0a
01a

⇔

1a0
0a
1a
<<⇔




>
<
Bài 2:
a)
'
∆
= m
2
- 4m + 7 = (m-2)
2
+ 3 > 0 : Phương trình luôn có 2 nghiệm phân
biệt với mọi giá trị của m.
b) Áp dụng hệ thức Viet: x
1
+x
2
= m - 3
x
1
x
2
= - 2(m - 1)
Ta có: x
1
2
+ x
2
2

= (x
1
+ x
2
)
2
- 2 x
1
x
2
= 4(m - 3)
2
+ 4(m - 1)
= 4m
2
- 20m + 32
=(2m - 5)
2
+ 7
≥
7
Đẳng thức xảy ra
⇔
2m – 5 = 0
⇔
m = 2,5
Vậy giá trị nhỏ nhất của x
1
2
+ x

2
2
là 7 khi m = 2,5
Bài 3:
Gọi x, y là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch (điều kiện x, y
∈
N
*
;
x, y < 600).
2
Giáo viên:Tôn Nữ Bích Vân
Theo giả thiết ta có phương trình x + y = 600
Số sản phẩm tăng của tổ I là:
x
100
8
(sản phẩm)
Số sản phẩm tăng của tổ II là:
y
100
21
( sản phẩm)
Từ đó có phương trình thứ hai:
+
x
100
18
120y
100

21
=
Do đó x và y thỏa mãn hệ phương trình:





=+
=+
120y
100
21
x
100
18
600yx
Giải ra được x = 200, y = 400( thỏa điều kiện )
Vậy: Số sản phẩm được giao của tổ I, tổ II theo kế hoạch thứ tự là 200
và 400 sản phẩm
Bài 4:
a. Ta có ADH = AEH = 90
0
, suy ra AEH +ADH = 180
0

Tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH.
b. AEC vuông có EAC= 45
0
nên ECA = 45

0
, từ đó HDC vuông
cân
tại D.
Vậy DH = DC
c)Ta có BEC = BDC = 90
0
nên tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn
đường
kính BC AED = ACB (cùng bù với DEB) suy ra AED ACB,
3
Giáo viên:Tôn Nữ Bích Vân
do đó:
2
2
2.AE
AE
AC
AE
BC
DE
===
d. Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O),
ta có BAx = BCA (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp
cùng chắn cung AB) ,
mà BCA = AED
B Ax =AED mà chúng là cặp góc so le trong do đó DE
Ax.
Mặt khác, OA
⊥

Ax ( Ax là tiếp tuyến),
Vậy OA ED (đpcm)
Bài 5 :Ta có :
0
2
1
a
2
≥






−
;
0
2
1
b
2
≥






−

, với mọi a , b > 0
0
4
1
bb;0
4
1
aa
≥+−≥+−⇒

0
4
1
bb
4
1
aa
≥+−++−⇒
0ba
2
1
ba
>+≥++⇒
Mặt khác
( )
0ab2ba0ba
2
>≥+⇔≥−

Nhân từng vế ta có :

( )
( )
baab2
2
1
baba
+≥






+++

hay:
( )
ab2ba2
2
ba
ba
2
+≥
+
++

4