Đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán và bài giải chi tiết số 2

Giáo viên:Tôn Nữ Bích Vân
ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10
ĐỀ SỐ 2
Bài 1: Cho biểu thức:
)
x
2
x2x
1x
(:)
x4
x8
x2
x4
(P −
−
−
−
+
+
=
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của x để P = –1.
Bài 2: Cho hệ phương trình:





=−
=

335
3
y
2
x
1 y -mx
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1.
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 3: Cho parabol (P) : y = – x
2
và đường thẳng (d) có hệ số góc m đi qua
điểm M(– 1 ; – 2) .
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai
điểm A, B phân biệt.
b) Xác định m để A, B nằm về hai phía của trục tung.
Bài 4:
Cho phương trình : x
2
– 2(m – 1)x + m
2
– 3 = 0 (1) ; m là tham số.
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này
bằng ba lần nghiệm kia.
Bài 5:
Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O
sao cho AI =
3
2
AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý

thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN
tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM và
AM
2
= AE.AC
c) Chứng minh: AE.AC – AI.IB = AI
2
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
1
Giáo viên:Tôn Nữ Bích Vân
Giải:
Bài 1:
a. P =
)2x(x
)2x(2)1x(
:
)x2)(x2(
x8)x2(x4
−
−−−
−+
+−

=
)2x(x
x3
:

)x2)(x2(
x4x8
−
−
−+
+
=
x3
)2x(x
.
)x2)(x2(
x4x8
−
−
−+
+
=
3x
x4
−
Điều kiện x > 0; x
≠
4 và x
≠
9
b. Với x > 0; x
≠
4 và x
≠
9; P = –1 khi và chỉ khi:

1
3x
x4
−=
−

hay: 4x +
x
– 3 = 0.
Đặt y =
x
> 0 ta có: 4y
2
+ y – 3 = 0 có dạng a – b + c = 0

⇒
y = –1 ; y =
4
3

Vì y > 0 nên chỉ nhận y =
4
3
nên
x
=
4
3
Vậy: P = –1
⇔

x =
16
9
Bài 2:
a. Khi m = 1 ta có hệ phương trình:





=−
=−
335
3
y
2
x
1yx



=
=
⇔



=−
=−
⇔




=−
=−
⇔
2007y
2008x
2010y2x3
2y2x2
2010y2x3
1yx
Vậy với m = 1 hệ phương trình đã cho có nghiệm



=
=
2007y
2008x

b.
2
Giáo viên:Tôn Nữ Bích Vân







−=
−=
⇔





=−
=−
1005x
2
3
y
1mxy
335
3
y
2
x
1ymx
(*)
Hệ phương trình vô nghiệm
⇔
(*) vô nghiệm
⇔
m =
2
3
(vì đã có –1

≠
–1005)
Bài 3:
a) Đường thẳng (d) có hệ số góc m có dạng y = mx + b và (d) đi qua
điểm M(– 1 ; – 2) nên: – 2= m(– 1) + b
⇔
b = m – 2
Vậy: Phương trình đường thẳng (d) là y = mx + m – 2.
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
– x
2
= mx + m – 2

⇔
x
2
+ mx + m – 2 = 0 (*)
Vì phương trình (*) có
04)2m(8m4m
22
>+−=+−=∆
với mọi m nên phư-
ơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) luôn cắt nhau
tại hai điểm phân biệt A và B.
b) A và B nằm về hai phía của trục tung
⇔
x
2
+ mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu
⇔

x
1
x
2
< 0.
Áp dụng hệ thức Vi-et: x
1
x
2
= m – 2
x
1
x
2
< 0
⇔
m – 2 < 0
⇔
m < 2.
Vây: Để A, B nằm về hai phía của trục tung thì m < 2.
Bài 4: Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
∆
’
≥
0.
⇔
(m – 1)
2
– m
2

+ 3
≥
0
⇔
4 – 2m
≥
0
⇔
m
≤
2.
b) Với m
≤
2 thì (1) có 2 nghiệm.
Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a .
Áp dụng hệ thức Vi-et ,ta có:

2
3 2 2
.3 3
a a m
a a m
+ = −


= −

3
Giáo viên:Tôn Nữ Bích Vân
⇒

a =
1
2
m −

⇒
3(
1
2
m −
)
2
= m
2
– 3
⇔
m
2
+ 6m – 15 = 0

'∆
= 9 –1.(–15) = 24 ;
62' =∆
m
1
=
623+−
; m
2
=

623−−
( thỏa mãn điều kiện m
≤
2).
Vậy: Với m
1
=
623+−
; m
2
=
623−−
thì phương trình (1) có hai
nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Bài 5:
a. Ta có: EIB = 90
0
(giả thiết)
ECB = 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy: tứ giác IECB là nội tiếp đường tròn đường kính EB
b. Ta có:
sđ AM = sđ AN (đường kính MN
⊥
dây AB)

⇒
AME = ACM (góc nội tiếp)
Lại có A chung, suy ra AME ACM

Do đó:
AC.AEAM
AE
AM
AM
AC
2
=⇔=
c. MI là đường cao của tam giác vuông MAB nên MI
2
= AI.IB
Trừ từng vế của hệ thức ở câu b với hệ thức trên
Ta có: AE.AC – AI.IB = AM
2
– MI
2
= AI
2
d. Từ câu b suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác
Ta thấy khoảng cách NK nhỏ nhất khi và chỉ khi NK
⊥
BM.
Dựng hình chiếu vuông góc của N trên BM ta được K. Điểm C là giao
của đường tròn tâm O với đường tròn tâm K, bán kính KM.
4