LÝ THUYẾT THÔNG TIN CHƯƠNG IV: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC

Chương 4. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIỀN
TẦN SỐ RỜI RẠC
Việc phân tích tín hiệu rời rạc theo miền thời gian trong miền tần số thông
thường được thực hiện rất hiệu quả và tiện lợi bằng bộ vi xử lý tín hiệu số. Bộ vi xử lý
này có thể là máy tính được sử dụng cho các mục đích chung hoặc là thiết bị số
chuyên dụng. Để thực hiện việc phân tích rời rạc theo thời gian, tín hiệu x(n) cần được
chuyển từ miền thời gian sang miền tần số tương ứng thông qua biến đổi Fourier X(e jω)
của dãy. Tuy vậy, X(ejω) là hàm liên tục của biến tần số nên có thể thấy việc xử lý bằng
máy tính của cách này không thuận tiện.
Để tránh nhược điểm nêu trên có thể đưa ra một cách biểu diễn khác của x(n) –
Biểu diễn thông qua việc lấy mẫu phổ X(e jω) của tín hiệu. Như vậy từ biểu diễn của tín
hiệu trong miền tần số liên tục ta đã đưa đến biến đổi Fourier rời rạc (DFT). Biến đổi
này là công cụ rất hiệu quả trong việc phân tích các tín hiệu rời rạc theo thời gian. Ta
có mối quan hệ giữa biến đổi Fourier rời rạc với các biến đổi khác như sau:
Hình 4.1. Mối quan hệ giữa biến đổi Fourier rời rạc với các biến đổi khác
Biến đổi Z

ZT
IZT
Tín hiệu và hệ thống trong
miền thời gian rời rạc

DFT
IDFT

Biến đổi Fourier trong miền
tần số rời rạc k

IFT
FT

Biến đổi Fourier trong miền
tần số liên tục ω
Nội dung chính của chương này bao gồm:
- Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn có chu kỳ N;
- Biến đổi Fourier rời rạc của dãy không tuần hoàn có chiều dài N;
- Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc với dãy tuần hoàn và không tuần
hoàn;
- Các phương pháp biến đổi nhanh Fourier (FFT).
4.1. BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC ĐỐI VỚI CÁC DÃY TUẦN HOÀN CÓ
CHU KỲ N
4.1.1. Các định nghĩa
Trước khi nghiên cứu DFT, ta hãy xét việc lấy mẫu của biến đổi Fourier đối với
dãy tín hiệu rời rạc theo thời gian không tuần hoàn và qua đây có thể thiết lập được
quan hệ giữa biến đổi Fourier đã được lấy mẫu và DFT
a. Lấy mẫu trong miền tần số và khôi phục lại tín hiệu rời rạc theo thời gian
Nhắc lại rằng, tín hiệu năng lượng hữu hạn không tuần hoàn có phổ liên tục. Ta
xét một tín hiệu rời rạc không tuần hoàn x(n) có biến đổi Fourier là:


X(e j  ) 

�

�x(n)e

 jn

(4.1)
Giả sử ta lấy mẫu X(e ) một cách tuần hoàn trong miền tần số với khoảng
cách lấy mẫu là 𝛿𝛿 (radians). Vì X(ejω) tuần hoàn với chu kỳ 2π nên chỉ cần khảo

sát các mẫu trong một chu kỳ cơ bản, ta lấy N mẫu cách đều trong khoảng -π ≤ ω
≤ 𝛿, khoảng cách lấy mẫu tương ứng là δω (hình 4.2)
n �

jω

|X(ejω)|
X(kδω)

-π
δω

π

ω

Hình 4.2. Lẫy mẫu trong miền tần số của biến đổi Fourier.
Giá trị của X(ejω) ở các tần số ω k =2kπ/N là :
X(2k / N) 

�

�x(n)e

 j2 

kn
N

, k  0,1,..., N  1

(4.2)
Tổng trong biểu thức (4.2) có thể chia thành tổng của vô số tổng con như
n �

sau:
kn
kn
kn
1
N 1
2N 1
 j2 
 j2 
 j2 
2k
N
N
X(
)  ...  �x(n)e
 �x(n)e
 �x(n)e N
N
n  N
n 0
nN
kn
� lN  N 1
 j2 
2k

X(
)  � � x(n)e N
N
l � n  lN

Đổi biến m = n - lN hay n = m + lN, ta được:
X(

km
km
� N 1
� N 1
 j2 
 j2 
2
N  j2 kl
N
k)  ��x(m  lN)e
e
 ��x(m  lN)e
N
l �m  0
l �m 0

Hoán đổi vị trí của 2 tổng và thay lại ký hiệu biến m bằng n, ta được:

X(

km
N 1

2k
��
� j2  N
)  ��
x(n

lN)
e
�
�
N
n 0 �
l �
�
, với k = 0, 1, 2, ... , N-1

(4.3)

Đặt:
x P (n) 

�

�x(n  lN)

l �

(4.4)
Tín hiệu xp(n) thu được bằng phép lặp tuần hoàn x(n) với mỗi đoạn N mẫu,
rõ ràng nó tuần hoàn với chu kỳ N. Vì vậy, nó có thể khai triển thành chuỗi Fourier.

N 1

x P (n)  �X k e

j2 

kn
N

, n  0,1, 2,..., N  1

k 0

(4.5)

Với các hệ số của chuỗi Fourier được xác định bởi :
Xk 

kn
 j2 
1 N 1
N
x
(n)e
; k  0,1, 2,..., N  1
�
P
N k 0

(4.6)

So sánh biểu thức (4.5) với biểu thức (4.6) ta thu được:
Xk 

1
2
X( k), k=0,1,2,...,N-1
N
N

(4.7)

Do đó:
x P (n) 

kn
j2 
1 N 1 2
N
X(
k)e
;n  0,1, 2,..., N  1
�
N n 0
N

(4.8)
Quan hệ (4.8) cho phép ta khôi phục x p(n) từ các mẫu của phổ X(ejω). Tuy

nhiên, nó chưa cho ta thấy khả năng khôi phục X( ejω) hay x(n) từ các mẫu của
X(ejω).
Để thiết lập công thức nội suy khôi phục X(ejω) hoặc x(n) từ các mẫu của
jω
X(e ) ta xét mối quan hệ giữa x(n) và x p(n).
Vì xp(n) là sự mở rộng tuần hoàn của x(n) từ biểu thức(4.4), nên ta có thể
khôi phục x(n) từ x p(n) nếu không có sự tạo ảnh hay chồng lấp trong miền thời
gian. Xét trường hợp x(n) là một dãy có độ dài hữu hạn và nhỏ hơn chu kỳ N của
xp(n). Giả sử các mẫu khác 0 của x(n) nằm trong khoảng 0 ≤n ≤ L-1 và L ≪ N thì:
x(n) = xp(n) ; 0 ≤ n ≤ N-1
Vì vậy x(n) có thể khôi phục từ x p(n) mà không bị nhầm lẫn.
Ngược lại nếu L > N, chiều dài của dãy x(n) lớn hơn chu kỳ của x p(n) ta
không thể khôi phục x(n) từ x p(n) bởi vì có sự chồng lấp trong miền thời gian.

Hình 4.3. Dãy mở rộng tuần hoàn xp(n) từ dãy không tuần hoàn x(n).


Kết luận: Phổ của một tín hiệu rời rạc không tuần hoàn có độ dài hữu hạn
x(n) hay chính x(n) có thể được khôi phục một cách chính xác từ các mẫu của phổ
ở các tần số, nếu chiều dài L của x(n) nhỏ hơn N, N là số mẫu được lấy trong
khoảng tần số 2π.
Khi đó xp(n) được tính từ phương (4.8) và x(n) được khôi phục như sau:

�x (n) n �[0, N  1]
x(n)  � P
0
n �[0, N  1]
�

(4.9)

Sau cùng X(ejω) có thể được tính từ biểu thức (4.1)
Phổ X(ejω) được xem như là một tín hiệu liên tục theo ω, nó có thể được biểu
2
X( k)
N
diễn bằng các mẫu
của nó k = 0, 1, ...., N-1. Giả sử rằng N ≫L, khi đó
x(n) = xp(n) với 0 ≤ n ≤ N-1, từ biểu thức (4.8) ta có:
x(n) 

1 N 1 �2 �j2  knN
�X � k �e ;0 �n �N  1
N k 0 �N �

(4.10)

Thay biểu thức (4.10) và biểu thức (4.1) ta được:

�1 N 1 �2 �j2  knN � jn
X(e )  �� �X � k �
e
e
�
N k 0 �N �
n 0 �
�
N 1

j

N 1
�1 N 1  j( 2 k/ N)n �
�2 �
 �X � k �
�N �e
�
�N �
k 0
� n 0
�

(4.11)
Tổng bên trong dấu ngoặc của biểu thức (4.11) là một hàm nội suy cơ bản
được dịch trong miền tần số. Thật vậy ta định nghĩa hàm:

P() 

1
N 1

N �e  jn



 jN

1 1 e
N 1  e  j

n 0

� N�
sin �
 �
2 �  j( N 1)/2
�

e
� �
N sin � �
�2 �

(4.12)
Biểu thức (4.10) được viết lại:
N 1

X(e j )  �X(

2
2
k)P( 
k)
N
N

(4.13)
Biểu thức (4.13) là công thức nội suy dùng để khôi phục X(e ) từ các mẫu
của nó.
Hình 4.4. Đồ thị của hàm [sin(ωN/2)]/[Nsin(ω/2)]

Ví dụ 4.1: Cho tín hiệu:
k 0

jω

x(n)  (0,5) n .u(n), 0 �n �9
Phổ của tín hiệu được lấy mẫu tại các tần số ωk = 2πk/N , k = 0,1,2,…,N-1. Hãy
xác định phổ sau khi được khôi phục từ các mẫu đối với N = 5 và N = 50
Giải: Biến đổi Fourier của chuỗi x(n) như sau:


�

X(e j )  �u(n)e  jn 
n 0

1
1  0,5.e j

Giả thiết rằng X(ejω) được lấy mẫu tại N tần số cách đều nhau ω k = 2πk/N , k=0,
1,…,N-1. Các mẫu phổ nhận được là:
2k
1
X(e j ) �X(
)
, k =0,1,...,N-1
N
1  0,5.e  j2 k / N
Phổ của tín hiệu x(n) sau khi khôi phục từ các mẫu với N = 5 và N = 50 như
trên hình 4.5. Với N = 5, khi khôi phục các mẫu xảy ra hiệu ứng chồng phổ (hình 4.5b)

và giảm hiệu ứng chồng phổ với N = 50 (hình 4.5c).

Hình 4.5 Phổ của x(n) sau khi được khôi phục từ các mẫu với N = 5 và N = 50
Dãy tuần hoàn xp(n) tương ứng với các mẫu X(2πk/N), k =0,1,2,..,N-1 có thể
nhận được từ công thức (4.4) hoặc (4.8). Ta có:
1 N 1 �2k �j2  knN
x(n)  x p (n)  �X � �
e
;n  0,1,..., N  1
N k  0 �N �
(4.14)
b. Biến đồi Fourier rời rạc (DFT)
Để xây dựng biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn, xuất phát từ chuỗi
Fourier của hàm liên tục tuần hoàn xp(t).


Xét hàm liên tục tuần hoàn xp(t), có chu kỳ To  2 / o . Nếu xp(t) thỏa mãn các
điều kiện Dirichlet, thì có thể khai triển xp(t) thành chuỗi Fourier:
x p (t) 
*

Ck 

1
T0

T
2

�x (t).e

p

�

*

�Ck .e jk0t

(4.15)

k �

 jk0 t

dt

T

2

Với các hệ số :
(4.16)
Nếu hàm liên tục tuần hoàn xp(t) có phổ hữu hạn f < fmax , thì có thể rời rạc hóa
xp(t) với chu kỳ T sao cho N.T = To , và T thỏa mãn điều kiện của định lý lấy mẫu
T≤1/2 fmax. Theo định lý lấy mẫu, hàm tuần hoàn xp(t) xác định tại các giá trị rời rạc t =
nT và tạo thành dãy rời rạc tuần hoàn xp(nT), do đó có thể viết lại (4.15) dưới dạng:
x p (t) 

�

*

�C .e
k

jk0 nT

k �

Vì T = T0/N = 2π/ω0N nên:

x p (nT) 

�

*

�Ck .e

jk0 n

2
N0



k �

�

*

�Ck .e

jk

2
n
N

k �

Khi thực hiện chuẩn hóa chu kỳ lấy mẫu T = 1, thì xp(nT) = xp(n) và chu kỳ của
dãy tuần hoàn xp(t) là To = N, nên có:

x p (n) 

�

*

�C .e
k

k �

jk0 n

2
N0



�

*

�C .e
k

k �

jk

2
n
N

(4.17)

Hay:
x p (n) 

1 �
X p (k).e jk1n
�
N k �

(4.18)

Trong đó:
*
1
X p (k)  C k
N

(4.19)
Ở đây, Xp(k) là biên độ của các dao động điều hòa ứng với tần số góc ωk =kω1
nó là dãy phức. Còn 1 là tần số góc rời rạc cơ bản ứng với chu kỳ N của dãy tuần
2
1 
N
hoàn xp(t):
(4.20)
jk1n
Do dãy xp(t) và hàm e
đều tuần hoàn với chu kỳ N nên có thể viết lại (4.18)
cho một chu kỳ N:

x p (n) 

1 N 1
X p (k).e jk1n
�
N k 0

(4.21)
Biểu thức (4.21) chính là chuỗi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn xp(n) , hay
còn gọi là biến đổi Fourier rời rạc ngược.

Để tìm biểu thức của biến đổi Fourier rời rạc thuận, nhân cả hai vế của (4.21)
 jm1n
với thừa số e
, sau đó lấy tổng theo n = 0  (N - 1):
N 1

�x p (n)e jm1n 
n 0

1 N 1 N 1
X p (k).e jk1n .e  jm1n
�
�
N n 0 k 0
N 1

1 N1 j(k m) 1n
 �X p (k) �e
N k 0
n 0

(4.22)

Theo tính chất của hàm trực chuẩn có:

1 k=m
1 N 1 j(k m) 1n �
e
�

�
0 k �m
N k 0
�
nên từ (4.22) nhận được:
N 1

N 1

X p (k)  �x p (n).e  jk1n  �x p (n).e

 jk

2
n
N

(4.23)
Biểu thức (4.23) chính là biến đổi Fourier rời rạc thuận của dãy tuần hoàn xp(n).
Kết hợp cả hai biểu thức (4.21) và (4.23) nhận được cặp biến đổi Fourier rời rạc
của dãy tuần hoàn xp(n), trong đó Xp(k) là dãy phức của biến tần số góc rời rạc
k  k1 với  1 được xác định theo (4.20)
n 0

n 0

Vậy cặp biến đổi Fourier rời rạc thuận và ngược của dãy tuần hoàn x p(n) là:
N 1

x p (n) ���

� X p (k)  �x p (n).e
DFT
N

IDFT
X p (k) ���
� x p (n) 
N

j

2
kn
N

n 0

2
j kn
1 N1
N
X
(k).e
�
p
N k 0

(4.24)
(4.25)

Ta có thể biểu diễn Xp(k) dưới dạng Mô đun và Argumen như sau:
X p (k)  X p (k) .e j(k )  A p (k).e j (k )

(4.26)

Trong đó:
- Mô đun |Xp(k)| là dãy biên độ tần số rời rạc.
- Argumen φ(k) là dãy pha tần số rời rạc.
- Ap(k) là dãy độ lớn, còn θ(k) là dãy pha.
Ví dụ 4.1: Xác định Xp(k) của dãy tuần hoàn xp(n) = n (0≤n≤4), chu kỳ N = 4.
Giải: Theo công thức biến đổi Fourier rời rạc thuận (4.23) có:


N 1

X p (k)  �x p (n).e

j

2
kn
N

n 0

3

 �n.e

j

2
kn
N

n 0

3

k  0 � X p (0)  �n  6
n 0

3

k  1 � X p (1)  �n.e


j n
2

e

j


2

 2e

 j2.


2

 3e

 j3


2

 2  2j

n 0

3

k  2 � X p (2)  �n.e


 j2. n
2

 0  1  2  3  2

n 0
3

k  3 � X p (3)  �n.e


 j3. n
2

0e

 j3.


2

 2e


 j3. 2
2

 3e


 j3. 3
2

 j  2  3j  2  2 j

n 0

Trên hình 4.6 là đồ thị của dãy xp(n) = n có chu kỳ N = 4, và đồ thị của các dãy
biên độ tần sốXp(k), pha tần số φ(k).

Hình 4.6. Đồ thị các dãy xp(n), Xp(k), �(k) ở ví dụ 4.1.
Ví dụ 4.2: Tìm biến đổi Fourier của dãy tuần hoàn xp(n) = rect5(n), N = 10 và
vẽ phổ biên độ, phổ pha
Giải:
Theo công thức biến đổi Fourier rời rạc thuận (4.23) có:
N 1

X p (k)  �x p (n).e
n0

j

2
kn
N

9

 �rect 5 (n).e

j

2
kn
N

n 0


sin(k )  j 2  k

2 .e 5
 �e



2



j
k

jk
n0
1  e 10
1  e 5 sin(k )
5
Phổ pha và phổ biên độ tần số rời rạc của xp(n) như trên hình 4.7
4

j

2
kn
N

1 e

j

2
k5
10

1  e  jk


Hình 4.7. Đồ thị các dãy xp(n), Xp(k),�(k) ở ví dụ 4.2.
c. Quan hệ của DFT với các biến đổi khác
Quan hệ với các hệ số Fourier của dãy tuần hoàn:
Dãy tuần hoàn {xp(n)} với chu kỳ cơ bản N có thể được biểu diễn dưới dạng
chuỗi Fourier:
N 1

x p (n)  �c k e j2 kn / N , � n  �

(4.27)

k 0

Ở đây các hệ số của chuỗi Fourier được xác định bởi công thức:
ck 

1 N 1
x p (n)e  j2 kn/ N , k  0,1,..., N  1
�
N n 0

(4.28)

Nếu so sánh (4.27), (4.28) với (4.24), (4.25) ta có thể nhận thấy công thức dùng
để xác định các hệ số của chuỗi Fourier có dạng của DFT. Thật vậy, nếu định nghĩa
dãy x(n) = xp(n), 0≤n≤N-1 thì DFT của dãy sẽ được xác định theo công thức đơn giản:
(4.29)
X(k)  N.c k , k  0,1,..., N  1
Ngoài ra, cũng có thể thấy (4.27) có dạng của IDFT. Như vậy có thể đi đến một
kết luận rằng, DFT-N điểm sẽ cung cấp một cách chính xác phổ vạch của dãy tuần
hoàn với tần số cơ bản N.
Quan hệ với biến đổi Fourier với dãy không tuần hoàn:
Ta đã biết rằng, nếu x(n) là dãy không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn có biến
đổi Fourier X(ejω) được lấy mẫu ở N tần số cách đều nhau ω k = 2πk/N, k=0,1,…,N-1
thì các thành phần phổ:
X(k)  X(e j ) | 2 k/ N 

�

�x(n)e

 j2 kn/ N

,

k  0,1,..., N  1

(4.30)

n �

Chính là các hệ số DFT của dãy tuần hoàn với chu kỳ N:
x p (n) 

�

�x(n  lN)

l�

(4.31)


Theo công thức này thì xp(n) chính là xếp chồng với chu kỳ N của dãy x(n) và
dãy có độ dài hữu hạn:

x p (n), 0 �n �N-1
% �
x(n)
�
0,
n�
�
Có thể được sử dụng để xác định x(n). Cụ thể:
%
x(n)  x(n)
0 �n �N-1

(4.32)

(4.33)

Khi độ dài của chuỗi hữu hạn x(n) thỏa mãn điều kiện L ≤ N. Chỉ khi thỏa mãn

điều kiện này thì sẽ không xảy ra hiện tượng trùm thời gian và từ IDFT của {X(k)} ta
có thể khôi phục lại được dãy {x(n)}.
Quan hệ với biến đổi Z:
X(z) 

�

�x

p

(n)z  n

n �
Xét một dãy xp(n) có biến đổi Z:
, với ROC chứa vòng
tròn đơn vị. Nếu X(z) được lấy mẫu ở N điểm cách đều nhau trên vòng tròn đơn vị
zk = ej2πk/N, k = 0, 1, 2, …, N-1, ta thu được:

X p (k)  X(z)

z  e j2 kn / N

�



�x

p

(n)e  j2 nk / N

(4.34)
Ta thấy Xp(k) trong biểu thức (4.34) đồng dạng với biến đổi Fourier X(ejω)
được lấy mẫu ở N tần số cách đều nhau ω k = 2πk/N, k = 0, 1, 2, …, N-1, ngoại trừ
chỉ số trong tổng được lấy trong khoảng vô hạn.
Nếu dãy xp(n) tuần hoàn với chu kỳ N, biến đổi Z của nó có thể biểu diễn
như là một hàm của DFT Xp(k). Đó là:
n �

N 1
N 1
�1 N 1
�
X(z)  �x(n)z  n  �� �X(k)e j2 kn/ N �z  n
N k 0
n 0
n 0 �
�
N 1
N 1
n
1
 �X p (k)�e j2 k/ N .z 1
N k 0
n 0
 N N 1
X p (k)
1 z

X(z) 
�
N k 0 1  e j2 k/ N .z 1





(4.35)
Vì biến đổi Fourier là biến đổi Z lấy trên vòng tròn đơn vị, ta
có:
X(e j ) 

1  e  jN
N

N 1

X p (k)

�1  e

 j(  2 k / N)

(4.36)
Công thức(4.36) chính là công thức nội suy để khôi phục X(e ) từ DFT.
Ta đã thiết lập được các mối quan hệ giữa DFT với chuỗi fourier, biến đổi
Fourier và biến đôi Z của tín hiệu rời rạc theo thời gian. DFT là một dạng biểu diễn
đặc biệt của các biến đổi này, nên nó có các tính chất tương tự như biến đổi Fourier
và chuỗi Fourier, tuy nhiên, cũng tồn tại một vài sự khác biệt quan trọng.

Quan hệ với các hệ số chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục theo thời gian:
Giả sử xa(t) là tín hiệu tuần hoàn liên tục theo thời gian với chu kỳ cơ bản T p =
1/F0. Tín hiệu này có thể được biểu diễn bằng chuỗi Fourier:
k 0

jω


�

�c .e

x a (t) 

k �

k

j2 kF0 t

(4.37)

Với ck là các hệ số của chuỗi Fourier
Nếu xa(t) được lấy mẫu với tần số F LM =N/Tp = 1/T thì sẽ nhận được dãy rời rạc
theo thời gian:
x(n) �x a (t) 
N 1

�

�c k .e j2 kF0nT 

k �

�

�c .e

j2 kn/ N

k

k �

�

�
� j2 kn/ N
 ��
c k lN �
.e
�
k 0 �
l �
�

(4.38)
Rõ ràng (4.38) có dạng của công thức IDFT và nếu so sánh công thức này với
(4.24) ta sẽ có:
�

X  k   N �c k lN �Nc%
k

(4.39)

l �

Và:
c%
k 

�

�c

l �

k lN

(4.40)

%
Như vậy c k chính là xếp chồng của dãy {ck}
4.1.2. Một số tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần
hoàn có chu kỳ N
a. Tính tuần hoàn, tuyến tính và tính đối xứng
Tính tuần hoàn:
Dãy xp(n) là dãy tuần hoàn với chu kỳ N, ta có:
x p (n)  x p (n  lN)

Ta có DFT của dãy xp(n) ta có:
N 1

X p (k)  �x p (n).e

j

2
kn
N

n 0

N 1

 �x p (n  lN).e
n 0

N 1

 �x p (n  lN).e

j

2
kn
N

.e

j

2
klN
N

n 0

j

2
k (n  lN)
N

 X p (k  lN)

Như vậy, nếu dãy xp(n) tuần hoàn với chu kỳ N có DFT là Xp(k) thì:
X p (k)  X p (k  lN)

(4.41)

tức là Xp(k) cũng tuần hoàn với chu kỳ là N
Tính tuyến tính:
Xét hai dãy tuần hoàn với chu kỳ N là x1p(n) và x1p(n) và xp(n) = ax1p(n) +
bx1p(n) ta có:
N 1

X p (k)  �[ax1p (n)  bx 2p (n)].e
n 0

j

2
kn
N


Nếu x1p(n), x2p(n) có DFT lần lượt là X1p(k) và X2p(k) thì ta có:
N 1

X p (k)  �ax1p (n).e

j


kn
N

N 1

 �bx 2p (n).e

n 0

N 1

 a.�x1p (n).e

j


kn
N

n 0


 j kn
N

n 0

N 1

 b.�x 2p (n).e

j


kn
N

n 0

 aX1p (k)  bX 2p (k)

(4.42)
Như vậy, nếu có một dãy rời rạc là tổng của hai dãy rời rạc thành phần thì biến
đổi DFT của nó sẽ là tổng DFT của hai dãy thành phần.
Tính đối xứng vòng của dãy:

Ta đã biết bản chất của dãy tuần hoàn x p(n) chính là xếp chồng của dãy có
chiều dài hữu hạn x(n) (chiều dài của dãy là L) với chu kỳ N. Do đó, phép dịch
vòng của tín hiệu x p(n) là phép dịch các mẫu, trong đó các mẫu bị ra khỏi đoạn (0,
…,L-1) sẽ quay trở lại đầu kia và tuần hoàn với chu kỳ N.
Ta có:
x p (n) 

�

�x(n  lN)

(4.43)
Giả sử dãy tuần hoàn x p(n) được dịch đi m đơn vị về bên phải. Khi đó ta sẽ
nhận được một dãy trễ tuần hoàn x’ p(n):
l �

x 'p (n)  x p (n  m) 

�

�x(n  m  lN)

(4.44)
Hình 4.8 mô tả cách xây dựng dãy dịch vòng x’ p(n) từ dãy xp(n) với N =4 và
l �

m =2.

Hình 4.8 Minh họa phép dịch vòng xp(n-2)
Tính đối xứng của DFT:

Tính đối xứng của DFT có thể nhận được bằng cách áp dụng phương pháp đã
được sử dụng đối với biến đổi Fourier. Giả sử dãy x p(n) và DFT của nó đều có giá trị
phức. Khi đó các dãy này có thể biểu diễn dưới dạng:


x p (n)  x r (n)  jx i (n)

(4.45)

X p (k)  X r (k)  jX i (k)

(4.46)

Thay biểu thức (4.45) vào công thức DFT ta thu được :
N 1
2kn
2 kn �
�
X r (k)  ��
x r (n) cos
 x i (n)sin
N
N �
�
x 0 �

(4.47)

2kn
2kn �

�
X I (k)  ��
x r (n)sin
 x i (n) cos
N
N �
�
x 0 �

(4.48)

N 1

Tương tự, thay biểu thức (4.46) vào công thức IDFT ta thu được :
x r (n) 

1 N 1 �
2kn
2kn �
X
(k)cos

X
(k)sin
�
r
i
N k 0 �
N
N �

�
�

x i (n) 

1 N 1 �
2kn
2kn �
X r (k)sin
 X i (k) cos
�
�
N k 0 �
N
N �
�

(4.49)

(4.50)
- Nếu xp(n) là dãy thực ta có:
Xp(N –k) = Xp*(k) = Xp(-k)
(4.51)
Kết quả là |X p(N – k)| = |X p(k)| và φ[Xp(N – k)] = - φ[Xp( k)]. Hơn nữa, x i(n)
= 0 và vì vậy x p(n) có thể xác định bằng biểu thức (4.49). Đây là một dạng khác của
IDFT.
- Nếu xp(n) là dãy thực và chẵn:
Nếu xp(n) là tín hiệu thực và chẵn, nghĩa là x i(n) = 0 và xp(n) = xp(N - n).
Thay vào biểu thức (4.49) ta có X i(k) = 0. Vì vậy công thức DFT trở
thành:

N 1

X p (k)  �x p (n) cos

2kn
N

(4.52)
Ta thấy Xp(k) cũng thực và chẵn. Hơn nữa, vì X i(k) = 0, nên công thức IDFT
trở thành:
n 0

1 N 1
2kn
x p (n)  �X p (k)cos
N k 0
N

(4.53)

- Nếu xp(n) là dãy thực và lẻ:
Nếu xp(n) là tín hiệu thực và lẽ, nghĩa là x i(n) = 0 và x(n) = -x(N - n). Thay
vào biểu thức (4.47) ta có X R(k) = 0. Vì vậy công thức DFT trở
thành:
N 1

X p (k)   j�x p (n)sin

2kn
N

(4.54)
Ta thấy Xp(k) là thuần ảo và lẻ. Hơn nữa, vì X r(k) = 0, nên công thức IDFT
trở thành:
n 0


x p (n)  j

1 N 1
2kn
X p (k)sin
�
N k 0
N

(4.55)

- Nếu x(n) là dãy thuần phức:
Trong trường hợp này x r(n) = 0 và x(n) = jx i(n). Khi đó biểu thức (4.47) và
(4.48) trở thành :
N 1
2kn �
�
X r (k)  ��
x i (n)sin
N �
�
n 0 �

(4.56)
N 1
2kn �
�
X i (k)  ��
x i (n) cos
N �
�
n 0 �

(4.57)
Ta thấy Xr(k) là lẻ và Xi(k) là chẵn.
Nếu xi(n) là lẻ, thì X i(k) = 0 và vì vậy X p(k) là thuần thực. Ngược lại, nếu
Xi(n) là chẵn, thì X i(k) = 0 và vì vậy X p(k) là thuần phức. Tính chất đối xứng được
tổng kết trong bảng 4.1.
Bảng 4.1. Tính chất đối xứng của Xp(k)
x(n)

X(k)

Thực

Phần thực là chẵn
Phần ảo là lẻ

Phức

Phần thực là lẻ
Phần ảo là chẵn

Thực và chẵn

Thực và chẵn

Thực và lẻ

Ảo và lẻ

Phức và chẵn

Ảo và chẵn

Phức và lẻ

Thực và lẻ

b. Tổng chập vòng
Nếu:
DFT
x1p (n) ���
� X1p (k)
N

và:
DFT
x 2p (n) ���
� X 2p (k)
N

Thì:

x1p (n) Ŭ���
x 2p (n)

DFT
N

X1p (k).X 2p (k)

(4.58)
Trong công thức này thì tổng chập vòng của hai dãy x 1p(n) và x2p(n) được ký
x (n) �x 2p (n)
hiệu bởi: 1p
Nếu hai dãy x 1p(n) và x2p(n) là hai dãy tuần hoàn với chu kỳ N thì tổng chập
vòng của hai dãy với chu kỳ 2N sẽ bằng tổng chập tuyến tính. Như vậy tổng chập


vòng với chu kỳ 2N có thể được dùng để tính tổng chập tuyến tính của hai dãy bất
kỳ và do vậy tổng chập tuyến tính xác định qua DFT-2N điểm.
c. Một số tính chất khác của DFT
Tính chất tương quan vòng
Nếu:
DFT
x p (n) ���
� X p (k)
N

và

DFT
y p (n) ���

� Yp (k)
N

Thì:
DFT
rxy (n)  x p (n) �y*p (n) ���
� R xy (k)  X p  k  .Yp* (k)
N

(4.59)

Tính chất nhân hai dãy:
Nếu:
DFT
x1p (n) ���
� X1p (k)
N

và

DFT
x 2p (n) ���
� X 2p (k)
N

Thì:
DFT
x1p (n).x 2p (n) ���
�
N

1
�
X1p (k) �X 2p (k) �
�
N�

(4.60)

Định lý Parseval:
Nếu:
DFT
x1p (n) ���
� X1p (k)
N

và

DFT
x 2p (n) ���
� X 2p (k)
N

Thì:
N 1

�x1p (n) * x 2p (n) 
n 0

1 N 1

X1p (k).X *2p (k)
�
N k 0

(4.61)

và:
N 1

1 N 1
x1p (n)  �X1p
�
N k 0
n 0
2

2

(4.62)
4.2. BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC ĐỐI VỚI CÁC DÃY KHÔNG TUẦN
HOÀN CÓ CHIỀU DÀI HỮU HẠN
4.2.1. Các định nghĩa
a. Tổng quan
Phần 4.1.1.a đã xem xét việc lấy mẫu trong miền tần số của tín hiệu không tuần
hoàn x(n) với năng lượng hữu hạn. Trong trường hợp tổng quát, các mẫu được lấy
cách đều nhau theo tần số X(2πk/N), k =0, 1, 2,…,N-1 sẽ không cho phép khôi phục
tín hiệu gốc x(n) khi x(n) có độ dài vô hạn. Thay vào đó các mẫu này sẽ tương ứng với
dãy tuần hoàn xp(n) với chu kỳ N. Ở đây xp(n) là tín hiệu xấp xỉ của x(n) và quan hệ
của chúng được biểu diễn qua công thức:
x p (n) 

�

�x(n  lN)

(4.63)

l �

Khi dãy x(n) có độ dài hữu hạn L ≤ N thì x p(n) đơn giản chỉ là sự lặp lại có chu
kỳ của x(n) và trong một chu kỳ đơn thì xp(n) sẽ được xác định bởi:


�x(n), 0 �n �L-1
x p (n)  �
0,
L �n �N-1
�

(4.64)

Bởi vì x(n) ≡ xp(n) trên một chu kỳ đơn (tín hiệu x(n) được đưa thêm N-L điểm
mẫu không) do vậy tín hiệu gốc x(n) với độ dài hữu hạn sẽ có thể nhận được từ các
mẫu tần số {X(2πk/N)}. Điều này chứng tỏ rằng các mẫu tần số, X(2πk/N), k
=0,1,..,N-1 sẽ cho phép xác định tín hiệu với độ dài hữu hạn x(n) một cách duy nhất.
Một điều quan trong cần lưu ý là các giá trị không được đưa thêm vào sẽ không
cung cấp thêm bất kỳ một thông tin nào về phổ X(e jω) của dãy x(n) và để có thể khôi
phục lại X(ejω) với L mẫu được lấy cách đều nhau của X(e jω). Tuy vậy, việc thêm N-L
mẫu không vào x(n) và tính N điểm DFT sẽ làm cho biến đổi Fourier X(e jω) được biểu
diễn tốt hơn.

Nói tóm lại, dãy số x(n) với độ dài hữu hạn L (nghĩa là x(n) = 0 với n < 0 và n ≥
L) có biến đổi Fourier:
L 1

X(e j )  �x(n)e  jn , 0 � �2

(4.65)

n 0

Khi việc lấy mẫu của X(ω) được thực hiện ở các tần số cách đều nhau ω k
=2πk/N, k=0,1,2,…,N-1 với N ≥ L thì các mẫu nhận được sẽ là:
L 1
2k
X(k) �X(
)  �x(n)e  j2 kn / N
N
n 0
N 1

 �x(n)e

 j2 kn / N

(4.66)

, k  0,1,..., N  1

n 0

Để thuận tiện, trong công thức này chỉ số trên của tổng đã được tăng từ L-1 lên
N-1 bởi vì x(n) = 0 khi n ≥ L.
Quan hệ (4.65) chính là công thức dùng để biến đổi dãy {x(n)} với độ dài L ≤ N
thành dãy của các mẫu tần số {X(k)} với độ dài N. Bởi vì các mẫu tần số nhận được
bằng cách đánh giá giá trị của biến đổi Fourier X(ω) tại N tần số rời rạc cách đều nhau
do vậy quan hệ (4.65) được gọi là biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của x(n). Ngược lại
quan hệ (4.67) sau đây sẽ cho phép khôi phục lại dãy x(n) từ các mẫu tần sổ. Biểu
thức:
x(n) 

1 N 1
X(k)e j2 kn/ N , n  0,1,..., N  1
�
N k 0

(4.67)

Được gọi là biến đổi ngược DFT (IDFT). Rõ ràng, khi x(n) có độ dài L < N thì
IDFT với N điểm sẽ có x(n) = 0 với L ≤ n ≤ N-1.
b. Biến đổi DFT
Như vậy, từ công thức (4.66) và (4.67) ta có cặp biến đổi Fourier rời rạc thuận
(DFT) và ngược (IDFT) của tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn x(n) sẽ là:
DFT
N 1

X(k)  �x(n)e  j2 kn/ N , k  0,1,..., N  1
n 0

IDFT

(4.68)


x(n) 

1 N 1
X(k)e j2 kn/ N , n  0,1,..., N  1
�
N k 0

Vì X(k) là dãy phức nên có thể biểu diễn nó dưới các dạng:
Dạng phần thực và phần ảo:
X(k)  X R (k)  jX I (k)
N 1

- Dãy phần thực:

N 1

- Dãy phần ảo:

X R (k)  �x(n)sin(
n 0

(4.71)

2
kn)
N

(4.72)

j (k )
Dạng độ lớn và pha : X(k)  A(k).e

Dạng mô đun và argumen:
- Dãy mô đun:

X(k)

(4.70)

2
kn)
N

X R (k)  �x(n) cos(
n 0

(4.69)

(4.73)

X(k)  X(k) e

j (k )

X(k)  X 2R (k)  X 2I (k)

(4.74)

(4.75)

còn được gọi là dãy biên độ tần số, hay dãy phổ biên độ rời rạc.

�X (k) �
(k)  arctan � I
�
X R (k) �
�
- Dãy Argumen :
Dãy φ(k) còn được gọi là dãy pha tần số, hay dãy phổ pha rời rạc.
Theo lý thuyết hàm phức,

X(k)

(4.76)

là dãy chẵn và đối xứng qua trục tung, còn

(k) là dãy lẻ và phản đối xứng qua gốc tọa độ

Ví dụ 4.4. Cho dãy với độ dài hữu hạn L được xác định bởi công thức:

1, 0 �n �L-1
�
x(n)  �
0, n �
�
Hãy xác định DFT-N điểm của dãy này với N ≥ L.
Giải: Biến đổi Fourier của dãy đã cho là:

L 1

X(e )  �x(n)e
j

n 0



 jn

1  e  jL

1  e  j

sin(L / 2)  j(L1)/2
e
sin( / 2)

Biên độ và pha của X(ejω) được mô tả trên hình 4.9 đối với trường hợp L = 10.


Hình 4.9. Đáp ứng biên độ và pha biến đổi Fourier
của tín hiệu trong ví dụ 4.4
DFT-N điểm của x(n) nhận được bằng cách đánh giá X(e jω) tại N tần số cách
đều nhau ωk =2πk/N, k=0,1,…,N-1 sẽ là:
1  e  j2 kL/ N
, k  0,1,..., N  1
1  e  j2 k / N
sin(kL / N)  jk(L 1)/ N


e
sin( k / N)

X(k) 

Nếu chọn N = L thì DFT trở thành:

L, k=0
�
X(k)  �
0, k=1,2,..,L-1
�
Khi đó chỉ có một giá trị khác không trong DFT. Điều này dễ dàng nhận thấy vì
X(e ) =0 tại các tần số ωk = 2πk/L, k ≠ 0, các giá trị này cũng chính là các giá trị mẫu
khi N = L.
Mặc dù để biểu diễn x(n) một cách duy nhất trong miền tần số thì chỉ cần sử
dụng DFT-L điểm nhưng điều này lại chưa đầy đủ để có thể biểu diễn các đáp ứng phổ
của x(n) một cách chính xác hơn. Nếu muốn có một hình ảnh đẹp hơn thì cần phải
đánh giá (nội suy) X(ejω) tại các tần số gần nhau hơn, tức là ω k =2πk/N với N >L. Theo
cách này thì dãy x(n) sẽ có độ dài N, trong đó có N-L điểm được đưa thêm vào với giá
trị bằng 0. Như vậy DFT-N điểm sẽ cung cấp phép nội suy tốt hơn DFT-L điểm. Hình
4.10 là đồ thị DFT-N điểm theo biên độ và pha đối với trường hợp L =10, N =50 và N
=100. Rõ ràng với N =100 thì sự khác nhau về biên độ và pha của DFT-N và X(e jω) là
không đáng kể và do vậy phép nội suy sẽ trở nên chính xác hơn.
jω


Hình 4.10. Biên độ và pha của DFT-N điểm trong ví dụ 4.4
Các công thức DFT (4.68) và IDFT (4.69) có thể được biểu diễn dưới dạng:

N 1

X(k)  �x(n)WNkn ,

k  0,1,..., N  1

(4.77)

n 0

1 N 1
x(n)  �X(k)WNkn ,
N k 0

n  0,1,..., N  1

(4.78)

Ở đây:
WN  e
kn

j

2
kn
N

(4.79)

Chú ý rằng để xác định mỗi điểm của DFT thì cần phải thực hiện N-1 phép
cộng và N phép nhân. Vì vậy để có xác định tất cả các điểm của DFT-N điểm thì cần
thực hiện N2 phép nhân và N(N-1) phép cộng.
Khai triển công thức (4.77) ta có:
X(0)  x(0)WN0  x(1)WN0  ....  x(N  1)WN0
X(1)  x(0)WN0  x(1)WN1  ....  x(N  1)WNN 1
X(2)  x(0)WN0  x(1)WN2  ....  x(N  1)WN2( N 1)
.....
X(N  1)  x(0)WN0  x(1)WNN 1  ....  x(N  1)WN( N 1)( N 1)

Bằng cách khai triển tương tự đối với (4.78) ta có thể thấy rằng với cách biểu
diễn này thì DFT và IDFT sẽ được xem như các biến đổi tuyến tính trên các dãy tương
ứng {x(n)} và {X(k)}.
Nếu định nghĩa xN là vectơ N điểm của tín hiệu x(n), n=0,1,…,N-1; XN là vec tơ
�
W kn �
N điểm của các mẫu tần số và ma trận � N �kích thước (NxN) theo cách sau:


� x(0) �
� x(1) �
�
�
� .
�
xN  �
�
� .
�
� .

�
�
�
x(N  1) �
�

� X(0) �
� X(1) �
�
�
� .
�
XN  �
�
� .
�
� .
�
�
�
X(N  1) �
�

�
�
WN0 WN0
WN0
.... WN0
(4.80)
� 0

�
1
2
N 1
WN WN
WN
.... WN
�
�
�
WN0 WN2
WN4
.... WN2(N 1) �
�
�
kn
�
�
�
�
W

.
�N � �
�
.
�
�
�
�

.
� 0
�
WN WN(N 1) WN2(N 1) .... WN( N 1)(N 1) �
�
�
�
Thì công thức (4.77) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:
(4.81)
XN  �
W kn �
.x N
�
�
N

�
�
W kn �
W kn �
Với � N � là ma trận của biến đổi tuyến tính. Dễ dàng nhận thấy � N �là
�
WNkn �
�
�thì sau khi nhân
ma trận đối xứng. Nếu giả sử tồn tại ma trận nghịch đảo của
1

�
WNkn �

�
� ta sẽ nhận được:
cả hai về của (4.81) với
1

xN  �
WNkn �
�
� .X N

(4.82)

Công thức (4.82) chính là biểu diễn của IDFT dưới dạng ma trận.
Trên thực tế, IDFT được xác định bởi (4.82) có thể được biểu diễn dưới dạng
ma trận như sau:
*
(4.83)
1
xN  �
WNkn �
.X N
�
�
N
*

�
�
WNkn �
WNkn �

�
�
�
�. So sánh (4.83) và (4.82)
Trong đó
là liên hợp phức của ma trận
ta sẽ suy ra:
(4.84)
1
kn 1
kn *
�
�
�
�
W

W
N
N
� � N� �
Từ (4.84) ta cũng có:
*
(4.85)
�
WNkn �
.�
WNkn �
�
�

�
� NI N
�
W kn �
Trong đó: IN là ma trận đồng nhất, do vậy � N �là ma trận trực giao và hơn
*

�
WNkn �
�
�/ N
thế nữa có ma trận nghịch đảo là


Ví dụ 4.5: Hãy tính DFT của dãy bốn điểm:
Giải:

x(n)  [ 0

�

1

2

4]

�
W kn �
Bước đầu tiên là cần phải xác định ma trận � 4 �. Bằng cách khai thác tính

kn
chất tuần hoàn và đáp ứngđối xứng của W4 :

WNk  N/2   WNk
�
W4kn �
�
�có thể được biểu diễn dưới dạng:
Ma trận

�
W40 W40 W40 W40 �
� 0
�
1
2
3
W
W
W
W
�
�
4
4
4
4
�
W4kn �
�

� �
0
2
4
6�
W
W
W
W
4
4
4
4
�
�
0
3
6
9�
�
W
W
W
W
�4
4
4
4 �
1
1

1 1�
�
�
1  j 1 j �
�
�

�
1  1 1  1�
�
�
1 j 1  j �
�
� 6 �
�
2  2j�
kn
�
�
X4  �
W4 �
.x 4 
�
�
� 2 �
�
�
2  2 j�
�
Sử dụng (4.81) ta có:

�
W kn �
Bằng cách xác định giá trị liên hợp của các phần tử � 4 �ta sẽ nhận được
*

�
W4kn �
�
� và áp dụng công thức (4.83) ta sẽ xác đinh được IDFT của x4.

DFT và IDFT là các công cụ tính toán giữ vai trò rất quan trọng trong rất nhiều
ứng dụng xử lý tín hiệu số cũng như phân tích tần số (phân tích phổ) của tín hiệu, đánh
giá phổ công suất và lọc tuyến tính. Vai trò này cũng được khẳng định khi có sự xuất
hiện của một loạt các thuật toán hiệu quả hơn với tên gọi là biến đổi Fourier nhanh
(Fast Fourier Transform- FFT).
4.2.2. Một số tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy có chiều
dài hữu hạn
a. Tính tuyến tính
Giả sử ta có các biến đổi DFT như sau:
DFT
a.x1 (n) ���
� aX1 (k)
N

DFT
b.x 2 (n) ���
� bX 2 (k)
N
và
Tìm biến đổi DFT của dãy: y(n)  ax1 (n)  bx 2 (n)

Ta có:


N 1

Y(k)  � ax1 (n)  bx 2 (n)  .WNkn
n 0

N 1

N 1

n 0

n 0

 �ax1 (n)WNkn  �bx 2 (n)WNkn
 aX1 (k)  bX 2 (k)

(4.86)
Như vậy, biến đổi DFT của một dãy là tổng của nhiều dãy thành phần bằng tổng
biến đổi DFT của các dãy thành phần
Ví dụ 4.6: Cho các dãy x1 (n)  rect 2 (n) và x 2 (n) (n) .
Hãy tìm: Y(k)  DFT[rect 2 (n)  2.(n)] , với N = 4
Giải : Theo tính chất tuyến tính có: Y(k)  DFT[rect 2 (n)]  2.DFT[(n)]
3

X1 (k)  �rect 2 (n).W4kn  W4k.0  W4k.1
n 0

 1 e


j k
2
3

X 2 (k)  �(n).W4kn  W4k.0  1
n 0

Y(k )  X1 (k)  2. X 2


j k
(k)  3  e 2

b. Trễ vòng
DFT của dãy dịch vòng
Cho DFT-N điểm của dãy x(n), với 0 ≤ n ≤ N-1 là X(k). Hãy tìm DFT-N điểm
của dãy y(n) = x(n-n0), với 0 ≤ n-n0 ≤ N-1
Ta có:
N 1

N 1

n 0

n0

Y(k)  �x(n  n 0 ).WNkn  �x(n  n 0 ).WNkn .WN kn 0 .WNkn o

N 1

Y(k)  WNkn 0 �x(n  n 0 ).WNk (n n 0 )
n 0

 WNkn 0

N  n 0 1

� x(n  n

n n0

0

).WNk (n  n 0 )

(Do y(n) = x(n-n0) với 0 ≤ n-n0 ≤ N-1)
Đặt: m = n - n0 ta được:
N 1

Y(k)  WNkn0 �x(m).WNkm  WNkn0 .X(k)  X(k) .e

j{ (k) k

2
n0}
N

(4.87)

Biểu thức (4.87) có nghĩa: Nếu dãy x(n) dịch đi n 0 mẫu thì biến đổi DFT-N
2
k
no
điểm của nó có phổ biên độ không đổi, chỉ có phổ pha dịch đi một lượng là N .
m0


n.u(n), 0 �n �5
�
x(n)  � Các giá trị
0, n �
�
Ví dụ 4.7: Cho dãy
.
khác của n
Tìm và vẽ phổ DFT của dãy x(n-2)
Giải:
Sử dụng công thức (4.87) ta có:

Y(k)  W6k 2 .X(k)  W3k .X(k)
5

X(k)  �n.W

kn
6

n 0

e

j

k
3

e

j

W e
k
3

Y(k)  e

 jk

e

j

k 4
3

k 2
3

j

e

e

 jk

e

j

k 4
3

e

j

k5 
3

2
k
3

j

k5 
3

e

 j2k

e

j

k7 
3

Phổ biên độ và phổ pha của X(k) và Y(k) như trên hình 4.11

Hình 4.11. Phổ biên độ và phổ pha của DFT x(n) và x(n-2) trong ví dụ 4.7
Dịch vòng tần số:
Xét dãy x(n) có biến đổi DFT-N điểm là X(k). Tìm biến đổi DFT-N điểm của
j

2
k0n
N

dãy: y(n)  x(n).e
Ta có DFT-N điểm của y(n):
2
N 1 �
N 1
j k0n �
Y(k)  ��
x(n).e N �

.WNkn  �x(n).WN k0 n .WNkn
n0 �
n 0
�
N 1

 �x(n).WN(k  k0 )n  X(k  k 0 )
n0

Y(0)  X( k 0 );Y(k 0 )  X(0)....
Nếu k0 = N, ta được:

(4.88)


Y(k)  X(k  N)
� Y(k  N)  X(k);Y(N)  X(0); Y(N  k)  X(  k)
Điều này có nghĩa:
j

(4.89)

2
k0n
N

- Nếu ta nhân tín hiệu đầu vào x(n) với giá trị là e
thì ta thu được phổ rời
rạc bị dịch đi k0 mẫu so với phổ X(k) ban đầu.
- Trong miền tần số rời rạc k, nếu ta dịch các mẫu X(k) ra khỏi đoạn [0,…,N-1]

thì các mẫu sẽ vòng trở về theo giá trị N. Do đó người ta gọi là dịch vòng tần số
c. Tính đối xứng
*
Gọi x (n) là liên hợp phức của x(n) và nếu ta có DFT-N của x(n) là X(k). Tìm
*
DFT-N của x (n)
*
Ta có thể biểu diễn x(n) và x (n) dưới dạng số phức như sau:

x(n)  x r (n)  jx i (n) và x * (n)  x r (n)  jx i (n)
DFT-N của x(n) là:
N 1

X(k)  � x r (n)  jx i (n)  .WNkn  X R (k)  jX I (k)
n 0

N 1
2kn
2kn �
�
� X R (k)  ��
x r (n) cos
 x i (n)sin
N
N �
�
x 0 �
N 1
2kn
2kn �

�
� X I (k)  ��
x r (n)sin
 x i (n) cos
N
N �
�
x 0 �

� X* (k)  X R (k)  jX I (k)
� X* ( k)  X R ( k)  jX I ( k)  X *R ( k)  jX *I ( k)
N 1
2kn
2kn �
�
X*R ( k)  ��
x r (n) cos
 x i (n)sin
N
N �
�
x 0 �
N 1
2kn
2kn �
�
X*I ( k)   j��
x r (n)sin
 x i (n) cos
N

N �
�
x 0 �

*
Bây giờ ta xét DFT-N của x (n) :
N 1

kn
DFT �
x * (n) �
�
� � x r (n)  jx i (n)  .WN
n 0

2
2
�
�
 ��
x r (n) cos( kn)  x i (n)sin( kn) �
N
N
�
n 0 �
N 1
2
2
�
�

 j��
x r (n)sin( kn)  x i (n) cos( kn) �
N
N
�
n 0 �
N 1

 X*R ( k)  jX*I ( k)
 X* ( k)


*
*
Như vậy biến đổi DFT của dãy x (n) là dãy liên hợp của x(n) bằng X (  k)
Bằng cách chứng minh tương tự ta thu được một số tính chất đối xứng của DFT
như dưới bảng 4.2 dưới đây:

Bảng 4.2. Các tính chất đối xứng của DFT
Dãy x(n), 0≤n≤N-1
x(n)

DFT-N
X(k)

x * (n)

X* ( k)

x * (N  n)

X* (k)
1
�
X(k)  X* (N  k) �
�
�
2
1
X co (k)  �
X(k)  X* (N  k) �
�
�
2
X ce (k) 

x r (n)
jx i (n)

1
X R (k)
�
x(n)  x * (N  n) �
�
�
2
1
jX I (k)
x co (n)  �
x(n)  x * (N  n) �

�
�
2
d. Tích chập vòng
Trong chương 1 chúng ta đã xét phương pháp tính tích chập của hai dãy tín hiệu
bằng biểu thức sau:
x ce (n) 

y(n)  x(n) * h(n) 

�

�x(m).h(n  m)

m �

Với hai dãy x(n) và h(n) có chiều dài hữu hạn là N thì:
N 1

y(n)  x(n) * h(n)  �x(m).h(n  m)

(4.90)
Bây giờ ta sẽ xét cách tính tích chập của hai dãy có chiều dài hữu hạn là N
thông qua biến đổi DFT của chúng.
m 0

DFT
DFT
x(n) ���
� X(k)

h(n) ���
� H(k)
N
N
Giả sử:
và
. Tìm DFT-N của y(n) =
x(n)*h(n).
Ta có: DFT-N của y(n) được tính thông qua công thức (4.67) như sau:

N 1

N 1
�
� kn
Y(k)  ��
.WN
� x(m).h(n  m) �
n 0 �
m 0
�
N 1
N 1
�
�
km ��
�
x(m).WN �
.�
h(n  m).WNk(n m) �

�
�
m 0
n 0
�
��
�

� Y  k   X  k  .H  k 

(4.91)
Như vậy, biến đổi DFT của tích chập hai dãy có chiều dài hữu hạn N bằng tích
của biến đổi DFT của hai dãy đó. Thực hiện biến đổi IDFT của Y(k) ta sẽ thu được dãy
y(n) có chiều dài hữu hạn là N
y n 

1 N 1
Y  k  .WN kn
�
N k 0