Tài liệu Chương 4: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số rời rạc doc

Chương 4:
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN
TẦN SỐ RỜI RẠC
4.1 KHÁI NiỆM DFT
4.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)
4.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT
4.4 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI Z & FT TỪ DFT
4.5 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)

1
4.1 KHÁI NiỆM DFT
X(
X(
ω
ω
) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:
) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:



Tần số
Tần số
ω
ω
liên tục
liên tục

Độ dài x(n) là vô hạn:
Độ dài x(n) là vô hạn:
n
n

biến thiên -
biến thiên -
∞ đến ∞
∞ đến ∞
Biến đổi Fourier dãy x(n):
∑
−∞
∞=
−
=
n
njj
e)n(x)e(X
ωω
Khi xử lý X(
Khi xử lý X(
Ω
Ω
) trên thiết bị, máy tính cần:
) trên thiết bị, máy tính cần:

Rời rạc tần số
Rời rạc tần số
ω
ω
->
->
ω
ω
K

K



Độ dài x(n) hữu hạn là N:
Độ dài x(n) hữu hạn là N:
n
n
= 0
= 0


÷
÷
N -1
N -1
⇒
⇒


B
B
iến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần
iến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần
số rời rạc, gọi tắt là
số rời rạc, gọi tắt là
biến đổi Fourier rời rạc – DFT
biến đổi Fourier rời rạc – DFT
(Discrete Fourier Transform)
(Discrete Fourier Transform)


2

DFT
DFT


của
của
x(n) có độ dài N định nghĩa:
x(n) có độ dài N định nghĩa:





−≤≤
=
∑
−
=
−
: 0
10:)(
)(
1
0
2
k
Nkenx

kX
N
n
kn
N
j
π
còn lại
r
N
r
N
jmNr
N
j
mNr
N
WeeW
===
−+−
+
ππ
2
)(
2
)(






−≤≤
=
∑
−
=
: 0
10:)(
)(
1
0
k
NkWnx
kX
N
n
kn
N
còn lại
N
j
N
eW
π
2
−
=

W
W

N
N


tuần hoàn với độ dài
tuần hoàn với độ dài
N:
N:

3

X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument:
)(
)()(
kj
ekXkX
ϕ
=
Trong đó:
Trong đó:
)(kX
- phổ rời rạc biên độ
- phổ rời rạc biên độ
)](arg[)( kXk
=
ϕ
- phổ rời rạc pha
- phổ rời rạc pha

IDFT:






−≤≤
=
∑
−
=
: 0
10:)(
1
)(
1
0
2
n
NnekX
N
nx
N
k
kn
N
j
π
còn lại








−≤≤=
−≤≤=
∑
∑
−
=
−
−
=
10:)(
1
)(
10: )()(
1
0
1
0
NnWkX
N
nx
NkWnxkX
N
k
kn
N

N
n
kn
N

Cặp biến đổi Fourier rời rạc:

4
Ví dụ 4.2.1: Tìm DFT của dãy:
{ }
4,3,2,1 )(
↑
=nx
∑
=
=
3
0
4
)()(
n
kn
WnxkX
jWWjeW
j
=−=−==
−
3
4
2

4
4
2
1
4
;1;
π
10)3()2()1()0()()0(
3
0
0
4
=+++==
∑
=
xxxxWnxX
n
22)3()2()1()0()()1(
3
4
2
4
1
4
3
0
4
jWxWxWxxWnxX
n
n

+−=+++==
∑
=
2)3()2()1()0()()2(
6
4
4
4
2
4
3
0
2
4
−=+++==
∑
=
WxWxWxxWnxX
n
n
22)3()2()1()0()()3(
9
4
6
4
3
4
3
0
3

4
jWxWxWxxWnxX
n
n
−−=+++==
∑
=

5
Ví dụ: 4.2.2:
a) Tìm FT của dãy x(n)=a
n
u(n), với /a/<1
b) Tìm DFT của dãy x(n)=a
n
rect
N
(n)
c) Vẽ phổ biên độ & pha của FT và DFT với a=3/4, N=16

Biến đổi FT của x(n):
ω
ω
j
j
ae
eX
−
−
=

1
1
)(
2
cos21
1
)(
aa
eX
j
+−
=
ω
ω
[ ]
ω
ω
ω
cos1
sin
)(arg
a
a
arctgeX
j
−
−=

6


Biến đổi DFT của x(n):
( )
k
N
N
N
n
n
k
N
N
n
kn
N
n
aW
a
aWWakX
−
−
===
∑∑
−
=
−
=
1
1
)(
1

0
1
0
2
2
cos21
1
)(
ak
N
a
a
kX
N
+−
−
=
π
[ ]
1
2
cos
2
sin
)(arg
−
=
k
N
a

k
N
a
arctgkX
π
π

7
8
0 8 16 k
4
/X(k)/
a=3/4
N=16
8
0 π 2π ω
4
/X(e
jω
)/
a=3/4

8
8
0 8 16 k
arg[X(k)]
a=3/4
N=16
8
0 π 2π

ω
π/2
arg[X(e
jω
)]
-π/2
a=3/4

9
a) Tuyến tính
N
DFT
N
)k(X)n(x
11
 →←
NN
DFT
NN
)k(Xa)k(Xa)n(xa)n(xa
22112211
+ →←+

Nếu:
Nếu:

Thì:
Thì:
N
DFT

N
)k(X)n(x
22
 →←
b) Dịch vòng:

N
DFT
N
)k(X)n(x
 →←

Nếu:
Nếu:

0
0 N
kn
N
DFT
N
)k(XW)nn(x
 →←−

Thì:
Thì:
Với:
Với:
(n)rect
N00 NN

)nn(x
~
)nn(x
−=−
gọi là dịch vòng của
x(n)
N
đi n
0
đơn vị
21
21 xx
LNNL
=≠=
Nếu:
Nếu:
Chọn:
Chọn:
}N,Nmax{N
21
=

10
Ví dụ 4.3.1: Cho:
a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2)
b)Tìm dịch vòng: x(n+3)
4
, x(n-2)
4
{ }

4,3,2,1 )(
↑
=nx
x(n)
x(n)
n
n
0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
a)
n
n
x(n-2)
x(n-2)
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
4
4
3
3
2
2

1
1
n
n
x(n+3)
x(n+3)
-3 -2 -1 0
-3 -2 -1 0
4
4
3
3
2
2
1
1

11
b)
x(n)
n
n
0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2

1
1
N
x(n-1)
4
n
n
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
x(n+1)
x(n+1)
4
4
n
n
0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2

1
1

12
c) Chập vòng:
N
DFT
N
)k(X)n(x
11
 →←
NN
DFT
NN
)k(X)k(X)n(x)n(x
2121
 →←⊗

Nếu:
Nếu:

Thì:
Thì:
N
DFT
N
)k(X)n(x
22
 →←
∑

−
=
−=⊗
1
0
2121
N
m
NNNN
)mn(x)m(x)n(x)n(x
Với:
Với:
Chập vòng 2 dãy
x
1
(n) & x
2
(n)
21
21 xx
LNNL
=≠=
Nếu:
Nếu:
Chọn:
Chọn:
}N,Nmax{N
21
=
Chập vòng có tính giao hoán:

Chập vòng có tính giao hoán:
NNNN
)n(x)n(x)n(x)n(x
1221
⊗=⊗
)n(rect)mn(x
~
)mn(x
NNN
−=−
22
Và:
Và:
Dịch vòng dãy
x
2
(-m) đi n đ/vị

13
Ví dụ 4.3.2: Tìm chập vòng 2 dãy
30
3
0
4241424143
≤≤−=⊗=
∑
=
n:)mn(x)m(x)n(x)n(x)n(x
m
443

2121
==⇒==
}N,Nmax{NN,N

Đổi biến n->m:

Xác định x
2
(-m)
4
:

Chọn độ dài N:
∑
−
=
−=⊗=
1
0
21213
N
m
NNNNN
)mn(x)m(x)n(x)n(x)n(x
với N-1≥n ≥0

14
m
m

-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
4
4
3
3
2
2
1
1
)(
~
2
mx
−
x
x
2
2
(m)
(m)
m
m


0 1 2 3
0 1 2 3
4
4

3
3
2
2
1
1
x
x
2
2
(-m)
(-m)
m
m


-3 -2 -1 0
-3 -2 -1 0
4
4
3
3
2
2
1
1
m
m
0 1 2 3
0 1 2 3

4
4
3
3
2
2
1
1
)()(
~
)(
4242
nrectmxmx −=−
m
m
0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
)()(
~
)(
4242
nrectmxmx −=−


15

Xác định x
2
(n-m) là dịch vòng của x
2
(-m) đi n đơn vị
với 3 ≥ n ≥ 0
x
x
2
2
(1-m)
(1-m)
4
4
m
m


0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1

1
x
x
2
2
(2-m)
(2-m)
4
4
m
m


0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
m
m


0 1 2 3
0 1 2 3
4

4
3
3
2
2
1
1
x
x
2
2
(3-m)
(3-m)
4
4
m
m
0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
x
2
(-m)

4

16
30
3
0
424143
≤≤−=
∑
=
n:)mn(x)m(x)n(x
m

n=0:

Nhân các mẫu
x
1
(m) & x
2
(n-m)
và cộng lại:
2600
3
0
424143
=−=
∑
=
m

)m(x)m(x)(x

n=1:
2311
3
0
424143
=−=
∑
=
m
)m(x)m(x)(x

n=2:
1622
3
0
424143
=−=
∑
=
m
)m(x)m(x)(x

n=3:
2533
3
0
424143
=−=

∑
=
m
)m(x)m(x)(x
Vậy:

17
Ví dụ 4.3.3: Tìm chập vòng 2 dãy x
1
(n)=x
2
(n)=rect
N
(n)
∑∑
−
=
−
=
===
1
0
1
0
121
)()()(
N
n
kn
N

N
n
kn
WWnxkXkX

Biến đổi DFT 2 dãy:
NWXk
N
n
===
∑
−
=
1
0
0
1
)0( :0
0
1
1
)( :0
1
0
1
=
−
−
==≠
∑

−
=
k
N
kN
N
N
n
kn
N
W
W
WkXk



≠
=
=
k
kN
kX
:0
0 :
)(
1



≠

=
=
k
kN
kXkXkX
:0
0 :
)()()(
2
213



≠
=
==⊗=
∑
−
=
−
n :0
0n :
)(
1
)()()(
1
0
3213
N
WkX

N
nxnxnx
N
k
kn
N

18
d) Tính đối xứng:
N
DFT
N
)k(X)n(x
 →←
N
DFT
N
)k(X)n(x
− →←
∗∗

Nếu:
Nếu:

Thì:
Thì:
e) Quan hệ Parseval:
N
DFT
N

)k(X)n(x
 →←
∑∑
−
=
−
=
=
1
0
2
1
0
2
1
N
k
N
N
n
N
)k(X
N
)n(x

Nếu:
Nếu:

Thì:
Thì:


19
f) Chập tuyến tính sử dụng DFT:



Kết quả phép
Kết quả phép
chập tuyến
chập tuyến


tính
tính
của 2 dãy
của 2 dãy
x
x
1
1
(n)
(n)
N1
N1
và
và
x
x
2
2

(n)
(n)
N2
N2


sẽ giống với
sẽ giống với
chập vòng
chập vòng
nếu thêm các mẫu 0 vào sau các
nếu thêm các mẫu 0 vào sau các
dãy
dãy
x
x
1
1
(n)
(n)
và
và
x
x
2
2
(n)
(n) để có chiều dài tối thiểu là N
1
+N

2
- 1
:
:
x
1
(n)
N
1
* x
2
(n)
N
2
= x
1
(n)
N
1+
N
2 -
1
⊗ x
2
(n)
N1+N2 -1


Lưu đồ phép chập tuyến tính thông qua DFT được mô tả:
Lưu đồ phép chập tuyến tính thông qua DFT được mô tả:

DFT
DFT
x
IDFT
x
1
(n)
N
1+
N
2 -
1
x
2
(n)
N
1+
N
2 -
1
x
3
(n)
N
1+
N
2 -
1
X
1

(k)
X
2
(k)
X
3
(k)

20

Ví dụ 4.3.4: Cho 2 dãy x
1
(n)=x
2
(n)=rect
3
(n)

Hãy tìm x
3
(n)=x
1
(n)*x
2
(n) và x
3
(n)=x
1
(n)
5

⊗ x
2
(n)
5



Chập tuyến tính của 2 dãy:
Chập tuyến tính của 2 dãy:
nxnxnx }1,2,3,2,1{)()()(
213
↑
=∗=



Kết quả sẽ tương tự đối với phép chập vòng nếu thêm
Kết quả sẽ tương tự đối với phép chập vòng nếu thêm
vài mẫu 0 vào sau 2 dãy x
vài mẫu 0 vào sau 2 dãy x
1
1
(n) và x
(n) và x
2
2
(n) để có độ dài tối
(n) để có độ dài tối
thiểu là 5:
thiểu là 5:

nxnxnx }1,2,3,2,1{)()()(
525153
↑
=⊗=
nxvànx }0,0,1,1,1{)( }0,0,1,1,1{)(
5251
↑↑
==

21
∑
−
=
−
=
1
0
)()(
N
n
n
znxzX
4.4.1 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI Z
4.4.1 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI Z

Biến đổi Z của dãy
x(n) có độ dài N:

Biến đổi IDFT của X(k) là:
∑

−
=
−
=
1
0
)(
1
)(
N
k
kn
N
WkX
N
nx
∑
−
=
−
=
1
0
)()(
N
n
n
znxzX
n
N

n
N
k
kn
N
zWkX
N
−
−
=
−
=
−
∑ ∑






=
1
0
1
0
)(
1
( )
( )
1

1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
)(
1
)(
1
)(
−−
−−
−
=
−
=
−
=
−−
−
−
==
∑∑ ∑
zW
zW

kX
N
zWkX
N
zX
k
N
N
k
N
N
k
N
N
k
N
n
n
k
NN
∑
−
=
−−
−
−
−
=
1
0

1
)1(
)()1(
)(
N
k
k
N
N
N
zW
kX
N
z
zX

22
4.4.2 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI FOURIER
4.4.2 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI FOURIER

Mối quan hệ giữa biến đổi Z & FT:
ω
ω
j
ez
j
zXeX
=
= )()(


Theo mối quan hệ giữa ZT & DFT:
∑
−
=
−−
−
−
−
=
1
0
1
)1(
)()1(
)(
N
k
k
N
N
zW
kX
N
z
zX
∑
−
=
−
−

−
−
=
1
0
)
2
(
)1(
)()1(
)(
N
k
k
N
j
N
Nj
j
e
kX
N
e
eX
ω
π
ω
ω

Do:

2
sin2)(1
2222
x
ejeeee
x
j
x
j
x
j
x
j
jx
−−−
−
=−=−






+
−
−
−
=
∑
−

=
k
N
N
j
N
k
N
j
e
k
N
N
kX
N
eX
π
ω
ω
πω
ω
2
1
1
0
)
2
sin(
2
sin

)(
1
)(

23
10 :)()(
1
0
−≤≤=
∑
−
=
NkWnxkX
N
n
kn
N
4.5.1 KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT
4.5.1 KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT

Vào những năm thập kỷ 60, khi công nghệ vi xử lý phát
triển chưa mạnh thì thời gian xử lý phép tóan DFT trên
máy tương đối chậm, do số phép nhân phức tương đối
lớn.

DFT của x(n) có độ dài N:

Để tính X(k), ứng với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và
(N-1) phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N
2

phép
nhân và N(N-1) phép cộng.

Để khắc phục về mặt tốc độ xử lý của phép tính DFT,
nhiều tác giả đã đưa ra các thuật tóan riêng dựa trên
DFT gọi là FFT (Fast Fourier Transform).

24
a. THUẬT TÓAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN
a. THUẬT TÓAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN

Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy vào x(n) thành các
dãy nhỏ, do biến n biểu thị cho trục thời gian nên gọi là
phân chia theo thời gian.
∑
−
=
=
1
0
N
n
kn
N
W)n(x)k(X
∑∑
−
=
−
=

+=
1
3,5 1n
1
2,4 0n
N
,
kn
N
N
,
kn
N
W)n(xW)n(x
∑∑
−
=
+
−
=
++=
12
0r
12
12
0r
2
122
)/N(
)r(k

N
)/N(
kr
N
W)r(xW)r(x)k(X

Thay n=2r với n chẵn và n=2r+1 với n lẽ:

Giả thiết dãy x(n) có độ dài N=2
M
, nếu không có dạng lũy
thừa 2 thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n).

25