Slide bài Xác suất cơ bản

Bài 1

XÁC SUẤT CƠ BẢN

26/07/2018

1


Mục tiêu
• Tính toán các xác suất cơ bản
• Xây dựng các biến cố để giải bài toán xác suất
• Sử dụng các công thức tính xác suất phù hợp để

giải bài toán.

26/07/2018

2


Nội dung
•

Giải tích tổ hợp
– Nguyên lý cộng, nguyên lý nhân
– Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
• Biến cố
– Phép thử và không gian mẫu
– Biến cố: khái niệm, tính chất, các phép toán trên
biến cố

Công thức cộng xác suất
• Xác suất
xác suất có điều kiện
– Ba hướng tiếp cận xác suất
Công thức nhân xác suất
– Các công thức tính xác suất

Công thức xác suất đầy đủ

Công thức Bayes
26/07/2018

3


Giải tích tổ hợp
•
•
•
•

26/07/2018

Nguyên lý cộng và Nguyên lý nhân
Tổ hợp
Chỉnh hợp
Hoán vị

4

Nguyên lý cộng
• Một công việc chia được thành k trường hợp.
• Trường hợp i có mi cách thực hiện (không trùng nhau) (𝑖 =
1,2, … , 𝑘).
Vậy có: m1+ m2+ …+ mk = 𝒌𝒊=𝟏 𝒎𝒊
cách thực hiện công việc.

Ví dụ: Căn tin có 3 món mặn và 2 món xào.
Nếu chỉ chọn duy nhất 1 món thì có bao nhiêu cách chọn?
Chọn 1 mặn hoặc 1 xào
– chọn 1 món xào: 2 cách
– chọn 1 món mặn: 3 cách

Vậy có: 2 + 3 = 5 cách
26/07/2018

5


Nguyên lý nhân
• Một công việc được chia thành k giai đoạn
• Giai đoạn 𝒊 có 𝒎𝒊 cách thực hiện (𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒌)
Vậy có: 𝒎𝟏 𝒎𝟐 … 𝒎𝒌 =

𝒌
𝒊=𝟏 𝒎𝒊

cách thực hiện công việc trên.
Ví dụ: Căn tin có 3 món mặn và 2 món xào.

Nếu chọn 1 mặn và 1 xào thì có bao nhiêu cách chọn?
Chọn 1 mặn và 1 xào
• chọn 1 món mặn: 3 cách
• chọn 1 món xào: 2 cách
Vậy có 3 x 2 = 6 cách
26/07/2018

6


Nguyên lý cộng vs Nguyên lý nhân
• Nguyên lý cộng: chia trường hợp (hoặc chọn cái này hoặc
chọn cái kia…)
• Nguyên lý nhân: chia giai đoạn (chọn cái này và chọn cái
kia…)

26/07/2018

7


Tổ hợp

26/07/2018

8


Ví dụ: Tổ hợp
Một lớp học có 24 nam và 12 nữ. Lớp muốn chọn ra 3 bạn để

vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm 3 bạn ?
Giải:

• Vì 3 bạn được chọn là 1 bộ không sắp thứ tự nên số cách
chọn là số tổ hợp chập 3 của 36 phần tử
•

𝑪𝟑𝟑𝟔

26/07/2018

=

𝟑𝟔!
𝟑𝟔−𝟑 !𝟑!

= 𝑪𝑶𝑴𝑩𝑰𝑵 𝟑𝟔, 𝟑 = 𝟕𝟏𝟒𝟎

9


Hoán vị

26/07/2018

10


Hoán vị
Bộ sách “Cuốn theo chiều gió” gồm 4 tập, bộ sách “Ba chàng

ngự lâm” gồm 3 tập, được xếp trên giá sách gồm 7 chỗ.
Hỏi có bao nhiêu cách xếp:

1. Một cách tùy ý
2. Các tập sách được xếp xen kẽ: C-B-C-B-C-B-C

3. Các tập sách được xếp theo bộ.

26/07/2018

11


Chỉnh hợp

26/07/2018

12


Ví dụ: Chỉnh hợp
Một lớp học có 24 nam và 12 nữ. Lớp muốn bầu ra một ban
cán sự lớp gồm 3 người: Lớp trưởng, Lớp phó học tập và Lớp
phó hành chính. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban cán sự lớp ?

Giải:
• Vì 3 vị trí cán sự là khác nhau nên số cách chọn sẽ là số
chỉnh hợp chập 3 của 36 phần tử.
• Số cách chọn là :

𝑨𝒌𝒏

=

𝑨𝟑𝟑𝟔

=

𝟑𝟔!
𝟑𝟔−𝟑 !

=

𝑷𝑬𝑹𝑴𝑼𝑻 𝟑𝟔, 𝟑 = 𝟒𝟐𝟖𝟒𝟎
26/07/2018

13


Quick review
• Một hoán vị = một cách xếp thứ tự

– Số hoán vị của n phần tử: n!
• Một chỉnh hợp = một cách chọn có thứ tự
k phần tử từ n phần tử.
– Số chỉnh hợp:

𝐴𝑘𝑛

=

𝑛!
𝑛−𝑘 !

• Một tổ hợp = một cách chọn k phần tử từ n phần tử mà
không quan tâm đến thứ tự
– Số tổ hợp:
26/07/2018

𝐶𝑛𝑘

=

𝑛!
𝑘! 𝑛−𝑘 !
14


Bài tập
1. Hội phụ huynh có 40 người, cử ra một ban chấp hành
gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch và 5 uỷ viên. Hỏi có bao
nhiêu cách cử một ban chấp hành như trên?
2. Một sinh viên có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong
đó có 2 cuốn Toán, 3 cuốn Văn và 6 cuốn Anh văn. Hỏi
có bao nhiêu cách xếp tất cả sách trên lên kệ, nếu mọi
cuốn cùng môn được xếp cạnh nhau.
3. Một lớp học có 40 sinh viên gồm 25 nam và 15 nữ. Có
bao nhiêu cách chọn 4 sinh viên sao cho:
a. Số sinh viên nam hoặc nữ là tuỳ ý.
b. Phải có 2 nam và 2 nữ

c. Phải có ít nhất 1 nữ
26/07/2018

15


Biến cố (event)
•
•
•
•

26/07/2018

Phép thử
Biến cố
Các phép toán trên biến cố
Tính chất của biến cố

16


Phép thử

26/07/2018

17


Không gian mẫu (Biến cố chắc chắn)

• Không gian mẫu là tập hợp tất cả các khả năng có thể xảy
ra của một phép thử
• Ví dụ:
– Tung một đồng xu: Ω = {Ngửa, Sấp}
– Tung một con xúc xắc: Ω = {1,2,3,4,5,6}
– Hỏi ngẫu nhiên tháng sinh của một người : Ω =
1,2,3, … , 11,12

26/07/2018

18


Biến cố
• Biến cố (hoặc sự kiện): là một tập con tùy ý của không
gian mẫu.
• Ví dụ: Tung 1 con xúc xắc Ω = {1,2,3,4,5,6}
— Biến cố xuất hiện mặt chẵn: 𝐶 = 2,4,6
— Biến cố xuất hiện mặt lẻ: 𝐿 = 1,3,5
— Biến cố xuất hiện mặt nhỏ hơn 4: 𝐹 = {1,2,3}
• Ví dụ: Tung 2 đồng xu Ω = {𝑁𝑁, 𝑁𝑆, 𝑆𝑁, 𝑆𝑆}
― Biến cố xuất hiện ít nhất 1 mặt ngửa
𝐹 = 𝑁𝑁, 𝑁𝑆, 𝑆𝑁
― Ta nói có 𝑘 = 3 trường hợp thuận lợi để F xảy ra.

26/07/2018

19

Biến cố
Các loại biến cố:

26/07/2018

20


Biến cố sơ cấp
• Biến cố sơ cấp (outcome) là:
― biến cố không thể biểu diễn thành tổng của các biến cố
khác.
— một tập con có đúng một phần tử của không gian mẫu.
• Các biến cố sơ cấp có cùng khả năng xảy ra như nhau
trong một phép thử là các biến cố sơ cấp đồng khả năng.

26/07/2018

21


Các phép toán trên biến cố
• Bản chất của biến cố là tập hợp.
• Hiệu, giao, hợp các biến cố, ta được các biến cố mới.
• Biến cố tích là biến cố A và B cùng đồng thời xảy ra
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴. 𝐵
• Biến cố tổng là biến cố A xảy ra hoặc B xảy ra:
𝐴∪𝐵 =𝐴+𝐵
• Biến cố hiệu là biến cố A xảy ra nhưng B không xảy ra
𝐴\𝐵 = 𝐴. 𝐵

26/07/2018

22


Các phép toán trên biến cố
• Giao hoán: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
• Kết hợp:
– 𝐴∪𝐵 ∪𝐶 =𝐴∪ 𝐵∪𝐶
– 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
• Phân phối:
– 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
– 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

26/07/2018

23


Mối quan hệ giữa các biến cố
• Biến cố xung khắc
• Biến cố đối lập
• Biến cố kéo theo

26/07/2018

24

Biến cố xung khắc
• Nếu A và B không đồng thời xảy ra trong một phép thử
thì A và B là hai biến cố xung khắc
𝐴, B xung khắc ⇔ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
• Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc:
− “xuất hiện mặt chẵn” và “xuất hiện mặt lẻ”
là 2 biến cố xung khắc
(𝐶 ∩ 𝐿 = 2,4,6 ∩ 1,3,5 = ∅)
− “xuất hiện mặt chia hết cho 3” và “xuất hiện mặt chẵn”
là 2 biến cố không xung khắc.

26/07/2018

25