Ứng dụng phương pháp số phức để giải nhanh bài toán dòng điện xoay chiều trong vật lí lớp 12

1

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của khoá luận
Ngày nay, sự phát triển khoa học kỹ thuật ngày càng đạt
được những thành tựu to lớn, những kiến thức khoa học ngày
càng sâu và rộng hơn. Khoa học kỹ thuật đã có những tác
động quan trọng góp phần làm thay đổi bộ mặt của xã hội
loài người, nhất là những ngành khoa học kỹ thuật cao.
Vật lý học là bộ môn khoa học có tính ứng dụng cao trong
đời sống và kỹ thuật. Sự phát triển của vật lý dẫn tới sự xuất
hiện nhiều ngành kỹ thuật mới: Kỹ thuật điện, kỹ thuật điện
tử, tự động hóa và điều khiển học, công nghệ thông tin,…
Do có tính thực tiễn, nên bộ môn vật lý ở các trường phổ
thông là môn học mang tính hấp dẫn, thu hút được sự chú ý
của học sinh. Tuy nhiên, vật lý là một môn học khó vì cơ sở
của nó là toán học. Bài tập vật lý rất đa dạng và phong phú.
Trong phân phối chương trình số tiết bài tâp chưa đáp ứng
được nhu cầu củng cố kiến thức cho học sinh. Chính vì thế,
đòi hỏi người giáo viên cần phải làm thế nào để tìm ra được
phương pháp tốt nhất giúp học sinh vừa nắm được kiến thức,
đồng thời xử lí được các dạng bài tập.[20]
Trong những năm gần đây, Bộ giáo dục và đào tạo đã thực
hiện kế hoạch đổi mới giáo dục trong việc đánh giá học sinh
bằng phương pháp trắc nghiệm khách quan. Việc chuyển đổi
hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm trong các kì thi, yêu
cầu học sinh không những phải nắm chắc kiến thức mà còn
cần có kết quả chính xác trong một khoảng thời gian ngắn.
Thế nên việc sử dụng phương pháp nào cho kết quả nhanh và
tính chính xác cao nhất là điều được thầy cô và học sinh rất
quan tâm.

2

Trong chương trình vật lý phổ thông, dòng điện xoay chiều
là phần kiến thức quan trọng và được đánh giá là khá khó.
Những câu hỏi và bài tập phần này đều có kiến thức khá rộng,
tập trung nhiều câu hỏi khó, đòi hỏi học sinh phải biến đổi
toán học nhiều và tương đối mất thời gian. Nó có mặt trong
cấu trúc tất cả các đề thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng, trung
học chuyên nghiệp…Các bài toán điện xoay chiều rất phong
phú và đa dạng. Nên để có thể giải quyết được nhiều câu
thuộc phần này không hề đơn giản tuy nhiên nếu học sinh
được trang bị đầy đủ kiến thức căn bản; phương pháp giải
hay… thì nó lại trở nên “tầm thường” đối với học sinh.[16, 17]
Qua việc tìm hiểu , tôi nhận thấy rằng để giải các bài toán
điện xoay chiều có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau
như: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học (giản đồ
vectơ), phương pháp số phức…Nhưng cũng chính vì có nhiều
phương pháp dẫn đến tình trạng việc xử lí các bài tập của các
em khá lúng túng và tình trạng chán học, bỏ qua phần điện
xoay chiều vì nghĩ nó khó nhất. Có nhiều phương pháp khiến
cho các em có nhiều lựa chọn nên không biết nên dùng
phương pháp nào là hợp lí dẫn đến việc sử dụng các phương
pháp không được hiệu quả, hơn nữa không phải học sinh nào
cũng có thể hiểu toàn bộ các phương pháp và biết cách sử
dụng nó.
Trong tất cả các phương pháp giải bài toán điện xoay
chiều, tôi nhận thấy phương pháp số phức là phương pháp
đơn giản hơn cả, cho kết quả chính xác cao. Tôi tin rằng nếu

đưa phương pháp này vào việc giảng dạy cho học sinh trong
những năm tới là rất phù hợp. Chính vì vậy, cùng với sự động
viên, hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Hữu Hùng, tôi chọn


3

đề tài “Ứng dụng phương pháp số phức để giải nhanh bài
toán dòng điện xoay chiều trong vật lí lớp 12” làm đề tài khóa
luận của mình.
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Trong các phương pháp giải bài toán điện xoay chiều, phương pháp lượng
giác và phương pháp đồ thị được đa phần được sử dụng để nghiên cứu bài tập
về mạch điện hình cos hoặc sin. Vì hai phương pháp này giúp biểu diễn các trị
số, góc lệch pha một cách rõ ràng, thuận tiện khi minh hoạ, so sánh và giải
các bài tập của mạch điện đơn giản. Khi giải các bài tập về mạch điện phức
tạp thì các biểu diễn vectơ sẽ bị rối và trở nên khó khăn. Thế nhưng, nếu ta
biểu diễn các đại lượng đó bằng số phức thì bài toán sẽ trở nên dễ dàng hơn
rất nhiều.
Sử dụng phương pháp số phức để giải các bài toán về dòng điện xoay
chiều vào việc giảng dạy cho học sinh sẽ góp phần giúp các em có thêm hứng
thú với môn vật lí, nâng cao chất lượng học tập. Học sinh sẽ được trang bị
một phương pháp hay để xử lý các bài toán điện xoay chiều một cách hiệu
quả, đơn giản, chính xác và nhanh nhất. Hi vọng khóa luận sẽ trở thành một
tài liệu có ích, đáng để tham khảo cho giáo viên và học sinh.
3. Mục tiêu khóa luận
- Nắm và vận dụng thành thạo được phương pháp giải bài toán điện xoay
chiều bằng phương pháp số phức.
- Phân loại các bài tập và đưa ra một số bài tập đặc trưng cho từng loại.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của số phức và ba phương pháp biểu diễn dao
động điều hòa: Phương pháp lượng giác; Phương pháp hình học ( giản đồ
vectơ Fresnel); Phương pháp số phức.


4

- Tìm hiểu về phương pháp dùng số phức để giải bài toán mạch điện xoay
chiều.
- Vận dụng phương pháp dùng số phức để giải bài toán mạch điện xoay
chiều.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện được các nhiệm vụ trên, tôi sử dụng phối hợp nhiều phương
pháp:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tìm hiểu và nghiên cứu các tài liệu về
số phức và các dạng bài tập về dòng điện xoay chiều.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Thu thập ý kiến của thầy cô bộ môn
và giảng viên hướng dẫn.
- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm : Phân tích và tổng kết
những kinh nghiệm của thầy cô, sinh viên khóa trước trong quá trình học tập,
rèn luyện và nghiên cứu liên quan đến đề tài.

6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu:
+ Các mạch điện và các dạng bài tập về dòng điện xoay chiều
+ Phương pháp giải bài tập về dòng điện xoay chiều
- Phạm vi nghiên cứu:
Các kiến thức về bài toán dòng điện xoay chiều trong vật lí 12.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục nghiên cứu

khóa luận được chia thành hai chương:
CHƯƠNG 1.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Lý thuyết về số phức


5

1.1.1. Giới thiệu về số phức
1.1.2. Dạng đại số của số phức
1.1.3. Dạng lượng giác của số phức
1.2. Các phương pháp biểu diễn dao động điều hòa
1.2.1. Phương pháp lượng giác
1.2.2. Phương pháp hình học (giản đồ vectơ Fresnel)
1.2.3. Phương pháp số phức
1.3. Lý thuyết về dòng điện xoay chiều
1.4. Phương pháp dùng số phức để giải bài toán mạch điện xoay chiều
CHƯƠNG 2.
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DÒNG
ĐIỆN XOAY CHIỀU
2.1. Bài toán về mạch RLC mắc nối tiếp
2.2. Bài toán về mạch xoay chiều mắc hỗn hợp
2.3. Ứng dụng máy tính bỏ túi giải bài tập điện xoay chiều

PHẦN II: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐẠT ĐƯỢC
CHƯƠNG 1.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Lý thuyết số phức
1.1.1. Giới thiệu về số phức
Số phức xuất hiện do nhucầu phát triển của toán học về

giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc
đẩy toán học phát triển mạnh mẽ và giải quyết được nhiều
vấn đề của khoa học và kỹ thuật. Đối với học sinh bậc THPT
thì số phức là một nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không
nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản
của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn


6

chế, đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để
giải các bài toán về dòng điện xoay chiều.
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI, đó là thời kì Phục
hưng của toán học châu Âu sau đêm trường trung cổ. Nhà
toán học người Italia R. Bombelli (1526-1573) đã đưa định
nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số "không thể
có" hoặc "số ảo" trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công
bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó (số
phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa
ra căn bậc hai của -1.
Năm 1746, Nhà toán học Pháp D’Alembert đã xác định
được dạng tổng quát "a + bi" của số phức, đồng thời chấp
nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n.
Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu "
i " để chỉ căn bậc hai của -1 , và năm 1801, nhà bác
học Gauss đã dùng lại ký hiệu này.
Số phức được biểu diễn dưới dạng a + bi, với a và b là
các số thực và i là đơn vị ảo, thỏa mãn i2 = −1. Ví dụ: 4 + 2i là
một số phức.
Số thực a được gọi là phần thực của a + bi; số thực b được

gọi là phần ảo của a + bi. Theo đó, phần ảo không có chứa
đơn vị ảo: do đó b, không phải bi, là phần ảo. Tâp hợp các số
phức gọi là trường số phức, ký hiệu là C.
Một số thực a có thể được biểu diễn ở dạng phức là a +
0i với phần ảo là 0. Số thuần ảo bi là một số phức được viết
là 0 + bi với phần thực bằng 0. Ngoài ra, khi phần ảo âm, nó
được

viết

là a − bi với b >

ví dụ: 2 − 4i thay vì 2 + (−4)i.

0 thay

vì a +

(−b)i,


7

Khi xét các cặp số thực (x,y) lấy theo thứ tự xác định. Ta
coi cặp số thực (x,y) là một véctơ trong mặt phẳng Đề-các
xOy. Mỗi cặp số thực biểu diễn một số phức và mặt phẳng Đềcác xOy được coi là mặt phẳng số phức. Khi đó tập hợp các
số phức (x,y) chính là tập hợp các điểm z của mặt phẳng xOy,
do đó ta có thể viết đẳng thức.[1]
z = (x,y)
Khi số phức dạng z = (x,0) thì thành phần thực của số

phức là x, thành phần ảo bằng 0, điểm z sẽ nằm trên trục
hoành trên mặt phẳng xOy. Nên trục hoành của mặt phẳng
Đềcac xOy còn gọi là trục thực.
Khi số phức dạng z = (0,y) thì thành phần thực của số
phức là 0, thành phần ảo bằng y, điểm z sẽ nằm trên trục
tung trên mặt phẳng xOy. Nên trục tung của mặt phẳng
Đềcac xOy còn gọi là trục ảo.
Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re(z) hay ℜ(z);
phần ảo của phức z được ký hiệu là Im(z) hay ℑ(z). Nên nếu
xét theo phần thực và phần ảo, một số phức z sẽ được viết là .
Biểu thức này đôi khi được gọi là dạng Cartesi của z.
1.1.2. Dạng đại số của số phức
Xét song ánh:

f : R R {0}, f(x) = (x,0).

Ta có :
(x,0) + (y,0) = (x + y,0); (x,0).(y,0) = (xy,0)
(1.1)
Đặt (0,1) = i. Như ta đã biết (x,0) = x với mọi x. Dựa vào
định nghĩa của phép nhân ta có:
z = (x,y) = (x,0) + (y,0) = (x,0) + (y,0).(0,1)
= x + yi = (x,0) + (0,1).(y,0) = x + iy


8

Số phức bất kì z = (x,y) được biểu diễn duy nhất dưới dạng
z = x + yi với
Hệ thức được suy ra từ phép nhân :

(1.2)
Vậy biểu thức x + yi được gọi là dạng đại số của số phức z
= (x,y).
Các phép toán trên các số phức viết dưới dạng đại số:
Cho hai số phức z = a + bi và = + i với .
•

Phép

cộng

các

số

phức:

=

•
•
•

(1.3)
Phép trừ các số phức: = () + ()i .
Phép nhân số phức: = – + ( – )i .
Phép
chia
số
phức:

()

+

()i

.

(1.4)
(1.5)
=

=

(1.6)
1.1.3. Dạng lượng giác của số phức
Cho số phức z = a + bi ≠ 0. Gọi M (a,b) là một điểm trong mặt phẳng phức
biểu diễn số phức z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia
cuối OM được gọi là một
của z.
Nếu ϕ là một acgumen của z,

acgumen

y

thì

a

M

acgumen đều có dạng: ϕ + 2kπ, k
φ

Xét số phức z = a + bi ≠ 0 (a,
Gọi r là môđun của z và ϕ là

O

b

mọi

∈ Z.
b ∈ R)
xmột

acgumen của z. Với r = .
Ta có: a = rcosϕ , b = rsinϕ thì
z = r(cosϕ +isinϕ), trong đó r > 0, Hình 1.1. Biểu diễn hình
được gọi là dạng lượng giác của số phức

học của số phức


9

z ≠ 0.

Nếu z = r(cosϕ +isinϕ)
z' = r’(cosϕ’ +isinϕ’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0)
thì: z.z’ = r.r[cos(ϕ +ϕ’) +isin(ϕ +ϕ’)]
1.2. Các phương pháp biểu diễn dao động điều hoà
1.2.1. Phương pháp lượng giác
Một dao động điều hòa được mô tả bởi các phương trình
lượng giác sau:
x = A sin(ωt + α)
(1.7)
hoặc x = A cos(ωt + α)
(1.8)
Trong đó: x: li độ dao động.
A: biên độ dao động.
ω: tần số góc.
α: pha ban đầu.
Hai dao động điều hoà được biểu diễn dưới dạng:
(1.9)
(1.10)
Tổng hai dao động điều hoà cùng phương:
x=
(1.11)
Áp dụng công thức lượng giác: cos a + cos b = 2cos cos
- Nếu hai dao động cùng biên độ


10

x=
= 2Acos(

(1.12)

- Nếu hai dao động cùng tần số , cùng biên độ thì:

x =)
= 2Acos(

= cos

(1.13)

Nhận xét: Khi hai dao động điều hòa cùng tần số thì tổng
hai dao động là một dao động có tần số với biên độ là và pha
dao động là

.

1.2.2. Phương pháp hình học (giản đồ vectơ Fresnel)
Dao động điều hòa có thể xem như là hình chiếu của một
chuyển động tròn đều lên một đường kính của nó. Nếu bán
kính chuyển động tròn đều là A, chiều dương quy ước là
ngược chiều kim đồng hồ, chọn một đường kính làm trục
chuẩn, quan sát hình chiếu của đầu mút vectơ A lên trục
chuẩn.
Khi vectơ quét theo đường tròn, hình chiếu của nó di
chuyển qua lại trên trục chuẩn, nếu chọn tâm O của đường
tròn làm gốc tọa độ, ta thấy hình chiếu di chuyển giữa 2
điểm –A và A.
Giả sử ban đầu điểm A đang ở vị trí mà bán kính vectơ của
nó hợp với trục chuẩn góc φ, khi điểm A chuyển động tròn

đều, góc quét của vectơ là ωt. Đối với trục chuẩn, vị trí của A
được xác định bằng góc lượng giác (ωt+φ). Độ dài đại số của
hình chiếu hay tọa độ của hình chiếu tìm được từ
x = Acos(ωt+φ).


11

Vậy nếu một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường
tròn bán kính A với vận tốc góc ω thì hình chiếu của nó lên
một đường kính bất kì sẽ dao động điều hòa với biên độ A và
tần số góc ω. Pha ban đầu của dao động tùy thuộc cách ta
chọn đường kính nào làm trục chuẩn, chiều dương quy ước
cho đường tròn lượng giác cũng như chiều dương quy ước cho
trục chuẩn.

Hình 1.2. Giản đồ Fresnel hay giản đồ pha

Hai dao động điều hòa được biểu diễn dưới dạng:
x 1 = A1cos(ωt + )
(1.14)
x2 = A2cos(ωt + )
(1.15)
Thì dao động tổng hợp sẽ là: x = x1 + x2 = Acos(ωt + ) với A
và φ được xác định bởi:
Vì hai dao động cùng phương và cùng tần số nên ta có:


12

A 2 = A12 + A22 + 2A1A2cos(1 – 2)
(1.16)

tan =

(1.17)

Trong phần điện học, khi sử dụng phương pháp hình học thì
các đại lượng vô hướng như cường độ dòng điện, hiệu điện
thế,…được biểu diễn bằng các vectơ quay như
1.2.3. Phương pháp số phức
Hàm điều hòa x = Acos().
+, Nếu biểu diễn dưới dạng vectơ quay tại t = 0:
x = Acos

như hình (1.3) sao cho:

Từ hình 1.3, ta thấy: a = A cosϕ , b = A sinϕ
Mặt khác, có thể biểu diễn x bởi số phức:
= A=A(cos

y
b

(1.18)

A

Với A = và tan =

φ
a

+, Tại thời điểm t bất kì, có thể biểu diễn xO

xbởi

số phức:
=A

Hình 1.3. Biểu diễn dao

= Acos((1.19)

động điều hòa dưới dạng

Trong đó: Phần thực: a = Acos(

vectơ

Phần ảo: b = A sinϕ
Số phức liên hợp của a + bi là = a – bi nên :
=

là

một

số

thực.

(1.20)
1.3. Lý thuyết về dòng điện xoay chiều
Dòng điện xoay chiều là dòng điện có cường độ biến thiên tuần hoàn theo
thời gian (theo hàm cos hay sin của thời gian). [7,8]
Biểu

thức:

i

=

I0

cos(ωt

+

φi)

(A)


13

(1.21)
Trong đó: i: giá trị cường độ dòng điện xoay chiều tức thời, đơn vị là (A)
I0 > 0: giá trị cường độ dòng điện cực đại của dòng điện xoay chiều.

ω, φi: là các hằng số.
ω > 0 là tần số góc.
(ωt + φi): pha tại thời điểm t.
φi: Pha ban đầu của dòng điện.
Khi dùng suất điện động xoay chiều trên gắn vào một mạch
nào đó thì trong mạch có dao động điện cưỡng bức với tần số
bằng tần số của suất điện động xoay chiều, khi đó hiệu điện
thế và dòng điện giữa hai đầu đoạn mạch cũng là hiệu điện
thế và dòng điện xoay chiều:
u = U 0 cos(ωt + φu) (V)
(1.22)
i = I0 cos(ωt + φi) (A)
(1.23)
Khi đó : φ = φu – φi : là độ lệch pha của hiệu điện thế và
dòng điện.
Nếu φ > 0 Thì u sớm pha hơn so với i
Nếu φ < 0 Thì u trễ pha hơn so với i
Nếu φ = 0 Thì u đồng pha so với i
Giá trị hiệu dụng của một đại lượng trong dòng điện xoay chiều là giá trị
bằng với giá trị của dòng điện không đổi. [2, 6]
Uhd = (V); Ihd = (A)

(1.24)

Tần số góc của dòng điện xoay chiều:
ω = = 2πf (rad/s)

(1.25)

Chu kỳ của dòng điện xoay chiều:

T =

(1.26)

= (s)


14

Tần số của dòng điện xoay chiều:
f =

=

(Hz)

(1.27)
- Mạch điện chỉ có điện trở thuần R.
cùng pha với i, φ = φu – φi = 0 : I = và =
Lưu ý: Điện trở R cho dòng điện không đổi đi qua và có I
=
- Mạch điện chỉ có cuộn thuần cảm L:
nhanh pha hơn i là , φ = φu – φi =
I = và =
với ZL = ωL ( Ω ) là cảm kháng
Lưu ý: Cuộn thuần cảm L cho dòng điện không đổi đi
qua hoàn toàn (không cản trở).[10,11]
- Mạch điện chỉ có tụ điện C:
chậm pha hơn i là , φ = φu – φi =
I = và =

với = ( Ω ) là dung kháng.
Lưu ý: Tụ điện C không cho dòng điện không đổi đi qua
(cản trở hoàn toàn).[10,11]
- Mạch điện RLC mắc nối tiếp.
Tổng trở của mạch.

•

• L R

C
Z=

R2 + (ZL − ZC )2

( Ω)

(1.28)

Với: R : điện trở thuần.
ZL = ωL ( Ω ) : Cảm khángHình 1.4. Sơ đồ mạch điện
ZC =

1
ωC ( Ω ) : Dung kháng.

Độ lệch pha của dòng điện và hiệu điện thế:
tan ϕ =

Z L − ZC

;
R

sin ϕ =

Z L − ZC
;
Z
ω>

1
LC

cosϕ =

R
Z

+ Khi ZL > ZC hay
⇒ ϕ > 0 thì u nhanh pha hơn i.

với

−

π
π
≤ϕ ≤
2
2

15

L

< ZC hay

ω<

1
LC

+ Khi Z
⇒ ϕ < 0 thì u chậm pha hơn i.
ω=

1
LC

+ Khi ZL = ZC hay
⇒ ϕ = 0 thì u cùng pha với i.
Định luật Ôm :

I0 =

U0
;
Z

I=

U
Z

1.4. Phương pháp dùng số phức để giải bài toán mạch
điện xoay chiều
Giả sử dòng điện xoay chiều có dạng: i = cos(ωt + ) thì
điện áp xoay chiều có dạng tổng quát là: u = cos(ωt + ).
Một dao động mô tả bằng hàm điều hòa có thể biểu diễn
bằng dạng số phức như sau:
u = cos(ωt +) + i.sin(ωt +) = = a + bi.

(1.29)

Khi đó, phần thực a = cos(ωt +), phần ảo: b = sin(ωt +).
Tương tự, ta có bảng dạng thực và dạng phức của các đại
lượng trong dòng điện xoay chiều như Bảng 1.1.


16

Bảng 1.1. Dạng thực và dạng phức của các đại lượng trong
dòng điện xoay chiều.
Dạng thực
Cảm
kháng
Dung
kháng
Tổng trở

Cường độ
dòng
điện
Điện áp
Định luật
Ôm

Mạch
khác

Dạng phức
i
-i
= R + i(

Z=
i = cos(ωt + )

i=.=
u=.
=
i = u = i.

u = cos(ωt + )
I=
I = nhưng i
U = I.Z nhưng iZ
= I.Z nhưng i
U = I.Z = .Z nhưng u
I. =

nhưng u

i
i
i.

.Z

u

.

Đại lượng dao động điều hoà bất kì có dạng = Acos() có
thể biểu diễn bằng một số phức kí hiệu .
= Acos( = a + bi
Trong mạch RLC mắc nối tiếp, tổng trở trong mạch là:
Z = được biểu diễn dưới dạng số phức:


17

= R +
i(

(1.28)
Ta có: Định luật Ôm là: I = được viết dưới dạng số phức

như sau:
(1.29)
Nên = (1.30)

Tương tự, nếu mạch điện gồm nhiều đoạn ghép nối tiếp với
nhau thì tổng điện trở và hiệu điện thế trong mạch biểu diễn
dưới dạng số phức:
(1.31)
(1.32)
Với là tổng trở và hiệu điện thế của đoạn mạch thứ i.
Nếu mạch gồm nhiều đoạn ghép song song với nhau thì
tổng trở trong mạch và dòng điện toàn mạch, hiệu điện thế là:
(1.33)
với =

,

=

,…

(1.34)

Nếu mạch điện mắc hỗn hợp thì cần phân tích mạch thành
các đoạn mạch ghép nối tiếp hoặc song song rồi vận dụng các
công thức trên để tìm ra mối liên hệ giữa chúng. [10, 11, 12,
13]
Khi sử dụng phương pháp số phức, ta có thể sử dụng máy
tính cầm tay để giúp việc tính toán nhanh hơn.
Các thao tác trên máy tính cầm tay:
- Những thao tác cơ bản
+ Để thực hiện tính toán số phức trên máy chúng ta phải vào mode CMPLX
bằng cách ấn [Mode][2]. Trên màn hình hiện CMPLX

18

+ Trong mode CMPLX, để nhập ký hiệu i ta nhấn [ENG]
+ Để nhập ký hiệu ngăn cách ta nhấn [SHIFT][(-)]
Như ta đã biết, số phức có hai cách ghi, đó là đại số và lượng giác
+ Khi máy tính hiển thị ở dạng đại số (a+bi) thì chúng ta sẽ biết được phần
thực và phần ảo của số phức
+ Khi máy hiển thị ở dạng lượng giác (X0 ) thì chúng ta sẽ biết được độ dài
(modul) và góc (argumen) của số phức.
+ Mặc định máy tính sẽ hiển thị kết quả dưới dạng đại số. Để chuyển sang
dạng lượng giác ta nhấn [SHIFT][2], chọn [3], nhấn [=]. Kết quả sẽ được
chuyển sang dạng lượng giác.
- Cần lưu ý: Khi cài đặt máy ở chế độ đơn vị đo góc nào thì phải nhập đơn vị
đo góc ấy.
Trong mode độ (màn hình hiện lên chữ D), ta phải nhập đơn vị là độ (ví
dụ 450, 600, …..)
Trong mode rad (màn hình hiện lên chữ R), ta phải nhập đơn vị là độ
(ví dụ π/4, π/3, …..)
- Cách cài đặt máy: Nhấn [SHIFT][Mode].
Nhấn [3] cài đặt máy ở đơn vị đo là độ.
Nhấn [4] cài đặt máy ở đơn vị đo là radian.
Trên máy tính Fx 570 ES, để bấm nhanh ta thường ấn dấu chia thay cho dấu
phân số. Chính vì vậy trong quá trình bấm máy thường xuất hiện những lỗi
như sau:
khác
khác π: 2
3 + 2i khác 3 + (2i)
- Cách khắc phục các lỗi khi bấm máy tính: Sử dụng dấu ngoặc.

19

Tiểu kết chương 1
Trong chương 1, tôi đã trình bày cơ sở lý thuyết về số phức
và lý thuyết về dòng điện xoay chiều, các phương pháp biểu
diễn dao động điều hòa nói chung như:
+ Phương pháp lượng giác.
+ Phương pháp hình học (giản đồ vectơ Fresenel).
+ Phương pháp số phức.
Và phương pháp dùng số phức để giải bài toán mạch điện
xoay chiều nói riêng.
Để hiểu rõ hơn về ứng dụng phương pháp số phức để giải bài toán
mạch điện xoay chiều chúng ta cùng sang chương 2.


20

CHƯƠNG 2:
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI
TOÁN MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU
2.1. Bài toán về mạch RLC mắc nối tiếp
2.1.1. Viết biểu thức của cường độ dòng điện tức thời
và hiệu điện thế tức thời.
* Phương pháp giải:
Đối với dạng toán này, để giải bài tập ta sẽ dựa vào công
thức hiệu điện thế tức thời và cường độ dòng điện tức thời và
các công thức cảm kháng, nhung kháng trong mạch RLC mắc
nối tiếp để giải quyết yêu cầu của đề bài.

Hình 2.1. Sơ đồ mạch điện
Trong mạch RLC mắc nối tiếp, công thức tổng trở của mạch có
dang:
Z=

(2.1)

Ta đưa công thức tổng trở của mạch về dạng số phức:
= R + i()
(2.2)
Theo định luật Ôm ta có:
I=
(2.3)
= (2.4)


21

Và =.R
(2.5)
Khi đó giá trị sẽ bằng mođun của ; .
B

L

C
R
A

Hình 2.2. Sơ đồ mạch

điện
*Bài tập ví dụ:
Bài 1:[6]Cho mạch điện xoay chiều gồm 3 phần tử mắc
nối tiếp với nhau, điện trở thuần, R = 10(Ω) cuộn thuần cảm
có hệ số tự cảm L = (H), một tụ điện có điện dung C = (F). Đặt
vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều có biểu
thức
u = 15 sin(100t)(V). Viết biểu thức cường độ dòng điện tức
thời trong đoạn mạch, biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa
hai đầu điện trở.
Lời giải:
= Lω = . 100 = 5(Ω)
= = 10(Ω)
Cách 1: Sử dụng phương pháp số phức:
= R + i() = 10+ i
= 15


22

= = = (10+ i5)
=

.=.=

i = sin sin
= sin(A)
=.R = =

=6 (V)

O

φ

= 6 sin (V)
Cách 2: Sử

Hình 2.3. Giản đồ
vectơ

giản đồ vectơ:

Z=

(Ω)
I = = = (A)

Ta có: i = sin(ωt + φ)

dụng

phương

pháp


23

Với tan φ = =
φ = arctan

i = sin(A)
= i.R = sin.10= 6 sin (V)
Nhận xét:
B

L

C
R
A

Sử dụng phương pháp số phức đơn giản, ngắn gọn mà
không mất thời gian xác định các vectơ như phương pháp
giản đồ vectơ.
Bài 2: [9]Một mạch điện gồm điện trở thuần R = 50(Ω)
mắc nối tiếp với cuộn cảm có độ tự cảm L = (H) và với một tụ
điện có điện dung
C = (F). Dòng điện trong mạch

Hình 2.4. Sơ đồ mạch điện

có biểu thức i = 4sin(100t)

(A).
a) Viết biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu điện
trở, giữa hai cuộn cảm, giữa hai đầu tụ điện.
b) Viết biểu thức tức thời của hiệu điện thế giữa hai đầu
đoạn mạch.
Lời giải:

24

a) = Lω = . 100 = 100(Ω)
= = 50(Ω)
Ta có: = 4(A)
=.R = 4.50 =200

= 200 sin 100 (V)
= = 4.i.100 = 400i

= 400sin (V)
= = 4.( i.50) = 200i

= 200sin (V)
= R + i = 50 + i = 50 + 50i(Ω)
= 4(50 + i50) = 200(i + 1)(V)
(V)
* Bài tập vận dụng:
Bài 1: [12] Mạch điện xoay chiều gồm một điện trở thuần R
= 50Ω, một cuộn thuần cảm có hệ số tự cảm L = (H)và một tụ
điện có điện dung
C = (F) mắc nối tiếp. Biết rằng dòng điện qua mạch dạng
i = 5cos100πt(A).Viết biểu thức điện áp tức thời giữa hai đầu
mạch điện.
Bài 2: [12] Cho mạch R, L, C mắc nối tiếp có R = 20 Ω, L =
(H),

25

C =

10 −3
4π (F). Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp

u=200cos(100πt )(V). Viết biểu thức cường độ dòng điện trong
mạch.
Bài 3: [15] Đặt điện áp xoay chiều vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc
nối tiếp. Biết R = 10 Ω, cuộn cảm thuần có L = H, tụ điện có C = (F) và điện
áp giữa hai đầu cuộn cảm thuần là u L = 20cos(100πt + ) (V). Viết biểu thức
điện áp giữa hai đầu đoạn mạch.
Bài 4: [14] Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 60 V vào hai đầu
đoạn mạch R, L, C mắc nối tiếp thì cường độ dòng điện qua đoạn mạch là
i1 = I0cos(100πt + ) (A). Nếu ngắt bỏ tụ điện C thì cường độ dòng điện qua
đoạn mạch là i2 = I0cos(100πt - ) (A). Viết biểu thức điện áp giữa hai đầu đoạn
mạch.
Bài 5: [17] Mạch xoay chiều gồm R, L, C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần
cảm), R = 100 (Ω), C = 31,8 (µF), hệ số công suất mạch cosφ = , điện áp hai
đầu mạch u = 200cos(100πt)(V). Viết biểu thức cường độ dòng điện chạy
trong mạch.
Bài 6: [17] Đoạn mạch R, L, C mắc nối tiếp có R = 40 Ω, L = (H),
2.10 −4
C = π (F). Đặt vào hai đầu mạch điện áp xoay chiều có biểu thức

u = 120cos100πt(V). Viết biểu thức cường độ dòng điện tức thời trong mạch.
Bài 7: [6] Một đoạn mạch gồm cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = (H)
mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C = (F). Dòng điện chạy qua đoạn mạch
có biểu thức i = 2cos(100πt) A. Viết biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch.

2.1.2. Bài toán tìm các đại lượng trong mạch
* Phương pháp giải: