áp dụng phương pháp số phức để giải một số bài toán mạch điện xoay chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC




NGUYỄN THỊ LỆ KHUYÊN



ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU




KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC








SƠN LA, NĂM 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THỊ LỆ KHUYÊN



ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU



CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC


Người hướng dẫn: ThS. Nguyễn Thanh Lâm



SƠN LA, NĂM 2013
LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu, với sự hướng dẫn của các thầy giáo, cô giáo
trong tổ Vật lý, Trường Đại học Tây Bắc em đã hoàn thành khóa luận này.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo THS. NGUYỄN THANH
LÂM - giảng viên Vật lý, Trường Đại học Tây Bắc đã tận tình giúp đỡ, động
viên và hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Vật lý, ban chủ

nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, phòng quản lý khoa học và quan hệ quốc tế, thư
viện trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Vật
Lý, gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành
khoá luận này.

Sơn La, Tháng 4 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Lệ Khuyên

MC LC

PHN I: M U 1
I. Lý do chn ti 1
II. C s nghiờn cu 1
II.1. C s lý lun 1
II.2. C s thc tin 2
III. Mc ớch ca ti 3
IV. Nhim v ca ti 3
V. i tng nghiờn cu v khỏch th nghiờn cu 3
V.1. i tng nghiờn cu 3
V.2. Khỏch th nghiờn cu 3
VI. Phng phỏp nghiờn cu 3
VI.1. Phng phỏp nghiờn cu lý thuyt 3
VI.2. Phõn loi bi tp, vn dng lý thuyt vo gii cỏc bi toỏn c th ca
mch in xoay chiu 3
VII. Phm vi nghiờn cu 3
VIII. Gi thuyt khoa hc 4
IX. Cu trỳc ca ti 4

X. K hoch thc hin ti 4
PHN II: NI DUNG 5
CHNG 1: C S Lí THUYT 5
I. Số phức 5
I.1. Xét tập hợp các cặp số thực (x,y) lấy theo một thứ tự xác định. 5
I.2. Dạng đại số của số phức 5
I.3. Dạng l-ợng giác của số phức 6
I.4. Cỏc phộp tớnh trờn tp hp s phc 7
I.4.1. Phộp cng, phộp tr 7
I.4.2. Phộp nhõn, phộp chia 7
I.4.3. Nhõn s phc vi
j
e
8
I.4.4 Nhõn s phc vi
j
8
II. Các ph-ơng pháp biểu diễn dao động điều hoà 8
II.1. Ph-ơng pháp l-ợng giác 8
II.2. Ph-ơng pháp hình học (giản đồ vectơ Fresnel-GĐVT) 9
II.3. Ph-ơng pháp số phức 9
III. Phng phỏp dựng s phc gii bi toỏn mch in xoay chiu 10
III.1. Biu din cỏc i lng U,I di dng s phc 10
III.2. Biu din o hm
di
dt
12
III.3. Biu din tớch phõn
idt

12
III.4. Biu din cỏc nh lut kirchhoff di dng s phc 12
III.4.1. nh lut kirchhoff 1 12
III.4.2. nh lut kirchhoff 2 13
III.5. Cỏch thnh lp s phc 13
III.6. Mt s phng phỏp phõn tớch mch in 14
III.6.1. Phng phỏp dũng in nhỏnh 14
III.6.2. Phng phỏp dũng in vũng 14
III.6.3. Phng phỏp in ỏp hai nỳt 15
III.6.4. Phng phỏp tớnh mch cú ngun chu kỡ khụng sin 15
CHNG 2: P DNG PHNG PHP S PHC GII MT S BI
TON MCH IN XOAY CHIU 16
Dng 1: i vi mch khụng phõn nhỏnh 16
I. Bi tp mu 16
II. Bi tp t gii 31
III. ỏp s 32
Dng 2: i vi mch phõn nhỏnh 33
I. Bi tp mu 33
II. Bài tập tự giải 57
III. Đáp số 59
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 60
III.1. Kết luận 60
III.2. Kiến nghị 60
TÀI KIỆU THAM KHẢO 61

1
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình học tập, việc giải bài tập là một khâu quan trọng không thể
thiếu. Tuy nhiên, đứng trước mỗi bài tập đều có nhiều phương pháp để giải,

nhưng điều khó khăn nhất đối với người học là phải lựa chọn phương pháp nào
cho phù hợp, đơn giản mà vẫn đi tới kết quả đúng và dựa trên cơ sở nào để lựa
chọn phương pháp này.
Trong phần điện học, các bài toán điện xoay chiều rất phong phú và đa
dạng, có thể dùng nhiều phương pháp khác nhau để giải như: Phương pháp
lượng giác, phương pháp hình học ( giản đồ véctơ), phương pháp số phức
Trong các phương pháp trên người học thường sử dụng phương pháp giản đồ
véc tơ để tiếp cận vấn đề nhưng tôi nhận thấy phương pháp số phức là một
phương pháp đơn giản và cho kết quả có độ chính xác cao, đặc biệt là đối với
những mạch điện phức tạp. Đó là lý do tôi quyết định lựa chọn đề tài: "Áp dụng
phương pháp số phức để giải một số bài toán mạch điện xoay chiều". Với
phương pháp này người học sẽ không phải phân tích mạch điện mà vẫn giải
được bài tập và việc giải bài tập trở nên đơn giản hơn.
Tôi hy vọng khóa luận là một tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên sư
phạm Vật lý và các bạn sinh viên có học môn Vật lý.
II. Cơ sở nghiên cứu
II.1. Cơ sở lý luận
Bài tập vật lý được sử dụng trong nhiều giai đoạn khác nhau của quá trình
dạy học. Trong quá trình dạy học Vật lý bài tập được sử dụng với nhiều mục
đích khác nhau:
+ Bài tập giúp cho việc mở rộng, đào sâu kiến thức.
+ Bài tập là điểm khởi đầu để dẫn dắt đến kiến thức mới.
+ Giải bài tập Vật lý giúp người học rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý
thuyết vào thực tiễn.
+ Giải bài tập Vật lý là một trong những hình thức làm việc tự lực cao của
người học.
+ Giải bài tập Vật lý góp phần phát triển tư duy sáng tạo của người học.
+ Giải bài tập Vật lý là một phương tiện để kiểm tra khả năng và mức độ
nắm bắt kiến thức của người học một cách chính xác và hiệu quả nhất.

2
* Các bước chung để giải một bài tập Vật lý
Bài tập Vật lý rất đa dạng cho nên phương pháp giải rất phong phú, tuy
nhiên có thể vạch ra một dàn ý chung gồm các bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu đề bài
- Đọc, ghi ngắn gọn các dữ kiện xuất phát và cái cần tìm. Có thể minh họa
bằng hình vẽ.
Bước 2: Xác lập mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và cái cần tìm
- Đối chiếu các dữ liệu xuất phát và cái cần tìm xem xét bản chất Vật lý của
những tình huống đã cho để xác định các kiến thức, các định luật, các công thức
liên quan.
- Xác lập mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và cái cần tìm.
- Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ cần thiết, tối thiểu sao cho thấy được
mối liên hệ giữa cái cần tìm với các dữ liệu xuất phát từ đó rút ra cái cần tìm.
Bước 3: Rút ra cái cần tìm
- Từ mối liên hệ cần thiết đã xác lập tiếp tục luận giải để rút ra kết luận cần
thiết.
Bước 4: Kiểm tra đánh giá
Các phương pháp đánh giá:
- Kiểm tra tính toán đã đúng chưa.
- Kiểm tra thứ nguyên có phù hợp không.
- Kiểm tra kết quả bằng thực nghiệm xem có phù hợp không.
- Giải bài toán theo cách khác xem có trùng kết quả không.
Đó là các bước chung nhất trong quá trình giải một bài tập Vật lý.
Tuy nhiên trong mỗi bài toán cụ thể không nhất thiết phải tuân theo tất cả
các bước mà có thể kết hợp các bước sao cho phù hợp.
II.2. Cơ sở thực tiễn
Phương pháp lượng giác và phương pháp đồ thị được ứng dụng rộng rãi khi
nghiên cứu mạch điện hình sin. Nó giúp biểu diễn rõ ràng trị số hiệu dụng, góc
pha, góc lệch pha, rất thuận tiện khi minh họa, so sánh và giải các mạch điện

đơn giản. Tuy nhiên cách biểu diễn véc tơ gặp nhiều khó khăn khi giải mạch
điện phức tạp. Khi giải mạch điện sin ở chế độ xác lập một công cụ rất hiệu lực

3
là biểu diễn các đại lượng sin bằng số phức. Chính vì vậy tôi đã áp dụng phương
pháp số phức để giải một số bài toán mạch điện xoay chiều.
III. Mục đích của đề tài
Củng cố lý thuyết, đưa ra các bài tập cụ thể để thấy được hiệu quả của
phương pháp này.
Cung cấp thêm tài liệu về cách giải bài toán dòng điện xoay chiều trong
chương trình Vật lý đại cương cho các bạn sinh viên SP Vật lý, các sinh viên
khác học môn Vật lý tham khảo và có thể làm tại liệu tham khảo cho giáo viên
THPT trong quá trình giảng dạy.
Giúp tăng thêm vốn kiến thức cho bản thân.
IV. Nhiệm vụ của đề tài
Nghiên cứu kiến thức về điện xoay chiều trong chương trình vật lý đại
cương (Điện kỹ thuật), kiến thức về số phức làm nền tảng vận dụng vào giải một
số bài toán dòng điện xoay chiều.
Đề tài dùng phương pháp số phức để giải một số bài toán mạch điện xoay
chiều. Phương pháp này giúp cho người học có thêm hướng giải khi gặp các bài
toán điện xoay chiều phức tạp.
V. Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu
V.1. Đối tượng nghiên cứu
Áp dụng phương pháp số phức để giải một số bài toán mạch điện xoay
chiều.
V.2. Khách thể nghiên cứu
Sinh viên sư phạm Vật lý trường ĐH Tây Bắc và những sinh viên khác có
học môn Vật lý.
VI. Phương pháp nghiên cứu
VI.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

VI.2. Phân loại bài tập, vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán cụ thể
của mạch điện xoay chiều
VII. Phạm vi nghiên cứu
Trong phạm vi của khóa luận cho phép tôi chọn kiến thức mạch điện xoay
chiều phân nhánh và mạch điện xoay chiều không phân nhánh: Cho các thông số
của mạch điện R, L, C, e ,cường độ dòng điện hoặc hiệu điện thế trong mạch

4
chính và sơ đồ mạch điện để từ đó tính cường độ dòng điện hiệu dụng, viết biểu
thức cường dộ dòng điện, hiệu điện thế hiệu dụng, biểu thức hiệu điện thế, công
suất.
VIII. Giả thuyết khoa học
Đối với việc giải bài tập Vật lý, đặc biệt là bài toán về mạch điện xoay
chiều phức tạp nếu lựa chọn được phương pháp giải thích hợp thì việc giải bài
toán sẽ trở nên đơn giản và hiệu quả hơn.
IX. Cấu trúc của đề tài
Phần I: Mở đầu
Phần II: Nội dung
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Chương 2: Áp dụng phương pháp số phức giải một số bài toán mạch điện
xoay chiều
Phần III: Kết luận và đề nghị
X. Kế hoạch thực hiện đề tài
+ Từ 09/2012 → 11/2012: Đọc, sưu tầm tài liệu và viết đề cương
+ Từ 11/2012 → 12/2012: Nghiên cứu tài liệu, xây dựng cơ sở lý thuyết
+ Từ 12/2012 → 02/2013: Phân loại và chia ra phương pháp giải cụ thể cho
một số dạng bài tập
+ Từ 02/2013 → 04/2013: Viết khóa luận, xin ý kiến tham khảo
+ Từ 04/2013 → 05/2013: Chỉnh sửa và hoàn thiện khóa luận
+ Từ 05/2013 → 06/2013: Bảo vệ khóa luận

5
PHN II: NI DUNG
CHNG 1: C S Lí THUYT
I. Số phức
I.1. Xét tập hợp các cặp số thực (x,y) lấy theo một thứ tự xác định.
Cặp số thực này có thể coi nh- một vectơ trong mặt phẳng Đềcac vuông góc
xOy. Mỗi cặp số thực trên đ-ợc gọi là một số phức và mặt phẳng Đềcac xOy
đ-ợc gọi là mặt phẳng số phức. Nh- vậy là giữa tập hợp các số phức (x,y) và tập
hợp các điểm z của mặt phẳng xOy có sự liên hệ tập hợp các điểm z có sự liên hệ
một đối một, do đó ta có thể viết đẳng thức.
z = (x,y)
Trong thành phần của số phức z = (x,y), x đ-ợc gọi là phần thực, y đ-ợc
gọi là phần ảo.
Kí hiệu:
x = Rez
y = Imz

1 1 1
z = x , y
và

2 2 2
z = x , y
đ-ợc coi là bằng nhau
12
12
x = x
y = y





Số phức dạng

z = x, 0
nghĩa là số phức có thành phần ảo bằng 0 đ-ợc
coi nh- trùng với số thực
x
và điểm t-ơng ứng của nó trên mặt phẳng xOy nằm
trên trục hoành. Trên cơ sở đó trục hoành của mặt phẳng Đềcac xOy còn gọi là
trục thực.
Số phức dạng

z = 0, y
nghĩa là số phức có phần thực bằng 0, ứng với

một điểm nào đó nằm trên trục tung đ-ợc gọi là trục ảo.
Hai số phức

1
z = x, y
và

1
z = x, -y
ứng với hai điểm đối xứng nhau
đối với trục thực đ-ợc gọi là hai số phức liên hợp.
Kí hiệu:

,,x y x y

Chú ý: Hai số phức liên hợp bằng nhau khi chúng đều là số thực.
I.2. Dạng đại số của số phức
Trong tập hợp các số phức, số phức thuần ảo

0,1
có một vị trí đặc biệt.
Đó là đơn vị ảo. Ta kí hiệu đơn vị ảo là j.

0,1 = j


6
y
y
z

x
x
O

z
r
Hỡnh 1
Dựa vào kí hiệu này ta có thể đ-a ra một dạng khác của số phức gọi là dạng
đại số.
Nh- ta đã biết

x,0 = x
với
x
. Dựa vào định nghĩa của phép nhân ta có

2
j = 0,1 . 1,0 = -1,0 = -1 1

Tính chất đặc biệt của tập hợp số phức: bình ph-ơng của một số thuần ảo
lại là một số thực.
Tính chất khác nữa: mọi số thuần ảo đều có thể coi nh- tích của đơn vị ảo
với một số thực có giá trị bằng phần ảo


0,y = 0,1 y,0 = jy

Dựa vào (1) và (2) ta có thể viết số phức bất kì

z = x,y

d-ới dạng sau:

z = x,y = x,0 + 0,y = x,0 + 0,1 y,0 = x + jy

Dạng
z = x + jy
đ-ợc gọi là dạng đại số hay dạng Đềcac của số phức.
I.3. Dạng l-ợng giác của số phức
Để thấy rõ hơn bản chất hình học của số phức ta sẽ có cách biểu diễn hình
học của nó (hình 1). Gọi độ dài của
Oz
là r ta có
22
r = x + y

Đại l-ợng r đ-ợc gọi là môđun của số phức z
là một số thực không âm. Ta cũng thấy ngay số
phức

z = 0,0
trùng với gốc của trục toạ độ, là số
duy nhất có môđun bằng 0.
H-ớng của
Oz
đ-ợc xác định bởi góc

.
Góc này đ-ợc tạo thành bởi chiều d-ơng của trục
Ox
và

Oz


z0
. Góc

gọi là acgumen của số phức z.
Về hình học, một số phức z đ-ợc xác định hoàn toàn bởi hai đại l-ợng là
r

và

. Chúng đ-ợc gọi là toạ độ cực của số phức z.
Kí hiệu:
r = z
= Argz




Chú ý: Môđun của số phức đ-ợc xác định duy nhất còn acgumen đ-ợc xác
định sai khác một bội của
2
.

7
Theo hình 1 ta có:
x = rcos
y = rsin

Với
z0
, trong các giá trị của acgumen, có một giá trị duy nhất gồm
giữa
-
và

ta gọi đó là giá trị chính và kí hiệu là arg.
- < argz

Nh- vậy

Argz = argz + k2, k = 0, 1, 2, 3

Ta có:

y
tg argz =
x


z = x + jy = rcos + jrsin = r cos + jsin

Đây là dạng l-ợng giác của số phức.
áp dụng công thức ơle:

j

cos + jsin = e
.
Số phức z còn đ-ợc viết d-ới dạng:
j
z = r.e
.
I.4. Cỏc phộp tớnh trờn tp hp s phc
I.4.1. Phộp cng, phộp tr
Khi thc hin phộp cng hoc phộp tr cỏc s phc ta nờn a s phc v
dng i s ri cng (tr) phn thc vi phn thc, phn o vi phn o.
Xột 2 s phc: z
1
= x
1
+ jy
1
v z
2
= x
2
+ jy
2
ta cú:
z
1
+ z
2
= (x
1
+ jy

1
)

+ (x
2
+ jy
2
) = (x
1
+ x
2
) + j(y
1
+ y
2
)
z
1
- z
2
= (x
1
+ jy
1
)

- (x
2
+ jy
2

) = (x
1
- x
2
) + j(y
1
- y
2
)
I.4.2. Phộp nhõn, phộp chia
Khi thc hin phộp nhõn hoc phộp chia s phc ta nờn a s phc v
dng s m ri nhõn (chia) mụum cho nhau, cũn acgumen thỡ cng hoc tr vi
nhau.
Xột 2 s phc: z
1
= A
1
j
e
v z
2
= B.
2
j
e
ta cú:
z
1
.z
2

= A
1
j
e
.B.
2
j
e
= A.B.
12
j( + )
e

1
1
12
2
2
j
j( - )
j
z
A.e A
= = .e
zB
B.e

Nhõn chia s phc cng cú th thc hin di dng i s nh bỡnh thng.

8

Xét 2 số phức: z
1
= x
1
+ jy
1
và z
2
= x
2
+ jy
2
ta có:
+ Phép nhân: z
1
.z
2
= = (x
1
+ jy
1
).(

x
2
+ jy
2
) = (x
1
.x

2
- y
1
.y
2
) + j(x
1
.y
2
+ x
2
.y
1
)
Với j
2
= -1
+ Phép chia: Khi thực hiện phép chia ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên
hợp của mẫu số.
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
22
2 2 2 2 2 2 2
z x + jy (x + jy ).(x - jy ) (x .x +y .y ).(y x -x .y )
= = =
z x + jy (x + jy ).(x - jy )
x +y

I.4.3. Nhân số phức với
±jα
e

Giả sử có số phức:
±jφ
z=A.e
Ta có:
±jφ
z=A.e
.
±jα
e
=
±j(φ ± α)
A.e

Tức là khi nhân một số phức với
jα
e
ta quay véc tơ biểu diễn số phức ấy đi
một góc
α
ngược chiều quy kim đồng hồ.
Khi nhân số phức với
-jα
e
ta quay véc tơ biểu diễn số phức ấy đi một góc
α

cùng chiều kim đồng hồ.
I.4.4 Nhân số phức với
±j

Theo công thức Ơ le:
π
j
2
ππ
e =cos + jsin = j
22
;
π
-j
2
ππ
e =cos(- )+ jsin(- )=-j
22

Như vậy khi nhân một số phức với j ta quay véc tơ biểu diễn số phức đó đi
một góc
π
2
ngược chiều quay kim đồng hồ, khi nhân với (-j) ta quay véc tơ đó đi
một góc
π
2
cùng chiều kim đồng hồ.
II. C¸c ph-¬ng ph¸p biÓu diÔn dao ®éng ®iÒu hoµ
II.1. Ph-¬ng ph¸p l-îng gi¸c
Dao ®éng ®iÒu hoµ (d®®h) ®-îc biÓu diÔn d-íi d¹ng:
 
1 1 1 1

x = A cos ω t + α

 
1 2 2 2
x = A cos ω t + α

Tæng hai d®®h cïng ph-¬ng:
   
1 2 1 1 1 2 2 2
x = x + x = A cos ω t + α + A cos ω t + α

NÕu hai dao ®éng cïng biªn ®é : A
1
= A
2
= A

9
1 2 1 2 1 2 1 2
+ + - -
x = 2Acos t + .cos t +
2 2 2 2




Đặc biệt khi hai dao động cùng tần số
12
= =
thì

1 2 1 2
- +
x = 2Acos .cos t +
22




II.2. Ph-ơng pháp hình học (giản đồ vectơ Fresnel-GĐVT)
Dựa vào tính chất một dđđh có thể coi nh- hình chiếu của một chuyển
động tròn đều xuống một đ-ờng thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo, theo
ph-ơng pháp này mỗi dđđh đ-ợc biểu diễn bằng một vectơ quay.
Giả sử cần biểu diễn dao động

x = Acos t +
.
Trên một trục chọn làm trục x ta lấy điểm O bất kỳ làm gốc. Từ điểm O ta
đặt vectơ
A
tạo với Ox một góc

bằng pha ban đầu và có độ dài tỉ lệ với biên
độ A. Ta gọi nó là vectơ biên độ.
Cho vectơ biên độ quay quanh O theo chiều
d-ơng (ng-ợc chiều kim đồng hồ) với vận tốc bằng

. Khi đó điểm đầu mút vectơ
A
trên trục x sẽ
biểu diễn một dđđh quanh điểm O theo ph-ơng

trình

x = Asin t +
.
ở điện học, trong ph-ơng pháp này các đại
l-ợng vô h-ớng nh- c-ờng độ dòng điện, hiệu điện thế, đ-ợc biểu diễn bằng
các vectơ . Các vectơ này có độ lớn bằng biên độ
0
I
,
0
U
của các đại l-ợng biến
thiên I, U t-ơng ứng. Các vectơ
0
I
,
0
U
đó vẽ chung một góc và lệch pha nhau
một góc bằng

bằng hiệu số pha giữa chúng và chúng quay ng-ợc chiều kim
đồng hồ với vận tốc t-ơng ứng. Các giá trị tức thời của dòng điện và hiệu điện
thế tại mỗi thời điểm sẽ tìm đ-ợc nhờ chiếu vectơ
0
I
và
0
U

lên trục tung. Hình
chiếu của chúng lên trục tung tại mỗi thời điểm bằng giá trị tức thời của chúng
tại thời điểm đó.
Nh- vậy việc khảo sát ph-ơng trình l-ợng giác thay bằng sự khảo sát phép
quay của vectơ
A
.
II.3. Ph-ơng pháp số phức
Một số phức đ-ợc biểu diễn d-ới dạng:

j
a = Ae = A. cos + jsin = Acos + jAsin

y
O
A

x

y

10
Một dao động điều hoà dạng

x = Acos t +
có thể biểu diễn phần thực
của một số phức

j t +
a = Ae

hoặc

j t +
a = Ae-
hay cũng có thể viết d-ới
dạng:

a = Aexp j t+
hoặc


a = Aexp -j t+

Khi hai dđđh đ-ợc biểu diễn bằng những phần thực của hai số phức a và b
và gọi số phức c là tổng của a và b thì phần thực của c biểu diễn tổng hợp của hai
dai động nói trên. Số
-j
a = Ae
là liên hợp phức của
-j
a = Ae
ta có:
j -j 2
aa = Ae . Ae = A .

III. Phng phỏp dựng s phc gii bi toỏn mch in xoay chiu
III.1. Biu din cỏc i lng U,I di dng s phc
a. Đối chiếu công thức ơle với ph-ơng trình của dao động điện từ ta thấy
một đại l-ợng biến thiên điều hoà theo thời gian

a = Asin t +
có thể biểu
diễn bằng một số phức kí hiệu
a


j t + t
a a = A.e

Bởi vì trong bài toán mạch điện xoay chiều, tần số góc

có trị số xác định
nên để thuận tiện trong tính toán ta quy -ớc:

j
12
a a = A.e = A. cos + jsin = a + ja

Với
1
a = Acos
là phần số thực,
2
a = Asin
là phần ảo của số phức
a
,


chính là pha ban đầu hoặc độ lệch pha (so với dao động khác) của một đại l-ợng

biến thiên điều hoà mà ta xét.
Nh- vậy, nếu hiệu điện thế có biểu thức
u = 100 2sin100t
(V) thì nó
đ-ợc biểu diễn bằng số phức
U=100 2
(V) vì
= 0
.
Nếu c-ờng độ dòng điện có dạng:

i = 5 2sin 100t +
4



(A)
thì nó đ-ợc biểu diễn bằng số phức :


j
4
I = 5 2e = 5 + j5 A

Và ng-ợc lại, nếu có
U=100 2
(V) thì ta có thể viết biểu thức


u = 100 2 sin100t = 100 2cos 100t - V

2





11
Hoặc nếu có
I=5+ j5
thì ta có biểu thức

i = 5 2 sin 100t + = 5 2cos 100t + -
4 4 2

= 5 2cos 100t -
2







Ngoài ra vì
R
gắn với
R
u
,
L

X
gắn với
L
u
,
C
X
gắn với
C
u
nên tổng trở
Z
của mạch RLC ghép nối tiếp cũng đ-ợc biểu diễn bằng một số phức:
LC
Z Z=R + j(X -X )

b. Khi đó định luật Ôm cho đoạn mạch RLC ghép nối tiếp đ-ợc viết d-ới dạng.
U
I=
Z
hay
U=I.Z

Nếu mạch gồm nhiều đoạn ghép nối tiếp thì:
12
Z=Z +Z +
,
12
U=U +U +

với
i
Z
,
i
U
là tổng trở và hiệu điện thế của đoạn mạch thứ i.
c. Còn nếu mạch gồm nhiều đoạn mạch ghép song song thì tổng trở của
toàn mạch và dòng điện chính trong mạch là:
12
12
1 1 1
= + + ; I=I +I +
Z Z Z
với
12
12
UU
I = ;I = ;
ZZ

d. Nếu mạch gồm các phần tử ghép hỗn hợp thì phân tích mạch thành các
đoạn mạch ghép nối tiếp, mỗi đoạn mạch đó lại gồm các phần tử ghép song song
rồi vận dụng cách tính nói trên.



12
e. Ngoài ra khi cần thiết, để giải bài toán đ-ợc thuận lợi có thể sử dụng
phép biến đổi tam giác, sao đối với tổng trở phức, giống nh- với điện trở thuần

trong các bài toán mạch điện không đổi. Chẳng hạn:
Bin i t hỡnh tam giỏc sang hỡnh sao:
12 31
1
12 23 31
ZZ
Z=
Z +Z +Z
;
12 23
2
12 23 31
ZZ
Z=
Z +Z +Z
;
23 31
3
12 23 31
ZZ
Z=
Z +Z +Z

Bin i t hỡnh sao sang hỡnh tam giỏc:
12
12 1 2
3
Z .Z
Z = Z + Z +
Z

;
23
23 2 3
1
Z .Z
Z = Z + Z +
Z
;
31
31 3 1
2
Z .Z
Z = Z + Z +
Z

III.2. Biu din o hm
di
dt

Nu
i= 2.Isint
c biu din bng dũng in phc thỡ o hm
di
= 2.I.cost = 2.I.sin(t + )
dt 2
.
Nh vy biu din s phc ca o hm
di
dt
l:

di
dt
j


III.3. Biu din tớch phõn
idt


Nu
i= 2.Isint
c biu din bng dũng in phc thỡ tớch phõn
t
0
I 2 I 2
idt= .cost = .sin(t - )
2

.
Vy tớch phõn
idt

c biu din di dng s phc:
(-j)
=
j
II

III.4. Biu din cỏc nh lut kirchhoff di dng s phc
III.4.1. nh lut kirchhoff 1

T biu thc
i=0 =0I



13
Phát biểu: Tổng đại số các dòng điện phức tại một nút bằng không.
III.4.2. Định luật kirchhoff 2
Xét đoạn mạch gồm RLC mắc nối tiếp ta có:
di 1
U=U +U +U =R +L. + idt
R L C i
dt C


Dòng điện và điện áp trên các phần tử là các đại lượng sin cùng tần số, ta
có thể biểu diễn dưới dạng phức.
I1
U = RI + jωLI + = R + j(ωL - ) .I = Z.I
jωC ωC




Với
1
Z = R + j(ωL - )
ωC
là tổng trở phức của mạch điện.
Trường hợp tổng quát định luật kirchhoff 2 viết cho mạch vòng kín dưới

dạng:
ZI = E


Tổng trở phức
Z
có phần thực là điện trở R và phận ảo là điện kháng
Biểu thức nghịch đảo của tổng trở phức được gọi là tổng dẫn phức và kí
hiệu bằng
Y
:
1
Y=
Z

Các tổng trở phức
Z
và tổng dẫn phức
Y
thường có thêm dấu gạch ở trên
để phân biệt với môđun của chúng là Z và Y. Nhờ cách biểu diễn các đại lượng
sin bằng số phức ta đã chuyển được các phương trình vi, tích phân dưới dạng tức
thời thành phương trình đại số với các số phức. Nhờ đó có thể xây dựng các
phương trình tổng quát để tính toán các mạch điện phức tạp ở chế độ xác lập sin
một cách thuận tiện.
III.5. Cách thành lập sơ đồ phức
Trong trường hợp sơ đồ mạch đã cho dạng tức thời phải tìm sơ đồ phức
tương đương (đại số hóa sơ đồ mạch) ta thực hiện như sau:
- Điện trở R khi chuyển sang sơ đồ phức được giữ nguyên.
- Điện cảm L khi chuyển sang sơ đồ phức được thay bằng

L
jωL = jX
.
- Điện dung C khi phức hóa được thay bằng
C
1
= - jX
jωC
.

14
- Nguồn e
(t)
và j
(t)
khi chuyển sang sơ đồ phức đực thay bằng
E
và
J
.
- Giữ nguyên kết cấu của mạch.
III.6. Một số phương pháp phân tích mạch điện
III.6.1. Phương pháp dòng điện nhánh
Giả sử tổng quát mạch có m nhánh có dòng cần tìm, n nút:
Các bước giải theo phương pháp dòng điện nhánh:
Bước 1: Chọn ẩn số là m dòng điện phức các nhánh, với chiều dương tùy ý.
Bước 2: + Viết n-1 phương trình kirchhoff 1 cho nút.
+ Viết m - n + 1 phương trình kirchhoff 2 cho mắt lưới.
Bước 3: Giải hệ phương trình vừa viết, tìm ra ẩn số là dòng điện phức các
nhánh. Từ các dòng điện phức ta đưa về dòng điện dưới dạng tức thời (dạng

hình sin). Có thể tiếp tục tìm điện áp hay công tùy thuộc vào yêu cầu bài toán.
III.6.2. Phương pháp dòng điện vòng
Gọi m là số nhánh, n là số nút do đó số vòng độc lập cần phải chọn là m - n
+ 1
Các bước giải theo phương pháp dòng điện vòng:
Bước 1: Tùy ý chọn chiều dòng điện nhánh và dòng điện vòng.
Bước 2: Lập m - n + 1 phương trình dòng điện vòng.
Bước 3: Giải hệ m - n + 1 phương trình tìm dòng điện vòng.
Bước 4: Từ các dòng điện vòng tìm được, suy ra các dòng điện nhánh.
Bước 5: Biện luận nếu giá trị tìm được của dòng điện ở một thời điểm nào
đó lớn hơn 0 thì chiều ta chọn là đúng, ngược lại nếu giá trị tìm được của dòng
điện là nhỏ hơn 0 thì chiều của dòng điện ngược với chiều ta đã chọn.
Chú ý:
+ Khi lập hệ phương trình dòng điện vòng ta cần vận dụng định luật
kirchhoff 2 cho một vòng như sau: Tổng đại số điện áp rơi trên các tổng trở của
vòng do các dòng điện vòng gây ra bằng tổng đại số các sức điện động của
vòng. Trong đó các dòng điện vòng, các sức điện động có chiều trùng với chiều
đi của vòng lấy dấu dương, ngược lại lấy dấu âm.
+ Sau khi tính được các dòng điện vòng thì dòng điện trong các nhánh
được tính như sau: Dòng điện của một nhánh bằng tổng đại số các dòng điện

15
vòng qua nhánh ấy, trong đó dòng điện vòng nào có chiều trùng với chiều dòng
điện nhánh lấy dấu dương, ngược lại lấy dấu âm.
III.6.3. Phương pháp điện áp hai nút
Phương pháp này áp dụng cho nhiều nhánh nối song song vào hai nút.
Các bước giải theo phương pháp điện áp hai nút:
Bước 1: Tùy ý chọn chiều dòng điện nhánh và điện áp hai nút, chọn một
nút tiện nhất làm chuẩn và coi là có điện thế bằng số 0.
Bước 2: Tìm điện áp hai nút theo công thức:

nn
AB
n
E .Y
U=
Y



Bước 3: Tìm dòng điện nhánh bằng cách áp dụng định luật ôm cho nhánh
chứa nguồn.
III.6.4. Phương pháp tính mạch có nguồn chu kì không sin
Thuật toán giải mạch có nguồn chu kì không sin như sau:
Bước 1: Phân tích nguồn chu kì không sin thành tổng các điều hòa có tần
số khác nhau.
Bước 2: Cho từng điều hòa tác động, tìm dòng điện, điện áp do từng điều
hòa tạo nên.
Bước 3: Tổng hợp kết quả
Vì các điều hòa có tần số khác nhau nên cần dùng biểu thức dạng tức thời:
0 1m 1 2m 2 km
i=I +I .sin(ωt+φ ) +I .sin(2ωt+φ )+ +I .sin(kωt+φk)

Để tìm trị số hiệu dụng của dòng điện không sin ta tính:
tt
22
0 1 2 k
00
11
I= . i dt = . (I +i +i + +i ) dt
TT



Khai triển biểu thức trên và lấy tích phân ta được:
2 2 2 2
0 1 2 k
I= I +I +I + +I






16
CHƯƠNG 2: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU
Dạng 1: Đối với mạch không phân nhánh
I. Bài tập mẫu
Bài 1: Cho mạch điện xoay chiều gồm 3 phần tử mắc nối tiếp với nhau,
điện trở thuần
R=8(Ω)
. Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm
1
L = (H)
80π
, một tụ
điện có điện dung
-4
10
C = (F)
8π

. Đặt vào hai đầu doạn mạch một hiệu điện thế
xoay chiều có biểu thức
U = 34 2.sin(2000πt)(V)
.
1. Tìm biểu thức cường độ dòng điện tức thời trong mạch.
2. Viết biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu điện trở, hai đầu cuộn
cảm và hai đầu tụ điện.
- Giải -

1. Theo bài ra ta có:
Hiệu điện thế phức
oo
j0 j0
AB
34 2
U = .e = 34.e = 34(V)
2

L
C
-4
1
X=ωL = 2000π. = 25(Ω)
80π
11
X = = = 40(Ω)
ωC
10
2000π.
8π

Tổng trở phức của đoạn mạch:
o
AB L C
-j61
Z = R + j(X - X ) = 8 + j(25 - 40)
= 8 + j25 - j40 = 8 - j15 = 17.e

Dòng điện hiệu dụng phức trong mạch:
o
o
o
j0
j61
AB
AB
-j61
AB
U
34 34.e
I = = = = 2.e = 0,96 + j.1,75(A)
Z 8- j.15
17.e


17
Từ biểu thức của
AB
I
ta có thể rút ra trị số hiệu dụng, góc ban đầu và trị số

tức thời của dòng điện trong mạch.
Có:
AB
I = 2(A)
;
o
AB
φ = 61

o
AB AB
i = I . 2.sin(ωt + φ ) = 2 2.sin(2000πt + 61 )
62π
= 2 2.sin(2000πt + ) = 2 2.sin(2000πt + 1,08) (A)
180


2. Ta có:
+ Hiệu điện thế hiệu dụng phức giữa hai đầu điện trở:
o
j61
R AB
U = I .R = (0,96 + j.1,75).8 = 7,68 + j.14 = 16.e (V)

Từ biểu thức của
R
U
ta rút ra được:
o
RR

62π
U = 16(V); φ = 61 = (rad)
180


Biểu thức tức thời:
o
R R R
u = U . 2.sin(ωt + φ ) = 16 2.sin(2000πt + 61 )
62π
= 16 2.sin(2000πt + )(V)
180

+ Hiệu điện thế hiệu dụng phức giữa hai đầu cuộn cảm:
o
-j28
L AB L
U = I .(jX ) = (0,96 + j.1,75).(j25) = -43,75 - j.24 = 50.e (V)

Từ biểu thức của
L
U
ta rút ra được:
o
LL
28,6π
U = 50(V); φ = -28 = - (rad)
180



Biểu thức tức thời:
o
L L L
u = U . 2.sin(ωt + φ ) = 50 2.sin(2000πt - 28 )
28,6π
= 50 2.sin(2000πt - )(V)
180

+ Hiệu điện thế hiệu dụng phức giữa hai đầu tụ điện:
o
-j28
C AB C
U = I .(-jX ) = (0,96 + j.1,75).(-j40) = 70 - j.38,4 = 80.e (V)

Từ biểu thức của
C
U
ta rút ra được:

18
o
CC
28,6
U = 80(V); = -28 = - (rad)
180


Biu thc tc thi:
o
C C C

u = U . 2.sin(t + ) = 80 2.sin(2000t - 28 )
28,6
= 80 2.sin(2000t - )(V)
180

Bi 2: Một mạch điện gồm điện trở thuần

R = 75
mắc nối tiếp với
cuộn cảm có độ tự cảm

5
L = H
4
và với một tụ điện có điện dung

-3
10
C = F
5
. Dòng điện xoay chiều chạy trong mạch có biểu thức

i = 2 2sin 100t A
.
1. Viết biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu điện trở, giữa hai cuộn
cảm, giữa hai đầu tụ điện.
2. Viết biểu thức tức thời của hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch.
- Gii -

Theo bi ra ta cú:

Dũng in hiu dng phc:
o
o
j0
j0
2 2.e
I = = 2.e = 2(A)
2

L
5
Z = L = 100. = 125()
4

-3
C
11
Z = = = 50()
10
C
100.
5

1. + Hiu in th hiu dng phc gia hai u in tr:
o
j0
R
U = I.R = 2.75 = 150(V) = 150.e (V)

T biu thc ca

R
U
ta rỳt ra c tr s hiu dng, pha ban u v tr s
tc thi ca hiu in th gia hai u in tr:

19
o
RR
U = 150(V) ; φ = 0


Biểu thức tức thời:
R R R
u = U . 2.sin(ωt + φ ) = 150 2.sin(100πt)(V)

+ Hiệu điện thế hiệu dụng phức giữa hai đầu cuộn cảm:
o
j90
LL
U = I.jX = 2.(j125) = j250(V) = 250.e (V)

Từ biểu thức của
L
U
ta rút ra được:
o
LL
π
U = 250(V) ; φ = 90 = (rad)
2


Biểu thức tức thời:
o
L L L
u = U . 2.sin(ωt + φ ) = 250 2.sin(100πt + 90 )
π
= 250 2.sin(100πt + )(V)
2

+ Hiệu điện thế hiệu dụng phức giữa hai đầu tụ điện:
o
-j90
CC
U = I.(-jX ) = 2.(-j50) = -j100(V) = 100.e

Từ biểu thức của
C
U
ta rút ra được:
o
CC
π
U = 250(V) ; φ = -90 = - (rad)
2


Biểu thức tức thời:
o
C C C

u = U . 2.sin(ωt + φ ) = 100 2.sin(100πt - 90 )
π
= 100 2.sin(100πt - )(V)
2

2. Ta có tổng trở phức của đoạn mạch:
o
j45
AB L C
Z = R + j(X - X ) = 75 + j(125 - 50) = 75 + j75 = 75 2.e (Ω)

Hiệu điện thế hiệu dụng phức giữa hai đầu đoạn mạch:
o
j45
AB AB
U = I.Z = 2.(75 + j75) = 150 + j150 = 150 2.e (V)

Từ biểu thức của
AB
U
ta rút ra được: