De thi thử đại học môn Toán 2009

TRƯỜNG THPT MÊ LINH
KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ NHẤT
Môn: TOÁN 12
Năm học: 2007-2008
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1:(1điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.
2
7 6y x x= − +
. b.
2sin .cos lny x x x= −
.
Câu 2: (1điểm) Tìm các tiệm cận của hàm số:
a.
2
2 8
2
x x
y
x
− +
=
−
. b.
2 3
4 5
x
y
x
+
=

−
.
Câu 3: (4điểm) Cho hàm số (Cm):
3 2
y x mx m= − + −
.
a. Khảo sát (C) khi m=3.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm A(-1; 1).
c. Tìm m để phương trình sau có nghiệm t:
3 2
sin 3sin 0t t m− + − =
.
d. Tìm M ∈ (C) để qua M chỉ có 1 tiếp tuyến với (C).
e. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
f. Tìm m để (Cm) đồng biến trên [1; 2].
Câu 4: (3điểm) Cho đường tròn (C):
2 2
4 2 4 0x y x y+ − − − =
và đường thẳng (d): x – y = 0.
a. Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của (C).
b. Tìm phương trình (C’) đối xứng với (C) qua (d).
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với (d) góc 45
0
.
Câu 5: (1điểm) (học sinh làm một trong hai câu sau theo đúng khối đăng ký thi):
a.(Khối A và Khối B).
Chứng minh rằng:
1 2 2007
cos cos2 ... cos2007 0a x a x a x+ + =
có nghiệm với mọi

1 2 2007
, ,...,a a a ∈ ¡
b.(Khối D).
Chứng minh rằng:
cos cos 2 cos3 0a x b x c x+ + =
có nghiệm với mọi a, b, c
∈ ¡
Họ và tên thí sinh……………………………………….Số báo danh……………….
Ghi chú: Cán bộ coi thi khong giải thích gì thêm
-1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
x
y
HƯỚNG DẪN CHẤM
(nếu học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tương ứng với phần đó)
Câu Hướng dẫn Điểm
Câu 1
1đ
1a
2
7 6y x x= − +
. Tìm được TXĐ và tính được
2
2 7
'
2 7 6

x
y
x x
−
=
− +
0.5 điểm
1.b
2sin .cos lny x x x= −
. Tìm được TXĐ và tính được
1
' 2cos2y x
x
= −
0.5 điểm
Câu 2
1đ
2a
2
2 8
2
x x
y
x
− +
=
−
Tìm được tiệm cận đứng x = 2
Tìm được tiệm cận xiên y = x
0.25 điểm

0.25 điểm
2b
2 3
4 5
x
y
x
+
=
−
Tìm được tiệm cận đứng x = 5/4
Tìm được tiệm cận ngang y= 1/2
0.25 điểm
0.25 điểm
Câu 3
4đ
3a
Khi m=3 thì
3 2
3 3y x x= − + −
Tìm được TXĐ và tính được y’ = -3x(x-2)
Xét dấu y’, tìm được khoảng đơn điệu, CT(0; -3); CĐ(2; 1), khoảng lồi , lõm,
điểm uốn, giới hạn
Lập được bảng biến thiên
X -∞ 0 1 2 +∞
y’ - 0 + + 0 -
Y +∞ 0 1
-1
-3 -∞
Vẽ đồ thị

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
3b Tính được tiếp tuyến y = - 9x – 8
Và y = 1
0.5đ
0.5đ
3c Đặt sint = x => -1≤ x ≤ 1
Số nghiệm phương trình là số giao điểm của
3 2
3 3y x x= − + −
với y = m -3
trên [-1; 1]. Nên phương trình có nghiệm nếu:
3 3
[-1;1] [-1;1]
( 3 3) 3 ( 3 3)Min x x m Max x x− + − ≤ − ≤ − + −
=> m∈[0; 4]
0.25đ
0.25đ
3d
Giả sử M(x
0
; y
0
)∈(C). Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:
3 2
0 0 0
( ) 3 3y k x x x x= − − + −
(d). Vì qua M chỉ có 1 tiếp tuyến với (C) nên

3 2 3 2
0 0 0
2
3 3 ( ) 3 3 (1)
3 6 (2)
x x k x x x x
x x k

+ − = − − + −


+ =


chỉ có 1 nghiệm k
0.25đ
(C)
(d)
Series 1
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
x
f(x)
Thay (2) vào (1) ta được
2

0 0
( ) (2 3) 0x x x x− + − =
=>
0
0
3
2
x
x
−
=
=>
0
1x =

hay M(1;-1)
0.25đ
3e (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt  (C) có 2 CĐ và CT đồng thời
. 0
CT
y y <
C§
.
(C) có 2 cực trị  y’=0 có hai nghiệm phân biệt  m≠0.
Từ
. 0
CT
y y <
C§


4 2
4 3 3
- 0 | |
27 2
m m m+ < → >
0.25đ
0.25đ
3f
Có
2
' 3 2y x mx= − +
.
(Cm) đồng biến trên [1; 2] khi và chỉ khi y’ ≥0 ∀x∈[1; 2]
3 '(1) 0
3 '(2) 0
y
y
− ≤


− ≤

=> m≥3
0.25đ
0.25đ
Câu 4
3đ
4a
(C):
2 2

( 2) ( 1) 9x y− + − =
Tâm I(2; 1)
và bk R= 3
0.5đ
0.25đ
0.25đ
4b (C’) đối xứng (C) qua (d) nên (C’) có tâm I’ đối xứng với I qua (d) và bán
kính R’=R =3.
Tìm được I’(1; 2)
(C’):
2 2
( 1) ( 2) 9x y− + − =
0.25đ
0. 5đ
0.25đ
4c NX đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ góc 45
0
nên các tiếp tuyến cần tìm
có phương song song với Ox và Oy.
Có phương song song Oy: 2 tiếp tuyến x=-1
và x= 5
Có phương song song Ox: 2 tiếp tuyến y=-2
và y=4
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Câu 5
1đ
AB

Xét hàm số
2007
2
1
( ) sin sin 2 ... sin 2007
2 2007
a
a
F x a x x x= + + +
có đạo hàm và
liên tục trên
[0; ]
π
. Mặt khác:
1 2 2007
'( ) cos cos2 ... cos2007
( ) (0) 0
F x a x a x a x
F F
π
= + + +


− =

Khi đó
0
(0; )x
π
∃ ∈

sao cho:
0
( ) (0)
'( )
0
F F
F x
π
π
−
=
−
1 0 2 0 2007 0
cos cos2 ... cos2007 0a x a x a x↔ + + + =
=> phương trình có nghiệm x=x
0
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
D
Xét hàm số
( ) sin sin 2 sin3
2 3
b c
F x a x x x= + +
có đạo hàm và liên tục trên
[0; ]
π
. Mặt khác:

'( ) cos cos2 cos3
( ) (0) 0
F x a x b x c x
F F
π
= + +


− =

Khi đó
0
(0; )x
π
∃ ∈
sao cho:
0
( ) (0)
'( )
0
F F
F x
π
π
−
=
−
0 0 0
cos cos2 cos3 0a x b x c x↔ + + =
-> phương trình có nghiệm x=x

0

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ