ÁP DỤNG LOGIC mờ vào VIỆC ĐỊNH HƯỚNG NGHỀ NGHIỆP THEO LĨNH vực KHOA học tự NHIÊN CHO học SINH THPT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN


NGUYỄN NGỌC VỌNG

ÁP DỤNG LOGIC MỜ VÀO VIỆC ĐỊNH HƢỚNG NGHỀ
NGHIỆP THEO LĨNH VỰC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CHO
HỌC SINH THPT

KHĨA LUẬN THẠC SỸ
NGÀNH KHOA HỌC MÁY TÍNH
Mã số: 60.48.01.01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN XUÂN DŨNG

TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2016


Áp dụng logic mờ vào việc định hướng nghề nghiệp theo lĩnh vực khoa học tự nhiên cho học sinh
THPT

LỜI CAM ĐOAN

Tơi cam đoan rằng, để hồn thành nghiên cứu viết khóa luận này là do tơi
tìm hiểu và thực hiện, tôi không copy từ bất cứ luận văn hay bài báo nào để đưa vào
nội dung nghiên cứu trong khóa luận. Mọi tài liệu được tham khảo tơi đều liệt kê
trong danh mục tài liệu tham khảo, cam đoan khơng lấy nội dung để copy vào khóa
luận này.

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 04 năm 2016
Học viên

Nguyễn Ngọc Vọng

i


Áp dụng logic mờ vào việc định hướng nghề nghiệp theo lĩnh vực khoa học tự nhiên cho học sinh
THPT

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tiến sĩ Nguyễn Xuân
Dũng trưởng khoa Kỹ thuật công nghệ trường đại học Kinh tế kỹ thuật Bình Dương,
là người hướng dẫn em thực hiện đề tài, thầy đã động viên, hướng dẫn tận tình từ
lúc bắt đầu đến khi hoàn thành, tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hồn thành tốt đề
tài khóa luận thạc sỹ.
Em xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trường Đại học Cơng nghệ thơng tin
và các q Thầy Cơ đã tận tình giảng dạy lớp CH08. Nhờ sự tận tình dạy dỗ, sự giúp
đỡ của q Thầy Cơ đã giúp cho em tự tin và thêm nhiều kiến thức để hồn thành
khóa luận này. Và đó cịn là hành trang để em tiếp tục làm việc và nghiên cứu về
sau.
Xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, cảm ơn các anh chị, bạn bè, những người
luôn sát cánh, động viên tôi trên bước đường học tập cũng như trong cuộc sống.
Cám ơn đến các Thầy Cô thuộc khoa Kỹ thuật cơng nghệ trường Đại học Kinh tế kỹ
thuật Bình Dương đã giúp đỡ, góp ý để em hồn thành khóa luận.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 04 năm 2016
Học viên thực hiện
Nguyễn Ngọc Vọng

ii


Áp dụng logic mờ vào việc định hướng nghề nghiệp theo lĩnh vực khoa học tự nhiên cho học sinh
THPT

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................................ii
MỤC LỤC

.................................................................................................................... iii

DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................................vii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ......................................................................... viii
MỞ ĐẦU

..................................................................................................................... ix

CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN ............................................................................................. 1
1.1.

TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ...................................................... 1

1.2.

MỤC TIÊU, ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI ................................. 2

1.3.

PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ........................................................................ 3

CHƢƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................................. 4
2.1.

LÝ THUYẾT TẬP MỜ ........................................................................................ 4

2.1.1.

Khái niệm tập mờ ................................................................................................ 4

2.1.2.

Tập lát cắt của tập mờ.......................................................................................... 5

2.1.3.

Một số khái niệm đặc trưng của tập mờ .............................................................. 6

2.1.3.1.

Miền xác định của tập mờ ................................................................................ 6

2.1.3.2.

Miền tin cậy của tập mờ................................................................................... 6

2.1.3.3.

Độ cao của tập mờ ........................................................................................... 6

2.1.3.4.

Lực lượng của tập mờ ...................................................................................... 7

2.1.4.

Biến ngôn ngữ ..................................................................................................... 8

2.1.5.

Các phương pháp xây dựng hàm thành viên tập mờ và toán tử tập mờ .............. 9

2.1.5.1.

Phương pháp trực quan .................................................................................... 9

2.1.5.2.

Phương pháp hệ chuyên gia ............................................................................. 9

2.1.6.

Các phép tính trên tập mờ.................................................................................. 10

2.1.6.1.

Phần bù của một tập mờ................................................................................. 10

2.1.6.2.

Phép hợp ∪..................................................................................................... 12

2.1.6.3.

Phép giao ∩ .................................................................................................... 13

2.1.6.4.

Phép cộng đại số của các tập mờ ................................................................... 14

2.1.6.5.

Phép nhân đại số của các tập mờ ................................................................... 14

2.1.6.6.

Tích Descartes các tập mờ ............................................................................. 14

2.1.6.7.

Phép mờ hóa .................................................................................................. 15

2.1.6.8.

Phép khử mờ .................................................................................................. 16
iii

Áp dụng logic mờ vào việc định hướng nghề nghiệp theo lĩnh vực khoa học tự nhiên cho học sinh
THPT

2.1.7.

Quan hệ mờ ....................................................................................................... 19

2.1.7.1.

Định nghĩa quan hệ mờ .................................................................................. 19

2.1.7.2.

Liên kết mờ .................................................................................................... 20

2.1.7.3.

Hợp thành mờ ................................................................................................ 21

2.1.8.

Phép kéo theo .................................................................................................... 21

2.1.8.1.

Giới thiệu ....................................................................................................... 21

2.1.8.2.

Hàm kéo theo mờ ........................................................................................... 21

2.2.

PHƢƠNG PHÁP LẬP LUẬN MỜ .................................................................... 22
Lập luận mờ ....................................................................................................... 22

2.2.1.
2.2.1.1.

Lập luận xấp xỉ đơn điều kiện........................................................................ 22

2.2.1.2.

Quy tắc suy luận hợp thành ........................................................................... 23
Một số phương pháp lập luận mờ ...................................................................... 25

2.2.2.
2.2.2.1.

Suy diễn mờ tổng quát ................................................................................... 25

2.2.2.2.

Suy diễn Max-Min (Phương pháp Mamdani) ................................................ 25

2.2.2.3.

Suy diễn Max-Prod (Phương pháp Larsen) ................................................... 25

2.2.2.4.

Suy diễn Takagi-Sugeno ................................................................................ 26

CHƢƠNG 3. PHƢƠNG PHÁP ĐỊNH HƢỚNG NGHỀ NGHIỆP CHO HỌC SINH..
.................................................................................................................... 28
3.1.

NGHỀ NGHIỆP VÀ TƢ VẤN HƢỚNG NGHIỆP .......................................... 28

3.2.

NGÀNH NGHỀ THUỘC LĨNH VỰC KHOA HỌC TỰ NHIÊN .................. 32

3.2.1.

Diễn tả chung ..................................................................................................... 32

3.2.2.

Phẩm chất và năng lực ....................................................................................... 33

3.2.3.

Ngành nghề ........................................................................................................ 33

3.2.3.1.

Ngành vật lý ................................................................................................... 33

3.2.3.2.

Cơng nghệ hóa học ........................................................................................ 34

3.2.3.3.

Cơng nghệ sinh học........................................................................................ 35

3.2.3.4.

Khoa học mơi trường ..................................................................................... 36

3.2.3.5.

Khí tượng – thủy văn – hải dương học .......................................................... 37

3.2.3.6.

Địa chất .......................................................................................................... 39

3.2.3.7.

Công nghệ thực phẩm .................................................................................... 40

3.2.3.8.

Toán học ........................................................................................................ 41

3.2.3.9.

Địa lý.............................................................................................................. 42

3.3.

HIỆN TRẠNG TƢ VẤN HƢỚNG NGHIỆP CHO HỌC SINH .................... 43

3.4.

PHƢƠNG PHÁP ĐỊNH HƢỚNG NGHỀ NGHIỆP........................................ 44

CHƢƠNG 4. CÀI ĐẶT VÀ THỬ NGHIỆM HỆ THỐNG ......................................... 53
iv


Áp dụng logic mờ vào việc định hướng nghề nghiệp theo lĩnh vực khoa học tự nhiên cho học sinh
THPT

4.1.

MÔ HÌNH HỆ THỐNG...................................................................................... 53

4.2.

CÁC BƢỚC XÂY DỰNG MỘT HỆ THỐNG MỜ ......................................... 56

4.3.

MÔ TẢ CƠ SỞ DỮ LIỆU .................................................................................. 64

4.3.1.

TradeGroup........................................................................................................ 64

4.3.2.

Questions ........................................................................................................... 65

4.3.3.

Membership Function ........................................................................................ 66

4.3.4.

Rules .................................................................................................................. 67

4.4.

MÔ TẢ CÁC LỚP ĐỐI TƢỢNG ...................................................................... 67

4.4.1.

Fuzzy Number ................................................................................................... 67

4.4.2.

CTradecareer ..................................................................................................... 68

4.4.3.

Xây dựng luật và khử mờ .................................................................................. 69

4.5.

THỬ NGHIỆM HỆ THỐNG ............................................................................. 72

4.5.1.

Demo định hướng nghề nghiệp ......................................................................... 72

4.5.2.

Kiểm thử hệ thống ............................................................................................. 76

CHƢƠNG 5. KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN .............................................. 78
5.1.

CÁC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƢỢC ............................................................................ 78

5.2.

NHỮNG TỒN TẠI CỦA KHÓA LUẬN........................................................... 79

5.3.

HƢỚNG PHÁT TRIỂN CỦA KHÓA LUẬN .................................................. 79

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 80
PHỤ LỤC

........................................................................................................................ 82

v


Áp dụng logic mờ vào việc định hướng nghề nghiệp theo lĩnh vực khoa học tự nhiên cho học sinh
THPT

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

STT

Từ viết tắt

Ý nghĩa

1

SDS

Self-Directed Search

2

CNTT

Công nghệ thông tin

3

ĐH

Đại học

4

CĐ

Cao Đẳng

5

VL

Vật lý

6

CSDL

Cơ sở dữ liệu

7

THPT

Trung học phổ thông

8

THCS

Trung học cơ sở

9

RIASEC

Realistic-Investigative-ArtisticSocial-Enterprising-Conventional

vi


Áp dụng logic mờ vào việc định hướng nghề nghiệp theo lĩnh vực khoa học tự nhiên cho học sinh
THPT

DANH MỤC CÁC BẢNG
BẢNG

STT

TRANG

1

Bảng 2.1. Tập mờ

11

2

Bảng 2.1. Tập mờ

11

3

Bảng 2.3. Tập mờ

4

Bảng 2.4. Hợp tập mờ

5

Bảng 2.5. Giao tập mờ

6

Bảng 2.6. Bảng suy luận tổng quát với m luật mờ

25

7

Bảng 3.1. Bảng các câu hỏi hướng nghiệp

46

8

Bảng 3.2. Bảng ghi chú viết tắt ngành

50

9

Bảng 3.3. Bảng tính mức phù hợp theo ngành

50

10

Bảng 3.4. Bảng các tổ hợp môn

51

11

Bảng 4.1. Ma trận luật

60

12

Bảng 4.2. Mẫu dữ liệu T_TRADEGROUP

65

13

Bảng 4.3. Mẫu dữ liệu T_QUESTION

65

14

Bảng 4.4. Mẫu dữ liệu T_SkillsMember

66

15

Bảng 4.5. Mẫu dữ liệu T_Rule

67

16

Bảng 4.6. Kết quả kiểm thử với học sinh chưa biết chọn ngành

77

17

Bảng 4.7. Kết quả kiểm thử với học sinh đã biết chọn ngành

77

12

và

∪
∩

13
14

vii


Áp dụng logic mờ vào việc định hướng nghề nghiệp theo lĩnh vực khoa học tự nhiên cho học sinh
THPT

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29

HÌNH
Hình 2.1. Độ cao, miền tin cậy, miền xác định cuả tập mờ
Hình 2.2. Hàm thuộc của tập mờ
Hình 2.3. Tập bù ~ của tập tâp mờ
Hình 2.4. Hợp hai tập mờ
∪
Hình 2.5. Giao tập hai mờ A ∩
Hình 2.6. Các hàm thuộc của biến NHIỆT ĐỘ
Hình 2.7. Hàm thuộc hợp của các hạng tử trong biến NHIỆT
ĐỘ
Hình 2.8. Phương pháp trọng tâm
Hình 2.9. Hệ suy diễn mờ Takagi-Sugeno
Hình 2.10. Hệ suy diễn mờ Tsukamoto
Hình 3.1. Mơ hình RIASEC của John Holland

Hình 3.2. Mơ hình bài tốn định hướng ngành nghề
Hình 4.1. Mơ hình ứng dụng
Hình 4.2. Dạng tam giác
Hình 4.3. Dạng hình thang phải
Hình 4.4. Dạng hình thang trái
Hình 4.5. Hàm thuộc đầu vào kỹ năng (Skills)
Hình 4.6. Hàm thuộc đầu vào Điểm thi (Mark)
Hình 4.7. Hàm thuộc của đầu ra kết quả
Hình 4.8. Giao diện quản lý luật
Hình 4.9. Giao diện chương trình
Hình 4.10. Tab Kỹ năng
Hình 4.11. Tab Sở thích
Hình 4.12. Tab Điểm thi
Hình 4.13. Xem kết quả
Hình 4.14. Kết quả theo tổ hợp mơn
Hình 4.15. Nhập điểm thi THPT Quốc gia
Hình 4.16. Nhập điểm học bạ
Hình 4.17. Xem kết quả định hướng đầy đủ

viii

TRANG
6
7
11
12
13
16
17
19

20
27
32
45
53
54
54
54
57
58
60
62
72
72
73
73
74
74
75
75
76


Áp dụng logic mờ vào việc định hướng nghề nghiệp theo lĩnh vực khoa học tự nhiên cho học sinh
THPT

MỞ ĐẦU
Khái niệm tập mờ được Zadeh [12] đề xuất năm 1965 và lý thuyết giải tích mờ đã
được nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu, xây dựng và hồn thiện các phép
tốn cần thiết để giải tích mờ ngày càng trở thành một lý thuyết chặt chẽ về mặt

toán học và hiệu quả về mặt ứng dụng thực tiễn. Trong tiếp cận của Zadeh, lập luận
xấp xỉ dựa trên cơ sở logic mờ giá rị ngôn ngữ. Trong mô hình hệ hỗ trợ ra quyết
định của khóa luận sẽ xây dựng hai phần cốt lõi là xây dựng hệ cơ sở tri thức và xây
dựng cơ chế lập luận tương ứng với cơ sở tri thức dựa trên các quy tắc luật
IF…THEN.
Vào năm 1985, tiến sỹ tâm lý John Holland [6], [13] đã đưa ra mơ hình trắc nghiệm
định hướng nghề nghiệp, lý thuyết này dựa trên 8 luận điểm, trong đó 2 luận điểm
đầu là: Hầu như ai cũng có thể được xếp vào 1 trong 6 kiểu người, 6 kiểu người đó
là Realistic (xin tạm dịch – Người thực tế, viết tắt là R), Investigative (Người thích
nghiên cứu – I), Artistic (Người có tính nghệ sĩ –A), Social (người có tính xã hội –
S), Enterprising (Người dám nghĩ dám làm –E) và Conventional (người công chức
–C). Từ những câu hỏi có các mức chọn lựa, chương trình sẽ đưa ra định hướng
nghề nghiệp cho người dùng.
Định hướng nghề nghiệp là hết sức cần thiết đối với các học sinh trung học khi họ
chưa được tư vấn và hiểu đầy đủ về nghề nghiệp tương lai của mình. Nếu không
hiểu được ý nghĩa của việc định hướng nghề nghiệp có thể làm cho học sinh khó
khăn trong việc học và dẫn đến bỏ học. Đó cũng là lý do lớn ở các trường đại học,
cao đẳng số lượng người học nghỉ học ngày càng tăng ngay khi vào học học kỳ đầu
của các mơn chun ngành. Từ đó, bài toán định hướng nghề cho học sinh ra đời.
Dựa vào một số câu hỏi khảo sát học sinh, kết hợp với các điểm thi tại kỳ thi trung
học phổ thơng Quốc gia, chương trình sẽ đưa ra một số hướng tư vấn về các tổ hợp
môn thế mạnh của học sinh thuộc nhóm ngành của khoa học tự nhiên và một số
nghề nghiệp phù hợp với học sinh đó.
Nội dung khóa luận được trình bày trong 5 chương, bao gồm:

ix


Áp dụng logic mờ vào việc định hướng nghề nghiệp theo lĩnh vực khoa học tự nhiên cho học sinh
THPT

Chương 1 trình bày tổng quan về vấn đề nghiên cứu, mục tiêu, đối tượng và
phạm vi đề tài, phương pháp nghiên cứu.
Chương 2 trình bày cơ sở l‎ý thuyết của đề tài liên quan đến vấn đề phương
pháp lập luận mờ trong đó có lý thuyết về tập mờ, logic mờ, các phương pháp lập
luận mờ.
Chương 3 trình bày phương pháp định hướng nghề nghiệp cho học sinh gồm
các định nghĩa về định hướng nghề nghiệp, quy luật mờ để hỗ trợ chọn nghề nghiệp
cho học sinh, xây dựng phương pháp lập luận mờ để định hướng nghề nghiệp, xây
dựng thuật toán lập luận suy diễn mờ trong việc chọn nghề nghiệp.
Chương 4 xây dựng hệ hỗ trợ tư vấn chọn nghề nghiệp cho học sinh gồm
thiết kế mơ hình hệ thống hỗ trợ chọn nghề nghiệp cho học sinh, thiết kế mơ hình
suy diễn cho hệ thống chọn nghề nghiệp cho học sinh, cài đặt hệ thống phần mềm
lập luận mờ định hướng chọn nghề nghiệp cho học sinh, đánh giá thực nghiệm dựa
trên kết quả của hệ thống.
Chương 5 tổng kết những kết quả đạt được, tóm tắt lại các vấn đề đã đặt ra
trong khóa luận và cách giải quyết, những đóng góp mới và những đề xuất mới về
một số hướng phát triển của đề tài trong tương lai.

x


Chương 1. Tổng quan

CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN
1.1.

TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Hiện nay, việc định hướng nghề nghiệp diễn ra rất thường xuyên và phổ biến

tại các trường trung học phổ thơng, trên sách báo và internet. Và có một số trường
đại học, cao đẳng xây dựng website định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Tuy
nhiên, hầu hết đều dựa hoàn toàn vào lý thuyết John Holland nên học sinh chỉ phần
nào hiểu được nhóm người nào phù hợp với mình mà chưa biết năng lực, sở thích
và điểm thi của mình có thực sự phù hợp với một ngành cụ thể nào hay không?
Một số luận văn nghiên cứu khai khoáng dữ liệu và giáo dục đào tạo chủ yếu
giúp phân loại học sinh theo năng khiếu, các báo cáo nghiên cứu khoa học ứng dụng
logic mờ trong bài toán đánh giá học sinh trên cơ sở đại số gia tử. Đã có nhiều vấn
đề được nghiên cứu như ứng dụng logic mờ vào cập nhật vị trí thuê bao di động
theo thời gian thích ứng, ứng dụng lý thuyết tập mờ vào việc dự đoán kết quả tốt
nghiệp trung học phổ thông. Ứng dụng logic mờ xây dựng hệ tư vấn hướng nghiệp
với ngành Lâm sinh, ứng dụng hỗ trợ quyết định định hướng ngành nghề cho học
sinh dựa vào lý thuyết John Holland [6], [13].
Khoa học tự nhiên với nhiệm vụ nghiên cứu lý giải các sự vật hiện tượng xảy
ra trong tự nhiên, từ đó xây dựng các luận cứ, giải pháp, làm cơ sở xây dựng những
cơng trình ứng dụng cũng như sử dụng những lợi thế tự nhiên đem lại, góp phần cải
tạo xây dựng môi trường sống và nâng cao chất lượng cuộc sống cũng như bảo vệ
con người trước những tác động tiêu cực của tự nhiên gây ra...
Ở nước ta, hiện trạng thiếu nguồn nhân lực chất lượng cao trong lĩnh vực
khoa học tự nhiên gồm các ngành công nghệ sinh học, hóa học, địa chất học, khí
tượng học, thủy văn học,…ngày càng nhiều. Song song với tình trạng này lại có
tình trạng sinh viên bỏ học tại các trường cao đẳng, đại học lại càng nhiều kể cả các
ngành học thuộc lĩnh vực khoa học tự nhiên. Nguyên nhân lớn đến từ việc tư vấn
hướng nghiệp không đầy đủ, sinh viên khơng hiểu rõ thực sự mình có phù hợp với
ngành công nghệ sinh học hay chưa? Với ngành vật lý thì mức độ phù hợp của mình
như thế nào? Từ đó, họ khơng biết được mình học để làm gì? Ra trường sẽ làm như

1

Chương 1. Tổng quan

thế nào?
Trong đó, hàng năm học sinh đăng ký vào ngành khoa học tự nhiên tương
đối cao, đặc biệt ở các ngành công nghệ sinh học, công nghệ hóa học và thực phẩm.
Vì vậy, rất cần thiết một sự tư vấn về các ngành nghề khoa học tự nhiên này.
Vấn đề đặt ra là: học sinh có thể biết được ngành nào sẽ phù hợp với mình
nhất dựa vào kỹ năng, sở thích và điểm thi của mình.
1.2.

MỤC TIÊU, ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI

Mục tiêu:
Trên cơ sở tìm hiểu các tiêu chuẩn đánh giá định hướng nghề nghiệp cho học
sinh, tìm hiểu lý thuyết hướng nghiệp của John Holland, các lý thuyết về ngành
nghề khoa học tự nhiên, đề tài xây dựng bộ dữ liệu mẫu và phương pháp suy diễn
mờ để hỗ trợ cho học sinh chọn đúng nghề nghiệp cho bản thân.
Khóa luận đặt mục tiêu dựa vào lý thuyết tập mờ thiết kế mơ hình, cài đặt và
đánh giá hệ tư vấn hỗ trợ chọn nghề nghiệp cho học sinh, giúp cho học sinh biết
được mức độ phù hợp của mình đối với một ngành cụ thể thuộc lĩnh vực khoa học
tự nhiên, từ đó có được định hướng đúng đắn khi chọn ngành nghề trên cơ sở hiểu
biết khoa học về ngành nghề khoa học tự nhiên, năng lực học tập và sở trường của
bản thân.
Từ chương trình, sẽ giúp cho nhiều học sinh được tư vấn cụ thể về ngành
nghề, giảm thiểu được số lượng học sinh, người học thay đổi ngành nghề trong quá
trình học, tình trạng bỏ học, tình trạng thất nghiệp do khơng đáp ứng nhu cầu nghề
nghiệp.
Mơ tả u cầu của chương trình: học sinh lựa chọn các câu hỏi từ tập câu hỏi
của chương trình và nhập điểm thi THPT Quốc gia hoặc nhập điểm học bạ, chương
trình sẽ tính tốn và đưa ra mức độ phù hợp theo từng ngành, từ đó học sinh sẽ biết

được mình phù hợp với ngành nào nhất và có thể tìm kiếm để chọn trường, điểm
theo ngành đó.
Đối tƣợng nghiên cứu:

2


Chương 1. Tổng quan

 Lý thuyết về lập luận mờ và hệ chuyên gia mờ.
 Phương pháp lập luận mờ.
 Nghiên cứu và áp dụng phương pháp lập luận mờ trong điều kiện dữ liệu đầu
vào dưới dạng các câu hỏi trắc nghiệm về kỹ năng, sở thích và điểm thi trung
học phổ thông Quốc gia của học sinh.
 Sự phù hợp của ngành nghề thuộc lĩnh vực khoa học tự nhiên nào đó với học
sinh.
Phạm vi nghiên cứu:
 Thu thập dữ liệu qua phiếu khảo sát từ lớp 12C3 trường THPT Bình An (thị
xã Dĩ An, Bình Dương), các lớp chun tốn, chun lý, chun hóa, chun
sinh, văn-sử-địa của các học sinh trường THPT Chuyên Hùng Vương (thành
phố Thủ Dầu Một, Bình Dương).
 Phân tích đánh giá dữ liệu
 Ứng dụng này chỉ mang tính chất demo, thử nghiệm cho các lớp chun tốn,
chun lý, chun hóa, chun sinh, văn-sử-địa của các học sinh trường
THPT Chuyên Hùng Vương (thành phố Thủ Dầu Một, Bình Dương).
 Để đảm bảo tiến độ thời gian cũng như chất lượng cơng việc, khóa luận này
đặt phạm vi khảo sát và thử nghiệm trên 53 câu hỏi trắc nghiệm và 9 ngành
thuộc lĩnh vực khoa học tự nhiên.
1.3.

PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để xây dựng được hệ hỗ trợ định hướng nghề nghiệp, cần thiết thu thập từ

nhiều kiến thức khác nhau với nhiều phương pháp nghiên cứu tổng hợp. Trong đó
có các phương pháp chủ yếu sau:
 Các phương pháp thiết kế hệ cơ sở tri thức, hệ chuyên gia, hệ trợ giúp quyết
định, hệ quản lý thơng minh và các hệ tìm kiếm thơng tin.
 Tìm hiểu về tiêu chuẩn đánh giá định hướng nghề nghiệp cho học sinh.
 Phương pháp biểu diễn và xử lý tri thức.
 Phương pháp lập luận mờ.
 Phương pháp suy diễn tự động dựa trên tập luật.
3


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

CHƢƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Chương 2 trình bày cơ sở l‎ý thuyết của đề tài liên quan đến vấn đề phương
pháp lập luận mờ trong đó có lý thuyết về tập mờ, logic mờ, các phương pháp lập luận
mờ.
2.1.

LÝ THUYẾT TẬP MỜ

Trong phần này, tác giả chủ yếu đưa ra một số định nghĩa trên cơ sở lý thuyết tập mờ
được trình bày trong tài liệu [1].
2.1.1. Khái niệm tập mờ
Định nghĩa 2.1: Cho một tập vũ trụ U. Tập hợp
={

(u) /u : u U,

(u)

được xác định bởi đẳng thức:

[0, 1]} được gọi là một tập hợp mờ trên tập U.

Biến u lấy giá trị trong U được gọi là biến cơ sở và vì vậy tập U cịn được gọi là tập
tham chiếu hay miền cơ sở. Hàm

(u) tại u được gọi là độ thuộc của phần tử u thuộc về tập hợp

function) và giá trị
mờ

[0, 1] được gọi là hàm thuộc (membership

:U

(tham khảo tài liệu[1])

Lưu ý, vế phải của định nghĩa

là một tập kinh điển và do đó định nghĩa trên là hoàn

chỉnh.
Họ tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U được ký hiệu là F(U),
F(U) = {

:U

[0, 1]} = [0, 1]U.

Có nhiều cách biểu diễn hình thức một tập mờ. Trong trường hợp U là một tập hữu
hạn, đếm được hay vơ hạn liên tục, tập mờ có thể biểu diễn bằng các biểu thức hình
thức như sau:
+ Trong trường hợp U hữu hạn, U = {ui : 1 i
=
hay

(u1) /u1

+

(u2) /u2

}, ta có thể viết:
+… +

(un) /un

=∑

+ Trong trường hợp U là vô hạn đếm được, U = { ui : i = 1, 2, …}, ta có thể
viết:

=∑

+ Trong trường hợp U là vô hạn liên tục, U = [a, b], ta có thể viết:

4


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

=∫
Lưu ý rằng các biểu thức trên chỉ có tính hình thức, các phép cộng +, phép tổng Σ và
phép lấy tích phân đều khơng có nghĩa theo quy ước thơng thường. Tuy nhiên cách
biểu diễn như vậy sẽ rất tiện dụng khi định nghĩa và thao tác các phép tính trên các tập
mờ sau này.
Ví dụ 2.1: Xét tập U gồm 5 người là x1, x2, x3, x4, x5 tương ứng có độ tuổi 10, 15, 50,
55, 70 và

là tập hợp các người ―Trẻ‖. Khi đó, ta có thể xây dựng hàm thuộc sau:
,

,
và tập mờ

=

+

+

+

+

Ví dụ 2.2: Xét tập U là tập các giá trị trong thang điểm 10 đánh giá kết quả học tập
của học sinh về mơn Tốn, U = {1, 2, …10}. Khi đó khái niệm mờ về năng lực học
sinh giỏi tốn có thể biểu thị bằng tập mờ
=

+

Định nghĩa 2.2: Tập mờ
hiệu

+

+

+

+

có dạng hình thang xác định bởi 4 giá trị (a, b, c, d), ký

= (a, b, c, d) và được xác định (tham khảo tài liệu[1]):

{
2.1.2. Tập lát cắt của tập mờ
Ở trên chúng ta thấy khái niệm tập mờ là một sự khái quát trực tiếp, đẹp đẽ của
khái niệm tập kinh điển. Điều này cho phép hy vọng nó sẽ đặt cơ sở cho mối liên hệ
chặt chẽ giữa hai khái niệm tập hợp này. Để dẫn đến việc nghiên cứu đó, trước hết
chúng ta đưa ra khái niệm tập lát cắt α của một tập mờ. Theo tài liệu [1] ta có:
Định nghĩa 2.3: Cho một tập mờ
(hoặc

) của tập

trên tập vũ trụ U và

là một tập kinh điển, ký hiệu là

[0, 1]. Tập lát cắt

(hoặc

), được xác định

bằng đẳng thức sau:
={u U:

(u)

} (hoặc

={u U:

5

(u)

} ).


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

2.1.3. Một số khái niệm đặc trƣng của tập mờ
Miền xác định của tập mờ

2.1.3.1.

Miền xác định tập mờ A, ký hiệu là supp(A), là tập rõ gồm các phần tử U có
mức độ phụ thuộc của u vào tập mờ
supp(

)={u|

lớn hơn 0.

(u) > 0}

Miền tin cậy của tập mờ

2.1.3.2.

Miền tin cậy (còn gọi là lõi – core) của tập mờ

, ký hiệu core(

) là một tập

con của U được xác định như sau:
Core(
2.1.3.3.

)={u U:

(u) = high(

)}

Độ cao của tập mờ

Độ cao của tập mờ

(tài liệu [1]) ký hiệu là h(

) là mức độ phụ thuộc cao

nhất của u vào tập mờ A (là giá trị lớn nhất trong các giá trị của hàm liên thuộc).
h(

) = sup(

(u) : u U)

Một tập mờ có ít nhất một phần tử có độ phụ thuộc bằng 1 được gọi là tập mờ chính
tắc (tập mờ chuẩn), tức là h(

) = 1, ngược lại một tập mờ

với h(

) < 1 được gọi

là tập mờ khơng chính tắc (tập mờ dưới chuẩn).
𝜇𝐴 (u)
1

h

u

0
Miền tin cậy

Miền xác định

Hình 2.1. Độ cao, miền tin cậy, miền xác định của tập mờ
Ví dụ 2.3: Giả sử U là tập vũ trụ về số đo nhiệt độ thời tiết, chẳng hạn U = [0, 50] tính
theo thang độ oC. Chúng ta sẽ xác định tập mờ biểu thị khái niệm thời tiết NÓNG.
Trong ví dụ này ta sử dụng một hàm số mẫu, gọi là S-hàm vì đồ thị của nó có hình chữ

6


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

S. Chúng ta ký hiệu hàm này là S(u, a, b, c) trong đó a, b, c là các tham số. Nó là hàm
từng khúc bậc 2 và được định nghĩa như sau:
(

)
(

)

{
Hàm thuộc
thuộc

(u) = S(u, 15, 25, 35) là khái niệm thời tiết NÓNG ở Hà Nội, hàm

(u) = S(u, 25, 35, 45) là khái niệm thời tiết NĨNG ở Sài Gịn.

Với hai tập mờ ta có:
supp(
h(

) = [15, 50], supp(

) = h(

core(

) = [25, 50]

)=1

) = [35, 50], core(

) = [45, 50]

1

𝜇𝐴

0

15

𝜇𝐵

25

35

45 50

Hình 2.2. Hàm thuộc của tập mờ NÓNG
2.1.3.4.
Cho

Lực lƣợng của tập mờ
là một tập mờ trên U:

(i) Lực lượng vô hướng (scalar cardinality): lực lượng hay bản số thực của tập
, ký hiệu là Count(

), được tính theo cơng thức đếm sau (đôi khi gọi là signma

count).
∑
Count(

) ={
∫

ở đây ∑

và ∫

là tổng và tích phân số học.

(ii) Lực lượng mờ (fuzzy cardinality): lực lượng hay bản số mờ của tập
một tập mờ trên tập các số nguyên không âm N được định nghĩa như sau:
Card(

)=∫
7

là


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

Trong đó

được xác định theo cơng thức:
= suppremum { t

Có thể xem cơng thức tính Count(

) trên chính là bộ đếm số phần tử. Khi

với tỷ lệ phần trăm bằng

| = n }.

) như là cơng thức đếm số phần tử có trong U.

trở về tập kinh điển thì

Thực vậy, nếu tập
Count(

[0, 1]: |

(u)
(u)

1 trên U và do đó cơng thức
1 thì u chỉ thuộc về tập

(u) và do đó phần tử u chỉ được đếm vào số lượng các

phần tử một đại lượng bằng

(u).

2.1.4. Biến ngôn ngữ
Biến ngôn ngữ, như Zadeh đã viết, là các biến mà giá trị của chúng không phải
là số mà là các từ hoặc các câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc nhân tạo. Các giá trị của
biến ngôn ngữ được sử dụng ―khi có sự thiếu hụt tính chính xác bề ngồi của những
vấn đề phức tạp cố hữu‖ (tài liệu [1]).

Về hình thức, biến ngơn ngữ được được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 2.4: Biến ngôn ngữ là một bộ năm (X, T(X), U, R, M), trong đó X là tên
biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, U là không gian tham chiếu hay còn
gọi là miền cơ sở của biến X, R là một quy tắc cú pháp sinh các giá trị ngôn ngữ trong
T(X), M là quy tắc gán ngữ nghĩa biểu thị bằng tập mờ trên U cho các từ ngơn ngữ
trong T(X).
Ví dụ 2.4: Cho X là biến ngơn ngữ có tên AGE, miền tham chiếu của X là U = [0,120].
Tập các giá trị ngôn ngữ T(AGE) = { very old, old, possible old, less old, less young,
quite young, more young,...}. Chẳng hạn với giá trị nguyên thủy old, quy tắc gán ngữ
nghĩa M cho old bằng tập mờ sau:
M(old) = {( u,
Trong đó

( u)) : u

[0, 120]}.

(u) = max(min(1, (u - 50)/20), 0), là một cách chọn hàm thuộc

cho khái niệm mờ old.
Ngữ nghĩa các giá trị ngơn ngữ khác trong T(AGE) có thể tính thơng qua tập
mờ của các giá trị nguyên thủy bởi các phép toán tương ứng với các gia tử tác động.
Chẳng hạn như các gia tử very, more or less,... tương ứng với các phép bình phương
CON, căn bậc hai DIL,.... Ngồi ra, các giá trị ngơn ngữ có chứa liên từ AND, OR,
NOT thì chúng được tính tốn bởi các toán tử t-norm, t-conorm, negation.
8


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

2.1.5. Các phƣơng pháp xây dựng hàm thành viên tập mờ và toán tử tập mờ
Các khái niệm ngôn ngữ không chỉ mơ hồ mà cịn phụ thuộc ngữ cảnh. Khơng
chỉ biến ngơn ngữ hay tập mờ mà liên kết ngơn ngữ hay tốn tử tập mờ cũng phụ
thuộc vào ngữ cảnh. Tập mờ hay toán tử tập mờ đều dùng để xấp xỉ ngữ nghĩa của các
khái niệm ngôn ngữ trong một ngữ cảnh nhất định. Do đó việc xây dựng hàm thành
viên tập mờ và việc xây dựng hàm toán tử tập mờ là phụ thuộc vào ngữ cảnh và tương
tự nhau. Phương pháp xây dựng hàm thành viên tập mờ cũng có thể dùng để xây dựng
hàm tốn tử tập mờ.
Có hai phương pháp xây dựng hàm thành viên tập mờ thường dùng:
+ Phương pháp trực quan.
+ Phương pháp hệ chuyên gia.
Phƣơng pháp trực quan

2.1.5.1.

Hàm thành viên tập mờ được xây dựng dựa vào chuyên gia am tường ngữ cảnh
của vấn đề quan tâm. Phương pháp chuyên gia gồm hai bước:
+ Thu thập kiến thức từ chuyên gia qua các mệnh đề ngôn ngữ.
+ Xây dựng hàm thành viên từ việc xử lý các mệnh đề ngôn ngữ.
Phương pháp chuyên gia chia làm 2 loại: trực tiếp và gián tiếp. Trong loại trực tiếp,
các chuyên gia trả lời các câu hỏi trực tiếp để xây dựng hàm thành viên. Trong loại
gián tiếp, các chuyên gia trả lời các câu hỏi đơn giản hơn, kết quả được xử lý thêm
để xây dựng hàm thành viên.
Phƣơng pháp hệ chuyên gia

2.1.5.2.

+ Phương pháp trực tiếp với một chuyên gia
Trong phương pháp này một chuyên gia sẽ được hỏi để xây dựng hàm thành
viên. Cho A là tập mờ trên tập vũ trụ U cần được xây dựng hàm thành viên. Chuyên

gia sẽ được giao gán mức độ thành viên

cho từng phần tử u trên tập U bằng

một số câu hỏi thường sử dụng sau:
-

Mức độ thành viên của u lên tập A là bao nhiêu?

-

Mức độ tương thích của u lên tập A ở ngữ cảnh đã cho là bao nhiêu?

-

Phần tử u nào có mức độ thành viên

9

lên tập A?


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

+ Phương pháp trực tiếp với nhiều chuyên gia
Trong phương pháp này có n chuyên gia được hỏi để gán hàm. Gọi ai(u),
với i=1 n với ý kiến của chuyên gia thứ i về mức độ thành viên của u lên tập
A. Mức độ thành viên tổng hợp của n chuyên gia có thể được tính như sau:
∑

=

Hoặc có thể dùng hàm trung bình có trọng số các ý kiến, với ci là trọng số của
chuyển gia thứ i:
=∑

, trong đó ∑

= 1,

+ Phương pháp hệ chuyên gia gián tiếp
Phương pháp trực tiếp mang tính chủ quan, tùy tiện, nhất là khi gán hàm với
các khái niệm phức tạp như: đẹp, thông minh, sáng tạo…được chuyên gia nêu ra.
Phương pháp gián tiếp sẽ làm giảm nhược điểm này. Trong phương pháp gián tiếp
chuyên gia sẽ được hỏi dễ hơn qua việc so sánh mức độ thành viên của từng cặp phần
tử trên U.
Giả sử tập U có n phần tử, gọi

là mức độ thành viên của xi, i=1 n. Khi

chuyên gia so sánh mức độ thành viên của từng cặp phần tử trên U thu được kết quả là
ma trận so sánh P.
P = | Pi, j | , i, j=1 n
Trong đó Pi,j là kết quả so sánh mức độ thành viên của ui và uj lên tập A.
Pi, j =
Khi đã có ma trận so sánh, các giá trị hàm thành viên tính được như sau:
=∑

, i, j=1 n

2.1.6. Các phép tính trên tập mờ
2.1.6.1.

Phần bù của một tập mờ

Cho tập mờ

trên tập vũ trụ U, tập mờ bù của

(u) được tính từ hàm thuộc
Tập mờ

(u) như sau:

là tập mờ

, hàm thuộc
(u)

biểu hiễn ở dạng cơng thức hình thức như sau (tài liệu [1]):

+ Trường hợp U là hữu hạn hay vô hạn đếm được:

10


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

∑

= ∑

+ Trường hợp U là vơ hạn continuum:
= ~∫

=∫

11

1

0

𝐴

0

u

𝐴
của tập mờ

Hình 2.3. Tập bù

u

Ví dụ 2.5: Xét U như trong ví dụ 2.2. Khi đó khái niệm mờ về năng lực học
mơn tốn giỏi có thể được biểu thị bằng tập mờ

:

= 0,1/4 + 0,2/5 + 0,4/6 + 0,7/7 + 0,9/8 + 1,0/9 +1,0/10

(1*)

Các giá trị của miền U khơng xuất hiện có nghĩa là độ thuộc của chúng vào tập
mờ

bằng 0,0. Tập mờ

có thể viết:

= 0,0/1+ 0,0/2+ 0,0/3+ 0,1/4+ 0,2/5+ 0,4/6+ 0,7/7+ 0,9/8+ 1,0/9+ 1,0/10
Ta có thể biểu diễn bằng bảng sau:
Bảng 2.1. Tập mờ
U

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0

0,0

0,0

0,1

0,2

0,4

0,7

0,9

1,0

1,0

Khi đó, tập mờ bù

của tập

được tính như sau:

= ~(0,0/1+0,0/2+0,0/3+0,1/4+0,2/5+0,4/6+0,7/7+0,9/8+1,0/9+1,0/10)
= 1,0/1+ 1,0/2+ 1,0/3+ 0,9/4+ 0,8/5+ 0,6/6+ 0,3/7+ 0,1/8+ 0,0/9+ 0,0/10.
Hoặc được tính theo bảng:
Bảng 2.2. Tập mờ ~
U

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0

0,0

0,0

0,1

0,2

0,4

0,7

0,9

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

0,9

0,8

0,6

0,3

0,1

0,0

0,0

11


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

Phép hợp ∪

2.1.6.2.

Cho hai tập mờ

∪

mờ ký hiệu là
như sau:

trên tập vũ trụ U. Hợp của hai tập mờ này là một tập

và

mà hàm thuộc của nó được định nghĩa theo điểm (pointwise)

∪

∪

(tài liệu [1])

Hợp của hai tập mờ trên biểu hiễn ở dạng công thức hình thức như sau:
+ Trường hợp U là hữu hạn hay vô hạn đếm được:

∪

∪ ∑

=∑
=∑

∪

+ Trường hợp U là vơ hạn continuum:

∪

∪∫

=∫

𝜇𝐴

∪

=∫

∪𝐵

𝜇𝐴

𝜇𝐵

u

0

∪

Hình 2.4. Hợp hai tập mờ
Ví dụ 2.6: Xét U như trong ví dụ 2.2. Hai tập mờ

được cho như trong

và

bảng sau:
Bảng 2.3. Tập mờ
U

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0

0,0

0,0

0,1

0,2

0,4

0,7

0,9

1,0

1,0

1,0

0,9

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0

0,0

0,0

Khi đó, hợp của tập mờ

∪

và

∪

được tính như sau:

= (0,0/1+0,0/2+0,0/3+0,1/4+0,2/5+0,4/6+0,7/7+0,9/8+1,0/9+1,0/10)

(1,0/1+0,9/2+0,8/3+0,6/4+0,4/5+0,2/6+0,0/7+0,0/8+0,0/9+0,0/10)
=1,0/1+0,9/2+0,8/3+0,6/4+0,4/5+0,4/6+0,7/7+0,9/8+1,0/9+1,0/10)
Hoặc được tính theo bảng:

12

∪


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

Bảng 2.4. Hợp tập mờ
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0

0,0

0,0

0,1

0,2

0,4

0,7

0,9

1,0

1,0

1,0

0,9

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0

0,0

0,0

1,0

0,9

0,8

0,6

0,4

0,4

0,7

0,9

1,0

1,0

U

∪

∪

Phép giao ∩

2.1.6.3.

Cho hai tập mờ

∩

mờ ký hiệu là
như sau:

trên tập vũ trụ U. Giao của hai tập mờ này là một tập

và

mà hàm thuộc của nó được định nghĩa theo điểm (pointwise)

∩

∩

(tài liệu [1])

Giao của hai tập mờ trên biểu hiễn ở dạng cơng thức hình thức như sau:
+ Trường hợp U là hữu hạn hay vô hạn đếm được:

∩

∩ ∑

=∑

∩

=∑

+ Trường hợp U là vơ hạn continuum:

∩

∩∫

=∫

∩

=∫

𝜇𝐴 ∩ 𝐵
𝜇𝐴

𝜇𝐵

u

0

Hình 2.5. Giao hai tập mờ
Ví dụ 2.7: Xét U như trong ví dụ 2.2. Hai tập mờ

∩
và

được cho như trong

bảng 2.3:
Khi đó, hợp của tập mờ

∩

∩

được tính như sau:

= (0,0/1+0,0/2+0,0/3+0,1/4+0,2/5+0,4/6+0,7/7+0,9/8+1,0/9+1,0/10)

(1,0/1+0,9/2+0,8/3+0,6/4+0,4/5+0,2/6+0,0/7+0,0/8+0,0/9+0,0/10)
=0,0/1+0,0/2+0,0/3+0,1/4+0,2/5+0,2/6+0,0/7+0,0/8+0,0/9+0,0/10)

13

∩


Chương 2. Cơ sở lý thuyết

Hoặc được tính theo bảng:
Bảng 2.5. Giao tập mờ
U

∩

∩

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0

0,0

0,0

0,1

0,2

0,4

0,7

0,9

1,0

1,0

1,0

0,9

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,1

0,2

0,2

0,0

0,0

0,0

0,0

Phép cộng đại số của các tập mờ

2.1.6.4.

Cho hai tập mờ

trên tập vũ trụ U. Tổng đại số của hai tập mờ này là

và


một tập mờ ký hiệu là

được biểu hiễn ở dạng cơng thức hình thức như sau:

+ Trường hợp U là hữu hạn hay vô hạn đếm được:



=∑

+

-

+ Trường hợp U là vô hạn continuum:



=∫

] du

Phép nhân đại số của các tập mờ

2.1.6.5.

Cho hai tập mờ

trên tập vũ trụ U. Nhân đại số của hai tập mờ này là

và


một tập mờ ký hiệu là

được biểu hiễn ở dạng cơng thức hình thức như sau:

+ Trường hợp U là hữu hạn hay vô hạn đếm được:



=∑

.

+ Trường hợp U là vơ hạn continuum:



=∫

du

Tích Descartes các tập mờ

2.1.6.6.

là tập mờ của tập vũ trụ

Cho

, i=1, 2,…, n. Ký hiệu là
tập vũ trụ

x
x

x…x

2,…, n. Tích Decartes của các tập mờ

x…x

∩
=

hay ∏

được định nghĩa như sau:

x…x

=∫
Ví dụ 2.8: Cho

x

, i=1,

∩

={1, 2, 3} và 2 tập mờ:
14

, là một tập mờ trên