Đề toán Hải Phòng

Së gi¸o dơc vµ ®µo t¹o
H¶i Phßng
kú thi tun sinh líp 10 thpt
N¨m häc : 2008 - 2009
M«n thi : to¸n
Thời gian làm bài : 120 phút, không kể thời giao giao đề
Phần I : Trắc nghiệm khách quan (2.0 điểm)
1. Biểu thức
2
1 4x
x
−
xác đònh với giá trò nào sau đây của x ?
A. x ≥
1
4
B. x ≤
1
4
C. x ≤
1
4
và x ≠ 0 D. x ≠ 0
2. Các đường thẳng sau, đường thẳng nào song song với đường thẳng y = 1 - 2x
A. y = 2x - 1 B.
( )
2 1 2y x= −
C. y = 2 - x D.
( )
2 1 2y x= −
3. Hai hệ phương trình

3 3
1
kx y
x y
− = −


− =

và
3 3 3
1
x y
x y
+ =


− =

là tương đương khi k bằng
A. -3 B. 3 C. 1 D. -1
4. Điểm
1
2;
2
Q
 
−
 ÷
 

thuộc đồ thò hàm số nào trong các hàm số sau đây ?
A.
2
2
2
y x= B.
2
2
2
y x= − C.
2
2
4
y x= D.
2
2
4
y x= −
5. Tam giác GEF vuông tại E, có EH là đường cao . Độ dài đoạn GH = 4, HF = 9.
Khi đó độ dài đoạn EF bằng :
A. 13 B. 13 C. 2 13 D. 3 13
6. Tam giác ABC vuông tại A, có AC = 3a, AB = 3 3 a, khi đó sinB bằng
A.
3
2
a B.
1
2
C.
3

2
D.
1
2
a
7. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 18cm, AC = 24cm . Bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng .
A. 30cm B.
15 2cm
C. 20cm D. 15cm
8. Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 6cm, AB = 8cm. Quay tam giác đó một
vòng quanh cạnh AC cố đònh được một hình nón . Diện tích toàn phần hình nón đó là
A. 96π cm
2
B. 100 π cm
2
C. 144 π cm
2
D. 150 π cm
2
Phần II : Tự luận (8.0 điểm)
Bài 1 : 1,5 điểm
Cho phương trình bậc hai, ẩn số x: x
2
- 4x + m + 1 = 0
1. Giải phương trình khi m = 3
2. Với giá trò nào của m thì phương trình có nghiệm.
3. Tìm giá trò của m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x
1
, x

2
thoả mãn điều kiện
x
1
2
+ x
2
2
= 10
Bài 2 : 1,0 điểm
Giải hệ phương trình :
3 2 2 1
2 2 3
x y
x y

− − + =


− + + =


Bài 3: 1,5 điểm
Rút gọn biểu thức :
1.
6 3 3 6 3 3A = + + −
2.
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 5 2 6
9 3 11 2

B
+ − −
=
−
Bài 4: 4,0 điểm
Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B. Trên một nửa mặt phẳng có bờ
là đường thẳng AB, kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một
điểm I . Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK ở
P.
1. Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp
2. Chứng minh AI.BK = AC.CB
3. Chứng minh tam giác APB vuông .
4. Giả sử A, B, I cố đònh . Hãy xác đònh vò trí của C sao cho tứ giác ABKI có diện
tích lớn nhất .
-----------hết---------

đáp án
I/ Trắc nghiệm khách quan :
1- C 2 - b 3 - a 4 - c
5 - d 6 - b 7 - d 8 - c
II/ tự luận
Bài 1:
1. Khi m = 3, phơng trình đã cho trở thành : x
2
- 4x + 4 = 0 (x - 2)
2
= 0 x = 2 là
nghiệm kép của phơng trình.
2. Phơng trình có nghiệm 0 (-2)
2

-1(m + 1) 0 4 - m -1 0 m
3.
Vậy với m 3 thì phơng trình đã cho có nghiệm.
3. Với m 3 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm . Gọi hai nghiệm của phơng
trình là x
1
, x
2
.Theo định lý Viét ta có : x
1
+ x
2
= 4 (1), x
1
.x
2
= m + 1 (2). Mặt
khác theo gt : x
1
2
+ x
2
2
= 10 (x
1
+ x
2
)
2
- 2 x

1
.x
2
= 10 (3). Từ (1), (2), (3) ta đợc :
16 - 2(m + 1) = 10 m = 2 < 3(thoả mãn) . Vậy với m = 2 thì phơng trình đã
cho có 2 nghiệm thoả mãn điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 10.
Bài 2: Điều kiện để hệ có nghiệm:
2 0 2
2 0 2
x x
y y




+

. Đặt
2 0
2 0
x a
y b

=

+ =


Khi đó hệ
phơng trình đã cho trở thành :
3 1
3
a b
a b
=


+ =

.Giải hệ này ta đợc
1 0
2 0
a
b
=


=

(TM).
Với
1
2

a
b
=


=

ta có :
2 1
2 1 3
2 4 2
2 2
x
x x
y y
y

=
= =




+ = =
+ =



(TM).Vậy (x;y) = (3 ; 2) là nghiệm
của hệ phơng trình đã cho.

Bài 3:
1. Ta có

( ) ( ) ( )
2
2 2
6 3 3 6 3 3 2 6 3 3 6 3 3 12 2 6 3 3
12 2 3 18
A = + + + + = + =
= + ì =
A =
3 2
(vì A > 0)

2.
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 3
2
2
5 2 6 3
5 2 6 3
5 2 6
5 2 6
9 3 11 2 9 3 11 2 9 3 11 2
9 3 11 2

1
9 3 11 2
B





+
= = = =


= =

Bài 4:
Gọi O là tâm đờng tròn đờng kính IC
1. Vì P
;
2
IC
O

ữ

ã
ã
0 0
90 90IPC KPC = =
.
Xét tứ giác PKBC có

ã
0
90KPC =
(chứng minh trên)
ã
0
90KBC =
(gt) . Suy ra
ã ã
0
180KPC KBC+ =
. Suy ra tứ giác
CPKB nội tiếp đợc (đpcm) .
a
b
c
i
p
k
o
2. Ta có KC CI (gt), CB AC (gt)
ã
ã
CKB ICA=
(cặp góc nhọn có cạnh tơng ứng
vuông góc).Xét hai tam giác vuông AIC và BCK (
à à
0
90A B= =
) có

ã
ã
CKB ICA=
(cm/t) .Suy
ra AIC đồng dạng với BCK. Từ đó suy ra
AI BC
AI BK BC AC
AC BK
= ì = ì
(đpcm).
3. Tứ giác CPKB nội tiếp (câu 1)
ã
ã
PBC PKC=
(1) (2 góc nội tiếp cùng chắn một
cung). Lại có
ã
0
90IAC =
(gt) A
;
2
IC
O

ữ

, mặt khác P
;
2

IC
O

ữ

(cm/t) .Từ đó suy ra
tứ giác AIPC nội tiếp
ã
ã
PIC PAC=
(2). Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta đợc :
ã ã
ã
ã
PBC PAC PKC PIC+ = +
.Mặt khác tam giác ICK vuông tại C (gt) suy ra
ã
ã
0
90PKC PIC+ =

ã ã
0
90PBC PAC+ =
, hay tam giác APB vuông tại P.(đpcm)
4. IA // KB (cùng vuông góc với AC) .Do đó tứ giác ABKI là hình thang vuông. Suy
ra
( )
ABKI
=

2
AI BK AB
s
+
Max S
ABKI
Max
( )
AI BK AB+
nhng A, I, B cố định do
đó AI, AB không đổi .Suy ra Max
( )
AI BK AB+
Max BK . Mặt khác
AC CB
BK
AI
ì
=
(theo câu 2) .Nên Max BK Max AC.CB . Mà
( )
2
2
4 4
AC CB
AB
AC CB
+
ì =
(không

đổi) .
Dấu = xảy ra AC = BC C là trung điểm của AB . Vậy khi C là trung điểm của AC
thì S
ABKI
là lớn nhất .
-----------hết----------