Đề thi HSG Toán 12 của Tỉnh Hải Phòng

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG
Năm học 2008 - 2009
======&======
MÔN THI: TOÁN LỚP 12 - BẢNG A
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đề)
Bài 1. (3 điểm)
Cho hàm số
1. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị lập với 2 đường tiệm cận một tam giác có diện tích
không đổi.
2. Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số thoả mãn tiếp tuyến tại điểm đó lập với 2 đường tiệm cận 1
tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Bài 2. (1 điểm)
Cho phương trình: (1)
Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác có các góc thoả mãn phương trình (1).
Bài 3. (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều cạnh a, đường cao SA = h.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SD cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại các điểm A’, B’, C’.
Chứng minh rằng tứ giác AB’C’D’ nội tiếp trong 1 đường tròn.
3. Chứng minh rằng AB’>C’D’.
Bài 4. (2 điểm)
Cho phương trình (1).
Biết rằng phương trình (1) có 3 nghiệm thực phân biệt, hỏi phương trình sau có tối đa bao nhiêu
nghiệm thực:
Bài 5. (1 điểm)
Cho hệ phương trình sau:
Chứng minh rằng hệ đã cho có duy nhất 1 nghiệm thoả mãn .
====Hết===