Đề thi tuyển sinh THPT

đề thi thử vào lớp 10 môn Toán-Năm học: 2008-2009
Bài 1:(2,5 điểm)
Cho biểu thức: P =
1
)1(22
1
2


+
+

++

x
x
x
xx
xx
xx

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 2: :(1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = - x
2
và đờng thẳng (d): y = kx 1
a) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của k, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Gọi hoành độ của A và B là x
1

và x
2
. Chứng minh rằng
21
xx


2

.
Bài 3: :(2,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Hai tỉnh A và B cách nhau 60 km . Có một xe đạp đi từ A đến B. Khi xe đạp bắt đầu khởi hành thì có
một xe máy cách A 40 km, đi đến A rồi trở về B ngay. Tìm vận tốc của mỗi xe, biết xe máy về B trớc xe đạp
40 phút và vận tốc xe máy hơn vận tốc xe đạp là 15 km/h.
Bài 4: :(0,5 điểm)
Giải phơng trình:
2
2
11
2
=

+
x
x
Bài 5 :(3,5 điểm)
Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R. Lấy C là trung điểm của đoạn AO. Đờng thẳng Cx vuông
góc với AB; Cx cắt nửa đờng tròn (O) tại I. K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn CI ( K khác C và I). Tia AK
cắt nửa đờng tròn đã cho tại M. Tiếp tuyến với nửa đờng tròn tại M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D.
a) Chứng minh 4 điểm A,C,M,D cùng thuộc một đờng tròn.

b) Chứng minh MNK cân.
c) Khi K di động trên đoạn CI thì tâm của đờng tròn ngoại tiếp AKD di chuyển trên đờng nào?
Biểu điểm và đáp án
Bài 1: (2,5 điểm) Điều kiện để P có nghĩa là: x > 0; x

1
......................................................................................................
0,25 đ
a) Biến đổi đợc P =
1
)1)(1(2
)12(
1
)1(
3

+
+
+

++

x
xx
x
xx
xx
xx

.........................................................................

0,
5 đ
P =
)1(2)12()1(
+++
xxxx

..............................................................................................................

0,25 đ
P = x -
x
- 2
x
- 1 + 2
x
+ 2
..............................................................................................................................
0,25 đ
P = x -
x
+ 1
...........................................................................................................................................................................
0,25 đ
b) P = 3

x -
x
+ 1 = 3

x -
x
+ 1 3 = 0

x -
x
-2 = 0
................................................................
0,25đ
Giải PT ra x = 4
.......................................................................
0,25đ
c) - Biến đổi đợc P =
4
3
)
2
1
(
2
+
x

.............................................................................................................................................................
0,25đ
- Lập luận P
4
3

Từ đó tính Min P =

4
3



2
1

x
= 0

x =
4
1
...........................................................
0,25đ
Bài 2: (1 đ)
Câu a) Xét phơng trình honh độ giao điểm của (d) và (P) :- x
2
= kx 1

x
2
+ kx -1 = 0 (1)
= k
2
+ 4

4 > 0 với

k

Phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

k ( 0,25đ)


Đờng thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A(x
1
,y
1
) và B(x
2
;y
2
)
với x
1


x
2
là 2 nghiệm của phơng trình (1). 0,25đ
(Hoặc lập luận : PT (1) có a và c trái dấu nên luôn có 2 nghiệm phân biệt)
Câu b) Đặt S =
21
xx

S

0


S
2
= (x
1
x
2
)
2
= x
1
2
2x
1
x
2
+ x
2
2
= ( x
1
+ x
2
)
2
4x

1
x
2...............................................................................
0,25đ
1
Theo định lý Viét, ta có:



=
=+
1
21
21
xx
kxx


S
2
= k
2
+ 4

4 với

k
Mà S > 0

S

2

k = 0
......................................
0,25đ
Bài 3: (2,5đ) : Gọi vận tốc của ngời đi xe đạp là x (km/h) ( x > 0)
................................................................
0,25đ
Thì vận tốc ngời đi xe gắn máy là : x + 15 (km/h)
................................................................................
0,25đ
Thời gian ngời đi xe đạp đã đi là :
x
60
(h)
..................................................................................................
0,25đ
Thời gian ngời đi xe máy đã đi là :
15
6040
+
+
x
(h) =
15
100
+
x
(h)

.........................................................
0,25đ
Do xe máy đến B trớc 40 phút =
3
2
(h), nên ta có phơng trình:
3
2
15
10060
=
+

xx

............................................
0,5đ

x
2
+ 75 x 1350 = 0
................................................................
0,25đ
Tính =11025 > 0


= 105. Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt : x
1
= 15 > 0 T/mãn ; x
2

= - 90 < 0. Loại
0,25đ
Vậy vận tốc ngời đi xe đạp là 15 km/h ; ngời đi xe máy là : 15 + 15 = 30 (km/h) 0,25đ
Bài 4: ( 0,5đ) Điều kiện x

0; 2 x
2
> 0

x

0 ;
2
<
x
Đặt y =
2
2 x

> 0

x
2
+ y
2
= 2
Giải hpt:

=+
=+
2
11
2
22
yx
yx






=+
=+
xyyx
xyyx
2
22)(
2


(2xy)
2
2xy = 2

2(xy)

2
xy 1 = 0


xy = 1 hoặc xy = -
2
1
( 0,25đ)
+ Nếu xy = 1 thì x + y = 2. Khi đó x và y là nghiệm của PT : X
2
2X + 1 = 0

X = 1

x = y = 1
+ Nếu xy = -
2
1
thì x + y = - 1. Khi đó x và y là nghiệm của PT : X
2
+ X -
2
1
= 0

X =
2
31

Vì y > 0, nên y =

2
31
+


x =
2
31

Vậy PT :
2
2
11
2
=

+
x
x
có 2 nghiệm là x
1
= 1; x
2
=
2
31

( 0,25đ)
(Chú ý : HS làm cách khác đúng cho điểm tơng đơng
2

Bài5 ( 3,5đ) Vẽ hình đúng : 0,25đ
Câu a : C/m đúng 1,0 đ
Câu b : C/m đợc
NKMMBA

=
( Cùng bù góc MKC) 0,5 đ
C/m đợc
AMNMBA

=
0,5đ
Suy ra
NKMAMN

=


NKM cân tại N 0,25đ
Câu c: - Lấy E đối xứng với B qua C

E cố định 0,25đ
- C/m tứ giác AKED nội tiếp 0,25đ
Gọi J là tâm đờng tròn ngoại tiếp AKD

J:tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE (0,25)


JA = JE

J thuộc đờng trung trực của đoạn AE cố định 0,25đ
3