Bài giảng môn Toán cao cấp

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (UEF)
CHƯƠNG I. GIỚI HẠN và LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN
I.1. HÀM SỐ
1. KHÁI NIỆM
Cho tập hợp các số thực và D  . Hàm số xác định trên D là một quy luật f đặt
tương ứng mỗi điểm x  D với một giá trị duy nhất y  f ( x )  .
Nếu f là hàm số xác định trên D thì ta kí hiệu
f :D
x
y  f ( x)

hoặc y  f ( x ), x  D. Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số f.
Ví dụ 1. Cho hàm số y  x2  x  1, x  [0 , 4).
Khi đó tập xác định của hàm số là D  [0,4).
3 x  2 , nÕu -1  x  1
.
x  1 , nÕu x>1


Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x)  

Tập xác định của hàm số là tập hợp nào?
Lưu ý. Khi cho hàm số, người ta phải cho trước tập xác định. Trường hợp hàm số
đuợc cho bởi công thức mà không nói gì thêm thì ta quy ước tập xác định là tập hợp
tất cả các giá trị của biến số x để f ( x )  .
Ví dụ 3. Cho hàm số y  ln( x  2) . Khi đó tập xác định của hàm số là tập hợp các giá
trị x sao cho x  2  0 hay x > 2. Vậy D  (2,  ).
Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm số y  4  x2 .
Lưu ý. Nếu hàm số f xác định trên D thì tập hợp các giá trị  f ( x), x  D được gọi là
tập giá trị của hàm số đó.
Ví dụ 5. Với mọi x  D  (2,  ) , ta có f ( x )  ln( x  2)  ( ;  ) nên tập giá trị của

hàm số y  ln( x  2) là .
Ví dụ 6. Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số
 2 x , nÕu 0  x<1

f ( x )  2 / x , nÕu 1  x  4

3 , nÕu x  4


2. CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP
a) Hàm sơ cấp cơ bản
1. Hàm hằng y = c, với c là hằng số.
Ví dụ 7. y = 3, y = -2 là hai hàm hằng.
2. Hàm số lũy thừa y  x ,  .
Ví dụ 8. Hàm số y  x2 , y  x 3 là các hàm số lũy thừa.
3. Hàm số mũ y  ax , a  0, a  1 .
1


x

1
Ví dụ 9. Hàm số y  2 x , y  e x , y    là ba hàm số mũ.
3
4. Hàm số lôgarit y  log a x , a  0 , a  1.

Ví dụ 10. Hàm số y  ln x , y  log x , y  log 1 x là các hàm số lôgarit.
2

5. Hàm số lượng giác y  sin x , y  cos x , y  tgx , y  cot gx .

b) Hàm sơ cấp
Hàm số f được gọi là hàm sơ cấp nếu nó được cho bởi một công thức, trong đó có
hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lấy hàm hợp của các hàm sơ cấp cơ bản.
Ví dụ 11. a) Hàm số y  ( x3  2sin x)e2x là hàm sơ cấp.
 x cos x , nÕu x > 0
không là hàm sơ cấp.
2x+3
,
nÕu
x

0


b) Hàm số f ( x )  

I.2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. KHÁI NIỆM
Dưới đây ta kí hiệu Df là tập xác định của hàm số f ( x ).
Định nghĩa. Ta nói số b là giới hạn của hàm số f ( x ) khi x  a nếu với mọi
dãy số  xn  Df \ a , xn  a ta đều có f ( xn )  b . Khi đó ta viết b  lim f ( x ) .
xa

Trong định nghĩa trên, a, b có thể là các số hữu hạn hoặc  .
5x  1
.
x 1 x  2

Ví dụ 1. Tìm giới hạn sau đây bằng định nghĩa lim

2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN HÀM SỐ
(1) Nếu hàm số f ( x ) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
(2) Nếu f ( x )  g( x )  h( x ) vµ lim f ( x )  lim h( x )  b thì lim g( x )  b.
xa

xa

xa

(3) Nếu lim f ( x )  b, lim g( x )  c và b, c hữu hạn thì
xa

xa

lim ( f ( x )  g( x ))  b  c ;

lim ( f ( x )  g( x ))  b  c ;

xa

xa

lim ( f ( x ). g( x ))  b.c ;

f ( x) b

khi c  0 ;
c
x  a g( x )

xa

lim

lim ( f ( x ) g( x ) )  bc khi b  0 .

xa

(4) Nếu lim f ( x )  b thì lim f ( x)  b .
xa

xa

(5) Nếu lim f ( x)  0 thì lim f ( x )  0 .
xa

xa

2


3. MỘT VÀI GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT
1
lim
 0 (  0)
x  x
sin x
lim
1
x 0 x

lim

x 

lim

x 

ln p x
x
xp
ex

 0 (  0, p 

 0 (p

)

)

x

x

1
1
1



lim  1    e , lim  1   
x
x
e
x  
x  
lim 1  x 

x 0

1
x

e

4. CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH và PHƯƠNG PHÁP KHỬ
Ta có 7 dạng vô định:

0 
; ;    ; 0. ; 00 ; 1 ; 0 .
0 

Các phương pháp khử dạng vô định:
- Nhân, chia cho biểu thức liên hợp.
- Chia tử, mẫu cho cùng một biểu thức khác không.
- Biến đổi làm xuất hiện các giới hạn đặc biệt.
- Áp dụng các tính chất của giới hạn của hàm số.
- Sử dụng các vô cùng bé tương đương.
- Sử dụng quy tắc L’ Hospital.
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau đây

a) lim

x2  5 x

x4  81
x 3 x  3

b) lim

x 5 x2  25

c)

1  2x  3
x 4
x 2

x2  1
x  1  x

lim

d) lim

5. GIỚI HẠN MỘT PHÍA
Trong định nghĩa giới hạn của hàm số f ( x ) khi x  a , nếu bổ sung thêm điều kiện
x  a , ta có giới hạn bên phải của f ( x ) , kí hiệu là lim f ( x ) .
x  a

Tương tự ta có khái niệm giới hạn bên trái của hàm số đó, kí hiệu là lim f ( x ) .

xa

Rõ ràng, điều kiện cần và đủ để lim f ( x )  b là lim f ( x )  lim f ( x )  b .
xa

xa

xa

3


Ví dụ 3. Tính các giới hạn một phía

lim f ( x ), lim f ( x) biết



x 1

f ( x) 

x 1

x 1  x 1
.
x 1

sin x
sin x

sin x
, suy ra sự tồn tại của lim
.
; lim

x
x
x 0 x
x 0
x 0

Ví dụ 4. Tính lim



Ví dụ 5. Tìm giới hạn một phía
x2  16
x2  16
.
, lim
x 4 x  4
x 4 x  4
lim

6. QUY TẮC L’HOSPITAL
Định lý. Giả sử
(i)
Các hàm số f ( x ), g( x ) xác định trên khoảng ( x0 , b] ;
lim f ( x)  lim g( x)  0 ( hay lim f ( x)  lim g( x)  ) ;
(ii)

x x0

(iii)
(iv)

x x0

x  x0

Trên ( x0 , b] tồn tại các đạo hàm hữu hạn
f '( x )
Tồn tại giới hạn lim g '( x )  k .
x  x0

x  x0

f '( x ), g '( x )

và g '( x )  0;

f ( x)
 k.
x  x0 g( x )

Khi đó lim
Chú ý:

- Trong định lý trên x0 có thể là số hữu hạn hoặc  . Ngoài ra, định lí vẫn đúng cho trường
hợp hai hàm số f ( x ), g( x ) xác định trên khoảng [ a , x0 ) và x0 là số hữu hạn hoặc  .
- Quy tắc L’ Hospital chỉ áp dụng được cho hai dạng vô định

0 
, . Các dạng vô định khác
0 

phải biến đổi, đưa về hai dạng này, sau đó mới áp dụng quy tắc.
Ví dụ 6. Sử dụng quy tắc L’ Hospital để tìm giới hạn sau


1

1

ln x
x 0 ln sin x

 
b) lim 
x
x  0  sin x

ln cos x
x 0 ln cos3 x

ex 
lim
d)
x  e x 

a) lim

c) lim

e x
e x

I.3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. KHÁI NIỆM
- Hàm số f ( x ) được gọi là liên tục tại x0 nếu x0  Df và lim f ( x)  f ( x0 ).
x x0

- Hàm số f ( x ) được gọi là liên tục trên E 

nếu f ( x ) liên tục tại mọi x  E.
4


2. CÁC TÍNH CHẤT
(1) Nếu các hàm số f ( x ), g( x ) liên tục tại x0 thì các hàm số
f ( x)
f ( x )  g( x ) , f ( x )  g( x ) , f ( x ). g( x ) ,
(víi g( x0 )  0)
g( x )
cũng liên tục tại x0 .
(2) Nếu f : X  Y liên tục tại x0  X , g : Y 

liên tục tại y0  f ( x0 )  Y thì hàm

hợp g f : X  liên tục tại x0 .
(3) Hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định.
(4) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và nhận giá trị trái dấu tại hai đầu mút của đoạn

thẳng đó (nghĩa là f(a).f(b) < 0) thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm x 0  (a, b ) .
Ví dụ 1. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x = 0
 e x , khi x  0
f ( x)  
 x2 , khi x  0
Ví dụ 2. Xét sự liên tục của hàm số sau trên tập xác định
 1  x2 , khi x  1
f ( x)  
4 x  2, khi x  1

Ví dụ 3. Tìm c để hàm số sau liên tục trên tập xác định:
2

 cx  2 x , khi x  2
f ( x)  
3

 x  cx , khi x  2

Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình x = mcosx có nghiệm với mọi m.

CHƯƠNG II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN
II.1. ĐẠO HÀM
1. KHÁI NIỆM
Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng (a, b) và x0  ( a, b) . Cho x0 số gia  x khá bé
sao cho x0   x  ( a, b) , khi đó hàm số có số gia tương ứng là
 f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 ) .
Giới hạn của tỉ số

 f ( x0 )

khi  x  0 được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0 và kí
x

hiệu là f '( x0 ) .
Vậy, ta có công thức

 f ( x0 )
.
 x 0  x

f '( x0 )  lim

Nếu đặt x  x0  x hay x  x  x0 thì  x  0  x  x0 . Khi đó công thức tính đạo hàm
còn được viết ở dạng
5


f ( x )  f ( x0 )
x  x0
x  x0

f '( x0 )  lim

Hàm số có đạo hàm còn được gọi là hàm khả vi. Ngoài ra, nếu f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì

x0 .

f ( x ) liên tục tại

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số f ( x )  ln x tại điểm x0  1 .

Ta có

f ( x )  f (1)
ln x  ln1
ln(1  x  1)
x 1
 lim
 lim
 lim
1
x

1
x

1
x

1
x 1
x 1
x 1
x 1 x  1

f '(1)  lim

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x0  3

f ( x )  x( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)

Lưu ý. Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm bất kỳ được tính bởi công thức
f ( x  h)  f ( x )
h
h0

f '( x)  lim

Ví dụ 3. Cho hàm số f ( x)  x2  x . Tính f '( x ) .
Ví dụ 4. Xét tính khả vi của hàm số sau tại x 0  0 và tính f'(0):
 x2  x , khi x  0
f ( x)  
 sin x , khi x  0

2. BẢNG ĐẠO HÀM CƠ BẢN

x     x
 '

a   a
x '

 x   21x
e   e
'

 1

x '

x

ln a
log a x '  1
x ln a

x

ln x '  1
x

sin x 

 cos x

cos x 

tg x ' 

1
cos 2 x

cotg x '  

'

'

  sin x
1
sin 2 x

3. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

u  v '  u '  v '

u  v '  u '  v '

c  u '  c  u '

'
'
u  u v uv
  
uv   u v  u v
v2
v
4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
'

'

'

'

Nếu y  yu  , u  u x  thì y  yu x  là hàm hợp của x. Khi đó

y x'  y u'  u x'
6

5. BẢNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP

u     u
 '

a   a

 1 '

u '

u

u

ln a  u

e   e
u '

'

u

 u'

u'
loga u  
u ln a

u'
ln u  
u

sin u '  u ' cos u

cos u 

u'
tg u   2
cos u

u'
cotg u    2
sin u

'

'

'

 u

'

 u sin u

'

'

'

u'

2 u

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau đây
a) y  (2x  1)3 ( x2  1) ;
c) y 

b) y  ln(ln x )

( x  1)( x  2)
;
x3

d) y 

6. ĐẠO HÀM CẤP CAO

ln x
x2

 

'

a) Đạo hàm cấp hai

y ''  y '

b) Đạo hàm cấp n bất kì:

y( n)  y( n1)





'

Ví dụ 6. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau đây
a) y  ln x
b) y  s in3x
c) y 

d) y 

x

1
x

Ví dụ 7. Cho hàm số f ( x)  ax2  bx  c với mọi x. Hãy tính f (1) , biết rằng
f (2)  26 ; f ' (2)  23 ; f '' (2)  14 .

II.2. VI PHÂN

1. KHÁI NIỆM
a) Vi phân cấp một. Nếu y  f x  là hàm số của x thì vi phân của y được tính bởi
công thức

dy  y ' dx hay dy  f ' x dx

b) Vi phân cấp hai. Vi phân của vi phân cấp một được gọi là vi phân cấp hai, kí hiệu và
được tính bởi công thức d2 y  d( dy)  y " dx2 .
Ví dụ 1. Tính vi phân cấp một, cấp hai của hàm số sau đây
a) y 

1
 e2 x  ln( x2 )
x

b) y  3( x2  1)(2x  3)
7


2. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN
Sử dụng vi phân có thể tính được đạo hàm của hàm số y = y(x) cho bởi phương trình
F(x, y) = 0, mà ta gọi là hàm ẩn. Khi đó ta có
Fx' dx  Fy' dy  0  y '( x ) 

F'
dy
 x
dx
Fy'

Ví dụ 2. Cho hàm số y = y(x) xác định bởi phương trình: y 3  y  1  x 2 . Hãy tính
y'(1).
Ví dụ 3. Cho hàm số y = y(x) xác định bởi phương trình: x2 y  1 . Hãy tính y’(x).
Ví dụ 4. Cho hàm số y = y(x) xác định bởi phương trình:

x

y  25 . Hãy tính y’(x).

II.3. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
Định lý 1.
Nếu f '( x )  0 với mọi x  (a, b ) thì hàm số f tăng trên khoảng (a, b).
Nếu f '( x )  0 với mọi x  (a, b ) thì hàm số f giảm trên khoảng (a, b).
Nếu f '( x )  0 với mọi x  (a, b ) thì hàm số f là hàm hằng trên khoảng (a, b).
Ví dụ 1. Tìm khoảng tăng, giảm của hàm số f ( x ) 

2x
x2  1

2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Cho đồ thị hàm số y = y(x) là đường cong (c). Phương trình tiếp tuyến với (c) tại
điểm ( x0 , y0 ) là: y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) , trong đó f '( x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến
đó.
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong f ( x)  2x2  4 x tại điểm (- 2; 0).
3. KHẢO SÁT CỰC TRỊ
a) Cực trị địa phương
Định lý 2. Nếu f '( x )  0 tại x 0 và f '( x ) đổi dấu khi đi qua x 0 thì x 0 là điểm cực trị
địa phương của hàm số f ( x ) . Cụ thể, nếu đổi dấu từ + sang – thì x 0 là điểm cực đại
địa phương. Còn nếu đổi dấu từ – sang + thì x 0 là điểm cực tiểu địa phương.

Định lý 3.
Nếu f '( x )  0 tại x 0 và f ''( x 0 )  0 thì x 0 là điểm cực đại địa phương.
Nếu f '( x )  0 tại x 0 và f ''( x 0 )  0 thì x 0 là điểm cực tiểu địa phương.
b) Cực trị toàn cục
Định lý 4. Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong khoảng (a, b)
thì nó có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a, b].
8


Lưu ý
 Để tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x ) trên đoạn [a, b], ta tìm đạo hàm f '( x ) và
giải phương trình f '( x )  0 để tìm tất cả các điểm dừng. Sau đó tính giá trị của
hàm số f ( x ) tại các điểm dừng rồi so sánh với f(a), f(b) để suy ra GTLN, GTNN.
 Để tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x ) trên khoảng mở (hữu hạn hoặc vô hạn) thì
cần lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng đó.
2x

Ví dụ 3. Tìm cực trị địa phương của hàm số f ( x ) 
x

2

1

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên đoạn [0; 1]:
f ( x)  e x  e2 x

Ví dụ 5. Tìm cực tiểu của hàm số y  x 

1

x

( x  0)

Ví dụ 6. Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị địa phương của hàm số
 x  3 , khi x  3

f ( x )   x3 , khi 3  x  5
 1 / x , khi x  5


4. KHẢO SÁT TÍNH LỒI, LÕM và ĐIỂM UỐN
Định lý 5.
Nếu f ''( x )  0 với mọi x  (a, b ) thì hàm số f lồi ngặt trên khoảng (a, b).
Nếu f ''( x )  0 với mọi x  (a, b ) thì hàm số f lõm ngặt trên khoảng (a, b).
Nếu f ''( x )  0 tại x 0 và f ''( x ) đổi dấu khi đi qua x 0 thì x 0 là điểm uốn của hàm số
f (x ) .
Ví dụ 7. Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của hàm số f ( x )  x ln x
Ví dụ 8. Cho hàm số f ( x) 

x
2x

e

trên

.

a) Tìm cực đại và cực tiểu địa phương của hàm số trên

b) Xét tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số đó.

.

Ví dụ 9. Một công ty sản xuất thấy rằng khi x (đơn vị tính: ngàn sản phẩm) được bán
ra thì giá của một sản phẩm trên thị trường sẽ là
p( x ) 

1200
x2  16

(đơn vị tính: đô la)

a) Hãy viết hàm doanh thu R( x ) (cho biết đơn vị tính).
b) Tìm số sản phẩm bán ra để công ty đạt doanh thu cực đại. Tìm doanh thu cực đại
khi đó.

9


CHƯƠNG III. HÀM NHIỀU BIẾN
III.1. KHÁI NIỆM
1. HÀM HAI BIẾN
Cho không gian R2  ( x, y) : x, y  R và tập hợp D  R2.
Ánh xạ
R

f : D
( x, y)

z  f ( x, y)

được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp D.
Như vậy, mỗi cặp số thực ( x, y )  D sẽ tương ứng với một số thực z  f ( x, y) .
Ta gọi các biến số x, y là các biến số độc lập, còn biến số z là biến số phụ thuộc vào x, y ;
f ( x, y) là giá trị của hàm hai biến ứng với cặp số thực ( x, y )  D.
Ví dụ 1. Cho D  R2 , f ( x, y)  x3  y2  xy .
Thế thì tập xác định của hàm số là cả không gian R2 ,
ứng với cặp số ( x, y)  (2, 1)  D , ta có z  f (2, 1)  23  ( 1)2  2.( 1)  5.
Ứng với cặp số ( x, y)  (3,2)  D , ta có z  f (3,2)  33  22  3.2  29.
2. TẬP XÁC ĐỊNH
Thông thường khi cho hàm số, người ta phải cho trước tập xác định D và cho ánh xạ f để có
thể tính được giá trị tương ứng của hàm số.
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, người ta chỉ cho ánh xạ f mà không cho tập xác định. Khi
đó, ta quy ước tập xác định D của hàm số là tập hợp các cặp số ( x, y)  R2 sao cho giá trị
của biểu thức f ( x, y) là số thực.
Ví dụ 2. Cho hàm số bởi biểu thức f ( x, y)  y  x2 .
Rõ ràng, muốn f ( x, y) là một số thực, ta phải có y  x2  0.
Như vậy, tập xác định của hàm số đó là tập hợp



 

D  ( x, y)  R2 : y  x2  0  ( x, y)  R2 : y  x2

.

Chẳng hạn, ( x, y)  (1,2)  D,( x, y)  (2,1)  D .
Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm số f ( x, y)  ln(2 x  y  1).

Giải. Ta có tập xác định của hàm số đã cho là



 



D  ( x, y)  R2 : 2 x  y  1  0  ( x, y)  R2 : y  2 x  1 .

Chẳng hạn, ( x, y)  (2,4)  D,( x, y)  (2,5)  D.
Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm số
a) z 

1
2

ln( y  x  1)

b) z  4  x2  y2  x2  y2  1
10


III.2. ĐẠO HÀM RIÊNG và VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM RIÊNG
Cho hàm hai biến z  f ( x, y ) xác định trên tập hợp D.
Nếu xem biến số y như hằng số, ta có hàm một biến theo x. Lấy đạo hàm của hàm số thu
'
được theo x, ta gọi đó là đạo hàm riêng theo x của hàm hai biến đã cho, kí hiệu là z x hoặc
z

.
x

Như vậy

f ( x, y0 )  f ( x0 , y0 )
z f ( x0 , y0 )
.

 lim
x
x
x  x0
x  x0

Ví dụ 1. Cho hàm số z  x3  y2  xy.
Xem y là hằng số, ta có hàm một biến z  x3  c2  cx . Lấy đạo hàm của hàm số này theo
x, ta được z '  3 x2  c .
Thay c  y , ta có đạo hàm riêng theo x của hàm số đã cho là z'x  3 x2  y.
Tương tự, nếu xem x là hằng số, ta có hàm một biến theo y và ta cũng tính được đạo hàm
'
z
riêng theo y của hàm hai biến, kí hiệu là z y hoặc . Ta cũng có công thức
y

f ( x0 , y)  f ( x0 , y0 )
z f ( x0 , y0 )

 lim
y

y
y  y0
y y0
'
Ở ví dụ 1, ta tính tiếp đạo hàm riêng theo y và được z y  2 y  x.

Vậy, thực chất đạo hàm riêng theo từng biến số là đạo hàm của hàm một biến khi xem
biến số còn lại như hằng số.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm riêng của hàm 2 biến: z  e x  y  xy .
Ví dụ 3. Cho hàm hai biến z  e2 x  y  ln y . Tính z'x (1;1) , z'y (1;1) .
Ví dụ 4. Tính đạo hàm riêng của hàm 3 biến: u  e xyz  xy  yz  zx .
2. VI PHÂN
' '
Cho hàm hai biến z  f ( x, y) xác định trên tập hợp D và có các đạo hàm riêng zx , z y .

Khi đó, biểu thức dz  z'x dx  z'ydy được gọi là vi phân (toàn phần) của hàm hai biến đã cho.
Ví dụ 5. Tính đạo hàm riêng và vi phân của hàm số z  x3  y3 .
3. ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI
Cho hàm hai biến z  f ( x, y) có các đạo hàm riêng z'x , z'y . Ta gọi đây là các đạo hàm riêng
cấp một. Rõ ràng chúng đều là hàm hai biến nên lại có đạo hàm riêng của mình.
Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của hàm số ban
đầu.
11


Ta có 4 đạo hàm riêng cấp hai sau đây:

 x
z'x

'

 z" 2 ,
x

 y
z'x

'

 z"xy ;

 x
z'y

'

 z"yx ,

  y  z"y
z'y

'

2

với các tên gọi lần lượt là : đạo hàm riêng cấp hai theo x hai lần; đạo hàm riêng cấp hai theo x
rồi theo y; đạo hàm riêng cấp hai theo y rồi theo x; đạo hàm riêng cấp hai theo y hai lần.
Các đạo hàm riêng cấp hai còn được kí hiệu lần lượt là

2 z
x2

,

2 z
2 z 2 z
,
,
.
yx xy y2

Ví dụ 6. Hàm số z  x3  y2  xy có các đạo hàm riêng cấp một là z'x  3 x2  y,
z'y  2 y  x. Ta tính tiếp 4 đạo hàm riêng cấp hai:

z" 2  6 x, z"xy  1; z"yx  1, z" 2  2.
x
y
Ta nhận thấy các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp bằng nhau nên ta có

z"xy  z"yx
Do đó, ở các ví dụ sau ta chỉ cần tính 3 đạo hàm riêng cấp hai:

z" 2 , z"xy , z" 2 .
x

y

Ví dụ 7. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z  xy ln x .
4. VI PHÂN CẤP HAI

Vi phân cấp hai của hàm hai biến z  f ( x, y) là biểu thức có dạng:
d2 z  d( dz)  z" 2 dx2  2z"xydxdy  z" 2 dy2
x

y

Ví dụ 8. Hàm số z  x3  y2  xy có các đạo hàm riêng cấp hai:
z" 2  6 x, z"xy  1; z"yx  1, z" 2  2.
x
y
Vậy, vi phân cấp hai của hàm số đó là
d2 z  6 xdx2  2dxdy  2dy2.

Ví dụ 9. Tính đạo hàm riêng và vi phân cấp hai của hàm số z  x2 e2 y tại điểm (1;0).
Ví dụ 10. Tính đạo hàm riêng và vi phân cấp hai của hàm số z  ye x  xe y .
5. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
a) Hàm hợp một biến
Giả sử ta có hàm 2 biến: z  f ( x, y) , trong đó x, y đều là hàm của một biến t, nghĩa là:
x  x (t ), y  y (t ) . Khi đó ta có hàm hợp 1 biến theo t: z  f  x (t ), y (t )   g (t ) .
'
' '
'
'
Công thức tính đạo hàm của z theo t là: zt  f x .xt  f y .y t
'
Ví dụ 11. Cho hàm số: z  x2  2 y2 , trong đó x  sin t , y  3 sin t . Tính z t .

12

b) Hàm hợp 2 biến
Cho hàm 2 biến: z  f ( x, y) , trong đó x, y đều là hàm của hai biến t,s, nghĩa là:
x  x( t, s), y  y( t, s) . Khi đó ta có hàm hợp 2 biến theo t, s:

z  f  x( t, s), y( t, s)   g( t, s) .
Công thức tính đạo hàm của z theo t, s là:
zt'  f x' .xt'  f y' .y t'

zs'  fx' .xs'  f y' . ys'
'
'
Ví dụ 12. Cho hàm số: z  x2 y , trong đó x  s  t, y  2s  4 t . Tính zt , zs .

CHƯƠNG IV. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
IV. CỰC TRỊ ĐỊA PHƯƠNG CỦA HÀM HAI BIẾN
1. KHÁI NIỆM
Cho hàm số f ( x, y) xác định trên tập hợp D, M0( x0, y0 )  D.
Ta nói M0 là điểm cực đại của hàm số f ( x, y) nếu tại các điểm M(x,y) nằm xung quanh
M0 , M  M0 , ta có f ( M )  f ( M0 ) hay f ( x, y)  f ( x0, y0 ) .

Tương tự ta có khái niệm điểm cực tiểu khi thay bất đẳng thức f ( M )  f ( M0 ) bởi bất đẳng
thức f ( M )  f ( M0 ) .
Điểm cực đại, cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
Ví dụ 1. Xét hàm số f ( x, y)  x2  y2  2x  3 , và điểm M0 (1,0)  D  R2 .
Giả sử M(x,y) là điểm bất kì thuộc tập xác định, nằm xung quanh điểm M0 , M  M0 .
Ta có f ( M )  f ( x, y)  x2  y2  2x  3; f ( M0 )  f (1,0)  2 .
Suy ra f ( M )  f ( M0 )  x2  y2  2x  1  ( x  1)2  y2  0, do M  M0 .
Vậy, f ( M )  f ( M0 ) nên M0 là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
2. ĐIỀU KIỆN CÓ CỰC TRỊ
a) Điều kiện cần: Nếu f ( x, y) có cực trị tại

M0 ( x0 , y0 )  D

thì các đạo hàm riêng tại M0

phải bằng 0: fx' ( M0 )  f y' ( M0 )  0.
Ví dụ 2. Hàm số cho ở ví dụ 1 có các đạo hàm riêng:
z'x  2x  2; z'y  2 y  z'x (1,0)  2.1  2  0; z'y  2.0  0.
Nhận xét: Điều ngược lại không đúng, nghĩa là nếu hàm hai biến có các đạo hàm riêng bằng
0 tại điểm M0 thì chưa chắc điểm này đã là điểm cực trị của hàm số. Ta đưa ra tên gọi sau:
Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng 0 được gọi là điểm dừng.

b) Điều kiện đủ. Giả sử M0 ( x0 , y0 )  D là điểm dừng của hàm số f ( x, y) và tại M0 hàm số
có các đạo hàm riêng cấp hai
13


"
A  f "2 ( M0 ), B  fxy
( M0 ), C  f "2 ( M0 ) .
x

y

Khi đó:
- Nếu

A B
 0, A  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại M0 .
B C

- Nếu

A B
 0, A  0 thì hàm số đạt cực đại tại M0 .
B C

- Nếu

A B
 0 thì hàm số không có cực trị tại M0 .
B C

- Nếu

A B
 0 thì không có kết luận gì.
B C

Ví dụ 3. Tìm cực trị địa phương của hàm số z  x3  y3  3 xy .
Giải. Ta có tập xác định của hàm số đã cho là D  R2.
- Ta tính các đạo hàm riêng cấp 1 để tìm điểm dừng.
z'x  3 x2  3 y; z'y  3 y2  3 x .
Suy ra

2
2
 z'  0
y  x2
 x

3 x  3 y  0

 y  x
 
 
 
 '
 z y  0
3 y2  3 x  0
( x2 )2  x  0
 x( x3  1)  0


Từ đây ta có hai nghiệm
x  0 x  1
; 

y  0 y  1

Do đó ta thu được hai điểm dừng là M1(0,0), M2(1,1)  D.
- Ta tính các đạo hàm riêng cấp hai tại từng điểm dừng và xét xem chúng có thoả mãn điều
kiện đủ hay không.
Ta có z"x2  6 x; z"xy  3; z"y2  6 y .
Tại điểm dừng M1(0,0) thì A  z"x2 ( M1 )  6.0  0; B  z"xy( M1 )  3; C  z"y2 ( M1 )  6.0  0.
Do đó

A B
0 3

 9  0 . Vậy điểm M1 không là điểm cực trị của hàm số đã cho.

B C
3 0

Tại điểm dừng M2(1,1) thì A  z"x2 ( M2 )  6.1  6; B  z"xy ( M2 )  3; C  z"y2 ( M2 )  6.1  6.
Do đó

A B
6 3

 27  0; A  6  0.
B C
3 6

Vậy điểm M2 là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
Khi đó ta có

zmin  z(1,1)  13  13  1.1  1.

14


3. CÁC BƯỚC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN
1. Tìm tập xác định.
2. Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm số đã cho.
 z'  0
 x
3. Giải hệ phương trình  '
để tìm điểm dừng.
z


0
 y

4. Tính các đạo hàm riêng cấp hai tại điểm dừng và xét dấu định thức cấp hai tạo bởi
chúng.
5. Kết luận về cực trị của hàm số đã cho và tính cực trị đó (nếu có).
Ví dụ 4. Tìm cực trị địa phương của hàm số z  3 x  x3  2 y  y3 .
Ví dụ 5. Tìm cực trị địa phương của hàm số
a) z  x4  y4  4 xy  1

b) z  x  ln x  y2

IV.2. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA HÀM HAI BIẾN
1. KHÁI NIỆM
Trong mục IV.1 ta đã xét bài toán tìm cực trị địa phương của hàm hai biến z = z(x,y), trong
đó các biến số x, y không có điều kiện ràng buộc. Ta gọi đó là cực trị tự do hay cực trị
không điều kiện.
Ở mục này ta xét bài toán tìm cực trị của hàm hai biến z khi x, y bị ràng buộc với nhau với
một điều kiện nào đó.
Ta nói hàm số z  f ( x, y) đạt cực đại tại điểm M0( x0, y0 ) với điều kiện  ( x, y)  0 nếu
tồn tại một lân cận D của điểm M0 sao cho f ( M )  f ( M0 ) với mọi điểm
M  D, M  M0 , ( M )  0 .
Thông thường phương trình  ( x, y)  0 cho ta một đường cong C nào đó. Như vậy ta chỉ so
sánh f ( M0 ) với f ( M ) khi điểm M nằm trên C mà thôi.
Tương tự ta có khái niệm cực tiểu với điều kiện.
2. ĐIỀU KIỆN CÓ CỰC TRỊ
a) Điều kiện cần: Giả sử M0( x0, y0 ) là điểm cực trị của hàm số z  f ( x, y) với điều kiện
 ( x, y)  0 , trong đó f ( x, y ) ,  ( x, y ) là các hàm số có đạo hàm riêng liên tục.
Khi đó tồn tại số  sao cho
f x' ( x0 , y0 )   x' ( x0 , y0 )  0

f y' ( x0 , y0 )   'y ( x0 , y0 )  0

(1)

 ( x0 , y0 )  0

Số  được gọi là nhân tử Lagrange. Hàm số L( x, y)  f ( x, y)   ( x, y) được gọi là hàm số
Lagrange.

15


b) Điều kiện đủ: Giả sử điểm M0( x0, y0 ) thoả mãn (1). Ta gọi M0 là điểm dừng của bài toán
cực trị có điều kiện. Ta chuyển bài toán tìm cực trị của hàm số z  f ( x, y) với điều kiện
 ( x, y)  0 thành bài toán tìm cực trị không điều kiện của hàm số Lagange.
Xét vi phân cấp hai của hàm số L(x,y) tại điểm M0 :
d2 L( M0 )  L" 2 ( M0 )dx2  2 L"xy ( M0 )dxdy  L" 2 ( M0 )dy2
x

y

trong đó dx, dy bị ràng buộc bởi điều kiện d( M0 )   x' ( M0 )dx   'y( M0 )dy  0 .
Khi đó: - Nếu d2 L( M0 )  0 thì M0 là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số đã cho.
- Nếu d2 L( M0 )  0 thì M0 là điểm cực đại có điều kiện của hàm số đã cho.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số z = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2  y2  1 .
Giải. Ta có hàm số Lagrange L( x, y)  6  4 x  3 y  ( x2  y2  1) . Do đó
L'x  4  2 x , L'y  3  2 y
L" 2  2 , L"xy  0 , L" 2  2
x

Giải hệ

L'x  0 , L'y  0 , L'  0

y

ta tìm được hai điểm dừng

5
3
5
4 3
 4
M1  ;  , 1 
; M2   ;   , 2  
2
5
2
5 5
 5

- Tại M1 ta có vi phân cấp hai d2 L( M1 )  21dx2  21dx2  5( dx2  dy2 )  0 .
Vậy M1 là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số đã cho với zmin  z( M1 )  1 .
- Tại M2 ta có vi phân cấp hai d2 L( M2 )  22dx2  22dx2  5( dx2  dy2 )  0 .
Vậy M2 là điểm cực đại có điều kiện của hàm số đã cho với zmax  z( M2 )  11 .
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số f ( x , y )  x 2  y 2 với điều kiện xy  1 .
Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số f ( x, y)  x  y với điều kiện x2  y2  32 .

16

CHƯƠNG VI. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
VI.1. MA TRẬN
1. KHÁI NIỆM
a) Ma trận cấp m  n : là một bảng gồm mn số aij được sắp xếp thành
dòng và

m

n cột dưới dạng
 a11
a
A   21
 ...

 am1

aij là phần tử ở dòng

i

a12
a22
...
am2

... a1n 
... a2n 
... ... 


... amn 

và cột j của ma trận A ;

i

là chỉ số dòng, j là chỉ số

cột của phần tử aij đó.
1 2 3 

Ví dụ 1. A  
 là ma trận cấp 2  3 , trong ma trận này ta có phần tử
4 5 6 
a13  3, a21  4 .
Người ta thường viết tắt ma trận ở dạng A   aij  mn .
b) Ma trận vuông: là ma trận có số dòng m bằng số cột
trận cấp n  n ta chỉ nói đó là ma trận vuông cấp n .

n , khi đó thay vì nói ma

1 3 

Ví dụ 2. B  
 là ma trận vuông cấp hai.
5 7 
Trong ma trận vuông cấp n , người ta gọi các phần tử a11, a22,..., ann là các phần
tử thuộc đường chéo chính của ma trận.
c) Ma trận đơn vị: là ma trận vuông có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính
đều bằng 1, các phần tử còn lại đều bằng 0,kí hiệu là In .

1 0 0 
1 0 
, I3  0 1 0  là các ma trận đơn vị cấp 2, cấp 3
Ví dụ 3. I2  

0 1 
0 0 1 

d) Ma trận tam giác: là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía dưới, hoặc phía
trên đường chéo chính đều bằng 0.
1
1 2 3 
2
Ví dụ 4. C  0 4 5  , D  
4
0 0 6 

7

0
3
5
8

0 0
0 0 
là các ma trận tam giác.
6 0

9 10 

e) Ma trận chéo: là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính
đều bằng 0.
17


1 0 0 
Ví dụ 5. E  0 2 0  là ma trận chéo.
0 0 3 

f) Ma trận cột: là ma trận chỉ có một cột.
g) Ma trận dòng: là ma trận chỉ có một dòng.
1 
 
Ví dụ 6. F  2  , G  1 2 3 4  lần lượt là ma trận cột, ma trận dòng.
3 
h) Ma trận không: là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, kí hiệu là

Omn .

0 0 0 

Ví dụ 7. O23  
.
0 0 0 
i) Ma trận bậc thang: là ma trận thoả mãn hai điều kiện sau đây
- dòng có tất cả các phần tử bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới dòng có phần tử khác 0;
- phần tử khác 0 đầu tiên (tính từ trái sang phải) của mỗi dòng dưới nằm bên phải so với
phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên.
Ví dụ 8.

1
0
M
0

0

2 3 4 5
1 0 0 0 0 
6 7 8 9 
, N  0 0 2 3 0 
0 10 11 12 
0 0 0 0 4 

0 0 0 0

là các ma trận bậc thang.
2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
a) Tổng hai ma trận cùng cấp A   aij 

mn

, B   bij 
là một ma trận
mn

C cùng

cấp sao cho C   cij  mn , cij  aij  bij .

Khi đó ta kí hiệu C  A  B .
1 2 3 
 3 2 0 
,
B

Ví dụ 9. Cho hai ma trận A  

 5 6 7  .
4 0 2 


 2 0 3 

Thế thì C  A  B  
.
 1 6 9 
Chú ý: Hai ma trận chỉ cộng được với nhau khi chúng có cùng cấp.
b) Tích của một số với một ma trận bất kì
Cho số  và ma trận A   aij  mn . Tích của

B cùng cấp với



với ma trận

A là một ma trận

A sao cho B  bij  , bij   aij .

Khi đó ta kí hiệu B   A .

18


1 2 3 
,  2 .
0 2 

Ví dụ 10. Cho ma trận A  
4

2 4 6 
.
4 

Thế thì B  2 A  
8 0
c) Tích của hai ma trận
Cho hai ma trận A   aip 

m k

là ma trận

C

, B  bpj 

. Tích của ma trận A với ma trận B
kn

sao cho C   cij  mn , cij 

k

 aipbpj .

p1

Khi đó ta kí hiệu C  AB .
 2 3
1 2 3 
, B   1 1  .
Ví dụ 11. Cho hai ma trận A  

4 0 2 
 4 2 

c

c 

11
12
Thế thì C  AB  
 là ma trận vuông cấp hai. Ta tính các phần tử của C .
c
c

 21 22 
Ta có
c11  1.2  ( 2).( 1)  3.4  16, c12  1.3  ( 2).1  3.2  7,
c21  4.2  0.( 1)  2.4  16, c22  4.3  0.1  2.2  16

16

7

Vậy C  
.
16 16 
Chú ý: - Hai ma trận chỉ nhân được với nhau khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số
dòng của ma trận thứ hai.
- Muốn tìm phần tử ở dòng

i , cột j

của ma trận tích C  AB , ta nhân các phần tử

ở dòng i của ma trận A lần lượt với các phần tử ở cột j của ma trận B rồi cộng
các tích đó lại.
d) Phép chuyển vị
Cho ma trận A   aij  mn . Ma trận thu được từ A bằng cách viết các dòng
của A lần lượt thành các cột được gọi là ma trận chuyển vị của A và kí hiệu là
A t . Khi đó

A t là ma trận cấp n  m .
1 2 3 
.

4 0 2 

Ví dụ 12. Cho ma trận A  

Thế thì

 1 4
A   2 0  .
 3 2 
t

t t
Hiển nhiên ta có ( A )  A .
e) Luỹ thừa một ma trận vuông
Khi A là một ma trận vuông, ta có thêm phép toán luỹ thừa:
Luỹ thừa bậc n của ma trận A là tích của n ma trận A , nghĩa là

19


An  AA... A ( n lần).
1 2 

Ví dụ 13. Cho ma trận A  
 . Khi đó
3 4 
1 2  1 2   5 10 
A2  
.
  


3 4  3 4  15 10 
 5 10  1 2   35 30 
A 3  A 2 .A  
.
  

15 10  3 4   45 10 

Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép toán trên ma trận tương tự như đối với các số: nhân
trước, cộng sau. Phép trừ A  B được xem là hệ quả của phép cộng và phép nhân với
một số: A  B  A  ( 1) B .
Ví dụ 14. Hãy thực hiện các phép toán sau đây
 1 2
1 3 
2 5




a) 5  1 0   3 0 3   2  6 7  ; b)
 2 1 
4 2
 3 2
2

 2 1
 1 3  3 2 1 0 

 4 3 2 3 


 3 4  
t

3
1 2 1 
1
t
2 1 
2 1 3 




c) 
 ; d ) 0 2 3  ; e)  2 4  3 2 2  .
1 3 

2 1 1 
 0 5  
3

3. CÁC TÍNH CHẤT
Giả sử các phép toán dưới đây đều thực hiện được. Khi đó ta có các tính chất sau đây
đối với phép toán trên ma trận.
A  B  B  A, A  O  A, A  (  A )  O,
A  ( B  C )  ( A  B)  C, A( BC )  ( AB)C,
1 A  A, AI  IA  A,( ) A   (  A ),
(   ) A   A   A, ( A  B)   A   B.

Ví dụ 15. Cho 3 ma trận
1
1 2 
A  
;B 

3
 2 1 

 1 0 
0 2


; C   3 1

2 1 
 2 4 

Hãy tính ma trận M  ABC bằng 2 cách sau đây:
a) Tính A (BC )
b) Tính ( AB )C
Ví dụ 16. Cho 2 ma trận
 2 1 
0 3


A   1 0  ; B   2 0 
 3 4 
 4 1

Hãy tìm ma trận X, biết rằng
a) X  3A  2B ;
c) 2X  3A  B

b) 2X  2A  B
d) 2A  4B  2X
20


VI.2. ĐỊNH THỨC
1. KHÁI NIỆM
a) Định thức cấp một: là định thức của ma trận vuông cấp một A   a11  .
Khi đó ta có det A  a11  a11 .
Ví dụ 1. A  4  , detA  4; B   3 ,det B  3 .
a

a 

b) Định thức cấp hai: là định thức của ma trận vuông cấp hai A   11 12  .
 a21 a22 
a11 a12
 a11a22  a21a12 .
Khi đó det A 
a21 a22
Ví dụ 2.

3 4
2 3 
A
,det A  2.7  4.3  2;

 ( 3).2  5.4  26

5 2
4 7 

Ví dụ 3. Cho 2 ma trận
 1 3 
 2 1 
A  
;B 


4 2 
 0 5
Hãy tính các định thức: A ; B ; AB .

 a11

c) Định thức cấp ba: là định thức của ma trận vuông cấp ba A   a21
 a31

a12
a22
a32

a13 
a23  .
a33 

Khi đó

a11
det A  a21
a31

a12
a22
a32

a13
a a a  a12a23 a31  a13 a21a32 
a23  11 22 33
 a31a22 a13  a32 a23 a11  a33 a21a12
a33

Ví dụ 4.
2 1 3
2.1.1  ( 1).2.( 3)  3.0.2 
0 1 2 
( 3).1.3  2.2.2  1.0.( 1)  9
3 2 1

Ví dụ 5. Tính các định thức sau
1 2 2
a) 3 1 4
1 0 1

1 m 1
b) 1 1 2
3 m 1

Ví dụ 6. Tìm m để định thức sau đây bằng 0
2 2 2
a) m 1 3
3 1 m

2m

b) m2
3

2

1

1 2
1 1
21


d) Định thức con bù - phần bù đại số
Cho A   aij  nn là ma trận vuông cấp n bất kì. Khi đó, định thức thu được từ

A bằng cách xoá đi dòng

i và cột j được gọi là định thức con bù của phần tử

aij ,

i j
kí hiệu là Dij . Số Aij  ( 1) Dij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij .

1 2 3 
Ví dụ 7. Cho ma trận A  4 5 6  . Ta có
7 8 9 
5 6
a11  1, D11 
 3, A11  ( 1)11 D11  3
8 9
a12  2, D12 

4 6
 6, A12  ( 1)1 2 D12  6
7 9

Ví dụ 8. a) Xét ma trận
 2 3  a11  2, D11  7, A11  7
A
;
,
4 7  a12  3, D12  4, A12  4
a11 A11  a12 A12  2  det A

b) Tương tự, xét ma trận
a11  2, D11  3, A11  3;
 2 1 3 
a12  1, D12  6, A12  6;
A   0 1 2  ;
a13  3, D13  3, A13  3;
 3 2 1 
a11 A11  a12 A12  a13 A13  9  det A

e) Định thức cấp

n

Cho A   aij  nn là ma trận vuông cấp n bất kì. Khi đó định thức của A được
gọi là định thức cấp n và được tính bởi công thức
det A  a11 A11  a12 A12  ...  a1n A1n
2 0
1 2
Ví dụ 9. Cho ma trận vuông cấp bốn A  
2 1

0 3

3 1
0 3 
.
2 1

1 2 

Thế thì det A  2 A11  0 A12  3 A13  A14 .
2 0 3
1 2 3
1 2 0
Mà A11  1 2 1  31; A13  2 1 1  25; A14   2 1 2  11
3 1 2
0 3 2
0 3 1

Vậy det A  2.
22


0
2
Ví dụ 10. Tính định thức cấp bốn
0
3

2 3 0
0 1 1
.
1 1 0
2 0 2

2. CÁC TÍNH CHẤT
Định thức cấp bất kì có các tính chất sau đây.
1. det A  det At (Hai ma trận chuyển vị có định thức bằng nhau).
2. Định thức có một dòng bằng 0 thì bằng 0.
3. Định thức có hai dòng giống nhau hoặc tỉ lệ với nhau thì bằng 0.
4. Nhân tử chung của một dòng có thể đem ra ngoài định thức.
5. Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử thuộc đường chéo chính.
6. Nếu đổi chỗ hai dòng bất kì thì định thức đổi dấu.
7. Định thức không hay đổi, nếu cộng vào một dòng các phần tử tương ứng của dòng
khác đã được nhân với cùng một số.
8. Các tính chất trên vẫn đúng khi thay chữ “dòng” bởi chữ “cột”.
9. Công thức định nghĩa định thức cấp n vẫn đúng khi thay dòng 1 bởi dòng bất kì
khác, nghĩa là

det A  ai1 Ai1  ai2 Ai2  ...  ain Ain , i  1,2,..., n.
10. Tương tự ta có công thức khai triển định thức theo cột bất kì:

det A  a1 j A1 j  a2 j A2 j  ...  anj Anj , j  1,2,..., n.
1 2 3
1 2 3
1 2 
1 3 
Ví dụ 11. det 
  det 2 4  ; 0 0 0  0; 2 4 6  0
3 4 

 4 5 6
1 2 4
2 4 10
1 2 5 1 2 3
2 0 0
Ví dụ 12. 1 3 2  2 1 3 2 ; 0 4 5  1.4.6; 3 4 0  2.4.7
2 0 1
2 0 1 0 0 6
6 0 7
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2
3 4

; 2 0 1  0 4 7  0 4 7  8
Ví dụ 13.
3 4

1 2
3 2 3
0 8 12
0 0 2

2 3 4
Ví dụ 14. 2 1 1  3 A31  4 A32  2 A33  3 A12  A22  4 A32
3 4 2

Sử dụng các tính chất trên, ta dễ dàng tính được các định thức cấp cao.
1
2
Ví dụ 15.
3
4

2
3
4
1

3
4
1
2

4
1 2
3
4

1 2 3 4
1 2 3 4
1
0 1 2 7
0 1 2 7
0 1 2 7



 160
2
0 2 8 10
0 0 4 4
0 0 4 4
3
0 7 10 13
0 0 4 36
0 0 0 40

23


Ví dụ 16. Hãy tính các định thức sau
1 1 1 1
1 1 1 1
a)
1 1 1 1
1 1 1 1

1 0

1 1
c)
2 1
4 17

1 1
2 0
3 1
0 5

b)

6
5
3
1

d)

13
0
1
3

9 39 49
7 32 37
4 4 4
1 1 1

3 8 6

0 4 0
0 7 2
0 2 0

VI.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1. KHÁI NIỆM
Định nghĩa: Cho A   aij  nn là ma trận vuông cấp

n . Ma trận B

thỏa mãn điều

kiện AB  BA  In được gọi là ma trận nghịch đảo của A và kí hiệu là B  A1 .
1 2 
 3 2 
;B  
Ví dụ 1. A  

.
1 3 
 1 1 
Khi đó ta có AB  BA  I2 nên B  A1 .
Chú ý: Nếu B  A1 thì A  B1 . Do đó ta còn nói A và B là các ma trận nghịch đảo
của nhau.
Định nghĩa: Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo A1 thì ta nói A là ma trận khả
nghịch, hay khả đảo.
2. ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH

Định lý: Để ma trận vuông A khả nghịch, cần và đủ là det A  0.
1 2 

Ví dụ 2. Ma trận A  
 khả nghịch (theo ví dụ 1) và ta thấy det A  1  0 .
1
3


Ví dụ 3. Các ma trận sau đây có khả nghịch không?
 2 3 1
 1 2 3 
 3 2


a) 
; b)  4 1 2  ; c)  2 1 0  .

 1 4 
 2 4 1 
 3 2 4 

Ví dụ 4. Tìm a để ma trận

1 1 0 
A  1 a 1 
0 2 1 

khả nghịch.

3. PHƯƠNG PHÁP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Có hai phương pháp tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông.

a) Phương pháp định thức: (sử dụng phần bù đại số)
Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A   aij 
, ta cần:
nn

24


1. Tính det A.
- Nếu det A  0 thì kết luận ma trận

A

không có ma trận nghịch đảo.

- Nếu det A  0 thì A có ma trận nghịch đảo A1 .
2. Tính phần bù đại số của tất cả các phần tử aij  A .
3. Lập ma trận phụ hợp từ các phần bù đại số thu được PA   Aij  .
nn
4. Tính ma trận nghịch đảo A1 

1
det A

PAt .
1 2 

Ví dụ 5. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A  
.
1 3 

Ta có
det A  1; A11  3, A12  1, A21  2, A22  1
t

 3 1 1 1  3 1
 3 2  .
PA  
;
A



 1 1 
1  2 1 
 2 1 





Ví dụ 6. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

1 2 1 
A  2 3 2 
3 1 3 

.

Ta có
det A  6; A11  11, A12  12, A13  7, A21  7,

A22  6, A23  5, A31  1, A32  0, A33  1;
t
  11 7
11 12 7 
11 12 7 
6
 6




1
1

PA   7 6
5 ; A 
7 6
5  2
1
6 
 7
5
 1 0
 1 0
1 
1 
 6
6

1

6

0

1
6 

Ví dụ 7. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau đây bằng phương pháp định thức
4 2 
a) A  
;
3 5 

1 1 0 
b) B  1 1 1 
0 2 1 

Ví dụ 8. Cho 3 ma trận
1 1
A  
;
1 1

2 2 
B  
;
2 2 

1 2 
C  


3 4 

Hãy tìm ma trận X, biết rằng
a) AB  ACX

b) A  2CX  B

b) Các phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận bất kì:
Ta gọi các phép biến đổi sau đây là phép biến đổi sơ cấp dòng đối với một ma trận bất
kì:
1. Đổi chỗ hai dòng tuỳ ý của ma trận.
2. Nhân tất cả các phần tử của một dòng với một số khác 0.
25