Sử dụng cực và đối cực trong giải toán hình học phẳng

1

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận này được hoàn thành tại trường Đại học Hùng Vương dưới
sự hướng dẫn khoa học của ThS. Lưu Thị Thu Huyền. Để hoàn thành khóa
luận tốt nghiệp, ngoài sự nỗ lực của bản thân, em xin gửi lời cảm ơn đến ban
giám hiệu, các thầy cô trong khoa Toán – Tin trường Đại học Hùng Vương đã
tận tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình nghiên cứu
và thực hiện đề tài khóa luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn của
mình là ThS. Lưu Thị Thu Huyền đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong
suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận.
Mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức xong do thời gian có hạn cùng với
khối lượng kiến thức lớn và khó nên khóa luận khó tránh khỏi những thiếu
sót. Em rất mong nhận được sự góp ý các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn đọc
để khoá luận được hoàn thiện hơn.
1


2

Em xin chân thành cảm ơn!

2


3

MỤC LỤC
Trang

3


4

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài khóa luận.
Toán học là môn khoa học có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển
năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận logic, tính độc lập sáng tạo, có
khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học và rất cần thiết trong đời
sống. Chính vì thế, toán học cần được khai thác để góp phần phát triển năng
lực trí tuệ chung và hình thành nhiều phẩm chất đáng quý cho người học.
Trong bộ môn toán, hình học giữ vị trí quan trọng trong suốt chương
trình toán phổ thông. Đặc biệt trong hình học phẳng, cực và đối cực là một
công cụ mạnh giúp chúng ta chứng minh các bài toán về quan hệ vuông góc,
song song, tính đồng quy, thẳng hàng,… Nhờ các kiến thức về cực và đối cực
mà chúng ta có thể giải các bài toán khó, phức tạp, thậm chí có những bài
toán chỉ giải được khi sử dụng cực và đối cực. Việc vận dụng cực và đối cực
vào giải một số dạng toán hình học phẳng sẽ giúp học sinh tăng cường khả
năng tư duy sáng tạo, góp phần phát huy tính tích cực, chủ động trong giải
toán. Bên cạnh đó, cực và đối cực còn đem lại cho người học một phương
pháp tốt, nâng cao hứng thú học tập, rèn luyện khả năng tìm tòi nghiên cứu.
Do đó, cực và đối cực là một nội dung được sử dụng nhiều trong việc bồi
dưỡng học sinh giỏi. Bằng cách sử dụng kiến thức về cực và đối cực, chúng ta
sẽ đưa ra được hướng giải quyết một số dạng toán hình học sơ cấp tối ưu hơn
mà các phương pháp thông thường mất nhiều công sức mới giải quyết được.
Tuy nhiên, việc vận dụng các kiến thức về cực và đối cực vào nghiên cứu và
giải quyết một số dạng toán hình học phổ thông đòi hỏi học sinh phải có khả
năng tư duy cao mà lại có ít tài liệu tham khảo, học sinh chưa được tiếp xúc
nhiều, vì vậy khi tiếp cận vấn đề này học sinh còn gặp nhiều khó khăn.

Vì những lí do trên mà em quyết định lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Sử
dụng cực và đối cực trong giải toán hình học phẳng” cho khóa luận tốt nghiệp
của mình.
4


5

2. Mục tiêu khóa luận.
Xây dựng được hệ thống các bài toán hình học phẳng về chứng minh quan
hệ vuông góc, song song, tính đồng quy, thẳng hàng và điểm cố định có sử
dụng cực và đối cực để giải.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Tìm hiểu các kiến thức liên quan đến đề tài và phân loại các nội dung đó.
- Tuyển chọn và giới thiệu các bài toán sử dụng cực và đối cực, so sánh
được ưu điểm khi sử dụng cực và đối cực so với các phương pháp khác.
4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, sách có liên
quan đến sử dụng cực và đối cực trong giải toán hình học phẳng rồi phân
dạng, hệ thống hóa kiến thức.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp
hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức
của khóa luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng: nghiên cứu kiến thức và một số dạng toán hình học phẳng sử
dụng cực và đối cực.
- Phạm vi: ứng dụng của cực và đối cực trong giải một số dạng toán hình
học phẳng.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
Khóa luận trình bày những kiến thức cơ bản về cực và đối cực trong

mặt phẳng và sử dụng chúng trong việc giải một số dạng toán hình học phẳng.
Qua đó cho thấy sự linh hoạt, sáng tạo và có một phương pháp tốt khi giải
toán là rất quan trọng. Đồng thời khóa luận còn là tài liệu tham khảo hữu ích
giúp bản thân em cũng như các bạn học sinh và sinh viên ngành toán học tập
tốt hơn.
5


6

Chương 1. Kiến thức cơ sở
1.1. Hàng điểm điều hòa
1.1.1. Tỉ số kép
1.1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa

1.1. Cho một tập hợp có thứ tự gồm bốn điểm A, B, C, D phân

biệt cùng nằm trên một đường thẳng đã được định hướng. Ta gọi tỉ số

là tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D (Hình 1.1) và được kí hiệu là

(ABCD). Ta có: (ABCD) =

D

C

O

A

B

Hình 1.1

Trên đường thẳng đó nếu chọn O là gốc tọa độ và giả sử a, b, c, d lần
lượt là tọa độ các điểm A, B, C, D ta dễ dàng suy ra:

(ABCD) =

(1)

1.1.1.2. Các tính chất của tỉ số kép
1) Tỉ số kép của 4 điểm là không đổi trong các trường hợp sau:
6


7

- Nếu ta hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, nghĩa là:
(ABCD) = (CDAB).
- Nếu ta đồng thời hoán vị 2 điểm đầu và 2 điểm cuối, nghĩa là:
(ABCD) = (BADC).
-

Nếu ta viết chúng theo thứ tự ngược lại, nghĩa là:
(ABCD) = (DCBA).

2) Tỉ số kép của 4 điểm thay đổi trong các trường hợp:

- Nếu ta hoán vị 2 điểm đầu hoặc 2 điểm cuối thì tỉ số kép của 4 điểm
trở thành số đảo ngược của nó nghĩa là:
(BACD) = (ABCD) =
- Nếu ta hoán vị 2 điểm ở giữa, hoặc 2 điểm đầu và cuối thì tỉ số kép
của 4 điểm trở thành phần bù của 1 nghĩa là:
(ABCD) = (DBCA) = 1 - (ABCD).
1.1.2. Hàng điểm điều hòa
1.1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.2. Nếu (ABCD) = - 1 thì ta nói rằng bốn điểm A, B, C, D lập
thành một hàng điểm điều hòa.
Lúc đó ta có

nghĩa là các điểm C, D chia đoạn AB theo các tỉ số

đối nhau. Mặt khác, ta cũng có thể viết tỉ số trên dưới dạng
nghĩa là các điểm A và B chia đoạn CD theo các tỉ số đối nhau. Dựa vào các
biểu thức trên đây ta nhận thấy vai trò bình đẳng của A, B và C, D.
Chú ý: Khi nói tới tỉ số kép cũng như nói tới hàng điểm điều hòa,
chúng ta cần viết đúng thứ tự của các điểm. Dựa vào các tính chất nêu trên, ta
biết được khi thay đổi thứ tự các điểm nào thì giá trị của tỉ số kép được giữ
7


8

nguyên và khi thay đổi thứ tự các điểm nào thì giá trị của tỉ số kép đó thay đổi
theo những quy luật nào. Do đó nếu (ABCD) = -1 ta suy ra:
(CDAB) = (BADC) = (DCBA) = -1
Mặt khác nếu (ABCD) = -1 thì

do đó ta có:

(BACD) = (ABDC) = -1.
1.1.2.2. Biểu thức tọa độ đối với hàng điểm đìểu hòa
Ta hãy định hướng đường thẳng ABCD, chọn trên đó một điểm O làm
gốc và một vectơ đơn vị. Giả sử

thì vì

(ABCD)= - 1 nên ta có:

1)
(2)

A

D

O

C

B

Hình 1.2

2) Nếu ta chọn điểm O trùng với điểm A thì khi đó a = 0 và hệ thức (2)

trở thành 2cd = bc + bd hay

( Hình 1.3)
(3)

Từ hệ thức (3) ta suy ra
8


9

(3’)
A

O

D

C

B
Hình 1.3

Hệ thức (3’) được gọi là hệ thức Descartes.
3) Gọi I là trung điểm của đoạn AB và nếu chọn O trùng với I thì

b = - a. Khi đó hệ thức (2) trở thành 2(- a² + cd) = 0 hay a² = cd.

Vậy

(4)

Với I là trung điểm của đoạn AB (Hình 1.4).
I

A

C

D

B

O

Hình 1.4

Hệ thức (4) được gọi là hệ thức Newton.
(4) Gọi J là trung điểm của đoạn CD và chọn O ≡ A trên trục là gốc.

A
D

J

O

Hình 1.5

Khi đó từ hệ thức (3’), ta có:
9

B
C


10

(ABCD) = -1

Hệ thức (5) được gọi là hệ thức Macloranh

1.2. Chùm điều hòa
Định nghĩa 1.3. Người gọi chùm đường thẳng là một tập hợp gồm tất cả các
đường thẳng trong mặt phẳng cùng đi qua một điểm và điểm đó được gọi là
tâm của chùm.
Định lí 1.1. Một chùm bốn đường thẳng cắt một cát tuyến thay đổi theo một
hàng điểm có tỉ số kép không đổi.
Chứng minh
Giả sử bốn đường thẳng a, b, c, d của chùm tâm O cắt hai cát tuyến m
và m’ bất kì không đi qua tâm O theo các hàng điểm A, B, C, D và A’, B’, C’,
D’. Ta cần chứng minh (ABCD) = (A'B'C’D’) (Hình 1.6)

O
N
D
A

m

C

B

N’

M
m’

B’
A’

D’

C’
b

a
M’

c

Hình 1.6

10

d


11

Qua điểm B ta dựng đường thẳng MBN song song với đường thẳng a

cắt c và d tại M và N.
ó:
Ta c

,

Chia từng vế hai đẳng thức trên ta có:
mà

Nên

.
Tương tự, qua điểm B’ ta dựng đường thẳng B’M’N’ song song với a

cắt c và d ở M’ và N’ thì ta cũng có (A’B’C’D’) =

Vì BN // B’N’ nên

hay (ABCD) = (A’B’C’D’).

Định nghĩa 1.4. Tỉ số kép không đổi nói trên gọi là tỉ số kép của chùm đường
thẳng a, b, c, d và được kí hiệu là (abcd).
Nếu (abcd) = - 1 thì ta nói rằng chùm đã cho là chùm điều hòa. Người
ta còn nói rằng cặp đường thẳng a, b chia điều hòa cặp đường thẳng c, d hoặc
a, b và c, d là hai cặp đường thẳng liên hiệp điều hòa với nhau.
Định lý 1.2. Trong mặt phẳng cho chùm bốn đường thẳng đồng quy. Điều
kiện cần và đủ để chùm đó lập thành một chùm điều hoà là: Một đường thẳng
bất kì song song với một trong bốn
đường thẳng đó bị ba đường thẳng còn lại
S

l

chia thành hai đoạn thẳng bằng nhau.
Chứng minh.

N
B

11
a

M

c

b


12

Hình 1.7

Kẻ đường thẳng l song song với a và cắt b, c, d lần lượt tại M, B, N.
Theo định lý trên, ta có:
và (abcd) = -1
B là trung điểm của đoạn thẳng MN hay MB = NB (Hình 1.7).
Hệ quả 1. Trong một chùm điều hoà nếu có hai đường liên hợp vuông góc
với nhau thì hai đường đó là các đường phân giác của các góc tạo bởi hai
đường (Hình 1.8a).
Hệ quả 2. Hai đường phân giác của hai góc kề bù chia điều hoà hai cạnh của

góc đó (Hình 1.8b). Chùm đường thẳng gồm hai cạnh của một góc và hai
đường phân giác của góc đó được gọi là chùm phân giác
S

S

B
C

A
b

D

a)
c

a

d

b)

Hình 1.8
12


13

Trong mặt phẳng, tập hợp các đường thẳng đồng quy tại một điểm S,

được gọi là một chùm đường thẳng tâm S.
Cho chùm bốn đường thẳng a, b, c, d. Một đường thẳng ∆ bất kỳ cắt a,
b, c, d theo thứ tự tại A, B, C, D. Khi đó (ABCD) không phụ thuộc vào vị trí
của ∆.
Giá trị không đổi của tỉ số kép (ABCD) được gọi là tỉ số kép của chùm
bốn đường thẳng a, b, c, d ký hiệu (abcd) hay S(abcd) khi cần quan tâm đến
tâm của chùm.
1.3. Tứ giác toàn phần
Định nghĩa 1.5. Trong mặt phẳng hình gồm bốn đường thẳng trong đó không
có 3 đường thẳng nào đồng quy được gọi là tứ giác toàn phần. Mỗi đường
thẳng đó gọi là một cạnh, giao điểm của 2 cạnh được gọi là một đỉnh, hai đỉnh
không nằm trên cùng một cạnh gọi là hai đỉnh đối diện, đường thẳng nối 2
đỉnh đối diện được gọi là đường chéo, giao của hai đường chéo gọi là điểm
chéo.
Định lí 1.3. Trong hình bốn cạnh toàn phần, hai đường chéo đi qua một điểm
chéo nào đó chia điều hòa hai đường thẳng nối hai điểm chéo đó với hai đỉnh
nằm trên đường chéo thứ ba.
Chứng minh
Giả sử A, B, C, D, E, F là sáu đỉnh của tứ giác toàn phần với các đường
chéo AB, CD, EF và các điểm chéo I, J, K.
K

F
J
D
A

13

I

C

E
B


14

Theo cách dựng đường đối cực đã nêu ở trên thì FI là đường đối cực
của E đối với hai cạnh FAC và FDB.
Vì vậy, F(CBIE) là một chùm điều hòa, từ đó suy ra (ABIJ) = -1 hay
AB bị hai đường chéo còn lại chia điều hòa.
Chứng minh tương tự ta suy ra được hai đường chéo CD và EF cũng bị
hai đường chéo còn lại chia điều hòa.
1.4. Đường tròn trực giao
Định nghĩa 1.6. Hai đường tròn gọi là trực giao với nhau tại một điểm chung
A của chúng, nếu hai tiếp tuyến ở A của hai đường tròn đó vuông góc với
nhau (Hình 1.9)

A
R
R'
O'

O

Hình 1.9

Khi hai đường tròn đã cắt nhau tại 1 điểm A thì chúng còn cắt nhau tại

1 điểm thứ hai B và vì lí do đối xứng qua đường nối tâm nên các tiếp tuyến tại
B cũng vuông góc với nhau.
Rõ ràng là khi 2 đường tròn trực giao với nhau thì tại điểm chung của
chúng, tiếp tuyến của đường tròn này đi qua tâm của đường tròn kia. Do đó,
áp dụng định lí Pitago ta có các định lí sau:
14


15

Định lí 1.4. Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao với nhau là bình
phương khoảng cách giữa 2 tâm bằng tổng bình phương của bán kính của
chúng.
Nếu gọi O, O’ là các tâm và R, R' là bán kính của các đường tròn thì
điều kiện trực giao nói trên có thể viết thành hệ thức:
(1)
OO’² = R² +
R’² R’²
Điều kiện (1) tương đương với điều kiện OO’² - R² = R’² và đó là
phương tích của điểm O’ đối với đường tròn tâm O.
Mặt khác ta cũng có: OO’² - R’² = R² và đó là phương tích của điểm O
đối với đường tròn tâm O’ (Hình 1.9)
Do đó ta có P (O’)/(O) = R’² và P (O)/(O’)= R². Ta suy ra:
Định lí 1.5. Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao với nhau là
phương tích của tâm của một trong hai đường tròn đó đối với đường tròn thứ
hai bằng bình phương bán kính của đường tròn thứ nhất.

B

C

A
O'

D

Hình 1.10

Giả sử đường kính CD của đường tròn tâm O’ cắt đường tròn tâm O tại
A và B (Hình 1.10)
Ta có :
15


16

P (O’)/(O)

= R’² hay OO’² =

Đây là điều kiện cần và đủ để hai điểm A và B chia điều hòa hai điểm C
và D (hệ thức Newton) nghĩa là (ABCD) = -1. Vậy ta có:
Định lí 1.6. Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) trực
giao với nhau khi và chỉ khi một đường thẳng qua tâm cuả 1 đường tròn cắt cả
2 đường tròn theo 2 cặp điểm liên hợp điều hòa.
Định lí 1.7. Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) trực
giao với nhau tại A khi và chỉ khi tiếp tuyến tại A của đường tròn này đi qua
tâm của đường tròn kia.
Định nghĩa 1.7. Người ta gọi chùm đường tròn là một tập hợp các đường tròn
kể từng đôi một, nhận một đường thẳng duy nhất làm trục đẳng phương.

Đường thẳng đó gọi là trục đẳng phương của chùm.
Nhận xét.
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng tâm các đường tròn của một chùm phải
nằm trên một đường thẳng gọi là đường chứa tâm của chùm và đường thẳng
này vuông góc với trục đẳng phương của chùm.
Từ định nghĩa chùm đường tròn ta suy ra hai định lí sau:
Định lí 1.8. Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đường tròn lập thành một
chùm là có hai điểm mà mỗi điểm đều có cùng phương tích đối với tất cả các
đường tròn của tập hợp đó.
Trục đẳng phương của chùm là đường thẳng nối hai điểm đã nói trên.
Định lí 1.9. Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đường tròn có tâm thẳng
hàng lập thành một chùm là có một điểm có cùng phương tích đối với tất cả
các đường tròn của tập hợp đó.
Trục đẳng phương của chùm là đường thẳng đi qua điểm nói trên và
vuông góc với đường chứa tâm.
1.5. Cực và đối cực
1.5.1. Đường đối cực của một điểm với hai đường thẳng cắt nhau
16


17

Định nghĩa 1.8.
Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với hai đường thẳng đồng
quy Ox, Oy nếu đường thẳng MN cắt hai đường thẳng đó tại hai điểm A, B sao
cho (MNAB) = - 1, (Hình 1.11).

O

A

M

x

B

N

y

Hình 1.11

Chú ý :
Nếu ta có (MNAB) = - 1 thì ta suy ra (ABMN) = - l và khi đó hai điểm
A và B cũng liên hợp với nhau đối với hai đường thẳng đồng quy OM, ON.
Bài toán 1. Cho một điểm M không thuộc hai đường thẳng Ox, Oy. Hãy tìm
tập hợp các điểm N liên hợp với M đối với hai đường thẳng đã cho.
Giải
Qua M ta kẻ một đường thẳng lần lượt cắt Ox, Oy tại A và B. Ta lấy trên
đường thẳng đó một điểm N sao cho (MNAB) = - 1 (Hình 1.12).
17


18

Nếu kẻ đường thẳng Oz đi qua O và N thì ta có chùm (OM, Oz, Ox, Oy) là
một chùm điều hòa và do đó nói chung mọi điểm của đường thẳng Oz đều
liên hợp với điểm M đối với hai đường thẳng đồng quy Ox, Oy.
Riêng đối với hai điểm P và Q thuộc Oz mà MP//Ox và MQ//Oy ta phải

loại ra vì lúc đó các đường thẳng MP và MQ đều không cắt cả hai đường
thẳng Ox, Oy.

P

O

A’
M

A

B’

N’
N1
N

B
y

x
Q
z

Hình 1.12

Ngược lại, nếu N1 là một điểm không thuộc đường thẳng Oz nói trên thì
không liên hợp với M thì khi đó nếu đường thẳng MN1 cắt Ox, Oy, Oz lần lượt
tại A’, B’, N’ thì ta có

(MN’A’B') = -1 còn (MN1A’B’) ≠ (MN’A’B’)
nên (MN1A’B') ≠ -1. Do đó N1 không liên hợp với M đối với hai đường thẳng
Ox, Oy.
Vậy tập hợp các điểm N liên hợp với điểm M đối với hai đường thẳng
18


19

Ox, Oy là đường thẳng Oz loại trừ hai điểm P, Q nói trên.
Định nghĩa 1.9. Đường thẳng Oz trong bài toán 1 nói trên gọi là đường đối
cực của điểm M đối với hai đường thẳng Ox, Oy. Còn điểm M gọi là cực của
đường thẳng Oz đối với hai đường thẳng đó.
Nhận xét.
Muốn dựng đường đối cực của một điểm M đối với hai đường thẳng
Ox, Oy cho trước dựa vào tính chất của tứ giác toàn phần giác toàn phần ta
tìm hai điểm P và Q phân biệt đều cùng liên hợp với M đối với Ox, Oy nói
trên. Ta có PQ là đường đối cực của điểm M đối với Ox, Oy và PQ luôn luôn
đi qua điểm O (Hình 1.13).

O

P

Q

M

y

x

Hình 1.13

19


1.5.2. Đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn
Định nghĩa 1.10. Hai điểm M và N liên hợp với nhau đối cực đường tròn (O),
nếu đường tròn đường kính MN trực giao với đường tròn (O) (Hình 1.14)

M
O
A

N

B

Hình 1.14

Hệ quả.
Nếu đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B thì điều
kiện cần và đủ để M và N liên hợp với nhau đối với đường tròn (O) là
(MNAB) = - 1

Nhận xét.
Hai điểm M, N có thể liên hợp với nhau đối với đường tròn (O) mà
đường thẳng MN không cắt đường tròn này.
Bài toán 2. Cho đường tròn (O) và một điểm M không trùng với tâm O của

đường tròn đó. Hãy tìm tập hợp những điểm N liên hợp của M đối với đường
tròn (O) đã cho.
Giải
Nếu N là điểm liên hợp của M đối với đường tròn (O) thì theo định
nghĩa, đường tròn đường kính MN trực giao với đường tròn (O). Khi đó
đường kính AB đi qua M của đường tròn (O) bị đường tròn đường kính MN


chia điều hòa. Gọi H là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính MN với
đường thẳng AB. Ta có (ABMH) = - 1 (Hình 1.15)
m

A
M

N

H

O

B

Hình 1.15

Trong hàng điểm điều hòa A, B, M, H điểm H hoàn toàn được xác định
vì ba điểm A, B, M đã được xác định. Mặt khác do MN là đường kính nên
MH HN.
Nói cách khác, điểm N nằm trên đường thẳng m vuông góc với đường
thẳng MO tại H.

Ngược lại nếu N’ là một điểm bất kì của đường thẳng m thì đường tròn
đường kính MN’ đi qua H và do (ABMH) = -1 nên đường tròn đường kính
MN’ trực giao với đường tròn (O). Vậy điểm N’ liên hợp với M đối với đường
tròn (O).
Vậy tập hợp những điểm N liên hợp với điểm M đối với một đường
tròn (O) cho trước là một đường thẳng m vuông góc với đường thẳng MO tại
H với (MHAB) = -1, trong đó A, B là giao điểm của đường thẳng MO với
đường tròn tâm O.
Định nghĩa 1.11. Đường thẳng m trong bài toán 2 nói trên gọi là đường đối
cực của điểm M đối với đường tròn (O). Còn điểm M gọi là cực của đường
thẳng m đối với đường tròn (O) nói trên.


Như vậy mỗi điểm M không trùng với điểm O của đường tròn tâm O có
một đường đối cực xác định và ngược lại ta cũng thấy rằng mỗi đường thẳng
không đi qua O có một điểm cực xác định đối với một đường tròn tâm O cho
trước.
Chú ý.
Vì (ABMH) = -1 nên đường đối cực m của điểm M đối với đường tròn
(O) sẽ cắt, không cắt hay tiếp xúc với đường tròn (O) tùy theo M ở ngoài, ở
trong hay ở trên đường tròn tâm O (Hình 1.16 a, b, c)

m

m

R

I

H

M
A

H
O

M
A

B

O

K

B

S

b)

a)

m

H

Hình 1.16

M
A

O

B

c)

Nhận xét
Muốn dựng đường đối cực của một điểm M đối với một đường tròn tâm O
cho trước, ta vẽ qua M hai cát tuyến MAB, MCD (Hình 1.17). Gọi P và Q lần


lượt là các điểm liên hợp với M nghĩa là (ABMP) = -1 và (CDMQ) = -1. Ta
suy ra PQ là đường đối cực của điểm M.

B
A

M

P

Q

O

C

D

Hình 1.17

Ta có thể dựa vào tính chất của hình tứ giác toàn phần để tìm các điểm
P và Q liên hợp với M đối với A, B và C, D. Đặc biệt khi các cát tuyến đó trở
thành tiếp tuyến thì ba điểm P, A, B trùng nhau và ba điểm C, Q, D cũng trùng
nhau.
Do đó muốn dựng đường đối cực của 1 điểm M ta thường làm như sau:
- Nếu điểm M nằm ngoài đường tròn (O) thì từ M ta vẽ hai đường tiếp
tuyến MI, MK với đường tròn I và K là hai tiếp điểm. Khi đó đường thẳng IK
là đường đối cực của điểm M cho trước (Hình 1.16a).
- Nếu điểm M nằm trong đường tròn thì ta vẽ đường thẳng vuông góc
với MO tại M. Đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm R và S ( Hình
1.16b). Các cát tuyến của đường tròn tại R và S cắt nhau tại H. Đường thẳng
m vuông góc với đường thẳng MO tại H là đường đối cực của điểm M cho
trước.
- Nếu điểm M nằm trên đường tròn thì tiếp tuyến tại M của đường tròn
chính là đường đối cực của điểm M cho trước (Hình 1.16c).


1.5.3. Các tính chất của cực và đối cực với một đường tròn
Định lí 1.10. Đối với một đường tròn cho trước, nếu đường đối cực của điểm
A đi qua điểm B thì đường đối cực của điểm B đi qua điểm A.
Chứng minh
B

b

A

a
Hình 1.18

Nếu điểm B nằm trên đường đối cực a của điểm A thì A và B là hai
điểm liên hợp đối với đường tròn cho trước. Mặt khác, ta biết rằng tập hợp
các điểm liên hợp của điểm B là đường đối cực b của điểm B đó (Hình 1.18)
Vậy điểm A phải nằm trên đường đối cực b của điểm B (A và B có vai
trò bình đẳng).
Định lí trên có thể tóm tắt như sau:
Định nghĩa 1.12.
Hai đường thẳng a, b được gọi là liên hợp với nhau đối với một đường
tròn cho trước nếu đường này đi qua cực của đường kia (khi đó tất nhiên
đường kia cũng đi qua cực của đường này).
Định lí 1.11.


Đối với một đường tròn cho trước, các đường đối cực của các điểm
thẳng hàng thì đồng quy và các cực của các đường thẳng đồng quy thì thẳng
hàng.
Chứng minh
Theo định lí 1, giả sử các điểm
nghĩa là các điểm

nằm trên đường thẳng b

với i = l, 2, ..., n thì điểm B thuộc các đường thẳng

(i = 1, 2,…, n) trong đó điểm B là cực của đường thẳng b và

đường đối cực của các điểm

. Vậy các đường đối cực của các điểm

là các
đều

đồng quy tại điểm B.
Phần còn lại cuả định lí được chứng minh tương tự.
Định lí 1.12 ( Định lí Brianchon)
Nếu một hình lục giác ngoại tiếp một đường tròn (các cạnh của lục giác
tiếp xúc đường tròn) thì các đường thẳng nối các đỉnh đối diện của lục giác đó
đồng quy tại 1 điểm (Điểm này được gọi là điểm Brianchon).
Chứng minh
Giả sử ABCDEF là một lục giác ngoại tiếp đường tròn. Các cạnh AB,
BC, CD, DE, EF, FA lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại các điểm A1, B1, C1,
D1, E1, F1 (Hình 1.18). Các đường thẳng A1B1, B1C1, C1D1, D1E1, E1F1, F1A1
theo thứ tự là đường đối cực của các điểm B, C, D, E, F, A.

A

A1

B
B1

F1
F

C

E1
C1
E

D1

D

Hình 1.19