CÁC DẠNG bài tập TOÁN 8 cả năm

Đề cương và đề thi học kì 2

The best or nothing!

ĐƠN THỨC , ĐA THỨC NHÂN ĐA THỨC
Nhân đơn thức với đa thức :
A ( B + C ) = A .B + A .C
Nhân đa thức với đa thức :
( A + B ) . ( C + D ) = A. ( C + D ) + B. ( C+ D )
= A.C + A.D + B.C + B.D
Bài 1. Thực hiện phép nhân :
1

a. 4x(3x 1)  2(3x 1)  (x  3)

1

b. (2x2  xy  2y2 )( x2 y)
3

2

Bài 2. Thực hiện phép nhân :
a. 3x(4x  3)  (2x 1)(6x  5)

b. 4x(3x2  x)  (2x  3)(6x2  3x  1)

c. (x  2)(1x  2)(x  4)
Bài 3. Chứng ming rằng :
a. (x  y)(x  y)  x2  y2

b. (x  y)2  x2  2xy  y2

c. (x  y)2  x2  2xy  y2

d. (x  y)(x2  xy  y2 )  x3  y3

e. (x  y)(x3  x2 y  xy2  y3 )  x4  y4
Bài 4. Tìm x biết :
a. 3(2x  3)  2(2  x)  3

b. 2x(x2  2)  x2 (1  2x)  x2  12

c. 3x(2x  3)  (2x  5)(3x  2)  8

d. 4x(x 1)  3(x2  5)  x2  (x  3)  (x  4)

e. 2(3x 1)(2x  5)  6(2x 1)(x  2)  6
Bài 5. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
a. A  2x(x 1)  x(2x  1)  (3  3x)

b. B  2x(x  3)  (2x  2)(x  2)

c. C  (3x  5)(2x 11)  (2x  3)(3x  7)

d. D  (2x 11)(3x  5)  (2x  3)(3x  7)

Bài 6. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào y:
2

2

P  (2x  y)(4x  2xy  y )  y

Học ngoan nhé! Chăm chỉ nhé! Cố gắng
nhé!

3

1


CÁC HẰNH ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ ( PHẦN 1)
2

2

2

(A + B)  A + 2AB+ B : Bình phƣơng của một tổng
2

2

(A- B)  A - 2AB+ B
2

2

: Bình phƣơng của một hiệu

2

A - B = (A- B)(A + B) : Hiệu hai bình phƣơng

Bài 1. Tính :
3

a. ( x 2+

b. (

3y) 2

2

8

x

+

y)

2

1

c. (x + y + 3)2
6

d. (2x + 3)2 .(x + 1)2

Bài 2. Tìm x biết : (3x + 1) 2  9(x  2)2  5
Bài 3. Viết các số sau dƣới dạng bình phƣơng của một tổng
:
9

a. x2  3x  4 .
4

b. (9x2 12x  4)  6(3x  2)  9

1

Bài 4. Tính :
x

a. (  2y)

c. 9x2  4y2  2(3x  2y  6xy) 1

c. ( x  4y)2
2

b. ( 2 x 

2

2

d. (x  y)2  (x  y)2

y)

2

Bài 5. Tìm x biết :
a. 3(x 1)2  3x(x  5)  1

b. (6x  2)2  (5x  2)2  4(3x 1)(5x  2)  0

Bài 6. Viết biểu thức sau dƣới dạng bình phƣơng của một hiệu :
a. 4x2  6x 

9
4

b. 4(x2  2x  1) 12x 

c. 25x2  20xy  4y2

3

Bài 7. Thực hiện phép tính :
a. (2x  5)(2x  5)

b. (x2  3)(3  x2 )

c. 3x(x 1)2  2x(x  3)(x  3)  4x(x  4)

d. 4(2x  5)2  2(3x  1)(1  3x)

Bài 8. Rút gọn biểu thức :
a. (x  2y)(x  2y)  (x  2y)2

b. (x2  xy  y2 ).(x2  xy  y2 )

Bài 9. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức :
a. A  (x  y)2  (x  y)2  2(x  y)(x  y)

b. B  3(x  y)2  2(x  y)2  (x  y).(x  y)


Đề cương và đề thi học kì 2

The best or nothing!

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (PHẦN 2 )
3

3

2

2

3

3

2

2

(A + B) = A + 3A B+ 3AB + B

3

: Lập phƣơng của một tổng

3

(A- B) = A - 3A B+ 3AB - B

: Lập phƣơng của một hiệu
Bài 1. Viết các biểu thức sau dƣới dạng lập phƣơng của một tổng :
a. x3  9x2  27x  27

b. 3 3 x3 18x2 12 3 x  8

c. 27x3  27x2  9x  1

d. x3  3 2 x2 y  6xy2  2 2 y3

Bài 2. Tìm x biết : (x 1)x3  x(x  2)2  x 1  0
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức :
a. P  x3  3x2  3x  1 với x = 99
b. Q  (x3  6x 2 12x  8)  3(x2  4x  4)y  3(x  2)y2  y3với x + y = 8
Bài 4. Rút gọn biểu thức rồi tính giá trị với x = -2 :
3

2

P  (x 1)  4x(x 1)(x 1)  3(x 1)(x  x  1)

Bài 5. Viết biểu thức sau dƣới dạng lập phƣơng của một hiệu :
a. 27x3  27x2  9x 1

b. 3 3 x3 18x2 12 3 x  8

Bài 6. Tìm x , biết : (x  2)3  x2 (x  6)  4
Bài 7. Biểu thức sau có phụ thuộc vào biến x không : A = (x  2)3  (x  2)3 12x2
Bài 8. Tính giá trị biểu thức sau : x3  3x2 
3x
Bài 9. Tính giá trị của biểu thức : P  x3  3

-1 với x = 11

9
2
1
với x =
x  3
10
100 x + 1000
10


Đề cương và đề thi học kì 2

The best or nothing!

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (PHẦN 3 )
3

3

3

3

2

2

A + B = (A + B)(A - AB+ B ) : tổng hai lập phƣơng
2

2

A - B = (A- B)(A + AB+ B ) : hiệu hai lập phƣơng

Bài 1. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức :
a. P = (x -1)3 - (x + 2)(x2 - 2x + 4) + 3(x + 4)(x - 4) với x = -5
b. Q = 27 + (x - 3)(x2 + 3x + 9) với x = -3
Bài 2. Giá trị của biểu thức có phụ thuộc váo biến x không ?
3

2

P = 8x  5  (2x 1)(4x  2x 1)

Bài 3. Viết các biểu thức sau dƣới dạng một tích hai đa thức :
a. 27  x3

c. 83
27x

3

b. 64x  0,
001

x3

d.



125

y3
27

Bài 4. Tìm x biết :
a. (x 1)3  (x  3)(x2  3x  9)  3(x2  4)  2 b. (x  1)(x2  x  1)(x 1)(x2  x  1)  7
c. (x 1)(x2  x  1)  x(x  2)(x  2)  5
Bài 5. Rút gọn biểu thức :
a. (2x  3)(x  5)  x(2x  7)

3

2

b. (x  2)(x  2)(x  4)

c.

8x  1
8x  4


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG

Bài 1. Phân tích đa thức thánh nhân tử :
a. 6x3  9x2

b. x3  x4

d. 8x4 12x2 y4  20x3 y4

e.

2

18x y
3
12x

Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a. 5x(x 1)  3y(x 1)
3

c. 3x (2y  3z) 15x(2y  3z)

2

2

2

c.

4x y  8xy  18x y

f.

3xy  6xyz

2

2

b. 3x(x  5)  2(5  x)
d. 9x2 (y  z)  3(y  z)

2

f. 7x(x  y)  (y  x)

e. 3x(x  2)  5(x  2)
g. 5x(x 1)  (1  x)
Bài 3. Tìm x biết :

b. x(x 1)  2(1  x)  0

a. 4x(x  1)  8(x  1)
c. 2x(x  2)  (2  x)2 

d. (x  3)3  3  x  0

0

e. 5x(x  2)  (2  x)  0
Bài 4. Tính giá trị biểu thức : P  x(2y  z)  y(z  2y)

tại x = 116 ; y = 16 và z = 2

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƢƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC

Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
b. 25x2 
2
a. 4x 1
0.09
d. (x  y)2 
4

e. 9  (x 
y)

2

c. 9x4 

1
4

f. (x2  4)2 16x2

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
4

x y

a.

4

d. 9(x  y)2  4(x 
y)

2

3

g. 27x  0.001

b.

2

x 
2
3y

e. (4x2  4x 1)  (x 1)2

c. (3x  2y)2  (2x  3y)2
f. x3  27

h. 125x3 1

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a. x4  2x2  1

b. 4x2 12xy  9y2

c. x2  2xy  y2

e. (x  y)2  2(x  y)  1

f. x3  3x2  3x 1

g. x3  6x2  12x  8

h. x3  1  x2  x

l. (x  y)3  x3  y3

Bài 4. Tìm x biết :
a. 4x2  49  0
1
c.
16 x2  x  4  0

b. x2  36  12x
3

2

d. x 
3

x  9x  3

3

0

3


PHÂN THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƢƠNG PHÁP
Thứ tự thực hiện các phƣơng pháp :

Phƣơng pháp dùng
hằng đẳng thức

Phƣơng pháp nhóm
nhiều hạng tử

Phƣơng pháp
đặt nhân tử chung

Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử :

3

4

a. 16x (x - y) - x + y

b.

3

2

2x y - 2xy - 4xy - 2xy

c. x(y2 - z2 ) + y(z2 - x2 ) + z(x2 - y2 )
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
b. 5x2 - 5y2
1
c. 16x3 y + yz3
a. 16x3 -

d. 2x4 - 32

4

3

54y

Bài 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a. 4x - 4y + x2 - 2xy +
y

2

b. x4 - 4x3 - 8x2 + 8x

3

2

x + x - 4x - 4

c.
d. x4 - x2 + 2x - 1

e. x4 + x3 + x2 - 1

f. x3 - 4x2 + 4x - 1

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. x3 + x2 y - xy2 - y3

b. x2 y2 + 1 - x2 y

d. x2 - y2 - 2x - 2y

c. x2 - y2 - 4x + 4y

2

e. x3 - y3 - 3x + 3y

f . x2 + 2xy + y2 - 2x - 2y + 1

Bài 5. Tìm x biết :
a. x3 - x2 - x + 1 = 0
c. 4x + 4 2 x2 + 2x3 = 0

b. x4 + 2x3 - 6x - 9 = 0
d. (2x3 - 3)2 - (4x2 - 9) = 0
CHIA ĐA THỨC

Bài 1. Thực hiện phép tính : (chia đơn thức cho đơn thức )
a. 10x3 y2 z : (-4xy2 z)
d. 15xy2 z3 : (-3xyz2 )
e.

b. (x2 + x + 1)8 : (x2 + x + 1)3

5

4

(12x y ) : (-4x
2)
y

4

3

1

c. x2 y3 z4 : y2 z
2

4

f. (x - y)5 : (y - x)3


Bài 2. Thực hiện phép chia : (chia đa thức cho đơn thức )
1

a. (4x3 - 3x2 y + 5xy2 ) : x

b. [2(y - x)3 - 2(y - x)2 + (x - y)]: (y - x)

3

Bài 3. Thực hiện phép chia : ( chia đa thức cho đa thức không có dƣ)

a. (x3 + 4x2 + 6x + 4) : (x + 2)

b. (x4 + x2 + 1) : (x2 - x + 1)

Bài 4. Thực hiện phép tính : ( phép chia đa thức cho đa thức có dƣ )
2

2

2

(2x - 3x - 3) : (x - 1)

Bài 5. Thực hiện phép chia :
a. 5x3 y2 z : (-2xy2 z)

b.

c. (2x - 4y)3 : 2(2y - x)

d.
5

2

2

3

5

(3x y + 8xy - 4x y ) : (-xy)
3

2

[3(x - y) - 6(y - x) + (x + y)]: (y - x)

e. 5x3 y2 z : (-2xy2 z) = (- x2 )
2

Bài 6. Thực hiện phép chia :
a. (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3)

b. (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1)

Bài 7. Tìm thƣơng Q và dƣ R sao cho A = B . Q + R , biết :
a. A = x4 + 3x3 + 2x2 - x - 4 và

2

B = x - 2x + 3 .

b. A = x3 + x + 1 và B = x2 + x + 1


ÔN TẬP CHƢƠNG 1
Bài 1. Làm tính nhân :

4

2

xy(x y + 15x - 25y)

a. 5x(x2 - 8x + 19)

b. 5

c. (2x2 - 1)(x2 + 2x + 3)

d. (3x + 5y)(3x - 2)(4x + 5)

Bài 2. Rút gọn biểu thức :
a. (3x - 2)2 + (3x + 2)2 - 2((3x - 2)(3x + 2)

b. (x - 5)(x + 5) - (x - 6)(x - 4)

c. (2x - 1)2 + (3x + 2)2 - 2(3x - 1)(3x + 2)
Bài 3. Chứng minh rằng :
a. x2 + 2xy + y2 + 1 > 0 với mọi giá trị nào của x và y
b. x2 - x + 1 > 0 với mọi giá trị của x
c. x - 1 - x2 < 0 với mọi giá trị của x
Bài 4. Làm tính chia :
a. (2x3 - 5x2 - 2x - 3) : (x - 3)

b.

c. (x4 - 3x3 - 3x2 + 8x - 5) : (x - 1)

d.

e. (x2 - y2 + 8x + 16) : (x + y + 4)

f.

3

2

2

(5x + 22x - 13x + 10) : (5x - 3x +
3

2

2) (8x - 2x + x + 2) : (2x + 1)
4

3

2

2

(x - x + x + 3x) : (x - 2x + 3)
8

Bài 5. Tìm x biết :

9

a. (x + 2)(x2 - 2x + 4) - x(x - 1)(x + 1) + 3x = 2 b.

2

x(2x - 3) = 0

CHƢƠNG 2 : PHÂN THỨC ĐẠI
SỐ CHỦ ĐỀ 1 : PHÂN THỨC ĐẠI
SỐ

Những Kiến Thức Cần Nhớ
:
A = C  A.D = B.C BD

Bài 1.

2

x +x

A = A : M BB : M

A = A.M BB.M
=

x+1

a. Hãy chứng minh
:
x

2

x

b. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau , tìm đa thức A trong đẳng thức
:
2

c. Hãy so sánh các phân thức
:

x + 2x
2

2

,
,

x - 2x
2

x - 1 x - 3x + 2

x
x-1

A
x-2

2

=

2x + 4x
2

x -4


d. Dùng tính chất cơ bản của phân thức , điền các đa thức thích hợp vào trong chỗ trống :
2

x + 2x
2

=

x

....
x -4
2
x+1 x +x
=
x-1

.....

Bài 2. Các phân thức sau có bằng nhau không :
a.

3 3
A= x y
3
xy

c.

A=

x2
(x +
2
y)

và B=

và B=

b. A =

x
y

x2
2

x +
2
y

1
x-1
B=
2
x+1
x - 1 và

3(x - 10
B= (1 - x)2

d. A = 3(x - 1)2 và
(1 - x)

Bài 3. Hãy chọn biểu thức thích hợp điền vào chỗ trống :
2

x + 2x

a.

x
2

x -4

b.

1

=

2

.....
.

.....
x -9
3

=

xx-

3

c.

2

2

x + 3x + 3x + 1 (x - 1)(x + 1)
=
.........

2

x - 2x + 1


CHỦ ĐỀ 2 : RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Qui tắc : Muốn rút gọn một phân thức đại số , ta thức hiện theo các bƣớc :
Bước 1 : Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử
Bước 2 : Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung
Bài 1. Rút gọn các phân thức :
2

a.

3

b.

8

15x y z
3

3

9x y z
2

d.

2

3x - x

4

c.

2

2

x -x -x+1
3

x +1

2

x - 6x + 9

e.

2

x + y - 1 + 2xy
2

3

x -9

2

x - 8x +
15

2

x - y + 1 + 2x

Bài 2. Rút gọn rồi tính giá trị của một phân thức :
a. A =

2y - 2x

biết giá trị của x – y = 

2

x - 2xy +
y

1
2

2

7

6

5

4

3

2

b. B= x + x + x + x + x + x + x + 1
4
x -1
4

3

x - 2x
2
3
2x - x

c. C
=

với x = 0,2
=

với x = 2

d. D

2

x - 6x + 4
xy - 6x +
8

với x = 0,2 .

Bài 3. Rút gọn các phân thức :
2

a.

9x y
12xy

b.

2

2

e.

x - 3x
9-x

2

x-x

2

2

x -1
2

f.

x - xy
2

y -x

2

c. x(x + 2)
2
x (2 +
x)
2

g.

2

x + y - 4 + 2xy
2

2

x - y + 4 + 4x

d. 3(x - y)
x(y - x)
2

h.

x - x - xy + y
2

xy - x - y + y


CHỦ ĐỀ 3 : QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC
Quy tắc : Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta thực hiện các bƣớc sau
Bước 1 : phân tích mẫu thức thành nhân tử , rồi tìm mẫu thức chung
Bước 2 : tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức
Bước 3 : nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phu tƣơng đƣơng
Bài 1. Quy đồng mẫu thức cac phân thức :
a.1

2
x - 3x + 2 và
2
3x - 15x +
12

1

x
và
2
2
x - 4 ; x - 2x

b.

2

3
x+1

Bài 2. Quy đồng mẫu thức các phân thức :
x

a.
3

;

2

2

x - 3x y + 3xy - y

y
xy - x

3

2

; x+y

2

b.

3x
3

2

x - 6x

x-1
2
x -x

;

Bài 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức :
3

x x-3 x

a. ;
;
6 3
4
5
4
c.
;
6xy

2

b.

2

d.

3

2

2

3x y

9x y

;

3
7

4x y

1

2
3
;
;
4 6
2 7 2
5
x y z 3x y z
4x y

Bài 4. Quy đồng mẫu thức các phân thức :
a.

x

;x-yx
+y
1

c.

b.x

2

x - 2xy + y
y

;

d.
2

2x + 2y x + 2xy + y

2

3x

2

;

x+y
2
y - xy

2x + 6
2
2x + 6x x + 3x - 9x - 27
2

;

3

Bài 5. Quy đồng mẫu thức các phân thức :
a.

x

;

x

2

;

1
2

x+1 1-x x -1

x-1 x+1

1

b. 2x + 2; 2x - 2 ; 1 - x2


CHỦ ĐỀ 4 : CÁC PHÉP TÓAN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A . PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC

Quy tắc :
Muốn cộng các phân thức cùng mẫu thức , ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau , ta thực hiện phép quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức

Bài 1. Thực hiện phép cộng : b.
a.

2x + 5

+

x

+

1

4

c.

x-2

3

3

x-1 1-x

Bài 2. Chứng tỏ rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
Bài 3. Biết xy = -1 , tính giá trị của biểu thức : P

P=

3

+

x+2

2-x

x

x

+

2

Bài 4. Thực hiện phép cộng :
a. x +

x-1 x-2
2 + 3

b.

1 - 5x x - 1 2x + 1

6x + 2x + 3x
2

1

2

3x

x+1

x +3

c. x - y + x + y + x2 - y2

d. 2x - 2 + 2 - 2x2

e.

f.

g.

1

2
+
+
x
x + 2 x - 2 x2 - 4

x2
1
2
x -4+
x + 2+ 2 - x
2

x
x+y

+

y
x-y

+

12

2

x -4
2x

2

x + 1 x - 1 1 - x2

1
1

+ 2
y - xy x - xy

=

+

+ 2xy
2

y -x

2


B. PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC
Chú ý : mọi phân thức A đều có phân thức đối là - A ( hoặc -A hoặc) A
B

B

B

-B

hiệu của hai phân thức A và C , kí hiệu bởi A - C là tổng của A vời số đối của C
B

D

Bài 1. Thực hiện phép trừ :
a.

1

4
3x 6
3x - 2 3x + 2 4 2
9x
2
x - 10
d. x - 2 x+2

g.

1

-

-

1

+

1

x + 1 x3 + 1 x2 - x +
1

BD
B
A - C = A +  - C  = A + -C
 D
BDB
BD

2

2

b.

x x+
1
3
2
2x - 4x + 2 2x +
2
x
y
e.
2
y - xy xy 2
x

h.

1

-

1

+

2x - 2y 2x - 2y

Bài 2. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức :

D

A=

2x + 1

c.
f.

x +4
x
x
2x - 2

y
2

y -x

+

1

+

3x + 4
x
3x

-

2x

2

2x + 2 x2 - 1
1

3x

k. 6x - 4y - 6x + 4y - 2
2
4y - 9x

2

1 - 2x

+

-

2

4x - 2 4x + 2 1 - 4x2

Với x = 0.25


C . PHÉP NHÂN , CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A . C = A.C (phép nhân phân thức ) A : C = A . D = A.D (phép chia phân thức )
B DB.D
BDB CC.B
4
2
2
x
+
4x
+
4
(x 5x + 5y x - y
2
Bài 1. Thực hiện phép tính :
1)
2
2
x +y

a. (x2 - y2 ).

d.

x-1

4

2

2

.(x 3

x+1
2
(x 2xy)
2

x -y

.

3

x +y
3

2

2

c.

3(x +

3x - 3y

f. (x + y).

4y

.

2y
2
x

x y - x3y +
xy

.

1-x
3
2)

e. x + 2

1)

g.

b.

2

y - x .y

2

.

5x
x-y

2

4y -

y + xy

2

3

x-1  x
2
Bài 2. Rút gọn biểu thức : A =
.
+ x + x + 1
x x-1



Bài 3. Thực hiện phép tính :
2

3

a.

2

: (x + y )

x y3 +
xy

2

b.

3

x y
1 - x4 2
d.
.(x + 1)
x+1
10 2
10a
g. (5 - 5a) 1 + a

:

x

xy

e. 5x + 5y
5x
: 2
3x - 3y x 2
y
2

h.

2

x + 1 x + 2x +
1
l.
.
x - 1 x2 - 2x +
1

2

x - y x - 2xy + y x
:
.

m.

4x - 2
x
x-2

: (1 - 2x)
2

:

x - 2x + 4

x + 2 x2 + 2x + 4

y

c.

x+2

:

1

x - 22 x2 - 4
x -y
f.
: (x + y)
xy

2

3

2

2x - 2 2x - 2x + 2
h.
:
x + 1 x2 + 2x + 1


CHỦ ĐỀ 5 : BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC
Bài 1. Biến đổi biểu thức sau thành một phân thức :
1+
a. A=
1-

1

1

x
1

+

1

b. B= 1 - x 1 + x

1
1
1 - x-1 + x

1
1
1 
d. D = 
  1
:

2
2
 x + 2x + 1 x + 2x + 1   x + 1 x - 1 

x
 1

1
c. C = (x - 1)
+1


x+1 x-1

 3
Bài 2. Cho biểu thức :
5
A=
x+1 x+3 


: 2
+
2
 x - 1 2x - 2 2x + 2 6x - 6

2

a. Tìm điều kiện của x để biểu thức đƣợc xác định .
b. Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức đƣợc xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x
.
Bài 3. Cho phân thức : x - 1
2

x -1

a. Tìm điều kiện của x để phân thức đƣợc xác định .
b. Tìm giá trị của phân thức tại x = -

7

A=

8

x
+

3

-

6x

Bài 4. Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức A bằng 0 , biết :

1+

Bài 5. Cho biểu thức :

A=

2

x + 3 x - 3 9 - x2

x-1
2x
1+ x2 + 1

a. Biền đổi biểu thức thành một phân thức
b. Tìm điều kiện của x để phân thức xác định .
c. Tính giá trị của phân thức tại x = 1 và tại x = 2 .
d. Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1 .
ÔN TẬP CHƢƠNG 2
Bài 1. Chứng minh rằng :



8


2
x 16
c.  3x


+


1 

=

x+4

Bài 2. Thực hiện phép tính :
a.

2

1

b.

x+3
1
a. x2 + 5x + = x +
2
6

x-4

:
 
2
x+4 x +
4x
2
2x  8x +
:
+
10x


-

x



b.


2x + 8

d.

2

x + 3x

3
2
x + 7x + 12x

 3

2

3  x - 6x + 9
.


9
x+3 x-3



x

5x - 1  5x - 1
x
:
+


2
2
2
1 - 4x + 4x
 2x + 1 2x - 1 

+


5x - 1

5x + x
 25x - 1 5x
+x
3
3
x
x
8
4
e.
+
+
+
x+2 x-2 x+2 2x

f.

Bài 3. Rút gọn biểu thức :
a. 5x (12x+7) - 3x(20x-5)
c. (x + 2)(x2 - 2x + 4) - (x - 3)(x2 + 3x + 9)

x + 1 1 - 3x x - 1
+
:
x - 2 x3 + x x2 + 1

b. (3x-5) ( 7 – 5x) – (5x+2) ( 2 – 3x)
d. (2x + 5)2 - (3x - 1)2

e. (3x - 1)2 + 2(3x - 1)(2x + 5) + (2x + 5)2
f. (3x + 2)2 - 2(9x2 - 4) + (3x - 2)2
Bài 4. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc váo giá trị của biến :
2

2

a. (2x + 3)(4x - 6x + 9) - 8x(3x 2)

2

4

2

x -y

2

b. x - (x - 1)(x + 1)

2

(x + y)(3y - 3x)

c.

Bài 5. Phân tích thành nhân tử :
2
a. 3x(x - 7) + 5(7 - x)
x + 7x + 12

c. 54x3 +

d. (x + y)2 - 16x2

3

b.
Bài 6. Tìm x biết :
a. 5x3 - 20x = 0
c. x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0

16y

b. x(x - 2) - 5x + 10 = 0
d. x3 - 10x2 = -25x
e.

Bài 7. Tính nhanh :
a. 642 - 362
c. 872 + 732 - 272 - 132
e. (25x2 - 9y2 ) : (5x +
3y)

2

2

(4x - 1) - (x - 2) = 0

b. 792 - 79.58 + 292
d. (8x3 + 1) : (4x2 - 2x + 1)


HÌNH HỌC ( HỌC KÌ I )
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB > BC .gọi M , N lần lƣợt là trung điểm của AB và CD .
a. Tứ giác BMDN , AMND là hình gì , vì sao ?
b. Gọi E là điểm đối xứng của B qua C . chứng minh ADEC là hình bình hành và AC // DF .
c. Chứng minh rằng N lả trung điểm của AE .
Bài 2. Tam giác ABC có D , E , M lần lƣợt là trung điểm của AB , AC , BC . AH là đƣờng cao của tam
giác ABC .
a. Cmr : BDEM là hình bình hành .
b. Cmr : A và H đối xứng nhau qua DE .
c. Cmr : DEMH là hình thang cân .
d. Tính SADHE biết BC = 6 (Cm) , SABC = 15 ( Cm 2 )
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD . gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . gọi M là giao
điểm của AF và DE ,N là giao điểm của AF và CE . chứngminh rằng :
a. EMFN là hình bình hành
b. Các đƣờng thẳng AC , EF , MN đồng quy .
Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm ; AC = 8 cm ; BC = 10 cm . gọi M là đƣờng trung tuyến cúa 
ABC .
a. Cmr :  ABC vuông và tính AM
b. Kẻ MD vuông góc AB ; ME vuông góc AC . Cmr : MA = DE
c. Tính diện tích tứ giác ADME
Bài 5. Cho  ABC vuông tại A có AB = 3 cm ; AC = 4 cm , đƣờng trung tuyến AM . gọi D là trung

điểm của AB , E là điểm đối xứng của M qua D
a. Cmr : AEBM là hình thoi
b. Gọi I là trung điểm của AM . chứng I , E , C thẳng hàng
c. Tính

SAEMC và chu vi hình thoi AEBM .

d. Tam giác vuông có thêm điều kiện gì thì AEBM là hình vuông .
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là trung tuyến . gọi M là điểm đối xứng với D qua AB ; N
là điểm đối xứng với D qua AC . gọi giao điểm của AB và DM là E , AC và DN là F .
a. Tứ giác AEDF là hình gì ? vì sao ?
b. Cm:tứ giác AMDC là hình bình hành .
c. Các tứ giác ADBM và ADCN là hình gì ? vì sao ?
d. Cho AB = 6 cm ; MD = 8 cm . tính SAEDF và SABC


Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có B = 60 , BC = 2 AB . gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của AD và
BC .
a. Cm : tứ giác AMNB và MNCD là các hình thoi .
b. Tứ giác ANCD là hình gì ? vì sao ?
c. Gọi E là giao điểm của AN và BM , F là giao điểm của ND và MC . Tứ giác ENFM là hình gì ?
chứng minh ?
d. Để tứ giác ENFM là hình vuông thì hình bình hành ABCD cần phài có thêm điều kiện gì ?
Bài 8. Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi M ,N , D lần lƣợt là trung điểm của AB , AC và BC .
a. Tứ giác MNDB là hình gì ? vì sao ?
b. Gọi E là điểm đối xứng với D qua N . Cm tứ giác ADCE là hình chữ nhật
c. Gọi F là điểm đối xứng với D qua AB . Từ F vẽ đƣờng thẳng song song với MD cắt đƣờng thẳng
AV tại K . tứ giác NDKF là hỉnh gì ? vì sao ?
d. Để ADCE là hình vuông thì tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì ?
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A . Lấy D thuộc AC . Gọi M ,N lần lƣợt là trung điểm BD , BC . vẽ

K đối xứng với M qua N .
a. Tứ giác BKCM là hình gì ? vì sao ?
b. Gọi H là trung điểm DC . Cm tứ giác AMNH là hình thang cân .Cm tứ giác MNHD là hình bình hành
c. Biết AB = 6 cm ; BC = 10 cm . tính S .
ABC
Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đƣờng cao . gọi D và I lần lƣợt là trung điểm AB và AC .
vẽ K đối xứng với M qua I .
a. Cm tứ giác BDIC là hình thang cân .
b. Tứ giác AKCM , AKMB là các hình gì ? vì sao ?
c. Chứng minh tứ giác AKCM là hình vuông thì tam giác tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì ? Vẽ
hình minh hoạ.
ĐỀ CƢƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 8 HỌC KÌ II
ĐẠI SỐ:
A. PHƢƠNG TRÌNH
I . PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN:


1. Định nghĩa:
Phƣơng trình bậc nhất một ẩn là phƣơng trình có dạng ax + b = 0 , với a và b là hai số đã cho và a  0 ,
Ví dụ : 2x – 1 = 0 (a = 2; b = - 1)
2.Cách giải phƣơng trình bậc nhất một ẩn:
Bƣớc 1: Chuyển hạng tử tự do về vế phải.
Bƣớc 2: Chia hai vế cho hệ số của ẩn
(Chú ý: Khi chuyển vế hạng tử thì phải đổi dấu số hạng đó)
II PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT: CÁCH GIẢI:
Bƣớc 1 : Quy đồng mẫu rồi khử mẫu hai vế
Bƣớc 2: Bỏ ngoặc bằng cách nhân đa thức; hoặc dùng quy tắc dấu ngoặc.
Bƣớc 3: Chuyển vế: Chuyển các hạng tử chứa ẩn qua vế trái; các hạng tử tự do qua vế phải.
(Chú ý: Khi chuyển vế hạng tử thì phải đổi dấu số hạng đó)

Bƣớc4: Thu gọn bằng cách cộng trừ các hạng tử đồng dạng
Bƣớc 5: Chia hai vế cho hệ số của ẩn
VÍ DỤ: Giải phƣơng trình
x  2 2x 1 5 Mẫu chung: 6
2  6  3
 3(x  2)  (2x  1)  5.2  6x  6  2x 1  10
5
 6x  2x  10  6  1  8x  5  x 
8
Vậy nghiệm của phƣơng trình x  5
là
8

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. Giải phƣơng trình
a. 3x-2 = 2x – 3
b. 2x+3 = 5x + 9
e. 11x + 42 -2x = 100 -9x -22
g. x(x+2) = x(x+3)
Bài 2. Giải phƣơng trình
a.

3x  2



3x 1



5

c. 5-2x = 7
d. 10x + 3 -5x = 4x +12
f. 2x –(3 -5x) = 4(x+3)
2
h. 2(x-3)+5x(x-1) =5x
c.



2x

2
6
3
4x  3 6x  2 5x  4
b. 5  7
 3
3

x4

x4

x



x2

5
3
2
5x  2 8x  1 4x  2
d. 6  3
 5
5

Bài 2: Phƣơng trình dạng ax + b = 0
a. 4x – 10 = 0
b. 2x + x +12 = 0
c. x – 5 = 3 – x
d. 7 – 3x = 9- x
e. 2x – (3 – 5x) = 4( x +3)
f. 3x -6+x=9-x
g. 2t - 3 + 5t = 4t +
12 h. 3y -2 =2y -3
i. 3- 4x + 24 + 6x = x + 27 + 3x
j. 5- (6-x) = 4(3-2x)
k. 4(x+3) = -7x+17
l. 5(2x-3) - 4(5x-7) =19 - 2(x+11)
m. 11x + 42 – 2x = 100 – 9x -22
n. 3x – 2 = 2x -3
o.
s.

2x  3 5  4x
3  2
3x  2

7)

5

3  2(x 

6
x 1

t. x  3 

5x  3

p. 2x 12

1
9

q.

7x 1 16  x
6  5

v.

3x  7 x 1
2 3 
16

4
2x 1
5

u.

2x 1 5x  2
3 7

x
13

r.

x3
1
2x 5 6  3


Đào Hữu Lam – 0966.294.675 - Đề cương và đề thi học kì 2

The best or nothing!

III. PHƢƠNG TRÌNH TÍCH VÀ CÁCH
GIẢI: PHƢƠNG TRÌNH TÍCH:
Phƣơng trình tích: Có dạng: A(x).B(x)C(x).D(x) = 0 Trong đó A(x).B(x)C(x).D(x) là các nhân tử.
C¸ch gi¶i:
0

A(x).B(x)C(x).D(x) =

 A(x)  0
B(x)  0


C(x)  0

D(x)  0
2x  1  0  x  

VÝ dô: Gi¶i ph•¬ng
tr×nh:
VËy: S 

(2x  1)(3x  2)  0


3x  2  0  x 

2

1
2

3



1 2
; 



2 3

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. Giải phƣơng trình sau
a. (2x+1)(x-1) = 0
2

d. x – x = 0

2

1

3

2

b. (x + )(x- ) = 0

c. (3x-1)(2x-3)(2x-3)(x+5) = 0
2

e. 3x-15 = 2x(x-5)

2

0 g. x – 3x = 0

f. x – 2x =

h. (x+1)(x+4) =(2-x)(x+2)

Bài 2. Giải phƣơng trình sau
a. (x+3)(x-5)= (x+3)(3x-4)

b.(4x-1)(x-3) +(3 -x)(5x+2) = 0
x2

d.  2x 1

2

c. (2x-7) = (2x-7)(x-3)

04

 (2x 1)

x4
2

 (2x 1)x 

Bài 3. Giải phƣơng trình sau
a. x(x-5) - 4x+20 = 0
2

d. (x+6)(3x-1) - x +36 =0

3

b. x(x+6) -7x -42 =0
2

2

e. x + 4x + 3= 0

Bài 4. Giải phƣơng trình sau
a. (2- 3x)(x+11) = (3x- 2)(2-5x)
3
c. x +1 = x(x+1)
2
e. (x- 2)(3x-2) =x - 4x +4

2

c. x -5x +x-5 =0
f. x - x -12 = 0

2

2

b. (2x +1)(4x-3)= (2x +1)(x-12)
2
2
d. (x+5)(3x+2) =x (x+5)

 2(x 3) 4x 3 
f. 3x  2

0



7




5

Bài 5. Giải phƣơng trình sau
a. (x+2)(x-3) = 0

b. (x - 5)(7 - x) = 0

c. (2x + 3)(-x + 7) = 0

d. (-10x +5)(2x-8)= 0

e. (x-1)(x+5)(-3x+8) = 0

f. (x-1)(3x+1) = 0

g. (x-1)(x+2)(x-3) = 0

i. (5x+3)(x +4)(x-1) = 0

2

2

k. x(x -1) = 0

Bài 6. Giải phƣơng trình sau
a. (4x-1)(x-3) = (x-3)(5x+2)

b. (x+3)(x-5)+(x+3)(3x-4)=0

c. (x+6)(3x-1) + x+6=0

d. (x+4)(5x+9)-x-4= 0

e. (1 –x )(5x+3) = (3x -7)(x-1)

f. 2x(2x-3) = (3 – 2x)(2-5x)

2

g. (2x - 7) – 6(2x - 7)(x - 3) = 0

2

h. (x-2)(x+1) = x -4


IV. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU:

CÁCH GIẢI:
Bƣớc 1 : Phân tích mẫu thành nhân tử
Bƣớc 2: Tìm ĐKXĐ của phƣơng trình
Tìm ĐKXĐ của phƣơng trình :Là tìm tất cả các giá trị làm cho các mẫu khác 0
( hoặc tìm các giá trị làm cho mẫu bằng 0 rồi loại trừ các giá trị đó đi)
Bƣớc 3:Quy đồng mẫu rồi khử mẫu hai vế .
Bƣớc 4: Bỏ ngoặc.
Bƣớc 5: Chuyển vế (đổi dấu)
Bƣơc 6: Thu gọn.
+ Sau khi thu gọn mà ta đƣợc: Phƣơng trình bậc nhất thì giải theo quy tắc giải phƣơng trình bậc nhất
+ Sau khi thu gọn mà ta đƣợc: Phƣơng trình bậc hai thì ta chuyển tất cả hạng tử qua vế trái; phân tích đa
thức vế trái thành nhân tử rồi giải theo quy tắc giải phƣơng trình tích.
Bƣớc 7: Đối chiếu ĐKXĐ để trả lời.
VÍ DỤ:
/ Giải phƣơng trình:

3
2
1
2


x  1 x 1
x 1

Giải:

3
2
2

1
1
3
2





x  1 x 1 x 1
(x 1)(x 
x  1 x 1
1)

(1)

ĐKXĐ: x 1  0  x  1


x  1  0  x  1
MC: (x 1)(x 1)
Phƣơng trình (1)  2(x 1) 1(x 1)  3  2x  2  x  3  3
 x  8 (tmđk)

Vây nghiệm của phƣơng trình là x = 8.
/ Giải phƣơng trình:
Giải :

5
x

2x
2


x2 x2 x 4

2x
x
x
5
5
2x
2




x2 x2 x 4
x  2 x   (x  2)(x 
2)
2

(2)

x  2  0  x  2
x  2  0  x  2
MC: (x  2)(x  2)
Phƣơng trình (2)  x(x  2)  2x(x  2)  5

ĐKXĐ: 

2

2

2

 x  2x  2x  4x  5  x  6x  5  0
 (x 1)(x  5)  0
x 1  0  x  1(tm)

x  5  0  x  5(tm)

Vậy phƣơng trình có nghiệm x =1; x = 5.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. Giải phƣơng trình
sau
a.

7x  3



2

b.

7x)

2(3 



1

c.

1


x 1

3x
3
1 x

3

Bài 2. Giải phƣơng trình
sau

d.
x
2

2

x  5 x  5 20

2
x  5 x  x  25

x
5 x
c.


2x
2(x  3) 2(x 1) (x 1)(x  3)

b.

a.

1
x 1

x
2


2
x
1



8x

8

x

7

1
x7

x
2

x 1

Bài 3. Giải phƣơng trình sau
a.

7x  3

2



x 1

2(3  7x)

b.
1
3

1 x

Bài 4. Giải phƣơng trình

sau
1

a.

3
x
x2



3
x
2
2

1

8x

b.

2

8

x7

3x

c.



1

x
7

2



5x  7

3x  2
1

3x

x5

x5



x5





2
3
x 1 x  x 1 x 1

5


c.

5x 1

4x  7



x 1

x
5

12x  5
3x  4

20


2

x  25

x
x
2x
2(x  3)  2(x 1)  (x 1)(x  3)

96

2x 1 3x  1
x 16  x  4  4  x
2

Bài 5. Giải phƣơng trình sau

2

12
y 1
5 
1
a. y  2  y 
2
y 
2
4

3x  2
6
9x

b. 3x  2  2   9x2  4
3x
3
8  6x
d.
 2
2

1
4x 1 16x 1
4x

3
2
4


5x 1 3  5x (1 5x)(x 
3)
76
e. 5 
2x 1 3x 1
2
x 16  x  4  4  x

c.

Bài 6. Giải phƣơng trình
sau
7x  3 2

a. x 1  3

e.

d.

1 x

3

2x  3

x 1
x 1

x 1

b.

3  7x

1

1 x 2
1
3
f.
3
x
x2

x
2

1

i. x  2  x2 



4
x5 x5
20
k. x  5 x  5  x2 
25
3
2
4
m. 5x 1  3  5x  (1 5x)(x 
3)

c.

5x 1



5x  7

3x  2 3x 1
8x

1
g.
8

d.

h.

4x  7



x 1
(x2
2)

x
2x  3
7
1 6x 9x  4 x(3x  2) 1
j. x  2  x   x2  4
2
2
3x  2
6
9x
l. 3x  2 2   9x2  4
3x
3
8  6x

n.
 2
2
1
4x 1 16x 1
4x
x7

12x  5
3x  4
1


2

x 10
2x  3


12
y 1
5 
1
o.

2
y2 y
y 
2
4

2
1
3x
2x
q.


3

2

x 1 x 1 x  x
1
2x  3 x  2
2
t.


x2
4

x2 x 
2

x 1

x 1

4

p. x 1  x 1  x2 1
r. 1

1



12



s.

2x

x
x2 8
3
x
4x
2x
v.


x
2
x2 x
x 4
2

x 1

2

x 1

0


IV. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
 A khi A  0
A 
 A khi A  0

Cần nhớ :

Khi A  0
Khi

thì A  A

A < 0 thì A  A

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. Giải phƣơng trình sau
a. x  2  3

b. x 1  2x  3

Bài 1. Giải phƣơng trình sau

a. |3x| = x+7

b. |-4.5x|=6 + 2.5x

c. |5x|=3x+8

e. |3x| - x – 4 =0

f. 9 – |-5x|+2x = 0

g. (x+1) +|x+10|-x -12 = 0

2

2

h. |4 - x|+x – (5+x)x =0

i. |x-9|=2x+5

k. |3x-1|=4x + 1

l. |3-2x| = 3x -7

d. |-4x| =-2x + 11
2

j. |6-x|=2x -3