Khối đa diện trắc nghiệm nâng cao 2 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ file word image marked

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện Nâng Cao

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
A- LÝ THUYẾT CHUNG
1. Thể tích khối lăng trụ

V  B.h với B diện tích đáy, h là chiều cao lăng trụ.

h

B

2. Thể tích khối hộp chữ nhật

V  a.b.c với a, b, c là ba kích thước.

a
b

c

3. Thể tích khối lập phương
V  a 3 với a là độ dài cạnh.

a

a

a

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 42


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện Nâng Cao

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho lăng trụ đứng ABCABC  có đáy là tam giác ABC vng cân tại A, BC=2a. Góc giữa
mặt phẳng ( ABC ) và mặt phẳng ( BBC ) bằng 600 .Tính thể tích lăng trụ ABCABC  .
A. a 3 2

C. a 3 6

B. 2a 3

D.

3a 3

Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, CC’
sao cho MA  MA ' và NC  4 NC ' . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ
diện GA’B’C’, BB’MN , ABB’C’ và A’BCN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?
A. Khối A’BCN

B. Khối GA’B’C’

C. Khối ABB’C’

D. Khối BB’MN

Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB '  a , góc giữa đường thẳng BB ' và  ABC 
  60 . Hình chiếu vng góc của điểm
bằng 60 , tam giác ABC vng tại C và góc BAC
B ' lên  ABC  trùng với trọng tâm của ABC . Thể tích của khối tứ diện A '. ABC theo a

bằng
A.

13a 3
.
108

B.

7a3
.
106

C.

15a 3
.
108

D.

9a 3
.
208

Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách
từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng  A ' BC  bằng

a
.Tính thể tích khối lăng trụ
6

ABC. A ' B ' C ' .
A.

3a 3 2
.
8

B.

3a 3 2
.
28

C.

3a 3 2
.
4

D.

3a 3 2
.
16

Câu 5: Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên
và mặt đáy là 60 . Tính thể tích khối lăng trụ
A. V 

27 3
a .
8

B. V 

3 3
a .
4

C. V 

3 3
a .
2

D.

9 3
a .

4

Câu 6: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của điểm
A ' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai

đường thẳng AA ' và BC bằng
a3 3
A.
12

a 3
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
4

a3 3
B.
6

a3 3
C.
3

a3 3
D.
24

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a , một mặt phẳng   cắt các cạnh
1
2
AA , BB , CC  , DD lần lượt tại M , N , P , Q . Biết AM  a , CP  a . Thể tích khối

3
5
đa diện ABCD.MNPQ là:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 43


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

11 3
a .
30

B.

a3
.
3

C.

Khối Đa Diện Nâng Cao
2a 3
.
3

D.

11 3
a .
15

Câu 8: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bên bằng 1.; đáy ABCD là một hình chữ nhật có
các cạnh BA  3, AD  7; các mặt bên  ABB ' A ' và  ADD ' A ' hợp với mặt đáy các
góc theo thứ tự 450 ;600. Thể tích khối hộp là:
B. 3 (đvdt)

A. 4 (đvdt)

C. 2 (đvdt)

D. 6 (đvdt)

Câu 9: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có độ dài cạnh bên bằng a; đáy là hình thoi, diện tích của
hai mặt chéo là S1 và S 2 ; góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt chéo là  . Tính thể tích V
của khối hộp đã cho.
A. V 

S1S 2 cos
a

B. V 

S1S 2 cos
.
3a

C. V 

S1S 2 cos
4a

D. V 

S1S 2 cos
2a

Câu 10: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh bên bằng a và các góc
A ' AB, BDA, A ' AD đều bằng   00    900  . Tính thể tích V của khối hộp.
A. V  a 3 sin 2 cos 2
C. V  2a 3 sin


2

cos 2

a
 cos 2 arcsin 
2

B. V  2a 3 sin  cos 2

a
 cos 2
2

D. Đáp số khác.

a
 cos 2
2

   ; đường chéo AC ' hợp
Câu 11: Cho khối hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  a, AD  b, BAD
với đáy góc  . Tính thể tích khối hộp đứng đã cho là:
A. V  4ab a 2  b 2  2ab.cos .cos .cos

B. V  2ab a 2  b 2  2ab.cos .cos .cos

C. V  3ab a 2  b 2  2ab.cos .sin  .tan

D. V  ab a 2  b 2  2ab.cos .sin  .tan

CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có tồng diện tích của tất cả các mặt là 36 , độ dài
đường chéo AC  bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?
A. 8 .

B. 8 2 .

C. 16 2 .

D. 24 3 .

Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 .
Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp chữ nhật đã cho?

A. Vmax  8 .

B. Vmax  12 .

C. Vmax  8 2 .

D. Vmax  6 6 .

Câu 14: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6
. Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp đã cho.
A. Vmax  16 2 .

B. Vmax  16 .

C. Vmax  6 6 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. Vmax  12 3 .
Trang 44


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện Nâng Cao

Câu 15: Tìm Vmax là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ nhật có đường chéo bằng 3 2cm
và diện tích tồn phần bằng 18cm 2 .
A. Vmax  6cm3 .

B. Vmax  5cm3 .

C. Vmax  4cm3 .

D. Vmax  3cm3 .

Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 .
Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp chữ nhật đã cho?
A. Vmax  8 .

B. Vmax  12 .

C. Vmax  8 2 .

D. Vmax  6 6 .

Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6
. Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp đã cho.
A. Vmax  16 2 .

B. Vmax  16 .

C. Vmax  6 6 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. Vmax  12 3 .

Trang 45

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện Nâng Cao

C – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Cho lăng trụ đứng ABCABC  có đáy là tam giác ABC vng cân tại A, BC=2a. Góc giữa
mặt phẳng ( ABC ) và mặt phẳng ( BBC ) bằng 600 .Tính thể tích lăng trụ ABCABC  .
A. a 3 2

C. a 3 6

B. 2a 3

3a 3

D.

Hướng dẫn giải:
Từ A kẻ AI  BC  I là trung điểm
BC
AI  (BC C B )  AI  B C (1)

A'
B'

Từ I kẻ IM  B C (2)

B'
H

Từ (1), (2)  B C  (IAM)
Vậy góc giữa (A B C) và ( B CB) là

AMI = 600

M
M
B

I

C

1
Ta có AI= BC  a ; IM=
2
AI
a

0
tan 60
3

BH  2 IM 

C'

600

A

C
I

B

2a
1
1
1
3
1
1
;


 2 2  2.
2
2
2
BH
BC
4a 4a
2a
3 B'B

Suy ra BB = a 2 ; S ABC 

1

1
AI .BC  a.2a  a 2
2
2

VABC ABC   a 2.a 2  a 3 2
Chọn A.

Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, CC’
sao cho MA  MA ' và NC  4 NC ' . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ
diện GA’B’C’, BB’MN , ABB’C’ và A’BCN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?
A. Khối A’BCN

B. Khối GA’B’C’

C. Khối ABB’C’

D. Khối BB’MN

Hướng dẫn giải:
+ Nhận thấy khoảng cách từ G và A xuống mặt phẳng
 A’B’C’ là bằng nhau ( do G,A thuộc mặt phẳng

A

B

 ABC  / /  A’B’C’
VGA ' B 'C '  VA. A ' B 'C '
Mà VA. A ' B 'C '  VABB 'C ' (Do 2 hình chóp này có 2 đáy AA’B’ và

ABB’ diện tích bằng nhau;chung đường cao hạ từ C’)

C
G

N

M

C'

A'

 VGA ' B 'C '  VABB 'C '
B'

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 46


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện Nâng Cao

=> Khơng thế khối chóp GA’B’C’ hoặc ABB’C’ thể thích nhỏ nhất → Loại B,C
+ So sánh Khối A’BCN và Khối BB’MN
Nhận thấy khoảng cách từ M và A’ xuống mặt BBCC’ là bằng nhau → Khối A’BCN và
Khối BB’MN có đường cao hạ từ M và A’ bằng nhau. Mặt khác Diện tích đáy BNB’ >
Diện tích đáy BCN

=> Khối A’BCN < Khối BB’MN .
=> Khối A’BCN có diện tích nhỏ hơn.
Chọn A.

Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB '  a , góc giữa đường thẳng BB ' và  ABC 
  60 . Hình chiếu vng góc của điểm
bằng 60 , tam giác ABC vng tại C và góc BAC
B ' lên  ABC  trùng với trọng tâm của ABC . Thể tích của khối tứ diện A '. ABC theo a

bằng
A.

13a 3
.
108

B.

7a3
.
106

C.

15a 3
.
108

D.

9a 3
.
208

Hướng dẫn giải:

Gọi M , N là trung điểm của AB, AC
và G là trọng tâm của ABC .


B ' G   ABC   BB
',  ABC   B
' BG  600 .



B'

C'



1
1
VA '. ABC  .S ABC .B ' G  . AC.BC.B ' G
3
6

Xét B ' BG vng tại G , có B
' BG  600

a 3
. (nửa tam giác đều)
 B 'G 
2

A'

B

60°
M

C
G

60°

N

A

  600
Đặt AB  2 x . Trong ABC vuông tại C có BAC
AB
 tam giác ABC là nữa tam giác đều  AC 
 x, BC  x 3
2
3
3a
Do G là trọng tâm ABC  BN  BG 

.
2
4
Trong BNC vuông tại C : BN 2  NC 2  BC 2
3a

AC


2 13
9a 2 x 2
9a 2
3a


  3x 2  x 2 
x

16
4
52
2 13
 BC  3a 3

2 13

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 47

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Vậy, VA ' ABC

Khối Đa Diện Nâng Cao

1 3a 3a 3 a 3 9a 3
.
 .
.
.

6 2 13 2 13 2
208

Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách
từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng  A ' BC  bằng

a
.Tính thể tích khối lăng trụ
6

ABC. A ' B ' C ' .
A.

3a 3 2
.
8

B.

3a 3 2
.
28

C.

3a 3 2
.
4

D.

3a 3 2
.
16

Hướng dẫn giải:
A'

Gọi M là trung điểm của BC ,
ta có  A ' AM    A ' BC  theo giao tuyến A ' M .

C'

Trong  A ' AM  kẻ OH  A ' M ( H  A ' M ) .

 OH   A ' BC 

B'

Suy ra: d  O,  A ' BC    OH 
S ABC 

a
.
6

a2 3
.
4

A
O


Xét hai tam giác vuông A ' AM và OHM có góc M
chung nên chúng đồng dạng.
a
OH
OM

 6 
Suy ra:
A' A A'M
A' A

 A' A 

C

H
M

B

1 a 3
.
1
3 2


2
2
A' A
A ' A  AM

3
a 3
A ' A2  

 2 

2

.

a 6
a 6 a 2 3 3a 3 2
. Thể tích: VABC . A ' B 'C '  S ABC . A ' A 

.
.

4
4
4
16

Câu 5: Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên
và mặt đáy là 60 . Tính thể tích khối lăng trụ
A. V 

27 3
a .
8

B. V 

3 3
a .
4

C. V 

3 3
a .
2

D.

9 3
a .
4

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có ABCDEF là lục giác đều nên góc ở đỉnh bằng 120 .
ABC là tam giác cân tại B , DEF là tam giác cân tại E .
1
a2 3
S ABC  S DEF  a.a.sin120 
2
4

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 48


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện Nâng Cao

AC  AB 2  BC 2  2. AB.BC.cos B

A'

 1
 a 2  a 2  2.a.a.     a 3
 2

B'

E'
C'

S ACDF  AC. AF  a 3.a  a 2 3
S ABCDEF  S ABC  S ACDF  S DEF 

a2 3
a 2 3 3a 2 3
 a2 3 

4
4
2

Suy ra

B

3a2 3 9 3
 a
4
4

D'

A

60°

a 3

B
' BH  60  B ' H  BB '.sin 60 
2

V  BH '.SABCDEF  a 3.

F'

F

H
C

E
D

Câu 6: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của điểm
A ' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai

đường thẳng AA ' và BC bằng
A.

a3 3
12

B.

a 3
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
4

a3 3
6

C.

a3 3
3

D.

a3 3
24

Hướng dẫn giải:
C'

B'

Gọi M là trung điểm BC, dựng MH vng
góc với AA '. Suy ra MH  d  BC , A ' A  
Đặt AH  x, ta có: A ' A  x 2 

a 3
4

A'

a2
3

H
C

a
Từ A ' A.MH  A ' G. AM  x  .
3

M
B

A

a a 2 3 a3 3
Vậy V  .

.
3 4
12

Chọn A.

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a , một mặt phẳng   cắt các cạnh
1
2
AA , BB , CC  , DD lần lượt tại M , N , P , Q . Biết AM  a , CP  a . Thể tích khối

3
5
đa diện ABCD.MNPQ là:

A.

11 3
a .
30

B.

a3
.
3

C.

2a 3
.
3

D.

11 3
a .
15

Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 49


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện Nâng Cao

Tứ giác MNPQ là hình bình hành có tâm là I
thuộc đoạn OO’.
Ta có: OI 

B

AM  CP 11
a
 a
2
30
2

O
A

Gọi O1 là điểm đối xứng O qua I thì:
OO1=2OI=

C

11

a < a. Vậy O1 nằm trong đoạn OO’.
15

D

N

M

I

Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt

P
Q

các cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ lần lượt tại
O1

B'

A1, B1,C1, D1. Khi đó I là tâm của hình hộp

ABCD. AB1C1 D1. Vậy

V  ABCD.MNPQ   V  MNPQ. A1 B1C1 D1  

C'

O'

A'

D'

1
1
11
V ( ABCD. A1B1C1D1 )  a 2OO1  a 3
2
2
30

Câu 8: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bên bằng 1.; đáy ABCD là một hình chữ nhật có
các cạnh BA  3, AD  7; các mặt bên  ABB ' A ' và  ADD ' A ' hợp với mặt đáy các
góc theo thứ tự 450 ;600. Thể tích khối hộp là:
B. 3 (đvdt)

A. 4 (đvdt)

C. 2 (đvdt)

D. 6 (đvdt)

D'

C'

Hướng dẫn giải:
Dựng A ' H   ABCD  và

A ' I  AB, A ' J  AD  HI  AB, HJ  AD.
Ta có 
A ' IH  450 ; 
A ' JH  600.

A'

Đặt A ' H  h.
Tam giác HA ' J vng có 
A ' JH  600 nên là
nửa tam giác đều có cạnh A ' J , đường cao
A ' H , HJ là nửa cạnh

B'

D

C
600

 A' J 

h
2h 3

2
3
2

J

H
A

450

I

B

12h 2 9  12h 2
 A ' J  AA '  A ' J  1 

9
9
2

 AJ 

2

2

3
9  12h 2
với 0  h 
2
3

Tam giác HA ' I vuông cân tại H  IH  A ' H  h

AIHJ là hình chữ nhật.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 50


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

AJ  IH 

Khối Đa Diện Nâng Cao

9  12h 2
3
 h  9  12h 2  9h 2  h 
3
21

Thể tích khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' : V  S ABCD . A ' H  3. 7.

3
 3 (đvdt)
21

Chọn B.

Câu 9: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có độ dài cạnh bên bằng a; đáy là hình thoi, diện tích của
hai mặt chéo là S1 và S 2 ; góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt chéo là  . Tính thể tích V

của khối hộp đã cho.
A. V 

S1S 2 cos
a

B. V 

S1S 2 cos
.
3a

C. V 

S1S 2 cos
4a

D. V 

S1S 2 cos
2a

Hướng dẫn giải:
Gọi O và O ' theo thứ tự là tâm của hai mặt
đáy ABCD, A ' B ' C ' D '.

D'

C'

Hai mặt chéo  ACC ' A ' và  BDD ' B ' có
giao tuyến là OO ', có diện tích theo thứ tự
S1 , S 2 .
Dựng mặt phẳng  P  vng góc với OO '
tại I , cắt các cạnh bên AA ', BB ', CC ', DD '
theo thứ tự tại E , F , G, H (  P   các cạnh

A'

B'
H

G
I

P

F

E
D

C

bên).

   là
Ta có: EG, HF  OO' tại I  EIH
góc giữa hai mặt phẳng chéo  ACC ' A ' và

A

B

 BDD ' B ' .
- EFGH là một thiết diện thẳng của hình hộp và là một hình bình hành.
Do đó, ta có thể tích V của hình hộp là:
1
V  S EFGH . AA '  .EG.HF . AA '.sin 
2

Ta lại có: S1  S ACC ' A '  EG.AA'  EG=

S1
S
; S 2  S BDD' B '  HF .BB '  HF  2
a
a

S S cos
1 S S
 V  . 1 . 2 a.sin   1 2
.
2 a a
2a

Chọn D.

Câu 10: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh bên bằng a và các góc
A ' AB, BDA, A ' AD đều bằng   00    900  . Tính thể tích V của khối hộp.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 51


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. V  a 3 sin 2 cos 2
C. V  2a 3 sin



cos 2

2

Khối Đa Diện Nâng Cao

a
 cos 2 arcsin 
2

B. V  2a 3 sin  cos 2

a
 cos 2
2

D. Đáp số khác.

a
 cos 2
2

Hướng dẫn giải:

Ta có
 A ' O  BD
 BD   A ' AC   BD  AH

 AC  BD

 AH   ABCD   HK  AD

C'

D'

Dựng A ' H  AC ; A ' K  AD  A ' BD
cân tại A '  A ' O  BD

A'

B'

D

C

Đặt 

A ' AO   .HAA ' vuông tại
AH
H  cos =
AA '

K
O

H

A

B

ABCD là hình thoi  AC là phân giác
   ,KAH vng tại K
góc BAD
 cos


2

AK
 AH AK AK
 cos .cos 
.

 cos
AH
2 AA ' AH AA '



cos

 cos 

cos



 A ' H  AA '.sin   a.sin   A ' H  a 1 

cos

2

Do đó ta có: VABCD. A ' B 'C ' D '  S ABCD . A ' H  a 2 .sin  .

 2a 3 sin


2

cos 2

cos 2

a
cos



cos 2


2

2





2

a
cos



cos 2


2

 cos 2

2

 cos 2

2

a
 cos 2 .
2

Chọn C.
   ; đường chéo AC ' hợp
Câu 11: Cho khối hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  a, AD  b, BAD
với đáy góc  . Tính thể tích khối hộp đứng đã cho là:

A. V  4ab a 2  b 2  2ab.cos .cos .cos

B. V  2ab a 2  b 2  2ab.cos .cos .cos

C. V  3ab a 2  b 2  2ab.cos .sin  .tan

D. V  ab a 2  b 2  2ab.cos .sin  .tan

Hướng dẫn giải:

V  ab a 2  b 2  2ab.cos .sin  .tan 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 52


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện Nâng Cao

Ta có: CC '   ABCD 
'  
 CAC
 ABCD  .

là góc của AC ' và mặt đáy

ABC ,
ta
AC 2  AB 2  BC 2  2 AB.BC.cos 
ABC

Xét

D'

C'

có:

A'

B'

 a  b  2ab.cos 180     a  b  2ab.cos .
2

2

0

2

2

b

D

C

 AC  a  b  2ab.cos
2

Do

2

đó

ta

có:

A

CC '  AC.tan   a  b  2ab.cos .tan  .

2

2

a

B

Thể tích của hình hộp đứng: V  S ABCD .CC '  ab sin  . a 2  b 2  2ab.cos .tan 

V  ab a 2  b 2  2ab.cos .sin  .tan
Chọn D.

CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có tồng diện tích của tất cả các mặt là 36 , độ dài
đường chéo AC  bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?
A. 8 .

B. 8 2 .

C. 16 2 .

D. 24 3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi chiều dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là: a , b , c  0
Ta có
AC 2  a 2  b 2  c 2  36; S  2ab  2bc  2ca  36  (a  b  c) 2  72  a  b  c  6 2
3

3
abc 3
 abc  6 2 
 abc  abc  
  16 2 . Vậy VMax  16 2
  
3
3

  3 

Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 .
Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp chữ nhật đã cho?
A. Vmax  8 .

B. Vmax  12 .

C. Vmax  8 2 .

D. Vmax  6 6 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật. Ta có

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 53

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện Nâng Cao

* Độ dài đường chéo d  a 2  b 2  c 2  6 .
* Tổng diện tích các mặt S  2  ab  bc  ca   36 .
Ta tìm giá trị lớn nhất của V  abc .
Ta có a  b  c  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac  6 2 .



Mà  b  c   4bc  6 2  a
2







2

Khi đó V  abc  a 18  a 6 2  a

  a

3

 2  8





  0  a  4

2.

 6 2a 2  18a  f  a  .

Khảo sát hàm số y  f  a  trên 0; 4 2  .
a  2
Ta có f   a   0  
.
 a  3 2
So sánh f  0   0, f



 4 18  a  b  c    4 18  a 6 2  a







2, f 3 2  0, f 4 2  8 2 ta được Vmax  8 2 .

Câu 14: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6
. Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp đã cho.
A. Vmax  16 2 .

B. Vmax  16 .

C. Vmax  6 6 .

D. Vmax  12 3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B

Gọi a, b, c là kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có

4  a  b  c   32
a  b  c  8
 2
 2
2
2
2
2
a  b  c  24
 a  b  c  2 6
Suy ra ab  bc  ca 

b  c 

2

a  b  c

2

  a 2  b2  c2 
2

 20

 4bc   8  a   4  20  a  8  a    0  a  4 .
2

V  abc  a  20  a  8  a    f  a   a  a 2  8a  20  .

Suy ra Vmax  max f  a   f  2   f  4   16
0;4

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 54


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện Nâng Cao

Câu 15: Tìm Vmax là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ nhật có đường chéo bằng 3 2cm
và diện tích tồn phần bằng 18cm 2 .
A. Vmax  6cm3 .

B. Vmax  5cm3 .

C. Vmax  4cm3 .

D. Vmax  3cm3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

a 2  b 2  c 2  18
Đặt a, b, c là kích thước của hình hộp thì ta có hệ 
.
ab

bc

ac

9

Suy ra a  b  c  6. Cần tìm GTLN của V  abc.
Ta có b  c  6  a  bc  9  a  b  c   9  a  6  a  .
Do  b  c   4bc   6  a   4 9  a  6  a    0  a  4.
2

2

Tương tự 0  b, c  4 .
Ta lại có V  a 9  a  6  a   . Khảo sát hàm số này tìm được GTLN của V là 4.

Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 .
Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp chữ nhật đã cho?
A. Vmax  8 .

C. Vmax  8 2 .

B. Vmax  12 .

D. Vmax  6 6 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật. Ta có
* Độ dài đường chéo d  a 2  b 2  c 2  6 .
* Tổng diện tích các mặt S  2  ab  bc  ca   36 .
Ta tìm giá trị lớn nhất của V  abc .
Ta có a  b  c  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac  6 2 .



Mà  b  c   4bc  6 2  a
2







2

Khi đó V  abc  a 18  a 6 2  a

  a

3

 2  8





  0  a  4

2.

 6 2a 2  18a  f  a  .

Khảo sát hàm số y  f  a  trên 0; 4 2  .
a  2
Ta có f   a   0  
.
 a  3 2
So sánh f  0   0, f



 4 18  a  b  c    4 18  a 6 2  a







2, f 3 2  0, f 4 2  8 2 ta được Vmax  8 2 .

Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6
. Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp đã cho.
A. Vmax  16 2 .

B. Vmax  16 .

C. Vmax  6 6 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. Vmax  12 3 .
Trang 55


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện Nâng Cao

Hướng dẫn giải:
Chọn B
Gọi a, b, c là kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có

4  a  b  c   32
a  b  c  8
 2
 2
2
2
2
2
a  b  c  24
 a  b  c  2 6
Suy ra ab  bc  ca 

b  c 

2

a  b  c

2

  a 2  b2  c2 
2

 20

 4bc   8  a   4  20  a  8  a    0  a  4 .
2

V  abc  a  20  a  8  a    f  a   a  a 2  8a  20  .

Suy ra Vmax  max f  a   f  2   f  4   16
0;4

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 56