Câu 1: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình
log 22 x log 2 x
A.
17
.
4
17
.
4
B.
1
.
4
C.
D.
3
.
2
1
.
2
Đáp án D.
Phương pháp giải:
+) Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc hai, tìm nghiệm x.
+) Áp dụng hệ thức Vi-ét của phương trình bậc hai: x1 x 2 b .
+) Áp dụng công thức logarit: log a b log a c log a bc.
Lời giải: Ta có log 22 x log 2 x 17 4. log 2 x 2 4.log 2 x 17 0
a
4
Đặt t log 2 x pt 4t 2 4t 17 0.
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : t1 t 2
4
1.
4
1
log 2 x1 log 2 x 2 1 log 2 x1x 2 1 x1x 2 21 .
2
Câu 2: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho a,b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào sau
đây là ĐÚNG?
A. ln a b b ln a.
B. ln ab ln a.ln b.
C. ln a b ln a ln b.
D. ln a ln a .
b
ln b
Đáp án A.
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức lôgarit cơ bản
Lời giải:
Các công thức cơ bản liên quan đến lôgarit:
ln a b b ln a, ln ab ln a ln b, ln
a
ln a ln b.
b
Câu 3:( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Tập nghiệm của bất phương trình
A. ;0.
B. 0;1.
C. 1; .
1
3
2x 1
1
3
là
D. ;1 .
Đáp án D.
Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp giải bất phương trình mũ cơ bản
Lời giải:
2x 1
2x 1
1
Ta có 1 1 1 1 2x 1 1 x 1 S ;1.
3
3
3
3
Câu 4: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Gọi
S a; b
là tập tất cả các giá trị của tham số
thực m để phương trình
log 2 mx 6x 3 log 1 14x 2 29x 2 0
2
bằng
có 3 nghiệm phân biệt. Khi đó hiệu
H ba
A.
B.
5
.
2
C.
1
.
2
D.
2
.
3
5
.
3
Đáp án B.
Phương pháp giải:
Đưa về phương trình đa thức chứa tham số, cô lập tham số, khảo sát hàm để biện luận
nghiệm
Lời giải: Điều kiện: mx 6x 3 0 .
2
14x 29x 2 0
Phương trình
log 2 mx 6x 3 log 2 14x 2 29x 2
2
2
14x 29x 2 0
14x 29x 2 0
3
2
3
2
mx 6x 14x 29x 2
mx 6x 14x 29x 2
1
14 x 2
.
2
2
m 6x 14x 29 (*) do x 0
x
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt (*) có ba nghiệm phân biệt
Xét hàm số
Ta có
2
x
1
x ; 2 .
14
trên khoảng
1
; 2 .
14
x 1
3
2
2 12x 14x 2
1
f ' x 12x 14 2
f ' x 0
do
x 2 .
2
x 1 14
x
x
2
f x 6x 2 14x 29
Bảng biến thiên
1
x
14
f’(x)
1
1
2
+
0
-
0
2
+
24
39
2
f(x)
3
19
98
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*)có ba nghiệm phân biệt khi
Vậy
Vậy
19 m
39
.
2
39
39
m 19; a; b a 19; b .
2
2
39
1
ba
19 .
2
2
Câu 5: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương
2
2
2
trình 2sin x 3cos x m.3sin x có nghiệm?
A. 7.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Đáp án B.
Phương pháp giải: Cô lập tham số m, đưa về khảo sát hàm số để biện luận nghiệm của
phương trình
Lời giải:
Ta có
Đặt
2
3
2
3sin x 3cos x m.3sin x 31sin
t sin 2 x 0;1 ,
Xét hàm số
2
x
m.3sin
2
x
2
m
3
khi đó (*) trở thành:
t
2
1
f t 3.
3
3
2t
sin 2 x
31 2sin
2
(*).
x
t
t
2t
2
2
1
m 31 2t 3 .
3
3
3
trên 0;1 , có
t
2
2
1
f ' t .ln 6.
3
3
3
2t
.ln
1
0.
3
min f t f 1 1
là hàm số nghịch biến trên 0;1
.
max f t f 0 4
Do đó, để phương trình m f t có nghiệm 1 m 4.
Lại có m Z M 1; 2;3; 4
Suy ra
f t
Câu 6: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho dãy số u n thỏa mãn u n u n 1 6, n 2
và log 2 u 5 log 2 u 9 8 11. Đặt Sn u1 u 2 ... u n . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn
Sn 20172018.
A. 2587.
Đáp án C.
B. 2590.
C. 2593.
D. 2584.
Phương pháp giải: Áp dụng công thức tổng quát của cấp số cộng và tổng cấp số cộng.
Lời giải: Điều kiện: u 5 0 u1 4d 0 .
u 9 8 0
Ta có
u1 8d 8 0
u n u n 1 6, n 2 u n
là cấp số cộng với công sai
d 6.
Lại có:
u 9 8 11 log 2 u 5 log 2 u 9 8 11 log 2
u 5 u 9 8
11
11
u 5 u 9 8 2 u1 4d u1 8d 8 2 u1 24 u1 56 2048
log 2 u 5 log
2
11
u1 8 tm
u12 80u1 704 0
.
u1 88 ktm
Do đó
Vậy
Sn u1 u 2 ... u n
n
2u1 n 1 d
n 16 6 n 1
3n 2 5n.
2
n 2592, 234
Sn 20172018 3n 2 5n 20172018 0
n min 2593.
n 2593, 9 ktm
2
Câu 7: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1. Mệnh đề
nào dưới đây đúng
b
A. log a 3 log a b 3
B. log a b log a b
a
C. a logb c b
D. log a b log b c.log c a
Đáp án A
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức cơ bản của biểu thức chứa lôgarit
Lời giải:
1
b
Ta có: log a 3 log a b log a a 3 log a b 3 và log a b log a b
a
Câu 8: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Tìm số các nghiệm nguyên dương của bất phương
1
trình
5
A. 6
x 2 2x
1
125
B. 3
C. 5
D. 4
Đáp án B
Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp giải bất phương trình mũ cơ bản
Lời giải:
Ta có 2
1
5
x 2 2x
1
1
125
5
x 2 2x
3
1
x 2 2x 3 x 2 2x 3 0 1 x 3
5
Suy ra số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là 1; 2;3
Câu 9: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình
log 4 3.2 x 1 x 1
A. 6
B. 5
C. 12
D. 2
Đáp án D
Phương pháp giải: Mũ hóa, đặt ẩn phụ đưa về giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm
Lời giải: Điều kiện: 3.2 x 1 0 x log 2 3
Ta có log 4 3.2 x 1 x 1 3.2 x 1 4 x 1
12.2 4 4 2
x
x
x 2
2 6 4 2
x log 2 6 4 2
2x 6 4 2
12.2 4 0
x
x log 6 4 2
2 6 4 2
2
x
4 2 log
Khi đó ta có: x1 x 2 log 2 6 4 2 log 2 6 4 2 log 2 6 4
log 2 62
2
2
42
Câu 10: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương
trình 4 log 2 x
2
log 1 x m 0
có nghiệm thuộc khoảng
0;1
2
1
1
1
A. m 0; B. m ;
C. m ; D. m ;0
4
4
4
: Đáp án C
Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ, cô lập tham số m, đưa về bài toán tương giao
Lời giải:
Ta có
4 log 2 x
2
2
2
1
log 1 x m 0 4 log 2 x log 21 x m 0 log 2 x log 2 x m 0
2
2
Đặt t log 2 x với x 0;1 t 0
Khi đó t 2 t m 0 m t 2 t f t
Xét hàm số f t t 2 t trên
x
0
f ' t
0
f t
0
;0 ,
có f ' t 2t 1 0 t
1
2
1
1
2
0
+
0
1
4
1
1
Bảng biến thiên.
Tính f 0 0;f ; lim f t
4 t
2
Do đó, để m f t có nghiệm thuộc khoảng
Câu 11: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho hàm số f x
thỏa mãn f ' x
1
1
m
4
4
xác định trên \ 1;1 và
;0 m
1
1 1
. Biết f 3 f 3 0 và f f 2. Tính
x 1
2 2
2
T f 2 f 0 f 5
A.
1
ln 2 1
2
B. ln 2 1 C.
1
ln 2 1
2
D. ln 2 1
Đáp án C
Phương pháp giải:
Tìm hàm số thông qua nguyên hàm, chia nhỏ trường hợp để xét các giá trị
Lời giải:
1 x 1
2 ln x 1 C1 khi x 1
dx
1 x 1
1 1 x
f
x
f
'
x
ln
C
C2 khi 1 x 1
Ta có 2
ln
x 1 2 x 1
2
x
1
1 x 1
2 ln x 1 C3 khi x 1
1
1 1
ln 2 C1 ln C3 0 C1 C3 0
2
2 2
1
1 1
1 1
Và f f 2 ln 3 C2 ln C2 0 C2 1
2
2 3
2 2
Suy ra f 3 f 3 0
1
1 1
1
Vậy T f 2 f 0 f 5 ln 3 C3 C2 ln C2 C1 ln 2 1
2
2 3
2
Câu 12: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Tập nghiệm của bất phương trình
là:
A.
; 5
B.
;0
C.
5;
5
3
D.
x 1
5x 3
0;
Đáp án C
Phương pháp
a 0
Đưa về cùng cơ số a f x a g x
f x g x
Cách giải
5
3
x 1
5
x 3
5
x 1
3
5x 3
x 1
x 3 x 1 3x 9 2x 10 x 5
3
Câu 13: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Hàm số y x 2 ln x đạt cực trị tại điểm
1
1
A. x e B. x 0; x
C. x 0
D. x
e
e
Đáp án D
Phương pháp
Giải phương trình y ' 0
Cách giải
TXD : D 0;
1
1
1
2x ln x x x 2 ln x 1 0 ln x x
x
2
e
1
y '' 2 ln x 2 1 2 ln x 3 y ''
20
e
1
là điểm cực tiểu của hàm số y x 2 ln x
x
e
y ' 2x ln x x 2 .
Câu 14: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Phương trình log 2 x log 2 x 3 2 có bao
nhiêu nghiệm?
A. 2
Đáp án D
B. 0
C. 3
D. 1
Phương pháp
Sử dụng công thức log a x log a y log a xy 0 a 1; x; y 0
Cách giải
x 3
x 3
log 2 x log 2 x 3 2
x4
log 2 x x 3 2
x x 3 4
Câu 15: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn
log 3 x 1 y 1
9 x 1 y 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y là:
27
C. Pmin 5 6 3 D. Pmin 3 6 2
5
1
1
1
1
Câu 4: Phương trình ln x .ln x .ln x .ln x 0 có bao nhiêu
2
2
4
8
nghiệm
A. 3.
B. 4.
C. 1.
D. 2.\
Đáp án A
A. Pmin
Điều kiện x
11
2
y 1
B. Pmin
1
1
1
1
1
. Ta có ln x .ln x .ln x .ln x 0
2
2
4
8
2
1
3
1
ln x 2 0
x 1 x
2
2
1
x 1 1 x 1 l
ln x 0
2
2
2
. Do đó phương trình có 3 nghiệm
1
3
1
x 1 x
ln x 0
4
4
4
1
7
1
x
1
x
ln
x
0
8
8
8
Câu 9: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho log a c x 0 và log b c y 0 .
Khi đó giá trị của log ab c là:
1 1
1
xy
A.
B.
C.
D. x y.
.
.
.
x y
xy
x y
Đáp án C
1
1
log c a
x
log c x
x
a c
Ta có: a
1
log b c y
log c b 1
b c y
y
1
xy
Do đó log ab c log 1 1 c log 1 1 x
.
1 1 x y
cxc y
cxc y
x y
Câu 16: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Gọi a là giá trị nhỏ nhất của
log3 2 log3 3 log3 4 ... log3 n
f n
, với n , n 2 . Có bao nhiêu số n để
9n
f n a ?
A. 2
Đáp án A
B. Vô số.
HD: Ta có f n f n 1
C. 1.
log3 2.log3 4...log3 n
D. 4
log3 2.log3 4...log3 n.log3 n 1
9n
9 log3 n 1 39 n 1 n 39 1. Suy ra
9n1
f 1 f 2 f 3 ... f 39 1 f 39 .
Vậy hàm số f n đạt giá trị nhỏ nhất tại n 39 1; n 39.
Câu 17: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Biết rằng a là số thực dương sao cho
bất đẳng thức 3x a x 6 x 9 x đúng với mọi số thực x. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a 12;14
B. a 10;12
C. a 14;16
D. a 16;18
Đáp án D
HD: Ta có 3x ax 6x 9x f x 3x ax 6x 9x 0; x .
Xét f x 3x ax 6x 9x trên , có f x 3x .ln3 ax .ln a 6x .ln6 9x .ln9.
Để f x 0; x min f x 0 f 0 . Hay
6 9
a 18.
3
Câu 18: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Hàm số y log 2 3 x x 2 có tập xác định là:
f 0 0 ln a ln
A.
0; .
B.
0;3 .
C. 0;3 .
D. R .
Đáp án B
1
Câu 3: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Giải phương trình
25
1
1
1
A. x .
B. x .
C. x .
8
4
4
Đáp án C
x 1
1252 x .
D. x 4 .
Câu 19:(Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho P 9 log 31 3 a log 21 a log 1 a 3 1 với
3
3
3
1
a ;3 và M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .
27
Tính S 4 M 3m
109
83
A. 42 .
B. 38 .
C.
.
D.
.
9
2
Đáp án A
1
Viết lại: P log 3 a log 32 a 3log 3 a 1
3
1
Đặt t log 3 a; a ;3 t 3;1
27
3
t
f t t 2 3t 1
3
t 1
f ' t t 2 2t 3 0
t 3
BBT:
3
x
f 't
1
0
–
10
f t
14
3
2
3
Max P 10 M ; Min P
t 3;1
1
t 3;1
S 4 M 3m 42 .
2
m
3
Câu 20: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho f x ln cos 2 x . Tính f ' .
8
A. 1 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 0 .
Đáp án C
2
2
Câu 34: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Cho phương trình 4 x 2 x 2 6 m . Biết tập tất
cả giá trị m để phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt là khoảng a; b . Khi đó
b a bằng:
A. 4 .
Đáp án B
B. 1 .
C. 5 .
D. 3 .
Đặt 2 x t 1 f t t 2 4t 6 m
2
Xét: f ' t 2t 4 0 t 2 . Ta có BBT:
x
1
f 't
f t
–
2
0
3
2
a 2
ycbt 2 m 3
b 3
Câu 21: (Chuyên Hạ Long – Lần 3)Cho dãy số
un
thỏa mãn
log u1 2 log u1 2 log u10 2 log u10 và un 1 2un với mọi n 1 . Giá trị lớn nhất
của n để un 5100 bằng:
A. 248 .
B. 246 .
Đáp án C
Dễ thấy: u n 1 2u n Cấp số nhân với q 2
C. 247 .
D. 290 .
u n u1.2n 1 u10 u1.29 thế vào log u1 2 log u1 2 log u10 2 log u10
log u1 1 18log 2
u1 10118log 2
Theo bài: u n 5100 u1.2n 1 5100 n 247,87 n Max 247 .
Câu 22: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Cho a là số thực dương thỏa mãn a 10,
mệnh đề nào dưới đây sai
10
A. log 10.a 1 log a
B. log log a 1
a
a
C. log 10 a
D. log a10 a
Đáp án D
log a10 a với a 10
Câu 23:(Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3): Cho a là số thực dương. Viết biểu thức
1
P 3 5.
dưới dạng lũy thừa cơ số a ta được kết quả
a3
1
5
A. P a 6
Đáp án A
P 3 5.
1
a3
7
B. P a 6
5 3
2
a3
C. P a 6
19
D. P a 6
1
a6
Câu 24: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Tập giá trị của hàm số y ln x 2 1 là 0;
B. Hàm số y ln x x 2 1
C. ln x x 2 1
có tập xác định là
1
x2 1
D. Hàm số y ln x x 2 1
không phải là hàm chẵn cũng không phải là hàm lẻ
Đáp án D
Hàm y f x ln x x 2 1
có tập xác định
1 f x Các mệnh đề còn
là hàm lẻ do: hàm y ln x x 2 1
là D và f x ln x x 2 1 ln x x 2
lại kiểm tra đều thấy đúng
Câu 25: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Biết phương trình
x1
a
log
x2
b
log 3 3x 1 . 1 log 3 3x 1 6 có hai nghiệm là x1 x 2 và tỉ số
a, b * và a, b có ước chung lớn nhất bằng 1. Tính a b
A. a b 38
B. a b 37
C. a b 56
Đáp án D
trong đó
D. a b 55
Đặt t log 3 3x 1 t 1 t 6 t 2; t 3
28
log 3
x1
28
27 log 28
Từ dó, ta tính được x1 log 3 ; x 2 log 3 10
27
x 2 log 3 10
27
Câu 26: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3)
Cho phương trình 3x a.3x cos x 9.
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a thuộc đoạn
2018; 2018
đúng một nghiệm thực
A. 1
Đáp án A
B. 2018
để phương trình đã cho có
C. 0
D. 2
Phương trình 3x a.3x cos x 9 9 x 9 a.3x cos x 3x 32 x a cos x 1
Điều kiện cần: Nhận thấy nếu x 0 là một nghiệm của phương trình đã cho thì 2 x 0
cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Vậy để phương trình có đúng một nghiệm thực
thì x 0 2 x 0 x 0 1. Thay vào (1) ta tìm được a 6 2018; 2018
Điều kiện đủ: Với a 6, phương trình (1) trở thành 3x 32 x 6 cos x 1
Sử dụng Cauchy ta có: 3x 32 x 6 6 cos x . Dấu bằng xảy ra khi
x 2 x
x 1
cosx 1
Vậy có đúng một giá trị của tham số thực a 2018;2018 để phương trình đã cho có
đúng một nghiệm thực
Câu 27: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Cho 0 a 1 và x, y là các số thực
âm. Khẳng định nào sau đây đúng?
x log a ( x)
A. log a ( x 2 y ) 2 log a x log a y.
B. log a
.
y log a ( y )
C. log a ( xy ) log a x log a y.
D. log a ( x 4 y 2 ) 2 log a x 2 log a y .
Đáp án D
Câu 28: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai)
Đạo hàm của hàm số
y log 2 (1 x ) là
ln 2
1
.
.
A. y '
B. y '
2 x .(1 x )
(1 x ).ln 2
C. y '
1
x .(1 x ).ln 2
D. y '
.
1
x .(1 x ).ln 4
.
Đáp án D
Câu 29: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai)
Cho a, b, c, d là các số nguyên
3
5
dương thỏa mãn log a b , log c d
. Nếu a c 9 , thì b d nhận giá trị nào?
2
4
A. 85.
B. 71.
C. 76.
D. 93.
Đáp án D
Ta có b a3/2 , c d 5/4 . Giả sử a x 2 , b y 4 với x, y là các số nguyên dương.
Ta có a c x 2 y 4 ( x y 2 ).( x y 2 ) 9.
Suy ra ( x y 2 ; x y 2 ) (1;9) . Dễ dàng suy ra x 5, y 2.
Do đó, b d x3 y 5 93.
Câu 30: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai)
tham số a thuộc đoạn 0; 2018 sao cho ba số
5 x 1 51 x ,
theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng?
A. 2007.
B. 2018.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
a
, 25 x 25 x ,
2
C. 2006.
D. 2008.
Đáp án A
Ba số đã cho lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
25 x 25 x 5 x 1 51 x a
(3)
Đặt t 5 x 5 x , t 2 , (3) trở thành t 2 5t 2 a
Lập bảng biến thiên của hàm số f (t ) t 2 5t 2 trên nửa khoảng 2; , (4)
(4)
có nghiệm khi và chỉ khi a 12.
Câu 31: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau
32x 8 4.3x 5 27 0
4
4
A. 5
B. 5
C.
D.
27
27
Đáp án A
3x 4 3
x 3
32x 8 4.3x 5 27 0 32 x 4 12.3x 4 27 0 x 4
x 2
3 9
Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên là 3 2 5
Câu 32: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Cho a là số thực dương và khác 1. Mệnh đề nào
sau đây là sai?
x
A. log a log a x log a y, x 0, y 0 B. log a x.y log a x log a y, x 0, y 0
y
1
1
C. log a x 2 log a x, x 0
D. log a
log a 10
2
Đáp án C
log a x 2 2 log a x, x 0
Câu 33: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Phương trình log 2 x log 2 x 3 2 có bao
nhiêu nghiệm?
A. 1
: Đáp án A
B. 2
C. 3
D. 0
x 0
Điều kiện:
x 3
x 3 0
x 1
log 2 x log 2 x 3 2 log 2 x x 3 2 x 2 3x 4 0
x 4 tm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 4
Câu 32: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Cho log 6 45 a
tổng a b c
A. 4
Đáp án D
B. 2
log 2 5 b
, a, b, c . Tính
log 2 3 c
C. 0
D. 1
5
log 2
5
5
4 2 log 2 5 log 2 4 2 log 2 5 2 log 2 2
log 6 45 log 6 36. log 6 36 log 6 2
4
log 2 6
log 2 2.3
log 2 3 log 2 2
4
log 2 5 2
a 2, b 2, c 1 a b c 1
log 2 3 1
2
Câu 34: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Tập nghiệm của bất phương trình
là:
A.
; 5
B.
5;
C.
0;
Đáp án B
5
3
x 1
5x 3 5
x 1
3
5x 3
x 1
x 3 x 5
3
5
3
D.
x 1
5x 3
;0
Câu 35: (Chuyên Đại Học Vinh) Phương trình ln x 2 1 .ln x 2 2018 0 có bao
nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
Đáp án D
Phương pháp:
f x 0
+ Giải phương trình tích: f x g x 0
g x 0
f x 0
+ Giải phương trình logarit: log a f x b
b
f x a
Cách giải:
x 2018
Điều kiện: x 2 2018 0 x 2 2018
x 2018
ln x 2 1 0
Ta có: ln x 1 ln x 2018 0
ln x 2 2018 0
2
2
x2 0 l
x 2019
x2 1 1
nên phương trình có 2 nghiệm.
2
2
x 2019
x 2018 1 x 2019 tm
Câu 36: (Chuyên Đại Học Vinh) Cho hàm số f x log 3 2x 1 . Giá trị của f ' 0
bằng
A.
2
ln 3
B. 2
C. 2 ln 3
D. 0
Đáp án A
+) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số:
f ' x
log f x ' f x .ln a .
a
Cách giải:
Ta có f ' x
2x 1 '
2
2
f ' 0
ln 3
2x 1 ln 3 2x 1 ln 3
Câu 37:(Chuyên Đại Học Vinh) Giả sử a, b là các số thực dương bất
kỳ. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. log 10ab 2 1 log a log b B. log 10ab 2 2 log ab
2
2
C. log 10ab 1 log a log b D. log 10ab 2 log ab
2
2
2
2
Đáp án C
Phương pháp:
+ Sử dụng các công thức cơ bản của hàm logarit.
Cách giải:
Ta có: log 10ab 2 log 10ab 2 1 log a log b đáp án A đúng.
2
log 10ab 2 log10 log ab 2 2 log ab đáp án B đúng.
2
log 10ab 2 log10 log a log b 2 1 log a log b đáp án C sai.
2
Câu 38: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tích các nghiệm của phương trình
log 1 6 x 1 36 x 2 bằng
5
A. 1.
Đáp án B.
B.
D. log 6 5.
C. 5.
Phương trình đã cho 6 x 1 36 x 5 6.6 x 6 x 5 6 x 6.6 x 5 0
2
2
6x 1
x 0
x
.
x
log
5
6
5
6
1
Cho f x .52x 1 ;g x 5x 4x.ln 5. Tập
2
nghiệm của bất phương trình f ' x g ' x là
Câu 39:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội)
A. x 1.
Đáp án B.
B. x 0.
C. 0 x 1.
D. x 0.
Ta có f ' x 52x 1 ln 5, g ' x 5x 4 ln 5.
Suy ra
f ' x g ' x 52x 1 5x 4 5 5
x 2
5 x 1
5x 4 0 x
5x 1 x 0.
5 4
5
Câu 40: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Cho f x 2.3log81 x 3. Tính f ' 1
1
B. f ' 1 .
2
A. f ' 1 1.
C. f ' 1 1.
D. f ' 1
1
.
2
Đáp án B.
1
3log81 x
1
.ln 3
f 1 .
Ta có f ' x 2.3
x ln 81
2x
2
Câu 41: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tập nghiệm của bất phương trình
4x 6
log 1
0 là
x
5
log81 x
3
A. 2; .
2
Đáp án D.
3
B. 2, .
2
3
C. 2, .
2
3
D. 2, .
2
4x 6
x 0
6
6
3
0 4 4 3 2 x .
BPT
x
x
2
4x 6 1
x
Câu 42:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội)
Cho f x x.e 3x , tập nghiệm của bất
phương trình f ' x 0 là
A.
1
B. 0, .
3
0,1 .
1
C. , .
3
1
D. , .
3
Đáp án C.
1
Ta có f ' x e 3x 1 3x f ' x 0 1 3x 0 x .
3
Câu 43: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tập nghiệm của bất phương trình
x 2
1
3 x là
3
A. 1, 2 .
B.
2, .
C. 2, .
D. 1, 2 .
Đáp án B.
BPT 3
x 2
x 2
x 2
x 0
3 x
2
x 2.
x 2 x
x x 2
x x 2 0
Câu 44:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương
trình sau có nghiệm duy nhất a log 3 x 3 4 log 3 x 8 a 1 0
A. a 1.
Đáp án C.
B. a 1.
C. Không tồn tại a.
D. a 1.
Giả sử x 0 là nghiệm của phương trình (*) x 0 cũng là nghiệm của phương trình (*)
Khi đó x 0 x 0 2x 0 0 x 0 0 (loại) suy ra không tồn tại giá trị nào của a.
Câu 45: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Tính giá trị của biểu thức
K log a a a với 0 a 1 ta được kết quả
A. K
4
3
B. K
3
2
C. K
3
4
D. K
3
4
Đáp án C
1
3
3
3 2
3
a a a.a a 2 a 4 K log a a 4
4
1
2
Ta có
Câu 46:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Số nghiệm của phương trình
ln x 1
1
là
x2
A. 1
B. 0
C. 3
D. 2
Đáp án D
x 1
PT
1
ln x 1 x 2 0
Xét hàm số y ln x 1
y'
1
x 1; \ 2 ta có
x2
1
1
0 x 1; \ 2
x 1 x 2 2
Lập BBT của hàm số trên D 1; 2 2; suy ra PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 47: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho log 2 5 a;log 5 3 b. Tính log 24 15
theo a và b :
A.
a 1 b
ab 3
Đáp án A
B.
a 1 2b
ab 1
C.
b 1 2a
ab 3
D.
a
ab 1
log 24 15 log 24 3 log 24 5
1
1
3
ab
1
3
b
a
1
1
1
1
1
1
log 3 24 log 3 24 1 log 3 8 log 5 8.3 1 3log 3 2 3log 5 2 log 5 3
a b 1
ab
a
ab 3 ab 3
ab 3
Câu 48: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Nghiệm của phương trình log 2 x 3 là:
A. 9
B. 6
C. 8
D. 5
Đáp án C
Câu 40:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Cho a, b là các số thực dương khác 1 thỏa
mãn log a b 3. Giá trị của log
B.
A. 3
b
a
1
3
3b
là:
a
C. 2 3
D.
3
Đáp án B
Ta có: b a
3
log
b
a
3 1
3
3
3b
a
3 2 3
log
3
a 2
3
3
a
a
1
a
2
Câu 49: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)
Biểu thức log 2 2sin log 2 cos có giá trị bằng:
12
12
A. -2.
: Đáp án B.
B. -1.
C. 1.
D. log 2 3 1.
Ta có log 2 2sin log 2 cos log 2 2sin cos
12
12
12
12
1
log 2 sin log 2 1.
6
2
Câu 50: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Phương trình log 2 x log 2 x 1 1 có tập
nghiệm là:
A. 1;3 .
Đáp án C.
B. 1;3 .
C.
2 .
D. 1 .
x 0
x 1
x 1
PT x 1 0
x 2 x 2 S 2 .
x x 1 2
x 1
log
x
x
1
1
2
Câu 51: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)
4
4
Cho x 0, y 0. Viết biểu thức x 5 . 6 x 5 x về dạng x m và biểu thức y 5 . 6 y5 y về
dạng y y n . Ta có m n ?
11
8
11
A.
B. .
C. .
.
6
5
6
Đáp án A.
D.
8
.
5
103
103
54 6 5
m
60
x
.
x
x
x
11
60
mn .
Ta có 4
7
6
y 5 . 6 y5 y y 60
n 7
60
Câu 52: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)
2
Tập nghiệm của bất phương trình 5x x 25 là:
A. 2; .
B. ;1 2; . C.
1; 2 .
D. .
Đáp án C.
BPT x 2 x 2 1 x 2 S 1; 2 .
Câu 53: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Nghiệm của phương trình 2 x 2 x 1 3x 3x 1
là
3
3
2
A. x log 3 .
B. x 1.
C. x log 3 .
D. x log 3 .
4 2
2 4
4 3
Đáp án C.
x
3
3
3
PT 2 2.2 3 3.3 3.2 4.3 x log 3 .
4
2
2 4
x
x
x
x
x
x
Câu 54:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Cho
un
f 1 .f 3 ...f 2n 1
.
f 2 .f 4 ...f 2n
f n n 2 n 1 n *.
nguyên dương nhỏ nhất sao cho u n thỏa mãn điều kiện
10239
log 2 u n u n
.
1024
A. n 23.
B. n 29.
C. n 21.
Tìm số
2
n
D. n 33.
Đặt
Đáp án A.
Ta có: f n n 2 1 2n n 2 1 n 2 1 n 2 1 n 1 n 2 1
2
2
2
n 2 1 n 1 1
1 1 2
2 1 3
1 32 1 42 1 ... 2n 1 1 4n 2 1
2
Do đó u n
2
2
2
2
1 42 1 52 1 ... 2n 1 1 4n 2 1 2n 1 1
10239
, dùng máy tính suy ra n 23.
Suy ra log 2 u n u n
1024
Câu 55: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
phương trình log 32 x m 2 log 3 x 3m 1 0 có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn
2
2
2
x1.x 2 27.
A. m 2.
: Đáp án C.
B. m 1.
C. m 1.
D. m 2.
Giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2
Ta có: log 3 x1 log 3 x 2 m 2 log 3 x1x 2 m 2 m 2 log 3 27 m 1
Thay m 1 PT : log 32 x 3log 3 x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt. Vậy m 1.
1
3 6
Câu 56: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Rút gọn biểu thức P x . x với x 0.
A. P x
Đáp án B.
B. P x
2
1
3
1
6
Ta có: P x .x x
1 1
3 6
C. P x
1
8
D. P x
2
9
1
2
x x.
Câu 57:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Cho a, b 0; a, b 1 và x, y là hai số thực
dương. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.
A. log a xy log a x log a y.
B. log b a.log a x log b x.
1
1
.
x log a x
: Đáp án C.
D. log a
C. log a
x
log a x log a y.
y
Câu 58: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình
2
2 log 4 x 3 log 4 x 5 0 là
A. 8.
Đáp án B.
B. 8 2.
C. 8 2.
D. 4 2.
x 3 0
x 3
x 3, x 5
2
PT x 5 0
x 5
x 3 x 5 1
x 3 x 5 1
2
2
2
log 4 x 3 x 5 0
x 3 x 5 1
x 3, x 5
x 3, x 5
x 4 2
2
x 8x 14 0 x 2
x1 x 2 8 2.
x
4
2
x4
x 8x 16 0
Câu 59: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Tìm tập nghiệm của bất phương trình
x 1
2017
2017
2018
2018
A. 2; .
x 3
.
C. 2; .
; 2 .
B.
D.
; 2.
: Đáp án B.
BPT x 1 x 3 x 2 S ; 2 .
Câu 60:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Cho tham số thực a. Biết phương trình
e x e x 2 cos ax có 5 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình e x e x 2 cos ax 4
có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A. 5.
B. 6.
C. 10.
D. 11.
Đáp án C.
x
x2
ax
2
1
x
x
e e 2 cos
2
x
x
2
2
Ta có e e 2 cos ax 4 e e 2 cos ax+1 x
.
x
2
ax
2
e e 2 cos 2 2
Giả sử x 0 là nghiệm của phương trình e x e x 2 cosa x (*), thì x 0 0 và 2x 0 là
2
nghiệm của (1) và 2x 0 là nghiệm của (2) hoặc ngược lại. (Dethithpt.com)
Phương trình (*) có 5 nghiemj nên hai phương trình (1), (2) có 5 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình e x e x 2 cosa x 4 có 10 nghiệm phân biệt.
Câu 61: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Số nào trong các số sau lớn hơn 1?
A. log 0,5
1
8
D. log 0,5
C. log 1 36
B. log 0,2 125
6
1
2
Đáp án A
Câu
62:(
Chuyên
Vĩnh
2x 2 2x 9 x 2 x 3 .8x
2
Phúc-Lần
3x 6
3)
Số
x 2 3x 6 .8x
2
nghiệm
x 3
là:
của
phương
trình
:
A. 1
Đáp án D
B. 3
C. 2
D. 4
Phương trình đã cho
x 2 3x 6 x 2 x 3 x 2 x 3 .8x
2
3x 6
x 2 3x 6 .8x
2
x 3
u v u.8v v.8u (với u x 2 3x 6; v x 2 x 3 )
8u 1 v 8v 1 u 0
* .
x 2 3x 6 0
TH1. Nếu u 0 , khi đó * v 0 2
x x 3 0
TH2. Nếu v 0, tương tự TH1.
TH3. Nếu u 0; v 0 , khi đó 8u 1 v 8v 1 u 0 * vô nghiệm.
TH4. Nếu u 0; v 0 , tương tự TH3. (Dethithpt.com)
TH5. Nếu u 0; v 0 , khi đó 8u 1 v 8v 1 u 0 * vô nghiệm.
TH6. Nếu u 0; v 0 , tương tự TH5.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt .
8u 1 8 v 1
8u 1
0, dễ thấy
Hoặc biến đổi *
0; u 0 (Table = Mode 7).
u
v
u
Câu 63:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)
phương trình 4
A.
x
2 1
2; 4
B.
Tìm tập các giá trị thực của tham số m để
x
2 1 m 0 có đúng hai nghiệm âm phân biệt.
3;5
C.
4;5
D.
5;6
Đáp án C
Đặt t
x
1
2 1 PT 4t m 0 4t 2 m.t 1 0 1 .
t
PT ban đầu có 2 nghiệm âm phân biệt 1 có hai nghiệm t1 , t 2 1.
Suy ra
m 2 16 0
m 4
1 0
4 m 8
m
m 4
t
t
2
2
4m5
1 2
m
5
4
1
m
t 1 t 1 0
1 0
1 2
t1t 2 t1 t 2 1 0
4 4
Câu 64: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Giải phương trình 2 x
A. x 0; x 3
B. x 1; x 3
C. x 1; x 2
2
3x
1
D. x 0; x 3
Đáp án D
x 0
Phương trình x 2 3x 0
.
x 3
Câu 65:
y log
2
(Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Tìm tập xác định D của hàm số
x
2
3x 2
A. D ;1 2;
B. D 2;
C. D ;1
D. D 1; 2
Đáp án A
x 2
Điều kiện: x 2 3x 2 0
TCĐ: D ;1 2; .
x 1
Câu 66:(Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Tìm tập nghiệm S của phương trình
32x 1 10.3x 3 0.
A. S 0;1
B. S 1;1
C. S 1;0
D. S 1
Đáp án B
PT 3 3
x 2
3x 3
x 1
10 3 3 0 x 1
S 1;1 .
3
x 1
3
x
Câu 67: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Cho x, y là hai số thực dương thỏa
mãn điều kiện 4 9.3x
P
2
2y
4 9x
2
2y
.7
2y x 2 2
.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x 2y 18
.
x
A. P
3 2
2
B. P 1 9 2
C. P 9
D. Không tồn tại
Đáp án C
Đặt t x 2 2y, khi đó giả thiết 4.9.3t 4 9 t .7 2 t
Xét hàm số f a
a
4 3t 2 4 32t
2t * .
7t 2
7
a
4 3a
1 3
4. trên là hàm số nghịch biến trên .
a
7
7 7
Khi đó * f t 2 f 2t t 2 2t t 2 x 2 2y 2 2y x 2 2.
Do đó P
x x 2 2 18
16
16
x 1 2 x. 1 2.4 1 9. Vậy Pmin 9.
x
x
x
Câu 68: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Với hai số thực dương a, b tùy ý và
log 2 a.log 5 2
log b 1 . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
1 log 5 2
A. 4a 3b 1
B. a 1 b log 2 5
C. ab 10
D. a log 2 5 b 1
Đáp án C
log 2 a.log 5 2
log 5 a
log 5 a
log b 1
log b 1
log b 1
1 log 5 2
1 log 5 2
log 5 10
log a log b 1 log ab 1 ab 10
Ta có:
Câu 69: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Số nghiệm thực của phương trình
x2 5x 8
0 là
ln x 1