Bài tập tích phân hàm ẩn có đáp án chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.04 MB, 15 trang )
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể các tác giả!
1
a 2 ln 2 − bc ln 3 + c
,với a, b, c . Tính T = a + b + c .
0 x ln( x + 2) + x + 2 dx =
4
1
Câu 1.
Cho
B. T = 15 .
A. T = 13 .
Câu 2.
1
abc ln 2 − b ln 5 − c
Cho I = x ln ( x + 1) − 2 dx =
, với a, b, c
x
+
1
4
0
B. T = 15 .
A. T = 13 .
D. T = 11 .
C. T = 17 .
3
. Tính T = a + b + c .
C. T = 10 .
D. T = 11 .
1
ab ln 2 + bc ln 3 − c
Cho I = x ln ( x + 2 ) − 2 dx =
, với a, b, c . Tính T = abc .
x + 1
4
0
1
Câu 3.
A. T = −18 .
Câu 4.
B. T = 16 .
C. T = 18 .
D. T = −16 .
Cho f ( x ) là hàm liên tục và a 0 . Giả sử rằng với mọi x 0; a , ta có f ( x ) 0 và
a
f ( x ) f ( a − x ) = 1 . Tính I =
1
dx .
1+ f ( x)
0
a
a
.
B. 2a .
C. a ln (1 + a ) .
D.
.
3
2
Cho f ( x ) là hàm liên tục trên 0;1 . Giả sử rằng với mọi x 0;1 , ta có f ( x ) 0 và
A.
Câu 5.
f ( x ) . f (1 − x ) = 4 . Tính
1
dx
2 + f ( x) .
0
A. 1 .
B. 2 .
C.
1
.
2
D.
1
.
4
Câu 6.
Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
và 3 f ( − x ) − 2 f ( x ) = tan 2 x . Tính
4
f ( x )dx .
−
A. 1 −
1
Câu 7. Biết
.
2
x3
B.
2x
0
Tính tổng S
2
e.x 3 .2 x
dx
e.2 x
m
n
−1.
1
m
1
.ln p
e ln n
C. 1 +
e
e
4
.
4
D. 2 −
2
.
. Với m, n, p là các số nguyên dương .
p
A. 7.
B. 6.
C. 8.
D. 5.
1
Câu 8.
Cho hàm số f x
liên tục và có đạo hàm cấp hai trên 0;1 thỏa
x2. f
x dx
12 và
0
1
2f 1
f 1
2 . Tính
f x dx
0
A. 10 .
Câu 9.
B. 14 .
Cho hàm số 𝑓(𝑥) thỏa mãn
A. 1.
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
3
∫0 𝑥𝑓 ′ (𝑥)𝑒 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
B. 11.
C. 8 .
D. 5 .
3
= 8 và 𝑓(3) = ln 3. Tính ∫0 𝑒 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
C. 8 − ln3.
D. 8 + ln3.
Trang 1 Mã đề TPHA
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
Câu 10. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
và thỏa mãn
f ( − x ) + 2018 f ( x ) = x sin x. Tính
I=
2
f ( x )dx
−
2
2
.
2019
1
.
2019
1
.
2018
1
Câu 11. Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( 0; + ) \ e thỏa mãn f ( x ) =
,
x ( ln x − 1)
A.
B.
C.
1
.
1009
D.
1
1
f 2 = ln 6 và f e2 = 3 . Giá trị của biểu thức f + f ( e3 ) bằng
e
e
( )
A. 3 ( ln 2 + 1) .
B. 2 ln 2 .
D. ln 2 + 3 .
C. 3ln 2 + 1 .
Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đạo hàm là hàm số với đồ thị như hình vẽ bên.
Biết rằng đồ thị hàm số y = f ( x ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Khi đó đồ
thị hàm số cắt trục tung tại điểm tại điểm có tung độ là
A. −4 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .
2
f ( x ) .ln f ( x ) dx = 1 và f (1) = 1, f ( 2 ) 1 . Giá trị của f ( 2 )
Câu 14. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
1
bằng
A. f ( 2 ) = 2 .
B. f ( 2 ) = 3 .
Câu 15. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
A. I
f ( x ) dx = 3 và f ( 2 ) = 2 . Tính f ( x )dx
2
4
0
0
B. I
2.
D. f ( 2 ) = e 2 .
C. f ( 2 ) = e .
3.
Câu 16. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
C. I
5.
D. I
và thỏa f ( 4 − x ) = f ( x ) . Biết
1.
3
xf ( x )dx = 5 .
1
3
Tính
f ( x )dx .
1
5
A. .
2
B.
7
.
2
C.
9
.
2
Câu 17. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên 0;1 và thỏa mãn
D.
11
.
2
1
x f ( x ) − 2 dx = f (1) . Giá
0
1
trị của I = f ( x ) dx bằng
0
A. 1 .
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
B. 2 .
C. −1 .
D. −2 .
Trang 2 Mã đề TPHA
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
1
Câu 18. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 0;1 thỏa mãn
x f
x
4 dx
f 1 . Giá trị
0
1
của I
f x dx bằng
0
A. 0.
B.
2.
C.
1.
D. 2.
1
Câu 19. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
1 f
x
thỏa
x dx
10 và 2 f 1
f 0
D. I
8.
2 . Tính
0
1
f x dx .
I
0
B. I
12 .
A. I
8.
C. I
Câu 20. Biết rằng hàm số y = f ( x ) liên tục trên
A. I = 13 .
Câu 21. Cho hàm
số
B. I = 12 .
f ( x)
liên
tục
12 .
thỏa f ( 2 ) = 16;
2
1
0
0
f ( x ) dx = 4. Tính I = xf ( 2 x ) dx
C. I = 20 .
trên đoạn 0;1
D. I = 7 .
thỏa mãn
điều
kiện
1
f ( x ) + 2 f (1 − x ) = 3 x 2 − 6 x, x 0;1 . Tính I = f (1 − x 2 ) dx
0
A. I =
4
.
15
B. I = 1 .
C. I = −
2
.
15
D. I =
2
.
15
x +1
Câu 22. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục với mọi x 1 thỏa mãn f
= x + 3, x 1 . Tính
x −1
e +1
I=
f ( x ) dx .
2
A. I = 4e − 1 .
Câu 23. Cho hàm số y = f ( x )
I=
2
f ( x)
1
2
A. I =
x
C. I = 4e − 2 .
D. I = e + 3 .
1
liên tục với mọi x 0 thỏa mãn f ( x ) + 2 f = 3x, x 0 . Tính
x
B. I = e + 2 .
dx .
3
.
2
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
B. I =
9
.
2
C. I =
1
.
2
D. I =
4
.
3
Trang 3 Mã đề TPHA
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể các tác giả!
1
a 2 ln 2 − bc ln 3 + c
,với a, b, c . Tính T = a + b + c .
x
ln(
x
+
2)
+
dx
=
0
x + 2
4
1
Câu 1.
Cho
D. T = 11 .
C. T = 17 .
B. T = 15 .
A. T = 13 .
Lời giải
Chọn A
Phân tích:
Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành 2 tích
phân dạng thường gặp. Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân từng
phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản.
1
x
Ta có: I = x ln( x + 2) +
dx = x ln( x + 2)dx +
dx = I1 + I 2
x + 2
x+2
0
0
0
1
1
1
1
*Tính I1 = x ln( x + 2)dx
0
dx
du =
u = ln( x + 2)
x+2
Đặt
2
dv = xdx
v= x
2
Khi đó :
1
1 1 1 x2
x2
1
1 x2 − 4 + 4
I1 = ln( x + 2) −
dx = ln 3 −
dx
0 2 0 x+2
2
2
2 0 x+2
1
1
1
1
4
1
1 x2
= ln 3 − ( x − 2 +
)dx = ln 3 − ( − 2 x + 4 ln x + 2 )
0
2
20
x+2
2
2 2
1
1 1
3
3
= ln 3 − ( − 2 + 4 ln 3) + 2 ln 2 = − ln 3 + 2 ln 2 +
2
2 2
2
4
1
*Tính I 2 =
0
x
dx
x+2
1
1
1
x
x+2−2
2
I2 =
dx =
dx = (1 −
)dx = ( x − 2 ln x + 2 )
0
x+2
x+2
x+2
0
0
0
1
= 1 − 2 ln 3 + 2 ln 2
7
7 42 ln 2 − 2.7 ln 3 + 7
I = I1 + I 2 = 4ln 2 − ln 3 + =
2
4
4
Ta có a = 4, b = 2, c = 7 . Vậy T = a + b + c = 4 + 2 + 7 = 13 .
1
abc ln 2 − b ln 5 − c
Cho I = x ln ( x + 1) − 2 dx =
, với a, b, c
x +1
4
0
3
Câu 2.
A. T = 13 .
B. T = 15 .
C. T = 10 .
. Tính T = a + b + c .
D. T = 11 .
Lời giải
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
Trang 4 Mã đề TPHA
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chọn C
3
3
x
dx = I1 − I 2 .
x +1
Ta có I = x ln ( x + 1) dx −
0
2
0
3
* Tính I1 = x ln ( x + 1) dx .
0
dx
du =
u = ln ( x + 1)
x +1
Đặt
.
2
dv = xdx
v = x
2
3
x2
1 x2
9
1
1
dx = ln 4 − x − 1 +
Khi đó : I1 = ln ( x + 1) −
dx
2
2 0 x +1
2
2 0
x +1
0
3
3
3
9
19
3
9
1 x2
= ln 4 − − x + ln x + 1 = ln 4 − − 3 + ln 4 = 4 ln 4 − .
2
2 2
22
4
0 2
3
* Tính I 2 =
0
x
dx .
x +1
2
Đặt u = x 2 + 1 du = 2 xdx
Đổi cận: x = 0 u = 1; x = 3 u = 10
10
Khi đó : I 2 =
1 1
1
du = ln u
21u
2
3
3
Suy ra I = x ln ( x + 1) dx −
0
0
10
1
1
= ln10 .
2
3 1
5.2.3ln 2 − 2ln 5 − 3
x
dx = I1 − I 2 = 4ln 4 − − ln10 =
4 2
4
x +1
2
Ta có a = 5, b = 2, c = 3 . Vậy T = a + b + c = 10 .
1
ab ln 2 + bc ln 3 − c
Cho I = x ln ( x + 2 ) − 2 dx =
, với a, b, c . Tính T = abc .
x
+
1
4
0
1
Câu 3.
A. T = −18 .
C. T = 18 .
B. T = 16 .
D. T = −16 .
Lời giải
Chọn A
1
x
- Ta có I = x ln ( x + 2 ) − 2 dx = x ln ( x + 2 ) − 2 dx
x + 1
x + 1
0
0
1
1
1
1
= x ln ( x + 2 )dx −
0
1
0
x
dx
x +1
2
1
- Đặt I1 = x ln ( x + 2 )dx và I 2 =
0
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
0
x
dx .
x +1
2
Trang 5 Mã đề TPHA
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
1
du =
dx
u = ln ( x + 2 )
x+2
+ Tính I1 = x ln ( x + 2 )dx . Ta đặt
, khi đó ta có:
2
dv = xdx
0
v= x
2
1
1
1
x2
1 x2
I1 = ln ( x + 2 ) −
dx
2
2 x+2
0
0
1
1
4
= ln 3 − x − 2 +
dx
2
2 0
x+2
1
1
1
1 x2
= ln 3 − − 2 x + 4 ln x + 2
2
2 2
0
1
1 1
= ln 3 − − 2 + 4 ln 3 − 4 ln 2
2
2 2
3
3
= 2ln 2 − ln 3 +
2
4
2
1
1
1 d ( x + 1) 1
1
x
+ Tính I 2 = 2 dx = 2
= ln x 2 + 1 = ln 2 .
0
2 x +1
2
2
x +1
0
0
1
3
3 1
- Khi đó I = I1 − I 2 = 2 ln 2 − ln 3 + − ln 2
2
4 2
3
3
3
= ln 2 − ln 3 +
2
2
4
=
=
Câu 4.
3.2.ln 2 − 3.2.ln 3 + 3
4
3.2.ln 2 + 2. ( −3) .ln 3 − ( −3)
4
.
a=3
Ta suy ra: b = 2 . Vậy T = a.b.c = 3.2. ( −3) = −18 .
c = −3
Cho f ( x ) là hàm liên tục và a 0 . Giả sử rằng với mọi x 0; a , ta có f ( x ) 0 và
a
f ( x ) f ( a − x ) = 1 . Tính I =
1
dx .
1+ f ( x)
0
A.
a
.
3
C. a ln (1 + a ) .
B. 2a .
D.
a
.
2
Lời giải
Chọn D
a
a
1
dx =
1+ f ( x)
0 1+
0
Ta có I =
1
1
f (a − x)
a
dx =
0
f (a − x)
dx .
f (a − x) +1
Đặt a − x = t thì dx = −dt . Với x = a t = 0 ; x = 0 t = a .
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
Trang 6 Mã đề TPHA
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
0
Ta được I = −
f (t )
f ( t ) + 1 dt = f ( x ) + 1 dx
0
a
a
a
f ( x)
a
1
a
dx +
dx = dx = x 0 = a . Vậy I = .
2
f ( x) +1
f ( x) +1
0
0
a
Do đó, ta có 2 I =
0
Câu 5.
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
f ( x)
a
Cho f ( x ) là hàm liên tục trên 0;1 . Giả sử rằng với mọi x 0;1 , ta có f ( x ) 0 và
f ( x ) . f (1 − x ) = 4 . Tính
1
dx
2 + f ( x) .
0
A. 1 .
B. 2 .
C.
1
.
2
D.
1
.
4
Lời giải
Chọn D
1
Ta có I =
0
1
f (1 − x )
dx
=
dx .
2 + f ( x ) 0 2 ( 2 + f (1 − x ) )
Đặt t = 1 − x dt = −dx , đổi cận : x = 0 t = 1 ; x = 1 t = 0 .
f (t )
0
I = −
1
f ( x)
1
dt =
2 ( 2 + f (t ))
0
2 ( 2 + f ( x ))
dx .
1
f ( x)
dx
1
1
+
dx = I = .
2 + f ( x ) 0 2 ( 2 + f ( x ))
2
4
0
1
2I =
Câu 6.
Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
và 3 f ( − x ) − 2 f ( x ) = tan x . Tính
2
4
f ( x )dx .
−
A. 1 −
2
.
B.
2
C. 1 +
−1.
4
4
D. 2 −
.
2
.
Lời giải
Chọn D
Theo đề bài, ta có 3 f ( − x ) − 2 f ( x ) = tan 2 x (1)
Thay x bởi − x ta được: 3 f ( x ) − 2 f ( − x ) = tan 2 ( − x ) = tan 2 x
Từ (1) và
( 2 ) suy ra: f ( x ) = tan 2 x .
I=
4
−
4
( 2)
4
1
2
=
2
1
+
tan
x
−
1
d
x
=
2
− 1dx
f ( x )dx = tan xdx = 2 tan xdx
(
)
2
cos x
0
0
0
−
4
4
4
2
2
4
= 2 ( tan x − x ) 4 = 2 − .
2
0
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
Trang 7 Mã đề TPHA
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
1
x
Câu 7. Biết
3
2
x
0
Tính tổng S
3
x
e.x .2
dx
e.2 x
m
n
1
m
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
1
.ln p
e ln n
e
. Với m, n, p là các số nguyên dương .
e
p
A. 7.
B. 6.
C. 8.
D. 5.
Lời giải
Chọn A
1
x3
Ta có:
2x
0
1
4
1
ln
e ln 2
Vậy
m
4
n
2
p
1
1
e.x3 .2 x
dx
e.2 x
e.2 x
m
1
4
1
0
n
x
2x
dx
e.2 x
3
0
1
.ln
e ln 2
2e
e
1
4
x4
4
1
1
e ln 2
0
1
.ln 1
e ln 2
1
e.2 x
d
e.2 x
0
e
e
.
7 .
p
1
Câu 8.
liên tục và có đạo hàm cấp hai trên 0;1 thỏa
Cho hàm số f x
x2. f
x dx
12 và
0
1
2f 1
f 1
2 . Tính
f x dx
0
B. 14 .
A. 10 .
C. 8 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn D
x2
u
Đặt
Đặt
dv
f
u
2x
dv
f
du
x dx
x dx
2 xdx
v
f
du
2dx
v
x
f x
. Khi đó I
f 1
2f 1
2
x
2 x. f
0
1
. Suy ra
x dx .
1
2 x. f
x dx
2 x. f x
0
1
2 f x dx
0
0
1
f x dx
0
Câu 9.
x .f
1
1
0
1
Do đó 12
2
f x dx
5
0
3
3
Cho hàm số 𝑓(𝑥) thỏa mãn ∫0 𝑥𝑓 ′ (𝑥)𝑒 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 8 và 𝑓(3) = ln 3. Tính ∫0 𝑒 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
A. 1.
C. 8 − ln3.
B. 11.
D. 8 + ln3.
Lời giải
Chọn A
Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần.
𝑢=𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
Từ giả thiết đề cho, Đặt {𝑑𝑣 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑒 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 => {
𝑣 = 𝑒 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
Khi đó:
3
𝐼=
𝑥𝑒 𝑓(𝑥) |30
−∫ 𝑒
3
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 => 8 = 3𝑒
0
Suy ra
3
∫0 𝑒 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑓(3)
− ∫ 𝑒 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
0
=9−8=1
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
Trang 8 Mã đề TPHA
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
Câu 10. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
và thỏa mãn
f ( − x ) + 2018 f ( x ) = x sin x. Tính
I=
2
f ( x )dx
−
2
A.
2
.
2019
B.
1
.
2019
C.
1
.
1009
D.
1
.
2018
Lời giải
Chọn A
Đặt t = − x dt = −dx x =
x=
−
2
−
2
I = − f ( −t ) dt =
2
Suy ra 2019.I =
I =
−
t = ;
2
2
2
t =
−
2
2
f ( − x )dx
2
2
2
−
2
−
2
−
2
f ( − x ) dx + 2018. f ( x ) dx = x sin xdx = 2
2
2019
Câu 11. Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( 0; + ) \ e thỏa mãn f ( x ) =
1
,
x ( ln x − 1)
1
1
f 2 = ln 6 và f e2 = 3 . Giá trị của biểu thức f + f ( e3 ) bằng
e
e
( )
A. 3 ( ln 2 + 1) .
C. 3ln 2 + 1 .
B. 2 ln 2 .
D. ln 2 + 3 .
Lời giải
Chọn A
Ta có: f ( x ) = f ( x ) dx =
d ( ln x − 1)
1
dx =
= ln ln x − 1 + C với x ( 0; + ) \ e .
x ( ln x − 1)
ln x − 1
• Trường hợp 1: ln x −1 0 ln x 1 x e
f ( x ) = ln ( ln x − 1) + C1 , f ( e2 ) = 3 C1 = 3 f ( x ) = ln ( ln x − 1) + 3 .
f ( e3 ) = ln ( ln e3 − 1) + 3 = 3 + ln 2 .
• Trường hợp 2: ln x − 1 0 ln x 1 0 x e
1
f ( x ) = ln (1 − ln x ) + C2 , f 2 = ln 6 ln 3 + C2 = ln 6 C2 = ln 6 − ln 3 = ln 2 .
e
f ( x ) = ln (1 − ln x ) + ln 2
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
Trang 9 Mã đề TPHA
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
1
1
f = ln 1 − ln + ln 2 = 2 ln 2 .
e
e
1
Vậy f + f ( e 2 ) = 2 ln 2 + 3 + ln 2 = 3 ( ln 2 + 1) .
e
Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đạo hàm là hàm số với đồ thị như hình vẽ bên.
Biết rằng đồ thị hàm số y = f ( x ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Khi đó đồ
thị hàm số cắt trục tung tại điểm tại điểm có tung độ là
A. −4 .
B. 1 .
C. 2 .
Lời giải
D. 4 .
Chọn A
Ta có f ( x ) = ax ( x + 2 ) mà
f ( −1) = −3 a = 3 f ( x ) = 3x 2 + 6 x f ( x ) = f ( x ) dx = x3 + 3x 2 + C .
f ( x0 ) = 0
x = −2
0
f ( x ) = x3 + 3x 2 − 4 .
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0 0 ) suy ra
C
=
−
4
f
x
=
0
( 0 )
Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là −4 .
Câu 13 Cho y = f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên
1
M − ; 4 và
2
1
2
. Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) đi qua điểm
0
f ( t ) dt = 3 . Tính sin 2 x. f ( sin x )dx
0
A. I = 10 .
−
6
B. I = −2 .
C. I = 1 .
D. I = −1 .
Lời giải
Chọn B
1
t = − ;x = 0t = 0
6
2
Đặt sin x = t ; đổi cận x = −
0
I=
−
sin 2 x. f ( sin x )dx =
6
0
2t. f (t )dt .
−
1
2
0
2t = u
2dt = du
I = ( 2t. f ( t ) ) |0 1 − 2 f ( t ) dt
Đặt
−
f ( t ) dt = dv
f ( t ) = v
1
2
−
2
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
Trang 10 Mã đề TPHA
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
y = f ( x ) là hàm số chẵn:
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
1
2
0
2 f ( t ) dt = 2 f ( t ) dt = 2.3 = 6
−
1
2
0
1
1
Đồ thị hàm số y = f ( x ) đi qua điểm M − ; 4 : f − = 4
2
2
1
2
−1 −1
I = ( 2t. f ( t ) ) |0 1 − 2 f ( t ) dt = ( 2t. f ( t ) ) |0 1 −3 = 2.0. f ( 0 ) − 2. . f − 6 = 4 − 6 = −2
−
−
2 2
2
2
0
2
f ( x ) .ln f ( x ) dx = 1 và f (1) = 1, f ( 2 ) 1 . Giá trị của f ( 2 )
Câu 14. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
1
bằng
A. f ( 2 ) = 2 .
D. f ( 2 ) = e 2 .
C. f ( 2 ) = e .
B. f ( 2 ) = 3 .
Lời giải
Chọn C
f ( x)
u = ln f ( x )
dx
du =
f ( x) .
Đặt
dv = f ( x ) dx
v = f x
( )
2
Khi đó,
2
f ( x ) .ln f ( x ) dx = f ( x ) .ln f ( x ) − f ( x ) dx
1
2
1
1
1 = f ( 2 ) .ln f ( 2 ) − f (1) .ln f (1) − f ( 2 ) − f (1)
f (1) =1
f ( 2 ) .ln f ( 2 ) = f ( 2 )
f ( 2 ) 1
ln f ( 2 ) = 1 f ( 2 ) = e .
Câu 15. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
A. I
f ( x ) dx = 3 và f ( 2 ) = 2 . Tính f ( x )dx
B. I
2.
2
4
0
0
C. I
3.
5.
D. I
1.
Lời giải
Chọn A
f ( x )dx .
4
Xét tích phân
0
Đặt x = t x = t 2 dx = 2tdt .
Đổi cận: Khi x = 4 t = 2 ; Khi x = 0 thì t = 0 .
4
( x )dx = 2tf (t )dt .
0
0
Khi đó I = f
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
2
Trang 11 Mã đề TPHA
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
u = 2t
du = 2dt
Đặt
. Ta có I = f
f ( t ) dt=dv f ( t ) = v
0
4
( )
2
2
x dx = 2tf ( t ) dt = 2tf ( t ) 0 − 2 f ( t ) dt
2
0
0
2
4f 2
2
f x dx
4.2 2.3
2.
0
Câu 16. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
và thỏa f ( 4 − x ) = f ( x ) . Biết
3
xf ( x )dx = 5 .
1
3
Tính
f ( x )dx .
1
A.
5
.
2
B.
7
.
2
C.
9
.
2
D.
11
.
2
Lời giải
Chọn A
3
3
1
1
Ta có 5 = xf ( x )dx = xf ( 4 − x )dx.
x
Đặt t
Do đó
4
4 t
dx
x
dt
x
1; t
3
x
3; t
1
.
3
1
3
3
3
1
3
1
1
1
xf ( 4 − x )dx = − ( 4 − t ) f ( t )dx = ( 4 − t ) f ( t )dx = 4 f (t )dt − tf (t )dt
3
3
3
5
Suy ra 5 = 4 f ( t )dt − 5 4 f ( t )dt = 10 f ( t )dt = hay
2
1
1
1
3
5
f ( x )dx = 2 .
1
Câu 17. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên 0;1 và thỏa mãn
1
x f ( x ) − 2 dx = f (1) . Giá
0
1
trị của I = f ( x ) dx bằng
0
C. −1 .
B. 2 .
A. 1 .
D. −2 .
Lời giải
Chọn C
u = x
Đặt
ta có
dv = f ( x ) − 2 dx
du = dx
.
v = f ( x ) − 2 x
1
1
Khi đó f (1) = x f ( x ) − 2 dx = x f ( x ) − 2 x − f ( x ) − 2 x dx = f (1) − 2 − I + 1 .
0
1
0
0
Suy ra I = −1 .
1
Câu 18. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 0;1 thỏa mãn
x f
x
4 dx
f 1 . Giá trị
0
1
của I
f x dx bằng
0
A. 0.
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
B.
2.
C.
1.
D. 2.
Trang 12 Mã đề TPHA
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Lời giải
Chọn B
Đặt
u
x
dv
f
x
4 dx
du
dx
v
f x
4x
1
1
Khi đó f (1) = x f ( x ) − 4 dx = x f ( x ) − 4 x − f ( x ) − 4 x dx = f (1) − 4 − I + 2 .
0
1
0
Suy ra I
0
2.
1
Câu 19. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
1 f
x
thỏa
x dx
10 và 2 f 1
f 0
D. I
8.
2f 1
f 0
2 . Tính
0
1
f x dx .
I
0
8.
B. I
12 .
A. I
C. I
12 .
Lời giải
Chọn D
Đặt
u
1
x
dv
f
du
x dx
v
dx
f x
.
1
x
Khi đó
1 f
x dx
10
1 f x
x
1
1
f x dx
0
0
10
I
10 .
0
8.
Suy ra I
thỏa f ( 2 ) = 16;
Câu 20. Biết rằng hàm số y = f ( x ) liên tục trên
2
0
A. I = 13 .
1
f ( x ) dx = 4. Tính I = xf ( 2 x ) dx
0
C. I = 20 .
B. I = 12 .
D. I = 7 .
Lời giải
Chọn D
du = dx
u = x
Đặt
1
v = f ( 2x)
dv = f ( 2 x ) dx
2
1
Ta có: I = xf ( 2 x ) dx =
0
1
1
Đặt t = 2 x dt = 2dx A = f ( 2 x ) dx =
0
Vậy I = 8 −
Câu 21. Cho
1
1
1
1
1
xf ( 2 x ) − f ( 2 x ) dx = 8 − A với A = f ( 2 x ) dx .
2
20
2
0
0
2
2
1
1
f ( t ) dt = f ( x ) dx =2.
20
20
1
A = 7.
2
hàm
số
f ( x)
liên
tục
trên
đoạn
0;1
thỏa
mãn
điều
kiện
1
f ( x ) + 2 f (1 − x ) = 3 x 2 − 6 x, x 0;1 . Tính I = f (1 − x 2 ) dx
0
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
Trang 13 Mã đề TPHA
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
4
A. I =
.
15
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
2
C. I = − .
15
B. I = 1 .
D. I =
2
.
15
Lời giải
Chọn C
Đặt t = 1 − x, x 0;1 t 0;1 .
Ta có f ( x ) + 2 f (1 − x ) = 3x 2 − 6 x f ( x ) + 2 f (1 − x ) = 3 (1 − x ) − 3
2
f (1 − t ) + 2 f ( t ) = 3t 2 − 3 2 f ( x ) + f (1 − x ) = 3 x 2 − 3
Ta có hệ phương trình
f ( x ) + 2 f (1 − x ) = 3 x 2 − 6 x
f ( x ) + 2 f (1 − x ) = 3 x 2 − 6 x
2
2
2 f ( x ) + f (1 − x ) = 3 x − 3
4 f ( x ) + 2 f (1 − x ) = 6 x − 6
3 f ( x ) = 3x 2 + 6 x − 6 f ( x ) = x 2 + 2 x − 2
(
) (
Khi đó f 1 − x 2 = 1 − x 2
)
2
1
1
0
0
+ 2 (1 − x 2 ) − 2 = x 4 − 4 x 2 + 1
Suy ra I = f (1 − x 2 ) dx = ( x 4 − 4 x 2 + 1) dx = −
2
.
15
x +1
Câu 22. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục với mọi x 1 thỏa mãn f
= x + 3, x 1 . Tính
x −1
e +1
I=
f ( x ) dx .
2
A. I = 4e − 1 .
C. I = 4e − 2 .
B. I = e + 2 .
D. I = e + 3 .
Lời giải
Chọn C
Đặt t =
x +1
t +1
2
t +1
2
xt − t = x + 1 x =
+3= 4+
, suy ra f ( t ) =
hay f ( x ) = 4 +
x −1
t −1
x −1
t −1
t −1
e +1
Ta có I =
2
4 + x − 1 dx = ( 4 x + 2 ln x − 1 )
e +1
2
= 4e − 2 .
2
1
Câu 23. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục với mọi x 0 thỏa mãn f ( x ) + 2 f = 3x, x 0 . Tính
x
I=
2
f ( x)
1
2
A. I =
x
dx .
3
.
2
B. I =
9
.
2
C. I =
1
.
2
D. I =
4
.
3
Lời giải
Chọn A
1
f ( x ) + 2 f = 3x, x 0 (1) .
x
3
1
Nên f + 2 f ( x ) = , x 0 ( 2 ) .
x
x
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
Trang 14 Mã đề TPHA
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).
Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
1 3
=
x x
(1) , ( 2 ) 3 f ( x ) + f
1
1
f ( x ) + f = x + ( 3) .
x
x
( 2 ) , ( 3) f ( x ) = − x +
I=
2
1
2
f ( x)
x
2
.
x
2
2
2
2
3
dx = −1 + 2 dx = − x − 1 =
x
2
x
1
2
2
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
Trang 15 Mã đề TPHA
