BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM SỐ CÓ DÂU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.09 MB, 16 trang )
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Nguyên hàm – Tích phân
TÍCH PHÂN CH A D U GIÁ TR TUY T
I
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Tích phân ch a d u giá tr tuy t đ i thu c khóa h c Luy n
thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c
ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
2
1) I1
x
2
xdx
(D – 2003)
2) I 2
0
e
1
e
x 1 x dx
3) I 3
x 2 x 2 dx
2
3
1
1
x dx
5) I 5 4
x x2 12
1
ln x
dx
x
4) I 4
5
1
6) I 6
2 x dx
1
Gi i
2
1) I1
x
xdx (D – 2003)
2
0
Ta xét d u f ( x) x2 x trên 0; 2 :
Cách 1:
(
xét d u c a f ( x) tr
2
1
I1 x xdx
2
0
0
ng trình f ( x) 0 ra nháp đ
c đó ta tìm nghi m ph
c x 0 và x 1 )
1
2
x3 x2 x3 x2
x xdx x xdx x xdx x xdx 1
3 2 0 3 2 1
1
0
1
2
2
1
2
2
2
2
V y I1 1
Cách 2: Xét ph
2
I1
0
x 0
ng trình x2 x 0
. Khi đó ta có:
x 1
1
2
x3 x2
x3 x2
1 5
x xdx ( x x)dx ( x x)dx 1
6 6
3 2 0 3 2 1
0
1
1
2
2
2
2
V y I1 1
1
2) I 2
x 1 x dx
2
Cách 1:
Ta s l p b ng xét d u đ b tr tuy t đ i:
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
1
0
1
2
1
0
Nguyên hàm – Tích phân
x 1 x dx x 1 x dx x 1 x dx
I2
1
0
1
dx 2 x 1dx dx x 2 ( x2 x)
2
1
1
0
x0 0
1
1
0
V y I2 0
Ta có I 2
Cách 2:
1
1
1
1
1
0
1
2
2
2
2
1
2
0
x 1 x dx x 1dx xdx x 1dx x 1dx xdx xdx
1
1
1
0
( x 1)dx ( x 1)dx xdx xdx
0
2
1
2
1
1
0
x2
x2
x2
x x
2
2 2
1 2
1
1
1
x2
22 0
2 0 2
2
2
V y I2 0
5
3) I 3
x 2 x 2 dx
3
Cách 1: Ta có b ng b tr tuy t đ i:
( Ngh a là : v i x[ 3; 2] thì x 2 x 2 4 ; v i x[ 2; 2] thì x 2 x 2 2 x …)
2
2
5
3
2
2
I3
x 2 x 2 dx x 2 x 2 dx x 2 x 2 dx
2
2
5
2
4 dx 2 xdx 4 dx 4 x 3 x2
3
2
2
2
4x 2 8
5
2
Cách 2:
5
I3
x 2 x 2 dx
3
5
3
5
2
3
3
x 2 dx x 2 dx
5
5
2
x 2 dx x 2 dx x 2 dx x 2 dx
2
2
3
2
5
5
2
( x 2)dx ( x 2)dx ( x 2)dx ( x 2)dx
3
2
2
3
2
5
2
5
x2
x2
x2
x2
1 49 25 9
2x 2x 2x 2x 8
2 2
2
3 2
2 2
3 2
2 2 2
V y I3 8
e
4) I 4
1
e
1
e
1
e
1
e
ln x
ln x
ln x
ln x
ln x
dx
dx
dx
dx
dx ln xd ln x ln xd ln x
x
x
x
x
1
1 x
1
1
1
1
e
Hocmai.vn – Ngôi tr
e
ng chung c a h c trò Vi t
e
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
1
Nguyên hàm – Tích phân
e
ln 2 x
ln 2 x
1 . V y I4 1
2 1
2 1
e
1
5) I 5
x
4
1
x dx
x2 12
1
0
1
0
1
x dx
x dx
x dx
xdx
xdx
4
2
4
2
4
2
4
2
4
x x 12 1 x x 12 0 x x 12
x x 12 0 x x2 12
1
1
Ta có: I 5
t t x2 dt 2 xdx ;
i c n x : 1 0 thì t :1 0 và x : 0 1 thì t : 0 1
2 3
ln
7 4
V y I5 =
1
6) I 6
2 x dx
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
Ta có: I 6 2 x dx 2 x dx 2 xdx 2 xdx (2 x) 2 d (2 x) (2 x) 2 d (2 x)
0
0
1
2
2
2 2 1
(2 x) 2 x (2 x) 2 x
3
3
3
1
0
2 2 1
3
Chú ý : Các b n ph i ch ng minh n u mu n s d ng hai tính ch t sau :
V y I6
+ ) N u hàm s
f ( x) ch n ( f ( x) f ( x) ) thì
f ( x)dx 2 f ( x)dx ( tách và đ t x t )
0
+ ) N u hàm s
f ( x) l ( f ( x) f ( x) ) thì
f ( x)dx 0
(
t x t )
1
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1) I1
3
4 x2 4 x 1dx
2) I 2
0
2
4) I 4 1 1 cos 2 x sin 2 xdx
sin x dx
x3 2 x2 xdx
0
3) I 3
2
5) I 5
1 sin xdx
0
0
2
6) I 6
3
2
tan 2 x cot 2 x 2dx
7) I 7
2
2 x x 1 dx
8) I8
e x e x 2dx
1
2
6
e2
1 1 2ln x ln 2 x
dx
9) I 9
x
1
10) I10 2 x2 (1 cos 2 x)dx
0
Gi i
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Nguyên hàm – Tích phân
1
1) I1
4 x2 4 x 1dx
0
1
3
24 3 8
2
2
24 3 8
2
2
x x x2 x x2 x x x
. V y I2
15
15
5
3
3
0 5
1
4) I 4 1 1 cos 2 x sin 2 xdx
0
1
1
1
+) Tính A sin xdx (1 cos 2 x)dx x sin 2 x
20
2
2
0 2
0
2
2
0
(1)
2
0
+) Tính B cos x sin 2 xdx cos x sin 2 xdx cos x sin 2 xdx sin 2 xd sin x sin 2 xd sin x
0
2
2
sin 3 x 2 sin 3 x
2
(2)
3 0
3 3
2
+) Thay (1) và (2) vào (*) ta đ
Hocmai.vn – Ngôi tr
c: I 4
2
2
3
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Nguyên hàm – Tích phân
2
5) I 5
1 sin xdx
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ta có: 1 sin x sin cos 2 2sin cos sin cos sin cos 2 sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2 4
2
2
x
x 5
V i x 0; 2 0; ; . D a vào đ
2
2 4 4 4
ng tròn đ n v :
*) V i
x
x
x
3
; thì sin 0 hay sin 0 khi x 0;
2 4 4
2 4
2 4
2
*) V i
x 5
x
x
3
; thì sin 0 hay sin 0 khi x ; 2
2 4 4
2 4
2 4
2
6) I 6
3
tan 2 x cot 2 x 2dx
6
Ta có:
Vì
6
tan 2 x cot 2 x 2 (tan x cot x)2 tan x cot x
x
3
3
Hocmai.vn – Ngôi tr
2x
2
. D a vào đ
3
ng chung c a h c trò Vi t
sin 2 x cos 2 x
cos 2 x
2
sin x cos x
sin 2 x
ng tròn đ n v ta có: (hình v
trang ti p theo)
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
sin 2 x 0
*) 2 x ; thì
hay
3 2
cos 2 x 0
sin 2 x 0
2
*) 2 x ; thì
hay
2 3
cos 2 x 0
V y I 6 2 ln
cos 2 x
0 khi x ;
sin 2 x
6 4
cos 2 x
0 khi x ;
sin 2 x
4 3
2
3
1
2
7) I 7
Nguyên hàm – Tích phân
2
1
2
2
1
1
1
2 x x 1 dx 2 x x 1 dx 2 x x 1 dx 3x 1 dx x 1 dx
2
2
1
1
2
3
1
1
(3x 1)dx ( x 1)dx ( x 1)dx x2 x x2 x x2 x 6
2
2 2
1 2
1
2
1
1
1
2
V y I7 6
2
8) I8 e e 2dx
x
x
1
2
2
x
x
2x 2x
2
2
e
e
dx
e
e
dx .
1
2
1
x
x
x
2x
2
2
2
e
e
e
e
0 , x 1;0
Cách 1: Do x
x
x
x
e 2 e 2 e 2 e 2 0 , x 0;1
0
2
2
x x
x x
x x
x x
1
1
Nên I8 e 2 e 2 dx e 2 e 2 dx 2 e 2 e 2 2 e 2 e 2 2 e e
4
e
e
1
0
0
1
0
Cách 2:
+) Xét ph
x
ng trình e 2 e
x
2
0 x 0 1; 2
0
2
1
2x 2x
2x 2x
2x 2x
2x 2x
+) Khi đó I8 e e dx e e dx 2 e e 2 e e
1
0
0
1
0
1
1
2 e e
4
e
e
1
1
V y I8 2 e e
4
e
e
e2
2
e
1 1 ln x
1 1 2ln x ln 2 x
dx
dx
9) I 9
x
x
1
1
+) Ta có 1 ln x 0 x e nên d u c a 1 ln x trên đo n 1;e2 đ
e
e2
e
c xác đ nh nh sau:
e2
1 (1 ln x)
1 (1 ln x)
ln x
2 ln x
dx
dx
dx
dx
+) Do đó I 9
x
x
x
x
1
1
e
e
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
e2
e
e2
e
Nguyên hàm – Tích phân
ln 2 x
(2 ln x) 2
ln xd ln x (2 ln x)d (2 ln x)
2 1
2
1
e
1
e
+) V y I 9 1
10) I10 2 x2 (1 cos 2 x)dx
0
0
0
+) Ta có I10 2 x2 (1 cos 2 x)dx
+)
2
2
2
4 x cos xdx 2 x cos xdx 2 x cos xdx x cos xdx
0
0
2
u x
du dx
t
dv cos xdx v sin x
2
Khi đó I10 2 x sin x 02 sin xdx x sin x sin xdx
2
0
2
2 cos x 02 cos x 2
2
2
2
Bài 3. Tính các tích phân sau:
3
1) I1
ln 3
2) I 2 1 sin 2 xdx
x 2 dx
3
3) I 3
e2 x e x1 dx
0
0
Gi i
2
3
1) I1
x 2 dx
3
3
2
3
2
3
2
x 2 dx x 2 dx ( x 2)dx ( x 2)dx
3
2
3
x2
x2
2 x 2 x 13 . V y I1 13
2
3 2
2
0
0
2
0
2
0
2) I 2 1 sin 2 xdx cos xdx cos xdx cos xdx cos xdx cos xdx sin x 02 sin x 2
2
ln 3
3) I 3
e2 x e x1 dx
+) Xét ph
2
2
ng trình e2 x e x1 0 x 1
0
1
+) Khi đó I 3 e2 x e x1 dx
ln 3
0
1
1
e2 x e x1 dx e2 x e x1 dx
1
0
ln 3
e
2x
e x1 dx
1
ln 3
1
1
e2 x e x1 e2 x e x1 e2 4e 5 . V y I3 e2 4e 5
2
0 2
1
Bài 4. Tính các tích phân sau:
4
1) I1
2
x2 4 x 3 dx
2
2
3) I 3
1
Hocmai.vn – Ngôi tr
2) I 2
x 1 x x 2 dx
1
4 x 4 x 1 ln x
dx
x2
2
ng chung c a h c trò Vi t
3
4) I 4
0
x2 3x 2
x 1
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
dx
- Trang | 7 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
2
3
5) I 5 2 x 4 dx
6) I 6
0
1
8) I8
dx
x
1
1 cos 2 xdx
0
2 2 x
9
7) I 7
Nguyên hàm – Tích phân
ln
2
1 e x 1 dx
2
3
2
10) I10 min x4 x; x 1dx
9) I 9 x ln 1 x dx
2
1
0
Gi i
4
1) I1
x
2
4 x 3 dx
2
Cách trình bày 1:
x 1
+) L p b ng xét d u x2 4 x 3 trên 2; 4 v i chú ý x2 4 x 3 0
. Nên ta có:
x 3
4
+) Khi đó I1
2
1
3
4
2
1
3
x2 4 x 3 dx ( x2 4 x 3)dx ( x2 4 x 3)dx ( x2 4 x 3)dx
1
3
4
x3
x3
x3
4 4 62
2 x2 3x 2 x2 3x 2 x2 3x 18
3 3 3
3
2 3
1 3
3
62
3
Cách trình bày 2:
+) V y I1
+) Xét ph
x 1
ng trình x2 4 x 3 0
v i 2 1 3 4 nên ta có:
x 3
1
+) I1
(x
2
2
3
4
4 x 3)dx ( x 4 x 3)dx ( x2 4 x 3)dx
2
1
1
3
3
4
x3
x3
x3
4 4 62
2 x2 3x 2 x2 3x 2 x2 3x 18
3 3
3
3
2 3
1 3
3
+) V y I1
62
3
2
2) I 2
x 1 x x 2 dx
1
+) Ta có b ng phá tr tuy t đ i:
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 8 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
1
Nguyên hàm – Tích phân
2
x2
x2
3
7
( x 1)dx ( x 3)dx x 3x 2
2
2
2
1 2
1
1
1
1
+) V y I 2
2
7
2
2
2
2
2 x 1 ln x
2x 1
4 x2 4 x 1 ln x
ln x
dx
dx
dx
dx A B (*)
2
2
2
2
x
x
x
x
1
1
1
2
3) I 3
1
+) Do 2 x 1 0 v i x 1; 2 nên :
2
A
1
2x 1
x2
2
2x 1
1
1
2 1
dx 2 dx 2 dx 2ln x 2ln 2
x
x x
x1
2
1
1
2
2
(1)
2
ln x
dx
x2
1
+) Tính B
dx
du
u ln x
2
2
2
ln x
1
1
1 1
dx
x
2 ln 2
ln 2 (2)
t
, khi đó B
dx
2
x 1 1x
x1 2 2
dv x2
v 1
x
5
+) Thay (1) và (2) vào (*) ta đ c: I 3 1 ln 2
2
3
4) I 4
0
x2 3x 2
x 1
dx
+) L p b ng xét d u
1
+) Khi đó I 4
0
x2 3x 2
x 1
x 1
trên 0;3 v i chú ý x2 3x 2 0
và x 1 0 . Nên ta có:
x 2
x2 3x 2
x2 3x 2
x2 3x 2
dx
dx
dx
1
1
x 1
x
x
1
2
2
3
6
6
6
x 4
dx x 4
dx x 4
dx
x 1
x 1
x 1
0
1
2
1
2
1
3
2
3
x2
x2
x2
4 x 6ln x 1 4 x 6ln x 1 4 x 6ln x 1
2
0 2
1 2
2
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 9 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
24ln 2 12ln 3
Nguyên hàm – Tích phân
5
2
+) V y I 4 24ln 2 12ln 3
3
5) I 5 2 x 4 dx
5
2
ng trình 2x 4 0 x 2 (0;3) . Do đó :
+) Ta xét ph
0
2
3
2x
2x
I 5 (2 4)dx (2 4)dx
4x
4x
ln 2
0 ln 2
2
0
2
2
3
x
x
3
4
3
4
1
8
4 8
4 4
ln 2
ln 2
ln 2 ln 2
ln 2
1
+) V y I 5 4
ln 2
Nh n xét:
bài toán này ta ch n theo cách 2 – là cách không quan tâm t i d u trong giá tr tuy t đ i. Song bài
c d u c a 2x 4 trên 0;3 nên các b n có th gi i theo Cách 1.
toán này ta c ng d dàng xác đ nh đ
2
6) I 6
2
1 cos 2 xdx
0
2
2sin xdx 2 sin xdx
2
0
+) Xét ph
0
ng trình sin x 0 x 0;2 . Nên ta có:
2
2
0
0
2
0
I 6 2 sin xdx 2 sin xdx 2 sin xdx 2 sin xdx 2 cos x 2 cos x
4 2
+) V y I 6 4 2
9
7) I 7
2 2 x
dx
x
1
ng trình 2 x 0 x 4 1;9 . V i x 2 1;4 2 x 2 2 0
+) Xét ph
Suy ra 2 x 0 v i x 1; 4 và 2 x 0 v i x 4;9
2 (2 x )
22 x
dx
4 1
dx
dx
dx
x
x
x 4 x
x
1
4
1
9
4
3
3
2 x 4ln x 2 x 6ln . V y I 7 6 ln
1
4
2
2
4
9
+) Khi đó : I 7
4
9
1
8) I8
ln
1 e x 1 dx
2
3
1
2
+) Ta có e x 1 0 x 0 ln ;1 . V i x 0;1 e x 1 e 1 0
2
3
2
do đó e x 1 0 , x 0;1 và e x 1 0 , x ln ;0
3
0
+) Suy ra I8
ln
2
3
Hocmai.vn – Ngôi tr
1
1 (e x 1)dx 1 (e x 1)dx
0
ng chung c a h c trò Vi t
0
ln
2
3
1
2 e x dx e x dx A B
0
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 10 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
x
x
2tdt e dx e dx 2tdt
t t 2 ex t 2 2 ex x
2
e 2 t
0
*) Tính A
ln
2 e x dx ;
2
3
i c n và x 0 t 1 và x ln
Khi đó A
2
2
t
3
3
2
3
2
3
2
3
2e x
2
t
t
.e dx 2
.tdt 2 2
dt 2 1 2
dt
x
2
2
2
2
e
t
t
t
1
1
1
0
x
ln
2
3
2
2
3
2
1 1
1
1
4
t 2 3
ln
2 1
2 2 ln
2
dt 2 t
2 t 2 t 2
2 t 2
3
1
1
1
*) Tính B
0
6 3 2 2
1
1 x
e 1
e dx e dx e 2
2 0
2
0
1
x
x
2
e 3 4
2 2 ln
2
3
V y I8
Nguyên hàm – Tích phân
2
6 3 2 2
0
2
9) I 9 x ln 1 x dx x ln 1 x dx x2 ln 1 x dx A B (*)
2
2
1
1
0
dx
du
u ln(1 x)
1 x
t
2
3
dv x dx
v x
3
0
+) Tính A x2 ln 1 x dx
1
0
1 x3
ln 2 1 2
1
x3 ln(1 x)
Suy ra A
x x 1
dx
dx
3
3 1 x 1
3 3 1
x 1
1
0
0
0
ln 2 1 x3 x2
5 2ln 2
x ln x 1
3 3 3 2
18
3
1
dx
du
u ln(1 x)
1 x
t
2
3
dv x dx
v x
3
2
+) Tính B x2 ln 1 x dx
0
2
(1)
1 x3
8ln 3 1 2
1
x3 ln(1 x)
Suy ra B
dx
x x 1
dx
3
3 0 x 1
3
3 0
x 1
0
2
2
2
8ln 3 1 x3 x2
8
x ln x 1 3ln 3 (2)
3
3 3 2
9
0
Thay (1) và (2) vào (*) ta đ
7 2
c: I9 ln 2 3ln 3
6 3
2
10) I10 min x4 x; x 1dx
0
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 11 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Nguyên hàm – Tích phân
x 1 0; 2
+) Xét hi u h( x) x4 x x 1 x4 1 0
nên ta có b ng d u cho h( x) :
x 1 0; 2
1
2
x5 x2 x2
9
9
+) Khi đó I10 ( x x)dx ( x 1)dx x . V y I10
5
5
5 2 0 2
1
0
1
1
2
4
2
Bài 5. Tính tích phân I 1 3 sin 2 x 2 cos 2 xdx
0
Gi i
+) Ta có: 1 3 sin 2 x 2cos2 x sin 2 x 2 3 sin x cos x 3cos 2 x sin x 3 cos x
2
2
1
3
cos x 4sin 2 x
2 sin x
2
3
2
1 3 sin 2 x 2cos 2 x 2sin x
3
3
3
2
2
+) Khi đó I 2 sin x dx 2 sin x dx sin x dx 2 sin x dx 2 sin x dx
3
3
3
3
3
0
0
0
3
3
2
3
2
2 cos x 2 cos x 3 3
3 0
3
3
+) V y I 3 3
Bài 6. Tính các tích phân :
2
1) I1 max x3 ; 2 xdx
2
2) I 2 max sin x;cos x dx
0
0
9
3) I 3 min
3
4) I 4 min x ; x 2 dx
x;3x 10
2
3
Gi i
2
1) I1 max x3 ; 2 xdx
0
+) Xét h( x) x3 (2 x) x3 x 2 ( x 1)( x2 x 2) 0 x 1 .
Khi đó ta có b ng d u c a h( x)
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 12 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
1
Nguyên hàm – Tích phân
2
21
x2
x4
+) Suy ra : I1 (2 x)dx x dx 2 x
2 0 4 1 4
0
1
1
2
3
+) V y I1
21
4
Nh n xét:
Nh v y đ tính tích phân có d ng I max f ( x); g ( x) dx ho c I min f ( x); g ( x) dx ta s
th c hi n theo các b
c sau:
c 1: Xét d u h( x) f ( x) g ( x) trên ; . C th :
+) B
+ ) N u h( x) 0 v i x D1 ; suy ra max f ( x); g ( x) f ( x) và min f ( x); g ( x) g ( x)
+ ) N u h( x) 0 v i x D2 ; suy ra max f ( x); g ( x) g ( x) và min f ( x); g ( x) f ( x)
c 2: Sau khi suy ra max f ( x); g ( x) (ho c min f ( x); g ( x) ) t b
+) B
c 1, ngh a là xác đ nh
chính
xác đ
Chú ý:
Th
c bi u th c trong d u tính phân . Ph n ti p theo ta đi tính tích phân v a t o ra.
ng thì D1 D2 ; v i D1 ; x0 , D2 x0 ; và h( x0 ) 0 khi đó ta s tách thành
hai tích phân b ng vi c áp d ng tính ch t :
x0
x0
I max f ( x); g ( x) dx max f ( x); g ( x) dx max f ( x); g ( x) dx
x0
x0
ho c I min f ( x); g ( x) dx min f ( x); g ( x) dx min f ( x); g ( x) dx
2
2) I 2 max sin x;cos x dx
0
+) Xét hi u h( x) sin x cos x 0 2 sin x 0 x 0; .
4
4 2
Ta có b ng d u c a h( x) :
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 13 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
4
2
0
Nguyên hàm – Tích phân
+) Khi đó I 2 cos xdx sin xdx sin x 04 cos x 2 2
4
4
+) V y I 2 2
9
3) I 3 min
x;3x 10
3
10
x 3
10
x
x 4 x 4 3;9
+) Xét hi u h( x) x (3x 10) 0 x 3x 10
3
x (3x 10) 2
25
x
9
Ta có b ng d u c a h( x) :
4
9
3
4
4
+) Khi đó I 3 (3x 10)dx
3
9
3x2
2x x
79
xdx
10 x
3 4 6
2
3
4) I 4 min x ; x 2 dx
2
x 1 2;3
+) Xét hi u h( x) x x 2 0 x x 2 x2 x 2
x 2 2;3
Ta có b ng d u c a h( x) :
+) Khi đó I 4
1
2
+) V y I 4
2
3
1
1
2
2
x 2dx x dx x 2dx
2( x 2) x 2
3
1
2
2 0
x
2
1
2 2
x
2
0
0
2
3
1
0
2
x 2d ( x 2) xdx xdx x 2d ( x 2)
3
2( x 2) x 2
2 1
10 5 16 20 5 13
2
3
3
2
3
6
2
20 5 13
6
m
Bài 7. Cho tích phân I min
x; x dx v i m 1 . Tìm m đ I
0
31
6
Gi i
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 14 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Nguyên hàm – Tích phân
x 0 0; m
x 0
+) Xét hi u h( x) x x 0 x x
2
x 1 0; m
x x
Ta có b ng d u c a h( x) :
1
m
0
1
+) Suy ra I x dx
1
m
x2
2x x
1 2m m 2
xdx xdx x dx
2 0
3 1 2
3
0
1
1
m
1
2
31
1 2m m 2 31
m m 8 m 4
6
2
3
6
+) V y giá tr m c n tìm là m 4 .
+) Khi đó I
Giáo viên
Ngu n
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 15 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N
Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.
4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN
Ch
ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.
CÁC CH
NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N
Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.
Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .
Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.
-
