Tài liêu bội dưỡng thường xuyên môn Toán học năm 2018

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI
TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG THƯỜNG XUYÊN HÈ
MÔN TOÁN HỌC

THỰC TIỄN ĐỜI SỐNG
QUA CÁC BÀI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ

Người biên soạn: TS. Trịnh Đào Chiến

Gia Lai, tháng 7 năm 2018

1


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU................................................................................................................................3
NỘI DUNG............................................................................................................................6
Chủ đề 1. Nên mua máy bơm nào?...................................................................................6
Chủ đề 2. Chọn phương án đi taxi.....................................................................................6
Chủ đề 3. Phân tích bản thiết kế đường chạy điền kinh.....................................................7
Chủ đề 4. Ước lượng chiều cao........................................................................................10
Chủ đề 5. Cần dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt?............................................................12
Chủ đề 6. Đặt bến xe ở địa điểm nào?.............................................................................14
Chủ đề 7. Làm sao trồng được nhiều hoa nhất?...............................................................16
Chủ đề 8. Khoanh vùng đất như thế nào?.......................................................................19
Chủ đề 9. Bạn đã chọn số nào?.......................................................................................23
Chủ đề 10. Chơi như thế nào để thắng?..........................................................................23

2

MỞ ĐẦU
Bộ Giáo dục và Đào tạo đã công bố dự thảo các chương trình môn học, hoạt
động giáo dục trong chương trình giáo dục phổ thông mới, trong đó nội dung
chương trình môn Toán đã chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời
sống thực tế và các môn học khác.
Môn Toán được phân chia theo hai giai đoạn:
- Giai đoạn giáo dục cơ bản giúp học sinh nắm hệ thống các khái niệm,
nguyên lý, quy tắc toán học cần thiết nhất, làm nền tảng cho việc học tập ở
các trình độ tiếp theo hoặc có thể sử dụng trong cuộc sống hằng ngày.
- Giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp giúp học sinh có cái nhìn
tương đối tổng quát về Toán học, hiểu được vai trò và ứng dụng của Toán học
trong đời sống thực tế, những ngành nghề có liên quan đến toán học để học
sinh có cơ sở định hướng nghề nghiệp, có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu
những vấn đề có liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời.
Giáo viên cần giúp học sinh phát triển niềm tin về vị trí, vai trò tích cực của
Toán học đối với đời sống trong xã hội hiện đại, khuyến khích học sinh phát
triển hứng thú, sự sẵn sàng tự học hỏi, tìm tòi, khám phá để thành công trong
học môn Toán.
Điểm nổi bật nhất trong dự thảo chương trình của môn Toán đó là gắn môn
toán với thực tiễn, ứng dụng trong cuộc sống và thực hiện liên môn giữa toán
với các môn khoa học. Học sinh sau khi tốt nghiệp trung học phổ thông khi
đứng trước các vấn đề của cuộc sống sẽ biết cách xây dựng mô hình bài toán
cho thực tế đó.
Hứng thú học tập là một trong những yếu tố quyết định kết quả học tập của
học sinh. Học sinh có khả năng nhưng thiếu hứng thú học tập, chắc chắn kết
quả không thể như mong muốn; giáo viên giỏi chuyên môn nhưng không có
kỹ năng tạo hứng thú học tập cho học sinh cũng chưa thể thành công.
Các lí thuyết Toán học luôn xuất phát từ nhu cầu thực tiễn. Do vậy, chúng

sẽ phản ánh lại thực tiễn, giải thích và phục vụ thực tiễn. Nếu giáo viên chỉ ra
được điều này, học sinh sẽ thấy rất thú vị, hứng thú học Toán từ đó sẽ tăng
lên.
Với sự phân bố lượng kiến thức như hiện nay, trong giờ học Toán, nếu áp
dụng liên hệ thực tế quá nhiều sẽ ảnh hưởng đến phân phối chương trình, đến
kỹ năng rèn luyện năng lực tư duy giải Toán. Các hoạt động ngoại khóa có thể
giúp giải quyết điều này.
Một hình thức ngoại khóa khác là tổ chức thăm quan, giúp học sinh trực tiếp
thấy được mối liên hệ giữa thực tiễn và Toán học. Nhà trường cũng có thể ra
các tập san, báo Toán. Đây sẽ là tiếng nói chung của học sinh yêu Toán, giới
3


thiệu lịch sử Toán học, các ứng dụng của Toán học trong đời sống, kinh
nghiệm kỹ năng tính toán, các sai lầm thường gặp khi giải Toán …
Trong các đề kiểm tra, giáo viên nên đưa vào các bài tập gần gũi với đời
sống thực tế. Qua đó, sẽ đánh giá được sâu sắc hơn sự thông hiểu bài học của
học sinh; đồng thời góp phần rèn luyện ý thức toán học hóa các tình huống
trong thực tế và giáo dục văn hóa toán học cho học sinh…
Do đó, liên hệ với thực tiễn đời sống qua các bài toán Trung học cơ sở là
vấn đề cần thiết, có ý nghĩa khoa học.
Qua các tài liệu tham khảo như sách, các trang mạng internet, chúng tôi sưu
tầm và giới thiệu một số vấn đề trong thực tiễn, có thể chuyển chúng thành
các mô hình Toán học (Hình học, Đại số, Số học) mà trong phạm vi chương
trình môn Toán ở bậc Trung học cơ sở có thể giải quyết được.
Từ đó, tùy mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà giáo viên
có những hình thức tổ chức dạy học thích hợp, kết hợp các hoạt động dạy học
trong lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm nhằm vận dụng kiến thức
toán học vào thực tiễn. Chẳng hạn:
- Sử dụng các bài toán thực tiễn vào khâu đặt vấn đề và chuyển ý trong tiết dạy.

- Sử dụng các bài toán thực tiễn vào khâu củng cố kiến thức.
- Sử dụng bài toán thực tiễn trong các giờ luyện tập, ôn tập chương, ôn tập cuối
năm.
- Tăng cường các hoạt động thực hành, qua đó rèn luyện kỹ năng thực hành
toán học gần gũi với thực tiễn.
- Khai thác các kiến thức Toán học vào các bộ môn khác gần với thực tế như
Vật lý, Hóa học, Sinh học, …
- Tăng cường liên hệ thực tế qua các tiết học.
- Thường xuyên giao bài tập “dự án” cho các nhóm học sinh thực hiện.
- Tăng cường các bài toán thực tiễn vào kiểm tra đánh giá.
- Tổ chức các hoạt động ngoại khóa về toán học theo chủ đề cho trước.
Nội dung của bài viết này chỉ là những gợi ý ban đầu. Từ đó, quý thầy cô có
thể tự mình tìm kiếm những vấn đề khác trong thực tiễn đời sống muôn màu
muôn vẻ hoặc qua các tài liệu tham khảo như sách, báo và internet, đặc biệt là
website với đường link dưới đây mà bài viết này đã tham khảo:
toán_học
“Mười vạn câu hỏi vì sao” là bộ sách phổ cập khoa học dành cho lứa tuổi
thanh, thiếu niên. Bộ sách này dùng hình thức trả lời hàng loạt câu hỏi "Thế
nào?", "Tại sao?" để trình bày một cách đơn giản, dễ hiểu một khối lượng lớn
các khái niệm, các phạm trù khoa học, các sự vật, hiện tượng, quá trình trong
tự nhiên, xã hội và con người. Mục đích của cuốn sách giúp cho người đọc
4


hiểu được các lý lẽ khoa học tiềm ẩn trong các hiện tượng, quá trình quen
thuộc trong đời sống thường nhật, tưởng như ai cũng đã biết nhưng không
phải người nào cũng giải thích được.
Các tập sách đều được viết với lời văn dễ hiểu, sinh động, hấp dẫn, hình vẽ
minh hoạ chuẩn xác, tinh tế, rất phù hợp với độc giả trẻ tuổi và mục đích phổ
cập khoa học của bộ sách.

Bài viết này cũng là những gợi ý cho nội dung cần bồi dưỡng học sinh giỏi
bậc Trung học cơ sở, theo xu hướng toán học phổ thông gắn với thực tiễn đời
sống hiện nay.

5


NỘI DUNG
Chủ đề 1. Nên mua máy bơm nào?
Một người nông dân có ý định mua một cái máy bơm để phục vụ cho việc
tưới tiêu vào mùa hạ. Khi đến cửa hàng thì được ông chủ giới thiệu về hai loại
máy bơm có lưu lượng nước trong một giờ và chất lượng máy là như nhau.
Máy thứ nhất giá 1.500.000đ và trong một giờ tiêu thụ hết 1,2 kw.
Máy thứ hai giá 2.000.000đ và trong một giờ tiêu thụ hết 1 kw.
Theo bạn, người nông dân nên chọn mua loại máy nào để đạt hiệu quả kinh
tế cao?
- Phương án giải quyết:
Chọn máy bơm trong hai loại để mua sao cho hiệu quả kinh tế là cao nhất.
Như vậy ngoài giá cả ta phải quan tâm đến hao phí khi sử dụng máy nghĩa là
chi phí cần chi trả khi sử dụng máy trong một khoảng thời gian nào đó.
Giả sử rằng giá tiền điện hiện tại là 1.000 đ/1kw.
Vậy trong x giờ số tiền phải trả khi sử dụng máy thứ nhất là:
T1 = 1 500 000 + 1 200 . x (đồng)

Số tiền phải chi trả cho máy thứ 2 trong x giờ là:
T2 = 2 000 000 + 1 000 . x (đồng)

Ta có:
T1 = T2 ⇔ 500 000 + 1 200 . x = 2 000 000 + 1 000 . x ⇔ x = 2500 (giờ)
T1 < T2 ⇔ 500 000 + 1 200 . x < 2 000 000 + 1 000 . x ⇔ x < 2500 (giờ)

T1 > T2 ⇔ 500 000 + 1 200 . x > 2 000 000 + 1 000 . x ⇔ x > 2500 (giờ)

Giả sử mỗi ngày dùng 4 tiếng, thì sử dụng 2500 giờ tương ứng với
2500
= 625 ngày, tức là không quá 2 năm. Vậy:
4

Trường hợp 1. Nếu thời gian sử dụng máy ít hơn 2 năm thì mua máy thứ
nhất sẽ tiết kiệm hơn.
Trường hợp 2. Nếu thời gian sử dụng nhiều hơn hoặc bằng hai năm thì nên
mua máy thứ hai.
Nhưng trong thực tế một máy bơm có thể sử dụng được thời gian khá dài.
Do vậy trong trường hợp này người nông dân nên mua máy thứ hai.

Chủ đề 2. Chọn phương án đi taxi.
6


Một hãng taxi định giá tiền thuê xe đi cho hành khách theo một trong hai
cách sau:
- Cách 1: 6000đ/km cho 10km đầu tiên và 2500đ/km cho các km tiếp theo.
- Cách 2: 4000đ/km trên cả quãng đường.
Ta hãy tư vấn giúp người thân khi thuê xe của hãng taxi này.
- Phương án giải quyết:
Gọi S là quãng đường hành khách cần đi.
1. Nếu S ≤ 10 km: Rõ ràng nên chọn cách 2.
2. Nếu S > 10 km: Đặt S = 10 + x , x > 0 . Khi đó
Tiền thuê taxi theo cách 1 là: T1 = 6000.10 + 2500 x = 60000 + 2500 x .
Tiền thuê taxi theo cách 2 là: T2 = 4000 ( 10 + x ) = 40000 + 4000 x .
Ta có:

T1 = T2 ⇔ 60000 + 2500 x = 40000 + 4000 x ⇔ x =

20000
= 13,333 (km)
1500

T1 < T2 ⇔ 60000 + 2500 x < 40000 + 4000 x ⇔ x >

20000
= 13,333 (km)
1500

T1 > T2 ⇔ 60000 + 2500 x > 40000 + 4000 x ⇔ x <

20000
= 13,333 (km)
1500

Vậy, ta tư vấn cho người thân như sau:
2.1. Nếu S = 10 + x = 10 + 13,333 = 23,333 km, thì chọn cách nào cũng được.
2.2. Nếu S = 10 + x > 10 + 13,333 = 23,333 km, thì chọn cách 1.
2.3. Nếu S = 10 + x < 10 + 13,333 = 23,333 km, thì chọn cách 2.

Chủ đề 3. Phân tích bản thiết kế đường chạy điền kinh.
Theo “Tiêu chuẩn Việt Nam”, đường chạy điền kinh (cự ly 200m, 400m,
800m,...) được thiết kế như sau:

7

Đường chạy điền kinh là một đường cong khép kín có kích thước các đoạn
thẳng là b = 85,96 m và bán kính của hai nửa đường tròn ở trong cùng là tròn
là R = 36 m. Vạch ngoài cách vạch liền kề bên trong là 1,25m.

- Phân tích các số liệu:
+ Phân tích số liệu thiết kế đường chạy.
Các số liệu nêu trên là các số liệu khá tốt để các cự ly ngắn (100m, 200m,
400m) và các cự ly trung bình (800m, 1500m) đều có thể tổ chức được.

8


Thật vậy, giả sử R là bán kính nửa đường tròn thứ nhất, ở trong cùng. Thế
thì, độ dài nửa đường tròn ở trong cùng là
1
l = .2π R = π R .
2

Vậy tổng độ dài một đường chạy thẳng và một đường chạy nửa đường tròn
(ở trong cùng) là
b + l = b + π R = 85,96 + 36 × 3,14159 = 199, 06 (m)

Vận động viên thường chạy sát mép vạch phía trong, nên bán kính quỹ đạo
chạy trên nửa đường tròn thường lớn hơn 36m một ít. Do đó, có thể tổ chức
cho cự ly chạy 200m và các bội số của nó như 400m, 800m, 1500m (
= 1600m − 100m )
+ Phân tích sự phân bố các vạch xuất phát:
Giả sử h là khoảng cách giữa hai nửa đường tròn liền kề.
Qua khảo sát người ta thấy rằng, trung bình vận động viên thường chạy
cách mép nửa đường tròn bên trong khoảng 0, 2 - 0,3 mét, giả sử là 0,3 mét.

Gọi l1 là bán kính nửa đường tròn, là quỹ đạo chạy của vận động viên thứ
nhất. Ta có
l1 = π ( R + 0,3) .

Gọi l2 là bán kính nửa đường tròn, là quỹ đạo chạy của vận động viên thứ
hai. Ta có
l2 = π ( R + 0,3 + h ) .

Do đó, quỹ đạo chạy (nửa đường tròn) của vận động viên thứ hai nhiều hơn
vận động viên thứ nhất là
l2 − l1 = π ( R + 0,3 + h ) − π ( R + 0,3) = π h (m)

Do đó để cho công bằng, khi xuất phát ở đường chạy vạch thẳng song song,
vận động viên thứ hai phải xếp trên vận động viên thứ nhất π h mét.
Gọi l3 là bán kính nửa đường tròn, là quỹ đạo chạy của vận động viên thứ
ba. Ta có
l3 = π ( R + 0,3 + 2h ) .

Do đó, quỹ đạo chạy (nửa đường tròn) của vận động viên thứ ba nhiều hơn
vận động viên thứ hai là
l3 − l2 = π ( R + 0,3 + 2h ) − π ( R + 0,3 + h ) = π h (m)

Do đó để cho công bằng, khi xuất phát ở đường chạy vạch thẳng song song,
vận động viên thứ ba phải xếp trên vận động viên thứ hai π h mét.
9


Tương tự như vậy cho vận động viên thứ tư, vận động viên thứ năm, ...
Với h = 1, 25 mét, thì π h ≈ 3,14159 × 1, 25 = 3,93 mét.
Tóm lại, để cho công bằng, khi xuất phát ở đường chạy vạch thẳng song

song, vận động viên thứ i + 1 phải xếp trên vận động viên thứ i ( i = 1, 2,3,... ) là
3,93 mét.

Chủ đề 4. Ước lượng chiều cao
Khi du lịch đến thành phố Lui (Hoa Kỳ) ta sẽ thấy một cái cổng lớn dạng
Parabol bề lõm quay xuống dưới. Đó là cổng Acxơ. Làm thế nào để tính chiều
cao của cổng, khoảng cách từ điểm cao nhất của cổng?
Tính chiều cao của cổng khi ta không thể dùng dụng cụ đo đạc để đo trực
tiếp.

- Phương án giải quyết:
Cổng dạng Parabol có thể xem là đồ thị của hàm số bậc hai, chiều cao của
cổng tương ứng với đỉnh của Parabol. Do đó vấn đề được giải quyết nếu ta
biết hàm số bậc hai nhận cổng làm đồ thị.
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

10


Ta biết hàm số bậc hai có dạng y = ax 2 , a < 0 . Giả sử chiều cao của cổng
Acxơ là h > 0 . Ta phải tiến hành đo đạc để nắm số liệu cần thiết. Từ mặt đất,
ta chỉ có thể đo đạc một vài số liệu thực tế, chẳng hạn:
- Số liệu thứ nhất: AB = 162 m. Suy ra tọa độ điểm A ( 81; − h ) , điều kiện
h > 43 .
- Số liệu thứ hai: Với điều kiện có thể (thước dây, cây sào, ...), ta đo đạc và
xác định được tọa độ một điểm trên parabol, chẳng hạn là M ( 71; − ( h − 43) ) ,
Thay tọa độ điểm A vào phương trình y = ax 2 , ta có phương trình ẩn a và h
sau:
− h = −a . 812 ⇔ h = 6561.a

Thay tọa độ điểm M vào phương trình y = ax 2 , ta có phương trình ẩn a và h
sau:
− ( h − 43) = − a . 712 ⇔ h − 43 = 5041.a

Giải hệ phương trình
 h = 6561.a

 h − 43 = 5041.a

ta được a =

43
43 2
x .
, h = 185,61 và hàm số là y = −
1520
1520

Vậy, theo đo dạc và tính toán của ta, cổng cao 185,61 m, với một sai số nhất
định. Trên thực tế cổng Acxơ cao 186m.

11


Chủ đề 5. Cần dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt?
Trong một xưởng cơ khí có những thanh sắt dài 7,4m. Người chủ muốn các
thợ của mình cắt mỗi thanh sắt thành các đoạn dài 0,7m và 0,5m để tiện sử
dụng. Bây giờ người chủ muốn có 1000 đoạn 0,7m và 2000 đoạn 0,5m. Bạn
hãy ước lượng xem cần dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt 7,4m để làm?
- Phương án giải quyết:

Để tiện cho việc tính toán, ta đổi đơn vị:
7,4 m = 74 dm; 0,7 m = 7 dm; 0,5 m = 5 dm.
Từ đây về sau ta dùng đơn vị là dm.
Cắt đủ số đoạn theo yêu cầu và phải dùng số thanh sắt 7,4m sao cho ít nhất.
Do vậy ta cần tìm cách cắt theo yêu cầu và chọn cách cắt tiết kiệm nhất.
- Trước hết, ta xét một thanh sắt 74 dm.
Gọi a là số đoạn 7 dm và b là số đoạn 5 dm được cắt ra từ thanh sắt này,
không thừa đoạn sắt nào.
Ta có phương trình nghiệm nguyên không âm sau
7a + 5b = 74 .

Điều kiện:
0 ≤ 7a ≤ 74 ⇔ 0 ≤ a ≤ 10, a ∈ ¢ .
0 ≤ 5b ≤ 74 ⇔ 0 ≤ b ≤ 14, b ∈ ¢ .

Ta có
7a + 5b = 74 ⇔ a =
=

74 − 5b ( 70 − 7b ) + ( 2b + 4 )
=
7
7

7 ( 10 − b ) + 2 ( b + 2 )
2 ( b + 2)
= 10 − b +
.
7
7

Vậy b + 2 cần phải chia hết cho 7, với 0 ≤ b ≤ 14, b ∈ ¢ , hay b = 12 hoặc b = 5 .
Do đó, phương trình 7a + 5b = 74 có các nghiệm nguyên dương là
a = 2
a = 7
và 
.

b = 12
b = 5

Vậy, với mỗi thanh sắt dài 74 dm, ta có hai cách cắt:
- Kiểu thứ nhất: Cắt thành 2 đoạn 7 dm và 12 đoạn 5 dm.

12


- Kiểu thứ hai: Cắt thành 7 đoạn 7 dm và 5 đoạn 5 dm.

- Bây giờ ta chọn cách tiết kiệm nhất trong hai cách trên.
Gọi x thanh cắt theo kiểu thứ nhất và y thanh cắt theo kiểu thứ hai.
Như vậy số đoạn 7 dm là 2x + 7y và số đoạn 5 d m là 12x + 5y.
Để có 1000 đoạn 7 dm và 2000 đoạn 5 dm thì x, y phải là nghiệm của hệ
phương trình
4500

x=
≈ 121,6

 2 x + 7 y = 1000


37
⇔
.

12 x + 5 y = 2000
 y = 4000 ≈ 108,1

37

Vậy ta cần:
- 121 thanh theo kiểu thứ nhất (cắt được 121 × 2 = 242 đoạn 7 dm và

121 × 12 = 1452 đoạn 5 dm)

- 108 thanh theo kiểu thứ hai (cắt được 108 × 7 = 756 đoạn 7 dm và
108 × 5 = 540 đoạn 5 dm).
Tổng cộng, ta cắt được:
- 242 + 756 = 998 đoạn 7 dm (thiếu 2 đoạn 7 dm),
- 1452 + 540 = 1992 đoạn 5 dm (thiếu 8 đoạn 5 dm)
Để bù cho số đoạn còn thiếu này, ta cần dùng thêm một số thanh 74 dm,
trong đó:
- Nếu dùng 1 thanh để cắt theo kiểu thứ nhất, thì được 2 đoạn 7 dm và 12
đoạn 5 dm (thừa 4 đoạn 5 dm)
- Nếu dùng 1 thanh để cắt theo kiểu thứ hai, thì được 7 đoạn 7 dm (thừa 5
đoạn 7 dm) và 5 đoạn 5 dm (thiếu 3 đoạn 5 dm), không ổn.
- Nếu dùng 2 thanh để cắt theo kiểu thứ hai, thì được 14 đoạn 7 dm (thừa 12
đoạn 7 dm) và 10 đoạn 5 dm (thừa 2 đoạn 5 dm), không ổn...
13

Vậy, tốt nhất, ta nên dùng thêm 1 thanh 74 dm để cắt theo kiểu thứ nhất,
mặc dù thừa 4 đoạn 5 dm.
Tóm lại, ta chỉ cần dùng tất cả 121+108 +1 = 230 thanh 74 dm.
Điều quan trọng lúc này chúng ta cần chỉ ra rằng cách cắt này là tiết kiệm
nhất.
Thật vậy, tổng độ dài của 1000 đoạn 7 dm và 2000 đoạn 5 dm là
7.1000 + 5.2000 = 17000 dm.

Vậy phải dùng ít nhất
17000
≈ 230 (thanh 74 dm)
74

Tóm lại chỉ cần cắt 122 thanh theo kiểu thứ nhất và 108 thanh theo kiểu thứ
hai.

Chủ đề 6. Đặt bến xe ở địa điểm nào?
Khi chúng ta đi học, đi làm việc, đi mua hàng, ta thường phải đi xe công
cộng. Có người ở gần bến xe, có người ở xa. Vậy nên đặt bến xe ở địa điểm
nào là tốt nhất? Việc bố trí các bến xe phải dựa trên nguyên tắc nào?
- Phương án giải quyết:
Việc bố trí bến xe tại địa điểm nào dĩ nhiên không thể thuận tiện cho tất cả
mọi người. Việc chọn địa điểm của bến xe phải dựa trên nguyên tắc là thuận
tiện cho số đông người đi xe.
Ta thử xem xét một ví dụ đơn giản nhất.
Đặt một bến xe trên đường giữa hai đầu một đoạn đường A, B ở mỗi điểm
đầu có một xưởng máy. Hàng ngày có 20 công nhân ở A và 30 công nhân ở B
đi làm việc bằng xe tương ứng cho mỗi nhà máy.
Cần bố trí một bến xe giữa hai nhà máy. Vậy cần bố trí bến xe ở địa điểm

nào để cho người đi xe cảm thấy thuận tiện và mỗi người đi xe khi đi làm việc
bằng xe công cộng (từ bến xe đến nhà máy) là ngắn nhất?
Giả sử bến xe đặt ở điểm C cách A là x mét ( 0 ≤ x ≤ a ) và cách B là a − x
mét, a là khoảng cách giữa hai điểm A và B.

14


Nếu gọi S là tổng đoạn đường đi của toàn bộ công nhân ở hai nhà máy thì
S = 20 x + 30 ( a − x ) = 30a − 10 x .
S càng bé nếu x càng lớn, tức là C phải cách điểm A lớn nhất, khi ấy điểm

C trùng với B, nghĩa là bến xe đặt ở ngang cổng nhà máy B là tốt nhất.
Từ kết luận trên có thể thấy nguyên tắc chung là bến xe nên bố trí ở nơi nào
có người đi xe nhiều nhất.
Nếu đường đi không phải ở gần chỉ hai nhà máy (hoặc trường học) mà có
thể nhiều hơn thì nguyên tắc giải quyết cũng tương tự.
Chúng ta thử xét một ví dụ phức tạp hơn.
Giả sử con đường nối năm nhà máy A, B, C, D, E. Mỗi ngày ở mỗi nhà máy
tương ứng có 25, 30, 20, 17, 20 công nhân cần đi xe đến chỗ làm việc.
Vậy bến xe phải đặt tại điểm F nào đó là tốt nhất?
Phương pháp tính toán như sau:
Trước hết, gọi P là tổng số người cần đi xe. Suy ra nửa số người đó là

P
.
2

Ta có
P = 25 + 30 + 20 + 17 + 20 = 112 người.

Vậy

P
= 56 người.
2

Số người ở nhà máy A là 25 < 56.
Số người ở các nhà máy A, B là 25 + 30 = 55 <56.
Số người ở 3 nhà máy A + B + C là 25 + 30 + 20 = 75 > 56.
Số người ở nhà máy A cần đi xe nhỏ hơn một nửa số người cần đi xe nói
chung, tức là số người đi xe ở nhà máy A nhỏ hơn tổng số người đi xe ở 4 nhà
máy B, C, D, E cộng lại, như vậy bến xe cần đặt gần hơn về hướng 4 nhà máy
B, C, D, E.
Mặt khác tổng số người cần đi xe ở hai nhà máy A và B nhỏ hơn một nửa số
người cần đi xe, nên bến xe nên bố trí ở gần hơn về phía nhà máy C, D, E; mà
tổng số người đi xe ở ba nhà máy A, B, C lớn hơn một nửa số người cần đi xe
nên bến xe nên đặt ở gần hơn về phía ba nhà máy A, B, C.
Theo các trật tự ưu tiên nêu trên thì bến xe vừa phải gần về phía nhà máy A,
B, C lại vừa phải gần ba nhà máy C, D, E.
Vì vậy địa điểm bến xe tốt nhất là tại điểm C, nghĩa là tại cổng nhà máy C.

15


Chủ đề 7. Làm sao trồng được nhiều hoa nhất?
Bác nông dân có một mảnh vườn hình vuông cạnh bằng 3,3 mét. Theo kinh
nghiệm thì mỗi cây được trồng cách nhau ít nhất

1
mét sẽ đạt sản lượng cao

3

nhất. Hãy giúp bác nông dân trồng hoa sao cho đảm bảo yêu cầu kỹ thuật và
trồng được nhiều hoa có thể được. Lưu ý rằng, không được trồng hoa trên lề
mảnh vườn.
Ta cần chọn cách trồng hoa vừa đảm bảo kỹ thuật và trồng được nhiều hoa
nhất.
- Phương án giải quyết:
Sau đây là một số phương án.
Phương án 1.

81 cây
Phương án 2. Trồng hoa song song bờ ruộng.

16


100 cây
Phương án 3. Trồng hoa tại đỉnh các ô vuông song song với đường chéo ô
vuông.

- Đường chéo

BD = a 2 = 3,3 . 2 = 3,3 . 1, 41 = 4, 67 (m)

Số cây tối đa có thể trồng trên đường chéo BD là:
 4, 67 
 BD 
 c  + 1 =  0,33  + 1 = [ 14,15] + 1 = 14 + 1 = 15 (cây)




- Đoạn thẳng “kề trên” của BD là EF. Ta có
EF = BD − ( c + c ) = BD − ( 0,33 + 0,33 ) = 4, 67 − 0, 66 = 4, 01 (m)

Số cây tối đa có thể trồng trên đường chéo EF là:
 4, 01 
 EF 
 c  + 1 =  0,33  + 1 = [ 12,15] + 1 = 12 + 1 = 13 (cây)



17


- Tương tự, số cây tối đa có thể trồng trên đoạn thẳng “kề trên” của EF là:
11 (cây)
Tóm lại, theo cách trồng này, số cây tối đa có thể trồng trong vườn là:

( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) + 15 + ( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) = 113 (cây)
Phương án 4. Trồng theo dạng tam giác đều, mỗi hàng song song với một
bờ ruộng.

18


Dựng tam giác đều có đường cao MH (1 đỉnh ở đáy sát đỉnh A, để A và M
lọt vào hình vuông đầu tiên).
- Số cây trồng tối đa ở hàng 1 (và cũng là của mỗi hàng khác):
 a   3,30 

 c  =  0,33  = 10 (cây)



Có bao nhiêu hàng như vậy? Điều này phụ thuộc vào độ dài đường cao MH.
MH =

c 3 0,33 . 3
=
= 0, 29 (m)
2
2

Vì 1 đỉnh ở đáy rất sát vào A (giả sử cách mép vườn khoảng ε = 0, 05 ) nên số
hàng là:
 3,30 − 2 . 0,05 
 3,30 − 0,10 
 AD − 2ε 
+1 = 

 +1
 MH  + 1 = 
0,29

 0, 29 
 3, 20 
=
 + 1 = [ 11, 03] + 1 = 11 + 1 = 12 (hàng)
 0, 29 

Tóm lại, theo cách trồng này, số cây tối đa có thể trồng trong vườn là:
12 (hàng) × 10 (cây) = 120 (cây)

Chủ đề 8. Khoanh vùng đất như thế nào?
Với một sợi dây thừng đã có, làm sao khoanh được một vùng đất to nhất ở cạnh
bờ sông? Giả thiết rằng bờ sông thẳng, dài và lưu ý là những chỗ ở sát sông thì có
thể tận dụng bờ sông mà không cần khoanh dây chỗ đó.
- Phương án giải quyết:
Giả sử chiều dài của dây thừng là l mét.

19


Phương án 1. Khoanh dây lại thành hình tròn, vì hình tròn là hình to nhất trong
các hình có cùng chu vi.
Giả sử R và S1 lần lượt là bán kính và diện tích của hình tròn. Ta có l = 2π R .
Suy ra
R=

l
.
2π

Do đó, diện tích vùng đất là
2

l2
l2
l2
 l 

S1 = π R = π 
=
=
= 0,0796 . l 2 .
÷ =
4π 4 × 3,1416 12,5564
 2π 
2

Nếu là trong đất liền thì đây là lời giải đúng, nhưng vì ở sát sông nên có thể tận
dụng bờ sông mà không cần khoanh dây chỗ đó, nên lời giải không đúng nữa.
Chẳng hạn, ta có thể dời đường tròn ra sao cho tiếp xúc với sông. Sau đó, ta kéo
cung ¼ đường tròn có một đầu giáp sông, từ đầu kia của cung ra thành một
đường thẳng vuông góc với biển, thì vừa có được thêm đất mà vừa tiết kiệm được
dây.

Phương án 2. Làm thành một hình vuông, một cạnh giáp sông.

Diện tích vùng đất là
20


2

2
1
l l
S2 =  ÷ = = . l 2 = 0,1111. l 2 .
9 9
 3

Với hai phương án trên, ta có
S1 < S2 .

Đây chưa phải là cách tốt nhất vì, chẳng hạn, cắt một góc không chạm sông của
hình vuông đó, theo một tam giác không cân, rồi xoay ngược tam giác đó lại sao
cho cạnh huyền vẫn ở vị trí cũ, chỉ có hai cạnh góc vuông thì chuyển chỗ. Khi đó,
ta được một hình khác cùng diện tích và chu vi với hình vuông, nhưng là hình
lõm. Mà hình lõm thì không thể có diện tích to nhất được, vì chỉ cần kéo căng
dây ra để thành hình lồi thì diện tích đã được tăng lên.

Phương án 3. Làm thành một hình tam giác đều, một cạnh giáp sông.

Diện tích vùng đất là
2

l
 ÷ 3 l 2 3 1,7321
.
2
S3 =  
=
=
. l 2 = 0,1083. l 2
4
16
16

Đến đây, ta có
S1 < S3 < S2 .

21


Cũng theo lý luận tương tự như trên thì các hình “có góc cạnh” (trừ góc tại
điểm tiếp xúc với sông) đều không phải là hình tốt nhất, mà nó phải là một đường
cong không gãy khúc, may ra mới tốt nhất được.
Phương án 4. Làm thành một cung tròn.

Nhưng cung tròn thế nào? Có nhiều cung tròn khác nhau cùng một độ dài.
Có 3 dự đoán: Cung 1/2 đường tròn, cung lớn hơn 1/2 đường tròn, cung “bẹt”
(nhỏ hơn 1/2 đường tròn).
Phương án chọn cung lớn hơn 1/2 đường tròn là chưa tốt, vì khi đó chỗ giáp với
sông bị “hụt” vào, chỉ cần kéo dây ra vuông góc với sông, ở gần chỗ đó, thì vừa
thêm đất, vừa tiết kiệm được dây.
Phương án chọn cung “bẹt” (nhỏ hơn 1/2 đường tròn) cũng không tốt vì, “bẹt”
quá thì ít đất, mà “hơi bẹt” thì phải “hơi bẹt” đến như thế nào là tốt nhất.
Giả sử R và S4 lần lượt là bán kính và diện tích của nửa hình tròn này. Ta có
chu vi hình tròn = đường kính × π .
Do đó
2l = 2 R.π ⇔ R =

l
.
π

Vậy
2

l

π  ÷
2
πR
l2
1
.
π
S4 =
=   =
=
. l 2 = 0,1592. l 2
2
2
2π 2 × 3,1416

Đến đây, ta có
S1 < S3 < S2 < S4 .

Phải chăng phương án cung nửa đường tròn là tốt nhất?
*
* *
22


Trong môn Số học để bồi dưỡng học sinh giỏi có bài về Hệ thống cơ số,
trong đó các bài toán về đổi cơ số. Đa số các tài liệu đang hiện hành thường
chỉ có những bài toán đơn thuần và khô khan về đổi từ cơ số a sang cơ số b
và ngược lại, tạo không khí đơn điệu và nhàm chán cho học sinh.
Ngược lại, số bài toán thực tiễn cho vấn đề này là khá nhiều mà dưới đây là
một vài ví dụ mà chúng tôi sưu tầm được.

Chủ đề 9. Bạn đã chọn số nào?
Giả sử bạn chọn một số bất kì nào đó trong khoảng từ 1 đến 1000. Tôi sẽ
hỏi bạn 10 câu hỏi, bạn có quyền trả lời “đúng” hoặc “sai”. Dựa trên 10 câu
trả lời của bạn, tôi sẽ khẳng định được bạn đã chọn số nào. Tại sao?
- Phương án giải quyết:
Các câu hỏi lần lượt như sau:
- Câu thứ nhất: Lấy số đã chọn chia cho 2. Hỏi phép chia có dư hay không?
Nếu bạn trả lời là “không” thì tôi viết số 0, còn nếu câu trả lời là “có” thì tôi
viết số 1.
- Câu thứ hai: Lấy thương của phép chia vừa rồi chia cho 2. Hỏi phép chia
có dư hay không? Nếu câu trả lời là “không” thì tôi viết số 0, còn nếu câu trả
lời là “có” thì tôi viết số 1 vào trước số đã viết (số 0 hoặc số 1) của câu trả lời
thứ nhất.
- Các câu hỏi tiếp theo: Tương tự. Lấy thương của phép chia vừa xong chia
cho 2. Hỏi phép chia có dư không? Nếu câu trả lời là “không” thì viết số 0,
còn nếu câu trả lời là “có” thì viết số 1 trước số đã viết.
Sau không quá 10 lần trả lời, chúng ta nhận được 10 chữ số chỉ gồm các chữ
số 0 và 1. Như vậy, hệ thống 10 câu hỏi trên chính là cách chuyển một số đã
cho (dưới 1000) từ cơ số 10 sang cơ số 2. Hơn nữa, 10 câu hỏi là đủ, bởi vì
mọi số từ 1 đến 1000 đều có thể viết được dưới dạng một số trong cơ số 2 với
không quá 10 chữ số ( 210 = 1024 = 100000000002 ). Vì số ban đầu chưa biết nên
bây giờ chỉ cần chuyển số nhận được trong cơ số 2 sang cơ số 10, ta khôi
phục được số ban đầu.

Chủ đề 10. Chơi như thế nào để thắng?
Trong dân gian có một trò chơi. Nội dung của trò chơi này như sau:
Có ba đống sỏi, hai người chơi lần lượt lấy một số sỏi bất kì (khác 0) từ một
trong ba đống đó (và mỗi lần chơi chỉ lấy sỏi từ một đống). Ai là người nhặt
viên sỏi cuối cùng thì người đó thắng.

23


Có hay không một cách chơi để thắng?
- Cách chơi để thắng: Ngày nay các viên sỏi thường được thay thế bởi các
đồ vật khác, thí dụ, các que diêm, vì vậy người ta cũng gọi trò chơi này là trò
chơi “ăn diêm”.
Để giải bài toán này ta sẽ sử dụng hệ đếm cơ số 2. Giả sử trong mỗi đống có

a , b và c viên sỏi. Ta gọi ba đống sỏi tương ứng là các đống thứ nhất, thứ

hai và thứ ba. Trong hệ cơ số 2, các số này được biểu diễn dưới dạng
a = an .2n + an −1.2n −1 + ... + a1.2 + a0 = ( an an −1...a1a0 ) 2 ;
b = bn .2n + bn−1.2n −1 + ... + b1.2 + b0 = ( bnbn −1...b1b0 ) 2 ;
c = cn .2n + cn −1.2n −1 + ... + c1.2 + c0 = ( cn cn −1...c1c0 ) 2 .

Các hệ số ai , bi , ci , i = 0,..., n có giá trị 0 hoặc 1. Ở đây, để tiện trình bày, ta
đã viết biểu diễn của a , b , c cùng có bậc cao nhất là 2n . Điều này dễ dàng
làm được vì nếu cần ta có thể thêm các hệ số bằng 0, tức là ta không đòi hỏi
tất cả các hệ số an , bn , cn phải khác 0, nhưng vì n là bậc cao nhất nên ít nhất
một trong ba hệ số an , bn , cn phải khác 0.
Người chơi đầu tiên sẽ lấy một số sỏi từ một trong ba đống, chẳng hạn từ
đống thứ nhất. Khi ấy các hệ số ai , i = 0,..., n sẽ bị thay đổi. Tương tự, nếu lấy
sỏi từ đống thứ hai (hoặc từ đống thứ ba), thì các hệ số bi , i = 0,..., n (hoặc ci )
sẽ thay đổi.
Xét các tổng
an + bn + cn , an −1 + bn −1 + cn−1 ,…, a1 + b1 + c1 , a0 + b0 + c0 .

Vì các hệ số ai , bi , ci , i = 0,..., n chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 nên mỗi tổng này

chỉ nhận một trong bốn giá trị 0, 1, 2, 3 .
Nếu một trong các tổng trên là lẻ (tức là nhận giá trị 1 hoặc 3) thì người
chơi thứ nhất có thể thắng nhờ chiến lược sau: Tại mỗi bước đi, người thứ
nhất sẽ lấy đi một số sỏi từ một đống để được tất cả các tổng ai + bi + ci ,
i = 0,..., n là chẵn.
Thực hiện được chiến lược này nhờ cách đi như sau:
Giả sử ak + bk + ck là tổng đầu tiên (tính từ phải sang trái) là lẻ, tức là có ít
nhất một trong ba số ak , bk , ck bằng 1. Giả sử ak = 1 . Khi ấy người chơi thứ
nhất lấy một lượng sỏi d từ đống thứ nhất sao cho tất cả các tổng ai + bi + ci ,
i = 0,..., n là chẵn. Để làm việc này chỉ cần lấy d viên sỏi sao cho số sỏi còn lại
từ đống thứ nhất sẽ là a′ = an an −1 ... ak +1 0 ak′ −1 ... a1′ a0′ , trong đó
ai′ = ai ,

nếu ai + bi + ci , i = 0,..., k − 1 là chẵn,

24


ai′ = 1 − ai , nếu ai + bi + ci là lẻ.

Do các hệ số an , an−1, ... , ak +1 của a và a′ bằng nhau, còn hệ số ak của a
bằng 1, mà hệ số ak của a′ bằng 0 nên a > a ' và d = a − a ' > 0 , tức là người
chơi thứ nhất có thể chọn được một cách chơi theo qui tắc nêu trên.
Như vậy, sau bước đi đầu tiên của người thứ nhất, tất cả các tổng ai + bi + ci ,
i = 0, ... , n là chẵn.
Bây giờ giả sử người chơi thứ hai lấy một số sỏi bất kì, chẳng hạn d ' viên
từ một đống nào đó. Vì d ' khác 0 nên bắt buộc ít nhất một trong các tổng
ai + bi + ci phải thay đổi từ chẵn sang lẻ. Tiếp tục cách làm trên, sau một số hữu
hạn q bước, tất cả các tổng ai + bi + ci , i = 0, ... , n , phải bằng 0 (vì tổng số sỏi
giảm thực sự sau mỗi bước), tức là không còn viên sỏi nào sau bước đi thứ q

của người thứ nhất, và anh ta thắng.
Nếu ban đầu tất cả các tổng ai + bi + ci , i = 0,..., n là chẵn, thì sau lần đi đầu
tiên của người thứ nhất, cho dù anh ta lấy đi bao nhiêu sỏi từ một đống bất kì
nào đó, thì có ít nhất một tổng ai + bi + ci bắt buộc phải lẻ. Vì vậy, đến lượt
người chơi thứ hai, anh ta sẽ sử dụng cách chơi như người chơi thứ nhất thực
hiện khi số sỏi ban đầu là lẻ (như cách chơi đã trình bày ở trên) và anh ta sẽ
thắng.
Tùy theo số sỏi cụ thể trong từng đống, mỗi người chơi có thể chọn số
lượng sỏi trong mỗi bước đi để đảm bảo thắng nhanh nhất hoặc lâu thua nhất.
..............................................HẾT.............................................

25