Ôn hình học vào lớp 10 (có giải)

20 bài đầu tiên download here
Bài 21: (LHP 2003 - 2004) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao
AH và trung tuyến AM. Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại
E (D khác E và khác điểm A).
a) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.
b) Chứng mình và
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn
(O). Tứ giá AMOH là hình gì?
d) Cho . Tính diện tích tam giác HEC theo a.
Hướng dẫn giài
a) Ta có nên DE là đường kính của đường tròn (H; HA). Suy ra D, H, E thẳng
hàng.
b) Tam giác HAD cân tại H nên
Trong tam giác vuông ABC có AM là đường trung tuyến nên , suy ra
tam giác MAC cân tại M, từ đó .
Hơn nữa ( cùng phụ với góc ABC)
Từ đó ta có:
Suy ra .
c) Theo câu b thì ta có
Suy ra tứ giác BECD nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông)
Gọi O là tâm đường tròn đi qua 4 điểm B, E, C, D.
Vì M, H là lần lượt là trung điểm của DE và BC nên .
Mà
Suy ra AM // OH và OM // AH, suy ra tứ giác OMAH là hình bình hành.
d) Trong tam giác vuông AHC có:
Tam giác AHE cân tại H có nên là tam giác đều, suy ra AE =
AH = a, suy ra EC = AC - AE = a.
Vậy
Bài 22 (LHP 2003 - 2004) Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cùng
bằng đáy lớn AB. M là trung điểm của CD. Cho biết . Tính các góc
của hình thang.

Hướng dẫn giải
Ta có AC = BD nên ABCD là hình thang cân, suy ra $latex \widehat{DAB}
=\widehat{ABC}.
Mà
Nên ta có:
Gọi N là trung điểm của AD, ta có MN là đường trung bình của tam giác DAC, suy ra
Từ đó ta có tứ giác NABM là tứ giác nội tiếp, suy ra
Mặt khác tam giác ADB cân tại B có BN là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, do
đó:
Suy ra
Tam giác AMN vuông tại M có MA = MB (t/c đối xứng trục của hình thang) nên là tam
giác vuông cân, suy ra
Tam giác ABC cân tại A, suy ra
$latex =\widehat{MBC} + 2 \widehat{MBC} + 2 \widehat{ABM}$
Suy ra
Từ đó ta có
Và
Bài 13:(LHP 2004 - 2005)
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O; R). Về phía ngoài tam giác dựng tam
giác đều ACD. BD cắt đường tròn tại E và cắt đường cao AH của tam giác ABC tại M.
a) Chứng minh tứ giác ADCM nội tiếp.
b) Tính DE theo R.
Hướng dẫn giải
a) Ta có AB = AC, OB = OC nên AO là đường trung trực của BC nên cũng là đường cao
và là đường phân giác góc A.
Ta có (c.g.c)
Suy ra
Ta có AD = AC (tam giác ACD đều) và AC = AB (tam giác ABC cân) suy ra AD = AB,
tam giác ABD cân tại A, do đó:
Từ (1) và (2) ta có: tứ giác ADMC nội tiếp ( 2 đỉnh kề cùng nhìn

một cạnh dưới hai góc bằng nhau)
b) Ta có
Xét tam giác AOC và tam giác DEC có:
+ (ADCM là tứ giác nội tiếp)
+ (cmt)
Suy ra
Bài 14: (PTNK AB 2006 - 2007)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, có và AC cắt BD tại I. Biết rằng
IA = 6cm, IB = 8cm, ID = 3cm.
a) Chứng minh tam giác ABC cân. ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính
độ dài đoạn MN.
c) Gọi P là giao điểm của IO và MN. Tính độ dài đoạn PN.
Hướng dẫn giải