Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – đặng việt đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 0


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

MỤC LỤC
1.1 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN
1.2 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN
2. NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN
3. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
4. TÍCH PHÂN ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TP CƠ BẢN
5. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN
6. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
7. GTLN, GTNN – BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
8.1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TÍNH CHẤT
8.2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG ĐỔI BIẾN
8.3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TỪNG PHẦN
9.1 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG
9.2 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH CĨ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ
10.1 ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG
10.2 ỨNG DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH BỞI CÁC ĐƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ
11. ỨNG DỤNG THỰC TẾ VÀ LIÊN MÔN

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số

F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F '  x   f  x  với mọi x  K .
Định lí:
1) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K .
2) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x  trên
K đều có dạng F  x   C , với C là một hằng số.

Do đó F  x   C, C   là họ tất cả các nguyên hàm của

f  x  trên K . Ký hiệu

 f  x  dx  F  x   C .
2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1:

  f  x  dx   f  x  và  f '  x  dx  f  x   C

Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3:   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp
u  u  x 

 dx  x  C

 du  u  C

x



dx 

1  1
x  C   1
 1

u



du 

1

1

 x dx  ln x  C

 u du  ln u  C

 e dx  e

 e du  e

x

x

u

C

ax
 a dx  ln a  C  a  0, a  1
x

1  1
u  C   1

 1

u

C

au
 a du  ln a  C  a  0, a  1
u

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

 sin xdx   cos x  C

 sin udu   cos u  C

 cos xdx  sin x  C

 cos udu  sin u  C

1

 cos

2

x

1

 sin

2

x

1

dx  tan x  C

 cos

2

u

1

dx   cot x  C

 sin

2

u

du  tan u  C

du   cot u  C

B - BÀI TẬP
Câu 1.

DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT
Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có đạo hàm trên  a; b .
(2): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b .
(3): Mọi hàm số đạo hàm trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b .

Câu 2.

(4): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b .
B. 3 .
C. 1 .
D. 4 .
A. 2 .
Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx .
B.   f  x  . g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx .
C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx .
D.  kf  x  dx  k  f  x  dx  k  0;k    .

Câu 3.

Cho f  x  , g  x  là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh
đề nào sai?
B.  2 f  x  dx  2 f  x  dx .
A.  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx .
C.

Câu 4.

  f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx .
  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx .

D.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   .

B.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx với f  x  ; g  x  liên tục trên  .
1  1
C.  x dx 
x với   1 .
 1

D.  f  x  dx  f  x  .



Câu 5.



Cho hai hàm số f  x  , g  x  là hàm số liên tục, có F  x  , G  x  lần lượt là nguyên hàm
của f  x  , g  x  . Xét các mệnh đề sau:

 I  . F  x   G  x  là một nguyên hàm của f  x   g  x  .
 II  . k.F  x  là một nguyên hàm của k. f  x  với k   .
 III  . F  x  .G  x  là một nguyên hàm của f  x  .g  x  .
Các mệnh đề đúng là
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 6.

Tích Phân và Ứng Dụng

A.  II  và  III  .
B. Cả 3 mệnh đề.
C.  I  và  III  .
D.  I  và  II  .
Mệnh đề nào sau đây sai?
A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  .
B.

 f   x  dx  f  x   C với mọi hàm số f  x  có đạo hàm trên  .

C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  .
D.  kf  x  dx  k  f  x  dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  liên tục trên  .
Câu 7.

Cho hàm số f  x  xác định trên K và F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Khẳng
định nào dưới đây đúng?
A. f   x   F  x  , x  K .
B. F   x   f  x  , x  K .
C. F  x   f  x  , x  K .

Câu 8.

D. F   x   f   x  , x  K .

Cho hàm số f  x  xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K .
B. Nếu f  x  liên tục trên K thì nó có ngun hàm trên K .
C. Hàm số F  x  được gọi là một nguyên hàm của f  x  trên K nếu F   x   f  x  với mọi

xK .
D. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì hàm số F   x  là một nguyên
hàm của f  x  trên K .

Câu 9.

DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM.
1
Cho f  x  

, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
x2
A. Trên  2;   , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2   C1 ; trên khoảng

 ; 2  , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln   x  2   C2 ( C1 , C2 là các hằng số).
B. Trên khoảng  ; 2  , một nguyên hàm của hàm số f  x  là G  x   ln   x  2   3 .
C. Trên  2;   , một nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2  .
D. Nếu F  x  và G  x  là hai nguyên hàm của của f  x  thì chúng sai khác nhau một hằng
số.
Câu 10. Khẳng định nào đây sai?
A.  cos x dx   sin x  C .
C.  2 x dx  x 2  C .

Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
x4  C
A.  x3dx 
.
4
C.  sin xdx  C  cos x .

Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.  dx  x  2C ( C là hằng số).
C.  0dx  C ( C là hằng số).

B.

1

 x dx  ln x  C .
D.  e dx  e  C .

x

B.

x

1

 x dx  ln x  C .
D.  2e dx  2  e  C  .
x

x

xn 1
 C ( C là hằng số; n   ).
B.  x dx 
n 1
D.  e x dx  e x  C ( C là hằng số).
n

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

Câu 13. Tìm nguyên hàm F  x     2 dx .
A. F  x    2 x  C .

C. F  x  

B. F  x   2 x  C .

3
C .
3

D. F  x  

Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x  2018 là

 2 x2
C .
2

A. F  x   e x  sin x  2018 x  C .

B. F  x   e x  sin x  2018 x  C .

C. F  x   e x  sin x  2018 x .

D. F  x   e x  sin x  2018  C .

Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f  x   2 x 3  9 là:
1 4
1

x  9x  C .
B. 4 x 4  9 x  C .
C. x 4  C .
2
4
e
Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e.x  4 là

A.

D. 4 x3  9 x  C .

xe 1
 4x  C .
A. 101376 .
B. e .x  C .
C.
e 1
Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   5 x 4  6 x 2  1 là
2

e.xe 1
 4x  C .
D.
e 1

e 1

A. 20 x3  12 x  C .
C. 20 x 5  12 x3  x  C .

Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai?

B. x 5  2 x3  x  C .
x4
 2x2  2x  C .
D.
4

x5
1
 C . C.  dx  ln x  C . D.  e x dx  e x  C .
5
x
1
Câu 19. Nguyên hàm của hàm số y  x 2  3 x  là
x
3
2
x 3x
x3 3 x 2 1

 ln x  C .

 2 C .
A.
B.
3
2
3
2

x
3
2
3
2
x 3x
x 3x

 ln x  C .

 ln x  C .
D.
C.
3
2
3
2
a b
Câu 20. Cho hàm số f  x   2   2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện
x
x
A.  0 dx  C .

B.

4
 x dx 

1

 f  x  dx  2  3ln 2 . Tính T  a  b .
1
2

A. T  1 .

B. T  2 .

C. T  2 .

D. T  0 .

Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  2 x  5 là
A. F  x   x 3  x 2  5 .

B. F  x   x 3  x  C .

C. F  x   x 3  x 2  5 x  C .

D. F  x   x 3  x 2  C .
5

Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x)   3x  1 ?
A. F  x 

 3 x  1


6

8.
18
6
3 x  1

C. F  x  
.
18

B. F  x 

 3 x  1


6

2.
18
6
3 x  1

D. F  x  
.
6

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f  x  

 x4  x 2  3
C .
A.
3x

Tích Phân và Ứng Dụng

1
1
 x 2  là
2
x
3

2
B. 2  2x  C .
x

Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   7 x 6 

x4  x2  3
C .
C. 
3x

1 1
  2 là

x x2

1
A. x 7  ln x   2 x .
x
1
C. x 7  ln x   2 x  C .
x
Câu 25. Nguyên hàm của f  x   x 3  x 2  2 x là:

 x3 1 x
  C .
D.
3
x 3

1
 2x  C .
x
1
D. x 7  ln x   2 x  C .
x

B. x 7  ln x 

1 4
4 3
x  x3 
x C .
B.

4
3
1
2 3
C. x 4  x3 
x C .
D.
4
3
Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  x 2018 là

A.

1 4 1 3 4 3
x  x 
x C .
4
3
3
1 4 1 3 2 3
x  x 
x C .
4
3
3

x 2019
x 2019
C.
C .

B. 2 x3 
673
2019
1
1 x 2019
 6054 x 2017  C .
C.

C .
D.
2 x
x 673
x
Câu 27. Hàm số F ( x)  e  tan x  C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
1
1
A. f ( x)  e x  2
B. f ( x)  e x  2
sin x
sin x
x


1
e
D. f  x   e x 
C. f ( x )  e x 1 

2
cos 2 x

 cos x 
1
Câu 28. Nếu  f  x  dx   ln 2 x  C với x   0;   thì hàm số f  x  là
x
1 1
1
A. f  x    2  .
B. f  x   x  .
x
x
2x
1
1
1
C. f  x   2  ln  2 x  .
D. f  x    2  .
x
x 2x
2
x  x 1
.
Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  
x 1
x2
1
1
 ln x 1  C . D. x 2  ln x  1  C .
A. x 
C .
B. 1 


C
.
C.
2
x 1
2
 x  1
A.

x

A. F  x   3 x  tan x  C .

1
là
sin 2 x
B. F  x   3 x  tan x  C .

C. F  x   3 x  cot x  C .

D. F  x   3 x  cot x  C .

Câu 30. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   3 

Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3cos x 
A. 3sin x 

1
C .

x

1
B. 3sin x   C .
x

1
trên  0;   .
x2
1
C. 3cos x   C .
x

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 3cos x  ln x  C .

Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  sin x là
A. x 3  cos x  C .
B. x 3  sin x  C .
C. x 3  cos x  C .
Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x2  8sin x .
A.

 f  x  dx  6 x  8 cos x  C .
C.  f  x  dx  x  8cos x  C .
3

B.

 f  x  dx  6 x  8cos x  C .
D.  f  x  dx  x  8 cos x  C .
3

 x
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos2  
2
A.  f  x  dx  x  sinx  C .
B.
C.

x

1

 f  x  dx  2  2 sinx  C .

D.

x2
 sin x  C .
2

B.

Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  cos x .
A.
C.
Câu 36.



f  x  dx 

 f  x  dx  x sin x  cos x  C .

x

2

D. 3 x3  sin x  C .

D.

 f  x  dx  x  sinx  C .
x

1

 f  x  dx  2  2 sinx  C .
 f  x  dx  1  sin x  C .



x2
f  x  dx   sin x  C .
2

a 3 b 4
x  x  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:
3
4
B. 1 .
C. 9 .
D. 32 .

 2 x3  dx có dạng

A. 2 .
1
1 3 5 
a 4 b 6
Câu 37.   x3 
x  dx có dạng
x  x  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a
5
12
6
3

bằng:
36
A. 1 .

B. 12 .
C.
1 3 .
D. Không tồn tại.
5
Câu 38.    2a  1 x 3  bx 2  dx , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng



   2a  1 x

3

 bx 2  dx 

A. 1; 3 .
1
1
x sin 2 x  cos 2 x
4
2



3 4
x  x 3  C . Giá trị a, b lần lượt bằng:
4
1
B. 3; 1 .
C.  ; 1 .

8

D.

 
Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện: f  x   2 x  3cos x, F    3
2
A. F ( x)  x2  3sin x  6 
C. F ( x)  x 2  3sin x 

2
4

2
4

Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x )  2 x 
A. F( x)  cotx  x2 
C. F( x)  cotx  x 2

2
16

B. F ( x)  x 2  3sin x 

2
4

D. F ( x)  x2  3sin x  6 

2
4

1

thỏa mãn F( )  1 là:
2
sin x
4

2
16
2
2
D. F( x)  cotx  x 
16
B. F( x)  cotx  x 2 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 41. Nếu

 f ( x)dx  e

x

 sin 2 x  C thì f ( x) là hàm nào?

A. e x  cos 2 x

B. e x  sin 2 x

Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của f ( x) 

x2 1 1
 
2 x 2
x2 1 1
C. F ( x)   
2 x 2
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 
A. 4 x  3ln x  C .



Câu 44.

(
Tính

3



1

 3ln x  C .

C. e x  cos 2 x

x3  1
biết F(1) = 0
x2

A. F ( x) 

C. 4 x

Tích Phân và Ứng Dụng

D. e x  sin 2 x

x2 1 3
 
2 x 2
x2 1 3
D. F (x)   
2 x 2
B. F ( x) 

2 3
 là :
x x

B. 2 x  3ln x  C .
D. 16 x  3ln x  C .

4
x 2  )dx
x

33 5
x  4ln x  C .
5
5
3
C. 3 x5  4ln x  C .
D. 3 x5  4ln x  C .
3
5
3
2
Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  4 x  3x  2 x  2 thỏa mãn F(1)  9 là:

A. 

33 5
x  4 ln x  C .
5

B.

A. F( x)  x 4  x3  x2  2 .

B. F( x)  x 4  x3  x2  10 .

C. F( x)  x 4  x3  x2  2 x .

D. F( x)  x4  x3  x2  2 x  10 .

Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số y  (2 x  1)5 là:
1
1
A.
(2 x  1)6  C .
B. (2 x  1)6  C .
12
6
1
C. (2 x  1)6  C .
D. 10(2 x  1)4  C .
2
Câu 47. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x 2  x 3  4 thỏa mãn điều kiện F  0   0 là

2 3 x4
A. 2 x  4 x .
B. x   4 x .
C. x 3  x 4  2 x .
3
4
Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng F ’  x   4 x 3 – 3 x 2  2 và F  1  3
3

4

D. Đáp án khác.

A. F  x   x 4 – x 3  2 x  3

B. F  x   x 4 – x 3 +2x  3

C. F  x   x 4 – x 3  2 x  3

D. F  x   x 4  x 3  2 x  3

Câu 49. Hàm số f  x  xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là f   x   x  1 . Biết rằng

f  0   3 . Tính f  2   f  4  ?
A. 10 .
B. 12 .
C. 4 .
D. 11 .
Câu 50. Cho hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời các điều kiện f   x   x  sin x và f  0   1 . Tìm

f  x

.

x2
 cos x  2 .
2
x2
C. f  x    cos x .
2
A. f  x  

x2
 cos x  2 .
2
x2
1
D. f  x    cos x  .
2
2
B. f  x  

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

Câu 51. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   3  5cos x và f  0   5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f  x   3 x  5sin x  2 .

B. f  x   3 x  5sin x  5 .

C. f  x   3 x  5sin x  5 .

D. f  x   3 x  5sin x  5 .

Câu 52. Biết F  x  là một nguyên hàm của của hàm số f  x   sin x và đồ thị hàm số y  F  x  đi

 
qua điểm M  0;1 . Tính F   .
2
 
 
 
 
B. F    1 .
C. F    0 .
A. F    2 .
D. F    1 .
2
2
2
2
2
Câu 53. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x  2 x  3 thỏa mãn F  0   2 , giá trị
của F 1 bằng
A. 4 .

B.

13
.
3

C. 2 .

Câu 54. Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   ax 

F 1  4 ,

f 1  0

D.

11
.
3

b
 x  0  , biết rằng F  1  1 ,
x2

.

2

3x
3 7
  .
A. F  x  
4 2x 4

3x 2 3 7
  .
B. F  x  
4 2x 4

3x 2 3 7

3x 2 3 1
  .
  .
C. F  x  
D. F  x  
2 4x 4
2 2x 2
Câu 55. Biết hàm số y  f  x  có f   x   3x 2  2 x  m  1 , f  2   1 và đồ thị của hàm số
y  f  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Hàm số f  x  là
A. x3  x 2  3x  5 .

B. x 3  2 x 2  5 x  5 .

C. 2 x3  x 2  7 x  5 .

Câu 56. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  3

2

D. x 3  x 2  4 x  5 .
1
thỏa mãn F  0   . Giá trị của biểu
3

thức log 2 3F 1  2 F  2   bằng
A. 10 .
B. 4 .
C. 4 .
D. 2 .
3

Câu 57. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   4 x  2  m  1 x  m  5 , với m là tham số
thực. Một nguyên hàm của f  x  biết rằng F 1  8 và F  0   1 là:
A. F  x   x 4  2 x 2  6 x  1

B. F  x   x 4  6 x  1 .

C. F  x   x 4  2 x 2  1 .

D. Đáp án A và B

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

C – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT
Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có đạo hàm trên  a; b .
(2): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b .
(3): Mọi hàm số đạo hàm trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b .
(4): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b .
A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .
Hướng dẫn giải

D. 4 .

Chọn B
Khẳng định (1): Sai, vì hàm số y  x liện tục trên  1;1 nhưng không có đạo hàm tại x  0
nên khơng thể có đạo hàm trên  1;1
Khẳng định (2): đúng vì mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b .
Khẳng định (3): Đúng vì mọi hàm số có đạo hàm trên  a; b thì đều liên tục trên  a; b nên
đều có nguyên hàm trên  a; b .
Khẳng định (4): Đúng vì mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất trên  a; b .
Câu 2.

Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx .
B.   f  x  . g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx .
C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx .
D.  kf  x  dx  k  f  x  dx  k  0;k    .

Câu 3.

Hướng dẫn giải
Chọn B
Cho f  x  , g  x  là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh

đề nào sai?
A.  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx .
B.  2 f  x  dx  2 f  x  dx .
C.

  f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx .
  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx .

D.

Hướng dẫn giải

Câu 4.

Chọn A
Ngun hàm khơng có tính chất ngun hàm của tích bằng tích các nguyên hàm.
Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   .
B.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx với f  x  ; g  x  liên tục trên  .
1  1
C.  x dx 
x với   1 .
 1

D.  f  x  dx  f  x  .





File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   sai vì tính chất đúng khi k   \ 0 .
Câu 5.

Cho hai hàm số f  x  , g  x  là hàm số liên tục, có F  x  , G  x  lần lượt là nguyên hàm
của f  x  , g  x  . Xét các mệnh đề sau:

 I  . F  x   G  x  là một nguyên hàm của f  x   g  x  .
 II  . k.F  x  là một nguyên hàm của k. f  x  với k   .
 III  . F  x  .G  x  là một nguyên hàm của f  x  .g  x  .
Các mệnh đề đúng là
A.  II  và  III  .

B. Cả 3 mệnh đề.

C.  I  và  III  .

D.  I  và  II  .

Hướng dẫn giải

Câu 6.

Chọn D
Theo tính chất nguyên hàm thì  I  và  II  là đúng,  III  sai.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  .
B.

 f   x  dx  f  x   C với mọi hàm số f  x  có đạo hàm trên  .
C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  .
D.  kf  x  dx  k  f  x  dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  liên tục trên  .
Chọn D
Mệnh đề:

Hướng dẫn giải

 kf  x  dx  k  f  x  dx

 là mệnh đề sai vì khi k  0 thì

Câu 7.

 kf  x  dx  k  f  x  dx .

Cho hàm số f  x  xác định trên K và F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Khẳng
định nào dưới đây đúng?
A. f   x   F  x  , x  K .
B. F   x   f  x  , x  K .

C. F  x   f  x  , x  K .

Câu 8.

với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  liên tục trên

D. F   x   f   x  , x  K .

Hướng dẫn giải
Chọn B

Ta có F  x    f  x  dx , x  K   F  x    f  x  , x  K .
Cho hàm số f  x  xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K .
B. Nếu f  x  liên tục trên K thì nó có ngun hàm trên K .
C. Hàm số F  x  được gọi là một nguyên hàm của f  x  trên K nếu F   x   f  x  với mọi

xK .
D. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì hàm số F   x  là một nguyên
hàm của f  x  trên K .
Hướng dẫn giải

Chọn D
Dựa theo định lí 1 trang 95 SGK 12 CB suy ra khẳng định A đúng.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

Dựa theo định lí 3 Sự tồn tại nguyên hàm trang 97 SGK 12 CB kết luận B đúng.
Và C đúng dựa vào định nghĩa của nguyên hàm.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 9.

Tích Phân và Ứng Dụng

DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM.
1
Cho f  x  
, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
x2
A. Trên  2;   , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2   C1 ; trên khoảng

 ; 2  , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln   x  2   C2 ( C1 , C2 là các hằng số).
B. Trên khoảng  ; 2  , một nguyên hàm của hàm số f  x  là G  x   ln   x  2   3 .
C. Trên  2;   , một nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2  .
D. Nếu F  x  và G  x  là hai nguyên hàm của của f  x  thì chúng sai khác nhau một hằng

số.

Hướng dẫn giải
Chọn D
D sai vì F  x   ln  x  2  và G  x   ln   x  2   3 đều là các nguyên hàm của hàm số f  x 
nhưng trên các khoảng khác nhau thì khác nhau.
Câu 10. Khẳng định nào đây sai?
1
B.  dx  ln x  C .
A.  cos x dx   sin x  C .
x
2
C.  2 x dx  x  C .
D.  e x dx  e x  C .
Chọn A
Ta có  cos x dx  sin x  C  A sai.

Hướng dẫn giải

Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
x4  C
A.  x3dx 
.
4
C.  sin xdx  C  cos x .
Chọn B
Ta có

B.

1

 x dx  ln x  C .
D.  2e dx  2  e  C  .
x

x

Hướng dẫn giải

1

 x dx  ln x  C .

Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.  dx  x  2C ( C là hằng số).
C.  0dx  C ( C là hằng số).

xn 1
 C ( C là hằng số; n   ).
n 1
D.  e x dx  e x  C ( C là hằng số).

B.

n
 x dx 

Hướng dẫn giải

Chọn B
Đáp án B sai vì cơng thức trên chỉ đúng khi bổ sung thêm điều kiện n  1 .
Câu 13. Tìm nguyên hàm F  x     2 dx .
A. F  x    2 x  C .
3


C .
C. F  x  
3

B. F  x   2 x  C .

 2 x2
C .
D. F  x  
2

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có F  x     2 dx   2 x  C (vì  2 là hằng số).

Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x  2018 là

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

A. F  x   e x  sin x  2018 x  C .

B. F  x   e x  sin x  2018 x  C .

C. F  x   e x  sin x  2018 x .

D. F  x   e x  sin x  2018  C .

Hướng dẫn giải
Chọn A
Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f  x   2 x 3  9 là:
A.

1 4
x  9x  C .
2

1 4
x C .
4
Hướng dẫn giải

B. 4 x 4  9 x  C .

Chọn A

C.

D. 4 x3  9 x  C .

x4
x4
  2 x  9dx  2. 4  9 x  C  2  9 x  C .
Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e.x e  4 là
3

A. 101376 .

xe 1
 4x  C .
e 1
Hướng dẫn giải

B. e 2 .x e1  C .

Chọn D

C.

D.

e.xe 1
 4x  C .
e 1

e.xe 1
 4x  C .


e 1
Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   5 x 4  6 x 2  1 là
f  x  dx    e.xe  4  dx 

Ta có

B. x 5  2 x3  x  C .
x4
 2x2  2x  C .
D.
4
Hướng dẫn giải

A. 20 x3  12 x  C .
C. 20 x 5  12 x3  x  C .

Chọn B
Ta có   5 x 4  6 x 2  1 dx  x 5  2 x3  x  C .

Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai?
A.  0 dx  C .
Chọn C
Ta có:

B.

4
 x dx 

x5
1
 C . C.  dx  ln x  C .
5
x
Hướng dẫn giải

1

 x dx  ln x  C  C sai.

Câu 19. Nguyên hàm của hàm số y  x 2  3 x 

x3 3 x 2

 ln x  C .
A.
3
2
x3 3x 2

 ln x  C .
C.
3
2
Chọn D

D.  e x dx  e x  C .

1

là
x

x3 3 x 2 1

 2 C .
B.
3
2
x
3
2
x 3x

 ln x  C .
D.
3
2
Hướng dẫn giải

1
x3 3x 2

Áp dụng cơng thức ngun hàm ta có   x 2  3 x   dx  
 ln x  C .
x
3
2


File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 20. Cho hàm số f  x  

Tích Phân và Ứng Dụng

a b
  2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện
x2 x

1

 f  x  dx  2  3ln 2 . Tính T  a  b .
1
2

A. T  1 .

B. T  2 .

C. T  2 .
Hướng dẫn giải

Chọn C
Ta có

1


1
2

D. T  0 .

1

1

2

2

 a b

 a

f  x  dx    2   2  dx     b ln x  2 x   a  1  b ln 2 .
x

 x
1
1 x

Theo giả thiết, ta có 2  3ln 2  a  1  b ln 2 . Từ đó suy ra a  1 , b  3 .
Vậy T  a  b  2 .
Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  2 x  5 là

A. F  x   x 3  x 2  5 .

B. F  x   x 3  x  C .

C. F  x   x 3  x 2  5 x  C .

D. F  x   x 3  x 2  C .
Hướng dẫn giải

Chọn C
Nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  2 x  5 là F  x   x 3  x 2  5 x  C .
5

Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x)   3x  1 ?
A. F  x 

 3 x  1


6

B. F  x 

8.
18
6
3 x  1

C. F  x  
.

18

Chọn D

 3 x  1


6

2.
18
6
3 x  1

D. F  x  
.
6
Hướng dẫn giải
 1

1  ax  b 
Áp dụng   ax  b  dx 
 C với   1 và C là hằng số.
a  1
Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề.
1
1
Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2  x 2  là
x
3

4
2
x  x  3
x4  x2  3
 x3 1 x
2
C .
 C . D.
  C .
A.
B. 2  2x  C .
C. 
3x
x
3x
3
x 3
Hướng dẫn giải
Chọn D
1
1
1 x3 x
 1

Ta có   2  x 2   dx    x 2  x 2   dx      C .
3
3
x 3 3
x


1 1
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   7 x 6   2  2 là
x x
1
1
A. x 7  ln x   2 x .
B. x 7  ln x   2 x  C .
x
x


File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. x 7  ln x 

1
 2x  C .
x

Chọn D

Tích Phân và Ứng Dụng

D. x 7  ln x 
Hướng dẫn giải

1
 2x  C .
x

1
 2x  C .
x
Câu 25. Nguyên hàm của f  x   x 3  x 2  2 x là:

 f  x  dx

 x 7  ln x 

1 4
4 3
x  x3 
x C .
4
3
1
2 3
C. x 4  x3 
x C .
4
3

A.

Ta có:

x

3



 x 2  2 x dx 

1 4 1 3 4 3
x  x 
x C .
4
3
3
1
1
2 3
D. x 4  x3 
x C .
4
3
3
Hướng dẫn giải

B.

1 4 1 3 4 3
x  x 
x C .
4

3
3

Chọn A
Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  x 2018 là

x 2019
C.
673
1 x 2019
C.

C .
x 673
A.

B. 2 x3 

x

Chọn B
Ta có:

D.

1

2 x
Hướng dẫn giải

x 2019
C .
2019

 6054 x 2017  C .

3

 12
x 2019
x 2 x 2019
3
2018
2018 
2

x

C .

3.


C
3
x

x
d
x


3
x

x
d
x

 

3 2019
2019

2
x
Câu 27. Hàm số F ( x)  e  tan x  C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
1
1
A. f ( x)  e x  2
B. f ( x)  e x  2
sin x
sin x
x


1
e
C. f ( x )  e x 1 
D. f  x   e x 


2
cos 2 x
 cos x 
Hướng dẫn giải
1
Ta có:  e x  tan x  C   e x 
.
cos 2 x
Chọn D
1
x   0;  
f  x
Câu 28. Nếu  f  x  dx   ln 2 x  C với
thì hàm số
là
x
1 1
1
A. f  x    2  .
B. f  x   x  .
x
x
2x
1
1
1
C. f  x   2  ln  2 x  .
D. f  x    2  .
x
x 2x

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có  f  x  dx  F  x   C  F   x   f  x 





File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

1  2 x 
1 1
1
  1 
  2  với x   0;   .
Do đó f  x     ln 2 x       ln 2 x    2 
x
2x
x
x
x
 x
2

x  x 1
Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  
.
x 1
x2
1
1
 ln x 1  C . D. x 2  ln x  1  C .
A. x 
C .
B. 1 
C .
C.
2
x 1
2
 x  1
Hướng dẫn giải

Chọn C

x2  x  1
1
 x
x 1
x 1
2
x
  f  x  dx   ln x  1  C .
2

Ta có f  x  

A. F  x   3 x  tan x  C .

1
là
sin 2 x
B. F  x   3 x  tan x  C .

C. F  x   3 x  cot x  C .

D. F  x   3 x  cot x  C .

Câu 30. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   3 

Hướng dẫn giải

Chọn C

1
là F  x   3 x  cot x  C .
sin 2 x
1
Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3cos x  2 trên  0;   .
x
1
1
1
A. 3sin x   C .

B. 3sin x   C .
C. 3cos x   C .
x
x
x
Hướng dẫn giải
Chọn B
b
1 
1

Ta có  f  x  dx    3cos x  2  dx  3sin x   C .
x 
x
a

Nguyên hàm của hàm số f  x   3 

D. 3cos x  ln x  C .

Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  sin x là
A. x 3  cos x  C .

B. x 3  sin x  C .
C. x 3  cos x  C .
Hướng dẫn giải

D. 3 x3  sin x  C .

Chọn C

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  sin x là x 3  cos x  C .
Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x2  8sin x .
A.

 f  x  dx  6 x  8 cos x  C .
C.  f  x  dx  x  8cos x  C .
3

B.

 f  x  dx  6 x  8cos x  C .
D.  f  x  dx  x  8 cos x  C .
3

Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:  f  x  dx    3 x 2  8sin x  dx  x 3  8 cos x  C .

 x
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos2  
2
A.  f  x  dx  x  sinx  C .
B.

 f  x  dx  x  sinx  C .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C.

1

x

D.

 f  x  dx  2  2 sinx  C .

Lời giải
Chọn C

Tích Phân và Ứng Dụng
x

1

 f  x  dx  2  2 sinx  C .

x 1
 1  cos x 
 dx   sin x  C .
2
2 2

Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  cos x .
Ta có

A.
C.



 f  x  dx   

f  x  dx 

x2
 sin x  C .
2

B.

 f  x  dx  x sin x  cos x  C .

Chọn A

 f  x  dx  1  sin x  C .

x2
D.  f  x  dx   sin x  C .
2
Hướng dẫn giải

x2
 sin x  C .


2
a
b
Câu 36.   x 2  2 x3  dx có dạng x 3  x 4  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:
3
4
B. 1 .
C. 9 .
D. 32 .
A. 2 .
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm   x 2  2 x3  dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a .
f  x  dx    x  cos x  dx 

Ta có:

x

2

 2 x3  dx 

Suy ra để

x

2

1 3 1 4

x  x C .
3
2

 x 3  dx có dạng

a 3 b 4
x  x  C thì a  1, b  2.
3
4

Chọn B
Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ.

Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào
lấy đạo hàm của
Ví dụ:

a 3 b 4
x  x C .
3
4

A. Thay a  2 vào
:

a 3 b 4
x  x  C . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta
3
4

a 3 b 4
b
b
2
2
x  x  C ta được x3  x 4  C . Lấy đạo hàm của x3  x 4  C
3
4
3
4
3
4

2 3 b 4

2
3
x

x

C

  2 x  bx , vì khơng tồn tại số hữu tỉ b sao cho
3
4


2

3
2
x  2 x  2 x  bx3 , x   nên ta loại
đáp án A
a
b
1
b
1
b
B. Thay a  1 vào x 3  x 4  C ta được x3  x 4  C . Lấy đạo hàm của x3  x 4  C
3
4
3
4
3
4
:
1 3 b 4

2
3
2
3
2
3
x

x


C

  x  bx , vì tồn tại số hữu tỉ b sao cho x  2 x  2 x  bx , x   ( cụ
4
3

thể b  2   ) nên ta nhận đáp án B

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. Thay a  9 vào

Tích Phân và Ứng Dụng

a 3 b 4
b
b
x  x  C ta được 3 x 3  x 4  C . Lấy đạo hàm của 3 x 3  x 4  C :
3
4
4
4

 3 b 4

2

3
sao cho
 3 x  x  C   9 x  bx , vì khơng tồn tại số hữu tỉ b
4


9 x 2  2 x3  2 x2  bx3 , x   nên ta loại
đáp án C
a 3 b 4
32 3 b 4
D. Thay a  32 vào
x  x  C ta được
x  x  C . Lấy đạo hàm của
3
4
3
4
32 3 b 4
x  x C :
3
4
 32 3 b 4

2
3
x

x

C


  32 x  bx , vì khơng tồn tại số hữu tỉ b sao cho
3
4


2
3
2
32 x  2 x  2 x  bx3 , x   nên ta loại
đáp án D
Chú ý:
Ta chỉ cần so sánh hệ số của x 2 ở 2 vế của đẳng thức x 2  2 x 3  2 x 2  bx3 ;
9 x 2  2 x 3  2 x 2  bx 3 ;
32 x 2  2 x 3  2 x 2  bx 3 và có thể loại nhanh các đáp án A, C, D
Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh khơng đọc kĩ đề nên tìm giá trị của b . Nên khoanh đáp ánA.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau:
2
3
3
4
  x  2 x  dx  3x  8x  C .

Vì thế, a  9 để

x

2

 2 x 3  dx  3x 3  8 x 4  C có dạng

a 3 b 4
x  x C .
3
4

Học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
D. Đáp án D sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau:
2
3
3
4
  x  2 x  dx  3x  8x  C .

Học sinh khơng đọc kĩ u cầu đề bài nên tìm giá trị b .
a
b
Để   x 2  2 x3  dx có dạng x 3  x 4  C thì b  32 .
3
4
Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm.
1
1 3 5 
a 4 b 6
Câu 37.   x3 
x  dx có dạng

x  x  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a
12
6
5
3

bằng:
36
A. 1 .
B. 12 .
C.
1 3 .
D. Không tồn tại.
5
Hướng dẫn giải
Cách 1:
1
1 3 5 
Theo đề, ta cần tìm   x3 
x  dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a .
5
3

Ta có:





File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng

 1 3 1 3 5 
1 4 1 3 6
  3 x  5 x  dx  12 x  30 x  C .


1
1 3
1 3 5 
a 4 b 6
Suy ra để   x3 
x  dx có dạng
x  x  C thì a  1 , b 
 .
12
6
5
5
3

Chọn D
Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ.
a

b
Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào x 4  x 6  C . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta
12
6
a 4 b 6
lấy đạo hàm của x  x  C .
12
6
Ví dụ:
1 4 b 6
a 4 b 6
A. Thay a  1 vào
x  x  C ta được
x  x  C . Lấy đạo hàm của
12
6
12
6
1 4 b 6
x  x C:
12
6
 1 4 b 6
 1 3
5
x

x

C


  x  bx , vì khơng tồn tại số hữu tỉ b sao cho
6
 12
 3
1 3 1 3 5 1 3
x 
x  x  bx5 , x   nên ta
3
5
3
loại đáp ánA.
a 4 b 6
b
b
x  x  C ta được x 4  x 6  C . Lấy đạo hàm của x 4  x 6  C :
B. Thay a  12 vào
12
6
6
6
 4 b 6

3
5
sao cho
x

x


C

  4 x  bx , vì khơng tồn tại số hữu tỉ b
6


1 3 1 3 5
x 
x  4 x3  bx 5 , x   nên ta loại đáp án B
3
5
C. Loại đáp án C
36
Ta có thể loại nhanh đáp án C vì
1  3   và a   .
5
Vậy đáp án chính xác là đáp án D
Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không đọc kĩ đề nên sau khi tìm được giá trị của a ( khơng tìm giá trị của b
).Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm.
B. Đáp án B sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của a như sau:









6 1 3 6
 1 3 1 3 5 
1 4
1 3 6
4
x

x
dx

3

x

6

x

C

x

x C .

  3
5
3
5

5







6 1 3 6
1
1 3 5 
a 4 b 6
Vì thế, a  12 để   x3 
x  dx  x 4 
x  C có dạng
x  x C.
3
5
5
12
6


Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai cơng thức ngun hàm và chỉ tìm giá trị của b do khơng
đọc kĩ u cầu bài tốn:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân và Ứng Dụng





6 1 3 6
 1 3 1 3 5 
1 4
1 3 6
4
x

x
dx

3

x

6

x

C


x

x C .


 3

5
3
5
5


Vì

thế,

b

36
1 3
5





để





6 1 3 6
 1 3 1 3 5 
4
x

x
dx

x

x C


 3

5
5



có

dạng

a 4 b 6
x  x C.
12

6
Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
Câu 38.    2a  1 x 3  bx 2  dx , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng

   2a  1 x

3

 bx 2  dx 

A. 1; 3 .
1
1
x sin 2 x  cos 2 x
4
2

Cách 1:
Ta cần tìm
Ta có:

   2a  1 x

3 4
x  x 3  C . Giá trị a, b lần lượt bằng:
4
1
B. 3; 1 .
C.  ; 1 .
8

D.

Hướng dẫn giải
3

 bx 2  dx .

1
1
 2a  1 x 4  bx3  C .
4
3
3
1
1
Vì ta có giả thiết    2a  1 x 3  bx 2  dx  x 4  x 3  C nên  2a  1 x 4  bx 3  C có dạng
4
4
3
3 4
x  x3  C .
4
3
1
2a  1 


a  1
1

1
3
4
4
Để  2a  1 x 4  bx 3  C có dạng x 4  x 3  C thì 
, nghĩa là 
.
4
3
4
b  3
1 b  1
 3
Vậy đáp án chính xác là đáp ánA.
Cách 2:
Ta loại nhanh đáp án C vì giá trị a ở đáp án C không thỏa điều kiện a   .

   2a  1 x

3

 bx 2  dx 

Tiếp theo, ta thay giá trị a, b ở các đáp án A, B vào

   2a  1 x

3

 bx 2  dx .

Ta có:

3

 3 x 2  dx 

 3x

   2a  1 x

3

 bx 2  dx và tìm

3 4
x  x3  C nên đáp án chính xác là đáp ánA.
4

Chú ý:
Giả sử các giá trị a, b ở các đáp án A, B, C không thỏa yêu cầu bài tốn thì đáp án chính xác
là Chọn D.
Sai lầm thường gặp:
B. Đáp án B sai.
Một số học sinh không chú ý đến thứ tự sắp xếp nên học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ:
Ta có:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

   2a  1 x

3

Tích Phân và Ứng Dụng

 bx 2  dx   2a  1 x 4  bx 3  C .

Vì ta có giả thiết

   2a  1 x

3

 bx 2  dx 

3 4
x  x3  C .
4

3 4
x  x 3  C nên  2a  1 x 4  bx 3  C có dạng
4

3

1
1 3
3 4
 2a  1 
4
3
Để  2a  1 x  bx  C có dạng x  x  C thì 
4,
4
3
4
b  1
1

a  
nghĩa là 
8.
b  1

 
Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện: f  x   2 x  3cos x, F    3
2
A. F ( x)  x2  3sin x  6 
C. F ( x)  x 2  3sin x 

2
4

2
4

B. F ( x)  x 2  3sin x 

2
4

D. F ( x)  x2  3sin x  6 

Hướng dẫn giải
Ta có: F  x     2 x  3cos x  dx  x  3sin x  C

2
4

2

2


2
 
 
F    3     3sin  C  3  C  6 
2
4
2
2
Vậy F ( x)  x2  3sin x  6 

Chọn D

2
4

Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x )  2 x 
A. F( x)  cotx  x2 

2
16

1

thỏa mãn F( )  1 là:
2
sin x
4

2
16
2
D. F( x)  cotx  x2 
16
B. F( x)  cotx  x 2 

C. F( x)  cotx  x 2

Hướng dẫn giải

1 


Ta có: F  x     2 x  2  dx  x 2  cot x  C
sin x 

2


2
 
 
F    1     cot  C  1  C 
4
16
4
4

2
Vậy F( x)  cotx  x 
16
2

Chọn A
Câu 41. Nếu  f ( x )dx  e x  sin 2 x  C thì f ( x) là hàm nào?
A. e x  cos 2 x

B. e x  sin 2 x
C. e x  cos 2 x
Hướng dẫn giải

D. e x  sin 2 x

Ta có:  e x  sin 2 x  C   e x  sin 2 x
Chọn D
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của f ( x) 

Tích Phân và Ứng Dụng

x3  1
biết F(1) = 0
x2

x2 1 1
 
2 x 2
x2 1 1
C. F ( x)   
2 x 2

x2 1 3
 
2 x 2
x2 1 3
D. F (x)   
2 x 2

Hướng dẫn giải
3
x 1
1 
x2 1

Ta có: F  x    2 dx    x  2  dx    C
x
x 
2 x

2
1 1
3
F 1  0    C  0  C 
2 1
2
2
x 1 3
Vậy F (x)   
2 x 2
Chọn D
2 3
 là :
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 
x x
B. 2 x  3ln x  C .
A. 4 x  3ln x  C .
A. F ( x) 

C. 4 x





1

B. F ( x) 

D. 16 x  3ln x  C .

 3ln x  C .

Hướng dẫn giải

 2 3
Ta có:  
  dx  4 x  3ln x  C .
 x x
Chọn A
4
Câu 44. Tính  ( 3 x 2  )dx
x
33 5
3
A. 
x  4 ln x  C .
B. 3 x5  4ln x  C .
5

5
5
3
C. 3 x5  4ln x  C .
D. 3 x5  4ln x  C .
3
5
Hướng dẫn giải
3 5
4
3 x

Ta có:   3 x 2   dx 
 4ln x  C .
x
5

Chọn D
Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  4 x3  3x2  2 x  2 thỏa mãn F(1)  9 là:
A. F( x)  x 4  x3  x2  2 .

B. F( x)  x 4  x3  x2  10 .

C. F( x)  x 4  x3  x2  2 x .

D. F( x)  x4  x3  x2  2 x  10 .
Hướng dẫn giải
3
2
Ta có: F  x     4 x  3x  2 x  2  dx  x 4  x 3  x 2  2 x  C

F 1  9  14  13  12  2.1  C  9  C  10  F( x)  x 4  x 3  x 2  2 x  10 .

Chọn D
Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số y  (2 x  1)5 là:
1
A.
(2 x  1)6  C .
12

B.

1
(2 x  1)6  C .
6

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C.

1
(2 x  1)6  C .
2

Ta có:

  2 x  1

5

Tích Phân và Ứng Dụng

D. 10(2 x  1)4  C .
Hướng dẫn giải

6

1  2 x  1
1
6
dx  .
  2 x  1  C .
2
6
12

Chọn A
Câu 47. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x 2  x 3  4 thỏa mãn điều kiện F  0   0 là

2 3 x4
B. x   4 x .
C. x 3  x 4  2 x .
A. 2 x  4 x .
3
4
Hướng dẫn giải

2 x3 x 4
2
3
F
x

2
x

x

4
dx

  4x  C
Ta có:    

3
4
3
4
2.0 0
2
x4
F  0  0 
  C  0  C  0  F  x   x3   4 x .
3
4
3
4

Chọn D
Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng F ’  x   4 x 3 – 3 x 2  2 và F  1  3
3

4

A. F  x   x 4 – x 3  2 x  3

D. Đáp án khác.

B. F  x   x 4 – x 3 +2x  3

C. F  x   x 4 – x 3  2 x  3

D. F  x   x 4  x 3  2 x  3
Hướng dẫn giải
3
Ta có: F  x    F   x dx    4x  3x 2  2  dx  x 4  x 3  2x  C
4

3

F  1  3   1   1  2.  1  C  3  C  3

Vậy F  x   x 4 – x 3 +2x  3
Chọn B

f  x
f  x  x 1
Câu 49. Hàm số

xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là
. Biết rằng
f 0  3
f 2  f  4
?
. Tính
A. 10 .
B. 12 .
C. 4 .
D. 11 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
khi x  1
 x 1
Ta có f   x   
.

x

1
khi
x

1




x2
 x  C1 .

2
 x2

Khi x  1 thì f  x      x  1 dx     x   C2 .
 2


Khi x  1 thì f  x     x  1 dx 

 x2

 f  x     x   3
C 3
 2

Theo đề bài ta có f  0   3 nên 2
khi x  1 .

Mặt khác do hàm số

f  x  liên tục tại x  1 nên lim f  x   lim f  x   f 1
x 1

x1

 x
 x

 


1
1 
 lim     x   3  lim   x   C1      1  3   1  C1  C1  4 .
x 1
2
2 
  x1  2

  2

x2
Vậy khi x  1 thì f  x    x  4  f  2   f  4   12 .
2
2

2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24