Gioi han cua ham so tai 1 diem

Ngày soạn:
Ngày dạy:
Người dạy: Trần Thị Tuyết Ngân
Giáo viên hướng dẫn:
Tiết số: 53
TÊN BÀI: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Mục tiêu bài học
Qua bài học, học sinh sẽ:
1. Kiến thức
− Hiểu được khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm, chủ yếu thông
qua các ví dụ và minh họa.
− Hiểu được định lý về giới hạn hữu hạn.
2. Kỹ năng
− Biết cách vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để tính giới
hạn của các hàm số đơn giản.
− Biết cách tính giới hạn hữu hạn của hàm số bằng máy tính bỏ túi.
3.Thái độ
− Được rèn luyện tính tư duy logic có hệ thống.
− Được rèn luyện tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập.
− Được rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, trách nhiệm trong học tập và
làm việc nhóm.
− Kích thích được hứng thú học tập, giúp học sinh thấy được mối liên hệ
giữa các kiến thức trong toán học.
4. Năng lực
−

Phát triển năng lực tư duy logic, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề,
năng lực phân tích, năng lực hợp tác, năng lực đánh giá,…

II. Chuẩn bị bài học
1. Giáo viên (GV): Đồ dùng dạy học, Máy tính và máy chiếu, bảng phụ, các câu

hỏi gợi ý giúp học sinh tự tiếp cận kiến thức.
2. Học sinh (HS): Đồ dùng học tập, máy tính bỏ túi.
III. Tiến trình bài học
1. Ổn định: Ổn định tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ: (Lồng ghép vào các hoạt động)
3. Bài mới:
1


HOẠT ĐỘNG CỦA GV

HOẠT ĐỘNG CỦA
GHI BẢNG – TRÌNH
HS
CHIẾU
Hoạt động 1: Khám phá, phát hiện định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số
tại một điểm

HĐTP 1: Hình thành định nghĩa
GV ghi tiêu đề bài toán
lên bảng

−

−

GV gợi ý:
+ Các giá trị tương ứng
f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ),...

ủa hàm số
lập
thành 1 dãy số, kí

+

−

+

( f ( xn ))

xn ≠ 1

f ( xn )

2 x 2 − 2 xn
f ( xn ) = n
xn − 1

f ( xn ) =

Bằng các phép biến
đổi đại số và

HS suy nghĩ giải
quyết bài toán

+

2 x − 2 xn
xn − 1
2
n

2 x ( x − 1)
= n n
= 2 xn
xn − 1

lim f ( xn ) = lim 2 xn
= 2 lim xn = 2
+

Áp dụng định lý về
giới hạn của dãy số,
tính

lim f ( xn )

và một dãy
những số thực khác 1 ( tức
là

xn ≠ 1

lim xn = 1

b) Tính
Giải:

a) Vì

=

minh

.

nên:

2 x − 2 xn
xn − 1
2
n

2 xn ( xn − 1)
= 2 xn
xn − 1
∀n

,

Vì

rằng

.

lim f ( xn )

xn ≠ 1

f ( xn ) =

.

với mọi n) sao cho

.
a) Chứng
f ( xn ) = 2 xn

b)
−

2x2 − 2 x
f ( x) =
x −1

x1 , x2 ,..., xn ,...

thì với mọi n.

có thể biểu diễn
như thế nào?
+

Xét bài toán:
Cho hàm số

c

f ( x)

hiệu là

§2: Giới hạn của hàm số

lim xn = 1

.
nên:

lim f ( xn ) = lim 2 xn = 2 lim xn = 2

GV gợi động cơ:
Khi đó, ta nói rằng hàm
2x2 − 2 x
f ( x) =
x −1

số
có giới
hạn là 2 khi x dần tới 1.
Vậy, thế nào là giới hạn
hữu hạn của hàm số tại 1.
2


điểm.

− GV ghi tiêu đề lên
bảng.

I. Giới hạn hữu hạn của
hàm số tại 1 điểm.
1. Định nghĩa

HĐTP 2: Phát biểu định nghĩa
−

−

GV yêu cầu HS phát
biểu định nghĩa theo ý
hiểu.

−

GV chính xác hóa định
nghĩa và tóm tắt định
nghĩa.

−

HS phát biểu định
nghĩa theo ý hiểu.
HS ghi chép bài.

x → x0

y ( xn ) , xn ∈ K \ { x0 }
∀ daõ
⇔
lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L

GV đưa ra chú ý:
Ở đây, thay cho các

Chú ý:
Ở đây, thay cho các

(a; b), ( −∞; b), (a; +∞)

,

chung là khoảng

ta
K

K

lim f ( x ) = L

y ( xn ) , xn ∈ K \ { x0 }
∀ daõ
⇔
lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L

(−∞; +∞)

xác

hoặc trên
K \ { x0 } x0 ∈ K
,
Khi đó,

lim f ( x ) = L

hoặc

y = f ( x)

Cho hàm số
định trên

x → x0

khoảng

Định nghĩa 1 (SGK/124)

viết

khoảng

.

hoặc

( a; b), ( −∞; b), ( a; +∞)

( −∞; +∞)

chung là khoảng

, ta viết
K

.

HĐTP 3: Củng cố định nghĩa
−

GV hướng dẫn HS thực
hiện VD1.
+ Nêu tập xác định của
hàm số
+ Dựa vào định nghĩa:

HS thực hiện theo
hướng dẫn của GV.

−

+

TXĐ:

D = ¡ \ { −3}

Lấy 1 dãy
bất
kì cần thỏa mãn
những điều kiện gì?

f ( x) =

Cho
minh
Giải:



Lấy

x2 − 9
x −3

. Chứng

lim f ( x) = 6

( xn )



Ví dụ 1:

( xn )

x →3

bất kì thỏa Tập xác định:
3

D = ¡ \ { 3}




Bằng kiến thức đã
học tìm

mãn

lim f ( xn )

xn ∈ ¡ \ { −3}

lim xn = 3

và

.

x →3

Kết luận về

− GV giúp HS đưa ra lưu
ý
+ Mối quan hệ giữa tập
xác định và giới hạn
tại 1 điểm.

+

Lấy dãy số
kì.

( x − 3)( xn + 3)
= lim n
( xn − 3)

= lim

=6

=6

lim f ( x) = 6

Tìm

lim f ( x)

+

Kết luận

x → x0

lim f ( x) = lim x = x0

x → x0

x → x0

Tương tự đối với

−

x →3

.

Lưu ý: Hàm số

f ( x)

không

x0

xác

khi

x→3

.

Ví dụ 2:
Cho các hàm số sau:
f ( x) = x, ∀x ∈ ¡

HS dựa vào định
nghĩa và VD1 để giải g ( x) = c, ∀x ∈ ¡
quyết:
hằng số).
( xn )
+ Lấy dãy số
bất kì,
lim f ( x)

−

xn ∈ ¡

g ( x)

Do đó

xác định tại , nhưng vẫn
x=3
định tại
.
có thể có giới hạn tại điểm
f ( x)

có giới hạn là này.
6

lim f ( xn )

( xn − 3)( xn + 3)
( xn − 3)

= lim xn + lim 3

= lim xn + lim 3

+

.

= lim( xn + 3)

= lim( xn + 3)

bất

và

xn2 − 9
lim f ( xn ) = lim
xn − 3

f ( x) = 6
GV gợi động cơ nhằm ⇒ lim

x →3
đưa ra nhận xét:
− HS:
f ( x)
Tương tự VD trên:
+
không
+

lim xn = 3

xn2 − 9
lim f ( xn ) = lim
xn − 3

−

( xn )

là một dãy
thỏa mãn

Ta có:





Giả sử
số bất kì

xn ∈ ¡ \ { 3}

x −9
f ( xn ) =
xn − 3
2
n

lim f ( x)

( xn )

và
+ Ta có:

lim xn = x0

Tính

x → x0

(với c là

,

lim g ( x) ∀x ∈ ¡
0

x → x0

lim f ( xn ) = lim xn = x0

f ( x) = lim x = x0
GV đưa ra nhận xét ⇒ xlim
→x
x→x
SGK/124.
Tương tự ta có:
0

0

4

,

.

Giải:
Giả sử
bất kì,

( xn )

xn ∈ ¡

là một dãy số
và

lim xn = x0

+
−

GV đưa ra ví dụ, hỏi
đáp nhanh đối với HS.

lim g ( xn ) = lim c = c

⇒ lim g ( x) = lim c = c
x → x0

x → x0

Ta có:
lim f ( xn ) = lim xn = x0

⇒ lim f ( x) = x0
x → x0

Tương tự ta có:
lim g ( xn ) = lim c = c

⇒ lim g ( x) = lim c = c
x → x0

x → x0

NHẬN XÉT:

−

lim x = x0

HS áp dụng nhận xét,
thực hiện ví dụ

+

lim c = c

lim x = 6

a)

x →6

lim x = −

b)
c)

1
x →−
3

x → x0

+

(với c là

hằng số).
Ví dụ 3:

1
3

lim1 x

lim x

lim 5 = 5

x→−6

Tính: a)

2

d)

x → x0

4 4
2
lim  ÷ = lim =
x→ 3  3 
x→ 3 9
9

x →6

x →−

b)

3
2

lim 5

c)

x→−6

d)
Giải:

2
lim  ÷
x→ 3  3 

lim x = 6

a)

x →6

lim x = −

b)

1
x →−
3

1
3

lim 5 = 5

c)

x→−6

2

d)

4 4
2
lim  ÷ = lim =
x→ 3  3 
x→ 3 9
9

Hoạt động 2: Hình thành định lý về giới hạn hữu hạn
2. Định lý về giới hạn hữu
−

GV đặt vấn đề đưa ra
5


định lý:
+ Nhắc lại định lý về
giới hạn hữu hạn của
dãy số.
+ Giới hạn hữu hạn của
hàm số cũng có tính
chất tương tự.
+ GV đưa ra định lý

−

HS thực hiện yêu cầu
hạn
của GV.

−

HS chú ý ghi chép ĐỊNH LÝ: (SGK/125)
bài
lim f ( x) = L
a)

Giả

x → x0

sử

,

lim g ( x) = M

x → x0

.

Khi đó:

lim [f ( x) + g ( x )] = L + M

•

x → x0

lim [f ( x) − g ( x )] = L − M

•
•

x → x0

lim [f ( x).g ( x)] = L.M

x → x0

⇒ lim cf ( x) = c.L
x → x0

GV hướng dẫn HS cách
ghi nhớ nhanh:
Giới hạn của tổng,
hiệu, tích, thương của hai
hàm số tại một điểm bằng
tổng, hiệu, tích, thương
các giới hạn của chúng tại
điểm đó (trong trường hợp
thương, giới hạn của mẫu
phải khác không).
− GV: Định lý vẫn hoàn
toàn đúng trong trường
hợp tổng quát .
Tức là:
Giả sử :
−

lim

•

lim f n ( x) = Ln

x → x0

Khi đó:

=

b) Nếu
lim f ( x) = L
x → x0

và

L
M

(nếu M ≠ 0)
f ( x) ≥ 0
và

, thì L ≥ 0
f ( x) = L

lim

x → x0

(Dấu

f (x)

của
được xét trên
khoảng đang tìm giới
hạn, với

lim f1 ( x) = L1 , lim f 2 ( x) = L2 ,...,

x → x0

x→ x0

f ( x)
g ( x)

(c=const)

x → x0

−

HS tìm hiểu định lý
trong trường hợp
tổng quát
6

x ≠ x0

)


lim [f1 ( x) + f 2 ( x) + ... + f n (x)] =

x → x0

L1 + L2 + ... + Ln

Tương tự trong các công
thức còn lại.
− GV yêu cầu HS về nhà
hoàn thiện các công
thức tổng quát còn lại.

Tổng quát:
Giả sử :

lim f1 ( x) = L1 , lim f 2 ( x) = L2 ,...,

x → x0

x → x0

lim f n ( x) = Ln

x → x0

Khi đó:
•

lim [f1 ( x) + f 2 ( x) + ... + f n (x)] =

x → x0

L1 + L2 + ... + Ln
•

lim [f1 ( x) − f 2 ( x) − ... − f n (x)] =

x → x0

L1 − L2 − ... − Ln
•

lim [f1 ( x ). f 2 ( x ).... f n (x)] =

x → x0

L1.L2 ....Ln

Hoạt động 3: Củng cố và vận dụng định lý
Ví dụ 4
− GV hướng dẫn HS thực − HS thực hiện theo
x2 + 5x + 4
lim
hướng dẫn của GV
hiện VD4
x →−1
x +1
D = ¡ \ {-1}
Tính:
.
+ Tập xác định của hàm
+ TXĐ:
Giải:
số.

lim( x + 1)

+

Nhận xét về

lim ( x + 1)

x →−1

x →−1

= lim x + lim 1

lim( x + 1) = lim x + lim 1 = −1 + 1 = 0

x →−1

⇒

x →−1

x →−1

x→−1

chưa thể áp dụng định

+

x →−1

= −1 + 1 = 0

7

TXĐ:
Ta có:

D = ¡ \ {-1}


lý về giới hạn hữu hạn
+

Đặt

+

Với

x2 + 5x + 4
f ( x) =
x +1

x ≠ −1

, hàm số +

= lim x + lim 4

lim f ( x) = lim( x + 4)

còn được biểu
diễn như thế nào?

x →−1

x →−1

x →−1

x →−1

=3

= −1 + 4
=3

+

x →−1

= −1 + 4

= lim x + lim 4
x →−1

Áp dụng định lý về
giới hạn hữu hạn, tính

lim

x →−1

f ( x)

+

x2 + 5x + 4
x →−1
x +1
( x + 1)( x + 4)
= lim
x →−1
x +1
= lim ( x + 4)

x2 + 5x + 4
x +1
( x + 1)( x + 4)
=
x +1
= x+4
f ( x) =

lim f ( x )

x →−1

−

−

HS áp dụng định lý:

NHẬN XÉT:

GV giao VD2 (SGK /
lim ax k
Nếu k là một số nguyên
x
125) là bài tập về nhà → x
dương và a là một hằng số
= lim a. lim x. lim x... lim x
cho HS.
x→ x
x→ x
x→ x
x→ x
1 4 44 2 4 4 43
∀x0 ∈ ¡
GV hướng dẫn HS áp
k
thì
, ta có:
dụng định lý để đưa ra = a.(lim x ) k = ax k
0
x→ x
nhận xét.

lim ax k = ax0k
x → x0
− HS thực hiện theo
yêu cầu của GV
0

−

0

0

0

0

0

GV chia lớp thành 4
nhóm.
− GV trình chiếu đề bài
lên bảng
(Sử dụng máy chiếu)
−

Phiếu học tập
Nhóm 1, 3
Tìm:

Phiếu học tập

Nhóm 1, 3
Tìm:

lim

Nhóm 2, 4
a)


Nhóm 1, 3:

a)

b)

x →1

lim ( x 3 + 7 x )

x →−1

Giải:
a)
8

x2 + x − 2
x3 − x 2


a)

lim
x →1

c)
x2 + x − 2
x3 − x 2

b)

lim ( x + 7 x )
3

x →−1

2x2 − x + 1
x →2 x 2 + 2 x

lim

d)
lim
x →3

x2 + 1
2 x

x2 + x − 2
x →1 x 3 − x 2
( x − 1)( x + 2)
= lim

x →1
x 2 ( x − 1)
x + 2 lim( x + 2)
= lim 2 = x→1
x →1 x
lim x 2

lim

x →1

=
+

Sau thời gian 5 phút,
GV chọn ngẫu nhiên
2 nhóm trình bày kết
quả lên bảng.

lim x + lim 2
x →1

lim x.lim x
x →1

1+ 2
1.1
=3

lim x.lim x

x →1

b)

lim ( x + 7 x )

lim ( x3 + 7 x )

x →−1

x →−1

= lim x3 + 7.(lim x)

= lim x3 + 7.(lim x)

x →−1

x →−1

= −1 + 7.( −1)

x →−1

= −1 + 7.( −1)
= −8

= −8

Nhóm 2, 4:

c)

c)

2x2 − x + 1
lim
+ Hai nhóm còn lại x → 2 x 2 + 2 x
quan sát và nhận xét
lim(2 x 2 − x + 1)
x →2
bài làm của nhóm =
lim( x 2 + 2 x )

2 x2 − x + 1
lim 2
x →2
x + 2x
lim(2 x 2 − x + 1)
= x →2
lim( x 2 + 2 x )

x→2

=

x →1

1+ 2
1.1

=3

3

bạn.

x →1

=

b)

x →−1

lim x + lim 2
x →1

=



x →1

=

x →1

x →1

x2 + x − 2

x →1 x 3 − x 2
( x − 1)( x + 2)
= lim
x →1
x 2 ( x − 1)
x + 2 lim( x + 2)
= lim 2 = x→1
x →1 x
lim x 2

lim

x →2

lim 2 x 2 − lim x + lim1
x →2

x→2

x→2

lim x 2 + lim 2 x
x →2

=

x →2

2.2.2 − 2 + 1
=

2.2 + 2.2
7
=
8

d)

x →2

x →2

2.2.2 − 2 + 1
2.2 + 2.2
7
=
8
=

x →2

lim x + lim 2 x
2

x →2

d)

9

lim 2 x 2 − lim x + lim1

x →2


x 2 + 1)
x 2 + 1 lim(
x →3
=
+ GV đưa ra nhận xét lim
x →3 2 x
lim 2 x
x →3
về bài của các nhóm.
2
lim x + lim1
x →3
= x →3
lim 2.lim x
x →3

=
=

x →3

x→3

lim 2. lim x
x →3

3.3 + 1 5 3

=
3
2 3

lim f ( x)

x → x0

Để tính
− Casio fx-570:
B1: Nhập vào máy tính
f (X )

biểu thức
B2: Bấm phím CALC.
X =?

bằng

x0

như

X = x0 ± 10−8

−

=

HS sử dụng máy tính

bỏ túi kiểm tra lại các
kết quả trên.
10

lim x + lim1
x →3

=

x →3

lim x.lim x + lim1
x →3

x →3

x →3

lim 2. lim x
x →3

=

x →3

lim 2.lim x
x →3

x →3

- HS tiến hành tính toán
dưới sự hướng dẫn của
− GV hướng dẫn HS cách
GV.
tính nhanh giới hạn
hữu hạn của hàm số
bằng máy tính bỏ túi
thông qua thao tác trên
máy tính bỏ túi.
(Đồng thời chiếu lên
màn hình máy chiếu để
tất cả HS dễ dàng quan
sát)
 Cách tính giới hạn hàm
số bằng máy tính bỏ túi
(Casio fx-570, Vinacal)

Máy tính hỏi
, ta
nhập vào giá trị xấp xỉ

x →3

2

x →3

lim x.lim x + lim1
x →3

x 2 + 1)
x 2 + 1 lim(
x →3
lim
=
x →3 2 x
lim 2 x

x →3

3.3 + 1 5 3
=
3
2 3


10−5 ,10 −9 ,...

(hoặc
).
Sau đó nhấn phím “ = ”.
− Vinacal:
B1: Bấm tổ hợp phím
SHIFT_6_5, màn hình
hiện

Lưu ý:

lim(...) |x→...
f ( x)

Khi sử dụng máy tính
bỏ túi, kết quả thường chỉ
xấp xỉ đáp án.

x0

B2: Nhập
và
vào
máy tính.
Sau đó nhấn phím “ = ”.
− GV yêu cầu HS sử
dụng máy tính bỏ túi
thử lại giới hạn của các
hàm số trong hoạt động
nhóm.
− GV giúp HS lưu ý các
vấn đề khi sử dụng
máy tính bỏ túi để tính
giới hạn của hàm số.

Vì vậy, thường dùng
cách này để kiểm tra, thử
lại kết quả.

IV. Củng cố:
Qua bài học, HS cần:
− Nắm vững định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, định lý về
−

giới hạn hữu hạn.
Biết vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để giải một số bài
toán cụ thể.

GV giúp HS hệ thống lại kiến thức bằng một số câu hỏi trắc nghiệm:
Chọn đáp án đúng nhất:
Câu 1: Khẳng định nào sau đây không chính xác?
A. Hàm số

f ( x)

không xác định tại

x0

, nhưng vẫn có thể có giới hạn tại điểm này.
11


lim f ( x) = L ⇔ ∀( xn ), xn ∈ K \ { x0 }

B.

x → x0

và

xn → x0 ⇒ f ( xn ) → L

lim [f ( x ) + g ( x )] = L + M

C.

x → x0

lim f ( x) = L ⇒ lim

x → x0

x → x0

f ( x) = L

D.
Câu 2: Tính:
lim
x →2

A. 7

3x + 2
x −1

B. 8

C. -1

D. 0

Câu 3: Tính:
lim
x →1

A. 1

x2 −1
x 2 − 3x + 2

B. 2

C. 0

D. -2

C. 0

D. 1

Câu 4: Tính:

lim
x→2

A. 6

2− x
x+7 −3

B. -6

V. Dặn dò
12


Đọc lại bài, đọc trước nội dung: Giới hạn một bên; Giới hạn hữu hạn của
hàm số tại vô cực.
− Bài tập về nhà:
+ Hoàn thành định lý tổng quát về giới hạn hữu hạn của hàm số.
+ Bài 1, 3a,b,c (SGK/132)
* RÚT KINH NGHIỆM BÀI HỌC:
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
−

13