Đề thi & DA (chuyên Lê Hồng Phong NĐ 08-09)

sở GD - Đt Nam Định
đề chính thức
kỳ thi tuyển sinh vào trung học phổ thông
năm học 2008 -2009
môn : toán - đề chuyên lê hồng phong
Bài 1: Chứng minh rằng nếu phơng trình bậc hai
2
. . 0a x b x c+ + =
có hai nghiệm dơng
1 2
;x x
thì phơng trình
2
0cx bx a+ + =
cũng có hai nghiệm
3 4
;x x
đồng thời:
1 2 3 4
4x x x x+ + +
.
Bài 2:
1. Cho a; b; c là các số thực đôi một khác nhau. Rút gọn biểu thức sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c
A
a b a c b c b a c a c b
= + +

2. Cho các số thực dơng x; y; z thoả mãn:
3 3 3

3 0x y z xyz+ + =
.
Tính giá trị của biểu thức:
( ) ( ) ( )
27 6 2008
B x y y x z x= + +
Bài 3:
1. Giải hệ phơng trình:

( )
2
2 2
2 3 0
1 4 5 3
x x y
x x x y x

=


= + +


2. Giải phơng trình:
( ) ( )
4 4
1 3 34x x + =
Bài 4: Cho đờng tròn (O; R) và một đờng thẳng d đi qua O. Lấy A và B là hai điểm
thuộc d sao cho OA = OB < R; M là điểm tuỳ ý trên (O; R) thoả mãn OM
không vuông góc với d đồng thời M không thuộc d. Các đờng thẳng MA,

Mo, MB Cắt (O; R) lần lợt tại Q, R, P (khác M). Đờng thẳng PQ cắt d tại S.
1. Chứng minh:
2 2 2
MA MB AB+ >
2. Chứng minh SR là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R).
Bài 5:
1. Cho a; b là các số thực dơng thoả mãn: a + b =1. Chứng minh rằng:

2 2
1 1
6
.a b a b
+
+
2. Tìm tất cả các bộ số nguyên dơng x; y; z sao cho:
( )
2
2 2x y z x y+ + +
là số
chính phơng.
.....hết....
Trần Văn Biền - Trờng THCS Trần Huy Liệu - Vụ Bản - Nam Định
sở GD - Đt Nam Định
đề chính thức
kỳ thi tuyển sinh vào trung học phổ thông
năm học 2008 -2009
môn : toán - đề chuyên lê hồng phong
đáp án và thang điểm
bài đáp án điểm
Bài 1(1;5đ)

Với
0
x
> 0 ta có :
2
0 0
2
0 0
1 1
0 0ax bx c a b c
x x
+ + = + + =
0.25
Do đó nếu
1 2
;x x
là nghiệm dơng của PT:
2
. . 0a x b x c+ + =
thì :
3 4
1 2
1 1
;x x
x x
= =
là nghiệm của PT:
2
0cx bx a+ + =
0.5

Ta có:
1 2 3 4 1 2
1 2
1 1
x x x x x x
x x
+ + + = + + +
.
0.25
Theo BĐT côsi:
1 2
1 2
1 1
2; 2x x
x x
+ +
(Vì
1 2
;x x
dơng)
Vậy:
1 2 3 4
4x x x x+ + +
.
0.5
Bài 2(2,0đ)
1.
.( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
a b c b c a c a b

A
a b a c b c b c b a c a c a c b a b

= + +

0.25
=
( ) ( ) ( )
( )( )( )
a b c b c a c a b
a b a c b c


0.25
Ta có:a(b-c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0
0.25
Vậy A = 0 0.25
2.Phân tích
3 3 3 2 2 2
3 ( )(x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + = + + + +
.
0.25
Do x; y; z dơng nên x + y + z > 0
2 2 2
0x y z xy yz xz + + =
0.25
Mặt khác:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2

1 1 1
2 2 2
x y z xy yz xz x y y z z x
x y z
+ + = + +
= =
0.25
Vậy:
( ) ( ) ( )
27 6 2008
B x y y x z x= + +
0.25
Bài 3(2,0đ)
1.
( )
2
2 2
2 3 0
1 4 5 3
x x y
x x x y x

=


= + +


Nếu hệ có nghiệm (x; y) từ (1)
2

2 3y x x =
thay vào (2)
( )
( )
2
2 2 2
1 2 4 3 2 1 2 4 3x x x x x x = + + +
(3)
Do 2x
2
- 4x + 3 > 0 và
( )
2
2 1 1x x +

0.25
( )
( )
2
2 2
2 4 3 2 1 2 4 3x x x x x + + +
Vậy từ (3)
( )
2
2 2
1 2 4 3 2 0 2x x x x x + =
Với x = 2 thay vào hệ ta đợc y = 2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2
0.5
0.25

2. Đặt x - 2 = t, ta đợc phơng trình
( ) ( )
4 4
1 1 34t t+ + =
4 2 4 2
2 12 2 34 6 16 0(*)t t t t + + = + =
Giải phơng trình (*) ta đợc
2
2 2t t= =
Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là:
1 2
2 2; 2 2x x= + =
M
0.25
0.25
0.25
0.25
Trần Văn Biền - Trờng THCS Trần Huy Liệu - Vụ Bản - Nam Định
(1)
(2
)

d S C D

Q II

P
R
Không làm mất tính tổng quát giả sử MA > MB.
1. Gọi C; D là giao điểm của d với (O; R). Ta có

ã
0
90CMD
=
Mà OA = OB < R

A và B nằm giữa C và D

ã
AMB
nhỏ hơn
ã
CMD


ã
AMB
là góc nhọn.
Kẻ BH vuông góc với AM thì H nằm giữa AvàM (Vì MA > MB)
Xét tam giác vuông AHB và MHB, theo định lý Pitago ta có:
2 2 2
AB AH HB= +
và có HB <MB; AH < MA
Vậy
2 2 2 2 2 2 2
MA MB AH HB MA MB AB+ > + + >
(đpcm)
2. Kẻ QE // d (E

MP) . Gọi I là trung điểm của PQ và

K QE=
MRI
. Ta có
OI PQ
( Bán kính vuông góc với dây tại
trung điểm của dây)
Theo GT OA = OB suy ra KQ = KE ( Vì QE // AB)
Vì K là trung điểm của QE và I là trung điểm của PQ nên IK//PE
Do đó:
ã
ã
QIK QPE=
(1) (Hai góc đồng vị)
mà
ã ã
QRM QPM=
(2) (Cùng chắn cung QM của (O) )
Từ ( 1) và (2) suy ra
ã
ã
QRK QIK=
suy ra tứ giác QRIK là tứ giác nội
tiếp
Ta có:
ã
ã
KQI BSQ=
(3) ( hai góc đồng vị )

ã

ã
KQI KRI=
(4) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung KI của
đờng tròn ngoại tiếp tứ giác QRIK)
Từ (3) và (4) suy ra tứ giác SRIQ là tứ giác nội tiếp
ã
ã
0
90SRO SIO = =

SR OR

suy ra SR là tiếp tuyến của (O; R)
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 5(1,5đ)
Ta có
1 1 4
x y x y
+
+
(*)

x,y dơng.
Thật vậy (*)

( ) ( )
2 2
4 0x y xy x y +
(luôn đúng).Vậy (*)đúng
0.25
Ta có
2 2 2 2
1 1 1 1 1
. 2 2a b a b ab ab a b
+ = + +
+ +
áp dung (*) ta đợc:
2 2 2 2
1 1 4
4
2 2ab a b ab a b
+ =
+ + +
(Vì a; b > 0 và a + b = 1 )
mặt khác
( )
( )
2
2
1 2
4 2
2
a b ab
ab
a b

+ =
+
.Vậy
2 2
1 1
6
.a b a b
+
+

0.25
0.25
2. Với x, y, z là các số nguyên dơng ta có 0.25
Trần Văn Biền - Trờng THCS Trần Huy Liệu - Vụ Bản - Nam Định
. O
H
BA
E
I
K
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1x y z x y z x y z+ + < + + < + + +
.
Mặt khác:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 2x y z x y z x y z x y z x y+ + + = + + + + + + > + + +

( ) ( ) ( )

2 2
2
( 1) 2 1 2 2x y z x y z x y z x y z x y+ + = + + + + + < + + +
Từ đó suy ra :
( )
2
2 2x y z x y+ + +
là số chính phơng thì
( )
2
2 2x y z x y+ + +
=
( )
2
x y z+ +
suy ra x = y.
Với x = y tuỳ ý thì:
( )
2
2 2x y z x y+ + +
=
( )
2
2x z+
luôn là số chính
phơng.
Vậy các bộ ba số x; y; z thoả mãn yêu cầu bài toán là (n; n; k) với
n; k là các số nguyên tuỳ ý
0.25
0.25

Trần Văn Biền - Trờng THCS Trần Huy Liệu - Vụ Bản - Nam Định