phương trình đường thẳng VD thấp 13 câu p2 có lời giải chi tiết

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – VẬN DỤNG THẤP – P2
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

 P :

x  2 y  2 z  5  0 và hai điểm A  3;0;1 ,

B 1; 1;3 . Trong tất cả các đường thẳng đi qua A và song song với mặt phẳng  P  , gọi  là
đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến  là lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng  .
x 5 y
z
x  1 y  12 z  13
A.  :
.
B.  :
.




2
6 7
2
6
7
x 1 y  1 z  3
x  3 y z 1
C.  :
.
D.  :
.





2
2
6 3
6
7
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng

 P  : 3x  2 y  2 z  5  0

và

 Q  : 4 x  5 y  z  1  0 . Các điểm A, B phân biệt cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng
 P  và  Q  . Khi đó AB cùng phương với véctơ nào sau đây?
A. w   3; 2; 2  .
B. v   8;11; 23 . C. k   4;5; 1 .
D. u  8; 11; 23
x y 1 z  2
và mặt phẳng


1
1
1
 P  : x  2 y  2 z  4  0. Phương trình đường thẳng d nằm trong  P  sao cho d cắt và vuông

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :

góc với đường thẳng  là
 x  3  t
A. d :  y  1  2t  t   .
 z  1 t


 x  3t

B. d :  y  2  t  t 
 z  2  2t


.

 x  2  4t

C. d :  y  1  3t  t 
 z  4t


 x  1  t

D. d :  y  3  3t  t 
 z  3  2t


.

.

Câu 4: Cho hai điểm A  3;3;1 , B  0;2;1 và mặt phẳng   : x  y  z  7  0 . Đường thẳng d nằm
trên   sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm A, B có phương trình là

x  t

A.  y  7  3t .
 z  2t


x  t

B.  y  7  3t .
 z  2t


 x  t

C.  y  7  3t .
 z  2t


 x  2t

D.  y  7  3t .
z  t


Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M  2; 2;1 , A 1;2; 3 và đường thẳng

x 1 y  5 z
. Tìm véctơ chỉ phương u của đường thẳng  đi qua M , vuông góc


2
2
1
với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.
d:

A. u   2;1;6  .

B. u  1;0;2  .

C. u   3;4; 4  .

D. u   2;2; 1 .

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 2; 1), B 1; 2;  3 và đường thẳng

d:

x 1 y  5 z

 . Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng  qua A, vuông góc với d
2
2
1

đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất.

A. u  (2;1;6)

C. u  (25; 29; 6)

B. u  (2;2; 1)

D. u  (1;0;2)

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , gọi d đi qua A  3; 1;1 , nằm trong mặt phẳng

 P  : x  y  z  5  0 , đồng thời tạo với

:

x y2 z

 một góc 450 . Phương trình đường
1
2
2

thẳng d là
 x  3  7t

A.  y  1  8t .
 z  1  15t


x  3  t

B.  y  1  t .
z  1


 x  3  7t

C.  y  1  8t .
 z  1  15t


 x  3  7t
x  3  t


D.  y  1  t và  y  1  8t .
z  1
 z  1  15t



Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :
 x  1  2t

d 2 :  y  1  t . Phương trình đường thẳng vuông góc với
z  3


x y 1 z  2



và
2
1
1

 P  : 7 x  y  4z  0

và cắt hai

đường thẳng d1 , d 2 là

x7 y z 4
 
.
2
1
1
x  2 y z 1


C.
.
7
1
4

x  2 y z 1
 

.
7
1
4
x  2 y z 1
 
D.
7
1
4

A.

B.

x  1 y  2 z 1


và
3
1
2
x  3
x 1 y z  1

2 :
 
. Phương trình đường thẳng song song với d :  y  1  t và cắt hai đường
1
2

3
z  4  t


Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 :

thẳng 1;  2 là
x  2

A.  y  3  t .
z  3  t


 x  2

B.  y  3  t .
 z  3  t


 x  2

C.  y  3  t .
 z  3  t


x  2

D.  y  3  t .
z  3  t


x  12 y  9 z  1


, và mặt thẳng
4
3
1
 P : 3x  5 y  z  2  0 . Gọi d ' là hình chiếu của d lên  P  . Phương trình tham số của d ' là

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

 x  62t

A.  y  25t .
 z  2  61t


 x  62t

B.  y  25t .
 z  2  61t


 x  62t

C.  y  25t .
 z  2  61t


 x  62t

D.  y  25t .
 z  2  61t



 x  1  2t

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :  y  2  4t . Hình chiếu song song
z  3  t


của d lên mặt phẳng  Oxz  theo phương  :
 x  3  2t

A.  y  0
.
 z  1  4t


x  3  t

B.  y  0
.
 z  1  2t


x 1 y  6 z  2



có phương trình là
1
1
1
 x  1  2t
 x  3  2t


C.  y  0
.
D.  y  0
.
z  1 t
 z  5  4t



x 1 y z 1
, điểm A  2; 2; 4  và
 
1
2
3
mặt phẳng  P  : x  y  z  2  0 . Viết phương trình đường thẳng  nằm trong  P  , cắt d sao

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

cho khoảng cách từ A đến  lớn nhất.
x y z2

A. 

1 2
1
x2 y2 z4
C.


1
2
1

x 3 y  4


1
2
x 1 y  1
D.


1
2
B.

z 3
1
z2
1

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  5  0 và đường thẳng
x 1 y 1 z

 . Đường thẳng  nằm trên mặt phẳng  P  , đồng thời vuông góc và cắt
2
2
1
đường thẳng d có phương trình là
x 1 y 1 z 1
x 1 y 1 z 1
A.
.
B.




2
3
2
2
3
2
x 1 y 1 z 1
x 1 y  1 z 1
C.
.
D.
.





2
2
3
3
2
2
d:

ĐÁP ÁN
1-B

2-D

3-C

11-B

12-B

13-B

4-A

5-B

6-D

7-D

8-B

9-A

10-C

( – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết)
Quý thầy cô liên hệ đặt mua word: 03338.222.55


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: B

Ta có:  3  2.0  2.1  5 . 1  2.  1  2.3  5  24  0 .

 A , B là hai điểm nằm khác phía so với mặt phẳng  P  .
Gọi H là hình chiếu của B lên  .
Ta có: BH  BA nên khoảng cách từ B đến  lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A .
Khi đó: AB   .
Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến là n  1; 2; 2  .
AB   4; 1; 2  .

 n1   n, AB    2;6;7  .

Đường thẳng  đi qua điểm A  3;0;1 và nhận n1   2;6;7  làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng  là:
Câu 2: D

x  1 y  12 z  13
.


2
6
7

* Ta có:  P   n P   3; 2; 2  ,  Q   nQ   4;5; 1 .


 AB   P  
 AB  n P 
* Do 
nên đường thẳng AB có véctơ chỉ phương là:

AB

Q


AB

n
Q








u  nQ ; n P   8; 11; 23
* Do AB cũng là một véc tơ chỉ phương của AB nên AB //u  8; 11; 23 .
Câu 3: C

Vectơ chỉ phương của  : u  1;1; 1 , vectơ pháp tuyến của  P  là n P   1;2;2  .


d  
u d  u 
Vì 

 u d  u  ; n P     4; 3;1 .
d

P



u

n
 P
 d



x  t

 y  1 t

Tọa độ giao điểm H     P  là nghiệm của hệ 
 t  2  H  2; 1; 4  .
z

2

t


x  2 y  2z  4  0
Lại có  d ;     P   d , mà H     P  . Suy ra H  d .


Vậy đường thẳng d đi qua H  2; 1; 4  và có VTCP u d   4; 3;1 nên có phương trình
 x  2  4t

d :  y  1  3t  t 
 z  4t


.

Câu 4: A
Mọi điểm trên d cách đều hai điểm A, B nên d nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn AB .

3 5 
2 2 

Có AB   3; 1;0  và trung điểm AB là I  ; ;1 nên mặt phẳng trung trực của AB là:

3 
5

3  x     y    0  3x  y  7  0 .
2 
2

Mặt khác d    nên d là giao tuyến của hai mặt phẳng:

3x  y  7  0
 y  7  3x
.


x  y  z  7  0
z  2x

x  t

Vậy phương trình d :  y  7  3t  t 
 z  2t


.

Câu 5: B

Gọi  P  là mặt phẳng qua M và vuông góc với d . Phương trình của

 P  : 2x  2 y  z  9  0 .
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên ,  P  .
Ta có K  3; 2; 1

d ( A, )  AH  AK
Vậy khoảng cách từ A đến  bé nhất khi  đi qua M , K .  có véctơ chỉ phương
u  1;0;2 
Câu 6: D
Cách 1 (Tự luận)
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d, B’ là hình chiếu của B lên (P)
Khi đó đường thẳng  chính là đường thẳng AB’ và u  B'A



Qua A(2; 2;1)
 (P) : 2 x  2 y  z  9  0
VTPT
n

u

(2;2;

1)

P
d


Ta có  P  : 

 x  1  2t

Gọi d’ là đường thẳng qua B và song song d’  d '  y  2  2t
 z  3  t

B’ là giao điểm của d’ và (P)  B '(3; 2; 1)  u  B ' A  (1;0;2)  Chọn D
Cách 2: Không cần viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d.

 x  1  2t

Gọi d’ là đường thẳng qua B và song song d’  d '  y  2  2t
 z  3  t

B’  d’  B ' A   2t  3; 2t  4; t  4 
AB’  d  ud . B ' A  0  t  2  u  B ' A  (1;0;2) .
Câu 7: D
 có vectơ chỉ phương a  1; 2; 2 

d có vectơ chỉ phương ad   a; b; c 

 P

có vectơ pháp tuyến nP  1; 1;1

d   P   ad  nP  b  a  c; 1

 , d   450  cos  , d   cos 450


a  2b  2c



3 a 2  b2  c2

2
2

 2  a  2b  2c   9  a 2  b 2  c 2  ;  2 
2

c  0
Từ (1) và (2), ta có: 14c 2  30ac  0  
15a  7c  0
x  3  t

Với c  0 , chọn a  b  1 , phương trình đường thẳng d là  y  1  t
z  1

 x  3  7t

Với 15a  7c  0 , chọn a  7  c  15; b  8 , phương trình đường thẳng d là  y  1  8t .
 z  1  15t


Câu 8: B
Gọi d là đường thẳng cần tìm
Gọi A  d  d1 , B  d  d2

A  d1  A  2a;1  a; 2  a 
B  d 2  B  1  2b;1  b;3
AB   2a  2b  1; a  b; a  5 

 P  có vectơ pháp tuyến

nP   7;1; 4 


d   P   AB, n p cùng phương

 có một số k thỏa AB  kn p
2a  2b  1  7k
2a  2b  7k  1 a  1



 a  b  k
 a  b  k  0
 b  2
a  5  4k
a  4k  5
k  1




d đi qua điểm A  2;0; 1 và có vectơ chỉ phương ad  nP   7;1  4 
Vậy phương trình của d là

x  2 y z 1
 
.
7
1
4

Câu 9: A
Gọi  là đường thẳng cần tìm
Gọi A    1 , B     2

A  1  A  1  3a; 2  a;1  2a 
B   2  B 1  b; 2b; 1  3b 
AB   3a  b  2; a  2b  2; 2a  3b  2 

d có vectơ chỉ phương ad   0;1;1
 / / d  AB, ad cùng phương

 có một số k thỏa AB  kad
3a  b  2  0
3a  b  2
a  1



 a  2b  2  k  a  2b  k  2  b  1
2a  3b  2  k
2a  3b  k  2
k  1





Ta có A  2;3;3 ; B  2; 2; 2 
 đi qua điểm A  2;3;3 và có vectơ chỉ phương AB   0; 1; 1
x  2

Vậy phương trình của  là  y  3  t .
z  3  t


Câu 10: C
Cách 1:
Gọi A  d   P 

A  d  A 12  4a;9  3a;1  a 
A   P   a  3  A  0;0; 2 

d đi qua điểm B 12;9;1
Gọi H là hình chiếu của B lên  P 

 P  có vectơ pháp tuyến nP   3;5; 1
BH đi qua B 12;9;1 và có vectơ chỉ phương

aBH  nP   3;5; 1


 x  12  3t


BH :  y  9  5t
z  1 t

H  BH  H 12  3t ;9  5t ;1  t 
H  P  t  

78
 186 15 113 
H
; ;

35
7 35 
 35

 186 15 183 
AH  
; ;

7 35 
 35

d ' đi qua A  0;0; 2  và có vectơ chỉ phương ad '   62; 25;61
 x  62t

Vậy phương trình tham số của d ' là  y  25t
 z  2  61t


Cách 2:

Gọi  Q  qua d và vuông góc với  P 

d đi qua điểm B 12;9;1 và có vectơ chỉ phương ad   4;3;1

 P

có vectơ pháp tuyến nP   3;5; 1

Q 

qua B 12;9;1 có vectơ pháp tuyến nQ  ad , nP    8;7;11

 Q  : 8x  7 y 11z  22  0
d ' là giao tuyến của  Q  và  P 
Tìm một điểm thuộc d ' , bằng cách cho y  0
3x  z  2
x  0

 M  0;0; 2   d '
Ta có hệ 
8 x  11z  22  y  2

d ' đi qua điểm M  0;0; 2  và có vectơ chỉ phương ad  nP ; nQ    62; 25;61
 x  62t

Vậy phương trình tham số của d ' là  y  25t .
 z  2  61t

Câu 11: B
Giao điểm của d và mặt phẳng  Oxz  là: M 0 (5;0;5) .

 x  1  2t

Trên d :  y  2  4t chọn M bất kỳ không trùng với M 0 (5;0;5) ; ví dụ: M (1; 2;3) . Gọi A là
z  3  t


x 1 y  6 z  2


.
1
1
1
x 1 y  6 z  2


+/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với  :
.
1
1
1
+/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và  Oxz 
hình chiếu song song của M lên mặt phẳng  Oxz  theo phương  :


+/ Ta tìm được A(3;0;1)
 x  1  2t

Hình chiếu song song của d :  y  2  4t lên mặt phẳng  Oxz  theo phương
z  3  t



x 1 y  6 z  2


là đường thẳng đi qua M 0 (5;0;5) và A(3;0;1) .
1
1
1
x  3  t

Vậy phương trình là  y  0
.
 z  1  2t

:

Câu 12: B
Tọa độ giao điểm B của d và  P  là nghiệm của hệ phương trình

x  1
 x 1 y z 1
 


2
3   y  0 . Suy ra B 1;0;1 . Ta có  đi qua B.
 1
z  1
 x  y  z  2  0


Gọi H là hình chiếu của A lên  .
A
d

B

H

(P)

Gọi d  A,    AH  AB , nên d  A,   đạt giá trị lớn nhất là AB , khi đó đường thẳng  qua

B và có một véc tơ chỉ phương là u  nP , AB    1; 2;1 với nP  1;1;1 .
Thế tọa độ B 1;0;1 vào bốn phương án, chỉ phương án B thỏa mãn.
Câu 13: B
Vectơ pháp tuyến của  P  là n   3; 2;  1 .
Vectơ chỉ phương của d là u   2; 2; 1 .
u, n    2;  3; 2  là vectơ chỉ phương của  .


Mặt khác, do  cắt d nên  đi qua giao điểm M của d và mặt phẳng  P  .

Tọa độ giao điểm M của d và  P  là nghiệm hệ phương trình sau:

 x  1  2t
t  1
 y  1  2t
 x  1



 M  1;  1;  1 .


z

t
y


1


 x  2 y  2 z  5  0
 z  1
x 1 y 1 z 1
Vậy phương trình đường thẳng  là
.


2
3
2