Tập hợp các dạng toán vào 10

Bài tập toán 9 ôn thi THPT -------------------Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng - 0915361766
Phần 1 - chiến lợc giải toán
Trong quá trình giải bài tập rất cần khả năng suy nghĩ lập luận có tính chất chiến lợc để giải bài
toán, nh vậy cần tự mình đặt ra câu hỏi và cố gắng tự tìm câu trả lời trong khả năng có thể. Để rèn luyện
đợc thói quen này, ta nên làm theo những hớng dẫn suy luận sau:
1. Tìm hiểu bài toán:
- Gọi chung Giả thiết là: điều cho biết, dữ kiện bài toán, các điều kiện ràng buộc vv.. Kết luận là: điều
phải tìm, là ẩn vv
- Trớc hết hãy cố gắng viết tóm tắt đề bài bằng ngôn ngữ toán học và sử dựng các kí hiệu toán học.
- Cần xác định ngay dạng của bài toán để xác định rõ phơng hớng giải.
- Bài toán có điều kiện gì ? Cần phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả điều kiện đó
thành công thức không ?
- Nhớ lại các kiến thức liên quan đến bài toán, tìm mối liên hệ giữa điều đã cho với điều phải tìm.
- Phân tích điều phải tìm để đi tìm phơng hớng đi đến đích của bài.
2. Tìm tòi lời giải.
* Liên hệ với các bài toán đã giải:
+ Ta đã gặp bài toán này lần nào cha ? Hay đã gặp ở một dạng khác ?
+ Ta có biết một bài toán nào có liên quan không ?
+ Đây là bài toán có liên quan mà ta đã có lần giải rồi ? - Vậy thì : Có thể sử dụng nó không ? Có thể sử
dụng kết quả của nó không ? Có thể sử dụng kết quả ở bài trớc (đã giải) vào bài này không ? Có cần phải
đa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng đợc nó không ?
+ Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ?
* Với bài toán mới và cha giải lần nào:
+ Nếu cha giải đợc bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán có liên quan.
+ Ta có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một trờng
hợp riêng ? Một bài toán tơng tự ?
+ Ta có thể giải một phần bài toán không ? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó ẩn
đợc xác định đến một chừng mực nào đó, nó sẽ thay đổi nh thế nào ?
+ Ta có thể nghĩ ra một điều kiện khác giúp ta xác định đợc ẩn không ? Có thể thay đổi ẩn hay các dữ
kiện hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới đợc gần nhau hơn không ?
- Có thể bài toán này có những phần cần chú ý. Liệu ta có bỏ qua phần chú ý đó không ?

3. Trình bày lời giải
- Khi giải hãy kiểm tra lại từng bớc
- Ta đã thấy rõ mỗi bớc làm của ta đều đúng cha ?
- Những lập luận, biến đổi, trình bày của ta đã hợp Lôgíc cha ? Ta có thể chỉ ra những căn cứ cho những
lập luận, biến đổi đó không ?
- Ta có thể lập luận Logíc, chặt chẽ, chính xác lời giải hơn nữa không ? (Bổ sung thiếu sót, lợc bỏ những
chỗ dài dòng và rờm rà).
- Có còn sót trờng hợp nào của bài toán không.
4. Nghiên cứu thêm về lời giải:
- Kiểm tra kết quả. Xem xét các lập luận.
-------------------------------Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !-----------------------------
1
Bài tập toán 9 ôn thi THPT -------------------Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng - 0915361766
- Nhìn lại toàn bộ các bớc giải. Rút ra phơng pháp giải một loại toán hay một dạng toán nào đó. Rút ra
kinh nghiệm giải toán nh về:
+ Cách giải, phơng pháp giải loại toán đó
+ Những bài toán dạng này cần sử dụng kiến thức gì để giải
+ Những điểm cần chú ý, những sai lầm thờng mắc phải và cách khắc phục vv.
- Cố gắng tìm thêm cách giải khác (nếu có thể).
- Khai thác thêm các kết quả có thể có của bài toán, đề xuất các bài toán tơng tự, bài toán đặc biệt. Đặc
biệt nên cố gắng đa bài toán đã cho về dạng tổng quát của nó.
Kết luận chung
Trên đây chỉ là những câu hớng dẫn suy nghĩ để tập trung giải quyết bài toán, trong quá trình vận
dụng cần phải linh hoạt khéo léo, tuỳ từng bài toán cụ thể mà có những câu hớng dẫn ta có thể lợc bỏ.
Chiến lợc giải trên ngoài áp dụng cho Môn Toán học mà còn có thể áp dụng để học vào các môn Vật Lí,
Hoá Học.
Chúc các em học tốt !( Thầy Nguyễn Xuân Tờng )
Mời các em ghé thăm trang web của thầy : />-------------------------------Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !-----------------------------

2
2 x 1 x
P : 1
x 1
x x x x 1 x 1
a) Rút gọn P
53
b) Tính giá trị của P tại x =
9 - 2 7
1
c) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

= + +
ữ ữ
ữ ữ
+
+ + + +

Cho biểu thứcBài 1.
Bài tập toán 9 ôn thi THPT -------------------Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng - 0915361766
Phần 2 các dạng toán
A.Toán rút gọn
x x 2 x 3 x 2
P 1 :
x 1 x 3 2 x x x 6
a) Rút gọn P
3- 5
b) Tính giá trị của P biết x =
2

c) Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên
d) Tìm x để P < 1
e) Tìm các giá trị c

+
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+ + +

Cho biểu thức
Bài 2.
ủa x để P = x 3

Bài 3 : Cho biểu thức
3
32
1
23
32
1115
+
+



+
+

=

x
x
x
x
xx
x
P
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x sao cho
2
1
=
P
c) Chứng minh P
3
2
Bài 4 : Cho biểu thức
1- x x x 2 2 1- x
P - :
x - 2 1- x x - 3 x 2 x - 2 x - 2 x

+
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết
526

=
x
c) Tìm giá trị lớn nhất của
x
P
Bài 5 : Cho biểu thức
144
1
:
21
1
14
5
2
2
1
++

+
=
xx
x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu
x 1=
c) Tìm các giá trị của x để
2
1
=
P
d) Tìm các giá tri x nguyên để P nhận giá trị nguyên
Bài 6 : Cho biểu thức










+

+

=
xxxxx
x
P
1
2
1
1
:
1
1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biết
347
=
x
c) Tìm các giá trị của m để có các giá trị x thoả mãn
xmxP
=

.
Bài 7: Cho biểu thức
12
1
:
1
11
+
+









+

=
xx
x
xxx
P
a) Rút gọn P
-------------------------------Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !-----------------------------
3
Bài tập toán 9 ôn thi THPT -------------------Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng - 0915361766

b) Tìm các giá tri của x để
5
12

=
x
P
c) So sánh P với 1
Bài 8 : Cho biểu thức










+

+

=
x
x
xxx
x
P
1
3
2:
1
1
352
2
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 0
c) Tìm x để P =
P

Bài 9 : Cho biểu thức :








+

+
+

+










=
xx
xxxx
x
xx
xx
P
1
2
1
12
:
1
1
1
a) Rút gọn .

b) Tính P với x =
347

.
c) Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a
Bài 10: Cho biểu thức:










+
+
+

+

=
3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
M
a) Rút gọn M .
b) Với giá trị nào của x thì M < 1 ?
b) Tìm giá trị của a để
Bài 11: Cho biểu thức :
( )

+
+








+


+

=

x
x
xx
x
x
xx
x
xx
P
1
1
.
1
1
:
1
1.
2
a) Rút gọn P.
b) Xác định các giá trị của x để ( x + 1 ).P = x 1
c) Biết
x
x
P
Q
31
+
=
Tìm x để Q có giá trị lớn nhất.
d) Tìm x để

32
>
P
Bài 12 : Cho biểu thức :




















+


+
+
=

1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
2
1
<
P
c) Tìm x để :
( )
2223.
=+++
xxxP
d) Tìm m để có 1 giá trị của x thoả mãn :

( ) ( )
( )
mxxmxxxP
+=++
33.
-------------------------------Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !-----------------------------
4
Bài tập toán 9 ôn thi THPT -------------------Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng - 0915361766
B. Hàm số bậc nhất :
Bài 1 : Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trờng hợp sau:
a) a = - 1 và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2
b) a = 3 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 5)
c) Đồ thị của hàm số song song với đờng thẳng
2y x=
và đi qua điểm B(1;
2 3+
)
d) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(2;-3)
e) Đồ thị hàm số đi qua M(2;- 3) và vuông góc với đờng thẳng y = x 2
Bài 2: Với điều kiện nào của k và m thì hai đờng thẳng :
y = (k 2)x + m 1 và y = (6 2k)x + 5 2m.
a) Trùng nhau b) Song song c) Cắt nhau
Bài 3 : Cho hàm số y = (a - 1)x + a
a) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 3
b) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a tìm đợc ở các câu a và b trên cùng một hệ trục toạ
độ. Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng vừa vẽ đợc.
Bài 4 : Cho đờng thẳng y = (m - 2)x + n (m 2) (d)
Tìm các giá trị của m và n trong các trờng hợp sau:

a) Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;4)
b) Đờng thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
1 2
+
và cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng
2 2
+
c) Đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng 2y + x 3 = 0
d) Đờng thẳng (d) trùng với đờng thẳng y 2x + 3 = 0
Bài 5 :
a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ Oxy đồ thị các hàm số sau :
y = x (d
1
) ; y = 2x (d
2
) ; y = - x + 3 (d
3
)
b) ờng thẳng (d
3
) cắt hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) theo thứ tự tại A , B. Tìm toạ độ của các điểm
A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 6 : Cho hàm số y = (1 - 2m)x + m + 1 (1)
a) Tìm m để hàm số (1) đồng biến, nghịch biến.
b) Tìm m để hàm số (1) song song với đờng thẳng y = 3x 1 + m

c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đờng thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định duy
nhất. Tìm điểm cố định đó.
Bài 7 : Cho hai đờng thẳng
y = - 4x + m - 1 (d1) và y =
4
15 3
3
x m
+
(d
2
)
a) Tìm m để hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại điểm trên trục tung.
b) Với m ở trên hãy tìm toạ độ giao điểm A, B của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) với trục hoành.
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC
d) Tính các góc của tam giác ABC.
Bài 8 : Cho hàm số
( )
3y m x k= +
(d) . Tìm giá trị của m và k để đờng thẳng (d):
a) Đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(-3 ; 4).
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

1 2
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
1 2+
.
c) Cắt đờng thẳng
2 4 5 0y x + =
d) Song song với đờng thẳng
2 1 0y x =
e) Trùng với đờng thẳng
3 5 0x y+ =
-------------------------------Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !-----------------------------
5
Bài tập toán 9 ôn thi THPT -------------------Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng - 0915361766
C. Quan hệ giữa Parabol y = ax
2
và đờng thẳng y = mx + n
I. Tóm tắt lý thuyết :
1/ Toạ độ giao điểm của Parabol y = ax
2
(a 0) và đờng thẳng y = mx + n là nghiệm của hệ phơng trình
2
mx n y
ax y
+ =


=

2/ Hoành độ giao điểm của Parabol y = ax
2
(a 0) và đờng thẳng y = mx + n là nghiệm của phơng trình
ax
2
= mx + n tức ax
2
- mx n = 0
(1)
a) Nếu phơng trình (1) có > 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt, đờng thẳng cắt Parabol tại hai điểm
phân biệt.
b) Nếu phơng trình (1) có = 0 thì (1) có nghiệm kép, đờng thẳng tiếp xúc với Parabol.
c) Nếu phơng trình (1) có < 0 thì (1) vô nghiệm, đờng thẳng và Parabol không giao nhau
II. Bài tập
Bài 1 : Cho hai hàm số y = x
2
(P) và y = 2x + 3 (d)
a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ hai hàm số (P) và (d).
b) Xác định toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d).
c) Gọi C và D thứ tự là hình chiếu vuông góc của B và A trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác
ABCD.
Bài 2 : Cho Parabol y = x
2
(P) và đờng thẳng y = 2x - m (d)
a) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, tiếp xúc nhau, không giao nhau.
b) Khi (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, xác định toạ độ điểm A và B với m = - 3 .
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm (-2 ; 1) và tiếp xúc với (P)
d) Tìm toạ độ trung điểm của AB.
Bài 3 : Cho Parabol (P): y =
2

2
x
và đờng thẳng y =
1
2

x + n
a) Tìm giá trị của n để đờng thẳng tiếp xúc với (P).
b) Tìm giá trị của n để đờng thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng với (P) nếu n = 1. Vẽ đồ thị của (P) với đờng thẳng
trong trờng hợp ấy.
Bài 4: Cho Parabol (P): y =
2
2
x
và đờng thẳng (d): mx + y = 2.
a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đờng thẳng d luôn đi qua 1 điểm cố định.
b) Chứng minh rằng: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
c) Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất. Tính diện tích AOB ứng với giá trị tìm đợc của m.
d) Chứng minh rằng: Trung điểm I của AB khi m thay đổi luôn nằm trên Parabol cố định.
-------------------------------Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !-----------------------------
6
Bài tập toán 9 ôn thi THPT -------------------Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng - 0915361766
D. Phơng trình bậc hai một ẩn - Hệ thức Vi-et
Bài 1 : Cho phơng trình : 2x
2
+ ( 2m - 1)x + m - 1 = 0
1) Giải phơng trình khi m = -1
2) Chứng minh rằng phơng trình luôn có ngiệm với mọi giá trị của m.

2) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
trái dấu .
3) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
cùng âm .
4) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
cùng dơng .
5) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 3x
1
- 4x
2
= 11 .
6) Tìm một đẳng thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m .
7) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x

1
, x
2
thoả mãn
4 4 2 2
1 2 1 2
17
x x x x
4
+ =
.
Bài 2 : Cho phơng trình :
2
3 2 0x x + =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
.
Không giải phơng trình trên, hãy lập phơng trình bậc 2 ẩn là y có hai nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn :
1 2
1
1
y x
x
= +
và

2 1
2
1
y x
x
= +
Bài 3 : Cho phơng trình (m - 1)x
2
- 4mx + 4m - 1 = 0 (x là ẩn, m là tham số)
a) Giải phơng trình với m = 2
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất.
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
f) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 1.
Bài 4 : Cho phơng trình :
2
1 0x mx m + =
a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng lớn hơn 5
f) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 2

g) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm nằm giữa -1 và 2
h) Gọi
1
x
và
2
x
là các nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
( )
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2 1
x x
B
x x x x
+
=
+ + +
i) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn x
1
< 3 < x
2

j) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x

1
và x
2
thỏa mãn 3x
1
4x
2
= 5
Bài 5 : Cho phơng trình :
( )
2
4 2 2 0m x mx m + =
.
a) Tìm m để phơng trình trên có nghiệm
2x =
. Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tính :
2 2
1 2
x x+
theo m.
d) Tính :
3 3
1 2
x x+
theo m.
e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm (
1 2
1 1

x x
+
) ;
và Tổng bình phơng nghịch đảo các nghiệm : (
2 2
1 1
1 1
x x
+
)
-------------------------------Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !-----------------------------
7
Bài tập toán 9 ôn thi THPT -------------------Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng - 0915361766
Bài 6 : Cho phơng trình
( )
2
2 2 1 0x m x m + + + =
(2)
a) Giải phơng trình khi
3
2
m =
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (2) có nghiệm.
c) Gọi
1
x
và
2
x

là 2 nghiệm của phơng trình (2). tìm các giá trị của m để:
( ) ( )
2
1 2 2 1
1 2 1 2x x x x m + =
e. Hệ phơng trình :
I. Hệ phơng trình bậc nhất ( giải bằng phơng pháp thế, cộng đại số, đặ ẩn phụ )
Bài 1. Giải các hệ phơng trình sau :
a)
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 2 9
3 2 5
x x y
y y x

+ =


+ =


b)
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
7 5 6

2 6 4
u u v
v v u

+ + =


=


c )
1 1
3
3 8
7 9 2
u v
u v

=



=

d)
4 5 10 0
1
0
5 3 3
a b

a b
=



+ =


e)
1
1
8
x y
y z
z x
=


=


+ =

f)
3
6
1
x y
y z
z x

+ =


+ =


+ =

g)
3 1 3
1 2 4
5 3 29
1 2 12
y x
y x

=

+



+ =

+

h)
1 1 2
3
1 1 1

3
x y x y
x y x y

+ =

+



=

+

Bài 2. Tìm các giá trị của m và n để các hệ phơng trình
a)
( ) ( )
2 1 7 2 6
1 2
2
6 6
m x n y
m n
x y

+ =


+
+ =

có nghiệm (x ; y) = (1 ; 2)
Bài 3. Cho hệ phơng trình
3
4 1
x my
mx y
+ =


+ =

a) Giải hệ phơng trình với m = 3
b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất
Bài 4. Cho hệ phơng trình
2 5
2 2 1
x ay
ax y a
+ =


+ = +

a) Giải hệ phơng trình với a = 3
b) Với giá trị nào của a thì hệ vô nghiệm ? Hệ vô số nghiệm ?
Bài 5. Cho hệ phơng trình
2 3 2 6
2

x y m
x y m

= +


= +


(với m là tham số và m 0)
a) Giải hệ phơng trình với m = 4.
b) Giải hệ phơng trình trên sao cho x + y nhỏ nhất.
Bài 6 : Cho hệ phơng trình :
( 2)
1
m x y m
mx y
+ + =


=

a) Giải hệ với m = 1
b) Tìm m để hệ có nghiệm
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm thoả mãn x = y.
-------------------------------Hoùc ủeồ ngaứy mai laọp
nghieọp !-----------------------------
8