Giải mẫu các dạng toán vào 10

Nguyễn Xuân T ờng - 0915361766
A. toán rút gọn biểu thức
I. Ví dụ : Rút gọn biểu thức
2 x x 3x 3 2 x 4
P : 1
x 9
x 3 x 3 x 3


= +
ữ ữ
ữ ữ

+

( với x
0,x 1,x 9
)
Giải : Với x
0,x 1,x 9
ta có
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 x x 3 x x 3 3x 3 2 x 4 x 3
P :
x 3
x 3 x 3
+ +
=

+

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2x 6 x x 3 x 3x 3 2 x 4 x 3 3 x 3 x 1
: :
x 3 x 3
x 3 x 3 x 3 x 3
3 x 1 x 3
3
x 3
x 3 x 3 x 1
+ + + + +
= =

+ +


= =
+
+
II. Chú ý :

Khi rút gọn các biểu thức là các phép tính giữa các phân thức ta thờng tìm cách đa
biểu thức thành một phân thức sau đó phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ớc
những thừa số chung của cả tử và mẫu.

Trờng hợp đề bài không cho điều kiện thì khi rút gọn xong ta nên tìm điều kiện cho

biểu thức. Khi đó quan sát biểu thức cuối cùng và các thừa số đã đợc giản ớc để tìm
điều kiện.

Ví dụ với bài này : + Biểu thức cuối cùng cần
x 0
+ Các thừa số đợc giản ớc là :
x 1và x 3 cầnx 1và x 9
Vậy điều kiện để biểu thức có nghĩa là x
0,x 1,x 9
B. phơng trình bậc hai và định lí viét
I. Ví dụ
Đề bài 1: Cho phơng trình x
2
(2m-1)x + m 1 = 0
a. Giải phơng trình với
5
m
3
=
b. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
f. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
g. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng
h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
i. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x
1
+ 5x
2

= -1
j. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn
2 2
1 2
x x 1+ =
k. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
và x
2
của phơng trình
l. Tìm GTNN của
1 2
x x
m. Tìm GTLN của
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 2 1
x 1 x x 1 4x +
n. Khi phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
, chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào m

1 2
2 2
1 2 2 1
x 1 x 1
x x x x

= +B
1
Giải :
a. Giải phơng trình với
5
m
3
=
Với
5
m
3
=
ta có phơng trình :
2 2
7 2
x x 0 3x 7x 2 0
3 3
+ = + =
( )
2
7 4.3.2 49 24 25 0; 5 = = = > = phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
1 2
7 5 1 7 5
x ; x 2
6 3 6
+
= = = =
Vậy với
5

m
3
=
phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là
1
và 2
3
b. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
( ) ( )
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + +
( )
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = +
Vì
( ) ( )
2 2
2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt với mọi m
c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi
( )
ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1< < < <
Vậy với m<1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi
{
( )
2
2m 2 1 0( luôn dúng )
0
m 1 0 m 1
ac 0 m 1 0

+


> >

> >


Vậy với m > 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.
e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi

( )
{
2
0
2m 2 1 0
m 1
m 1
1

ac 0 m 1 0 m 1
2m 1
m
b 2m 1 0
2
0
a



+

>


>
> > >

>
>
>


>



Vậy với m > 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dơng.
f. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi

( )
{
( )
2
0
2m 2 1 0
m 1
m 1
1
ac 0 m 1 0 vô nghiệm
2m 1
m
b 2m 1 0
2
0
a



+

>


>
> >

<

<
<


<



Vậy không có giá trị nào của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng âm.
g. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng
Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Để phơng trình có nghiệm dơng ta có các trờng hợp sau :
Phơng trình có một nghiệm dơng và một nghiệm bằng 0
Thay x = 0 vào phơng trình ta có m - 1 = 0 hay m = 1. Thay m = 1 vào phơng trình ta đợc
x
2
- x = 0
( )
x x 1 0 x 0 hoặcx 1 = = =
( thỏa mãn )
2
Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng, điều kiện là :
( )
{
2
0
2m 2 1 0
m 1
m 1
1

ac 0 m 1 0 m 1
2m 1
m
b 2m 1 0
2
0
a



+

>


>
> > >

>
>
>


>



Phơng trình có hai nghiệm trái dấu, điều kiện là :

( )

ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1< < < <
Kết hợp cả ba trờng hợp ta có với mọi m thì phơng trình đã cho có nghiệm dơng
h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
( ) ( )
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + +
( )
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = +
Vì
( ) ( )
2 2
2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt x
1
và x
2
với mọi m
Theo định lí Viet ta có x
1
.x
2
=
c
m 1
a
=

Phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau khi x
1
.x
2
= 1 m 1 1 m 2 = =
Vậy với m = 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau.
i. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x
1
+ 5x
2
= -1
Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
( ) ( )
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + +
( )
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = +
Vì
( ) ( )
2 2
2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt x
1
và x
2
với mọi m
Theo định lí Viet và đề bài ta có :

1 2
1 2
1 2
x x 2m 1 (1)
x .x m 1 (2)
2x 5x 1 (3)
+ =


=

+ =


Nhân hai vế của (1) với 5 sau đó trừ các vế tơng ứng cho (3) ta đợc :
5x
1
+ 5x
2
2 x
1
5x
2
= 10m 5 + 1
1 1
10m 4
3x 10m 4 x
3

= =

(4)
Thay (4) vào (1) ta có :
2 2
10m 4 10m 4 6m 3 10m 4 1 4m
x 2m 1 x 2m 1
3 3 3 3
+
+ = = = =
(5)
Thay (4) và (5) vào (2) ta đợc phơng trình :

( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1 2
10m 4 1 4m
. m 1 10m 4 . 1 4m 9 m 1 10m 40m 4 16m 9m 9
3 3
40m 17m 5 0
17 4.40. 5 1089 0; 33
17 33 1 17 33 5
m ; m
80 5 80 8

= = + =
=
= = > =
+

= = = =
Vậy với
1 5
m hoặc m
5 8
= =
thì phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài.
j. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn
2 2
1 2
x x 1+ =
Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
( ) ( )
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + +
( )
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = +
Vì
( ) ( )
2 2
2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt x
1
và x
2
với mọi m
Theo định lí Viet ta có :

{
1 2
1 2
x x 2m 1 (1)
x .x m 1 (2)
+ =
=
Theo đề bài :
( )
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x x 1 x x 2x x 2x x 1 x x 2x x 1 (3)+ = + + = + =
Thay (1) và (2) vào (3) ta có (2m 1)
2
2(m 1) = 1
3
2 2 2 2
(2m - 1) - 2(m - 1) = 1 4m 4m 1 2m 2 1 4m 6m 2 0 2m 3m 1 0 + + = + = + =
Phơng trình có dạng a + b + c = 0 nên có hai nghiệm là m
1
= 1 ; m
2
=
c 1
a 2
=
Vậy với
1
m 1 hoặc m

2
= =
thì phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài.
k. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
và x
2
của phơng trình
Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
( ) ( )
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + +
( )
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = +
Vì
( ) ( )
2 2
2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt x
1
và x
2
với mọi m. Theo định lí Viet ta có :

{
1 2
1 2

1 2
1 2
x x 1
x x 2m 1
m
2
x .x m 1
m x .x 1
+ +


+ =
=


=
= +



1 2
1 2 1 2 1 2
x x 1
x .x 1 x x 2x .x 1
2
+ +
= + + =
Vậy hệ thức cần tìm là
1 2 1 2
x x 2x .x 1+ =

l. Tìm GTNN của
1 2
x x
Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
( ) ( )
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + +
( )
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = +
Vì
( ) ( )
2 2
2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt x
1
và x
2
với mọi m
Theo định lí Viet ta có :
{
1 2
1 2
x x 2m 1 (1)
x .x m 1 (2)
+ =
=
Đặt A =

( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
x x 0 A x x x x x 2x x x x x 4x x = = = + = +
Thay (1) và (2) vào ta có

( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
A 2m 1 4 m 1 4m 4m 1 4m 4 4m 8m 4 1 2m 2 1 1= = + + = + + = + với mọi m (3)
Mà
A 0 nê n từ (3) A 1với mọi m
Dấu bằng xảy ra khi (2m - 2)
2
= 0
m 1
=
Vậy GTNN của
1 2
A x x=
là 1 xảy ra khi m = 1
m. Tìm GTLN của
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 2 1
x 1 x x 1 4x +
Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
( ) ( )
2

2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + +
( )
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = +
Vì
( ) ( )
2 2
2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt x
1
và x
2
với mọi m
Theo định lí Viet ta có :
{
1 2
1 2
x x 2m 1 (1)
x .x m 1 (2)
+ =
=
Ta có
( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
A x 1 x x 1 4x x x 5x x x x 2x x 5 x x= + = + = + (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta đợc :

( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2 2
2
2
A 2m 1 5 m 1 2 m 1 4m 4m 1 5m 10m 5 2m 2 m 4m 2
2 m 4m 4 2 m 2
= = + + + = +
= + =
Vì
( ) ( )
2 2
m 2 0 với mọi m A 2 m 2 2 với mọi m =
Dấu bằng xảy ra khi (m 2)
2
= 0 hay m = 2
Vậy GTLN của
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 2 1
A x 1 x x 1 4x= +
là 2 khi m = 2
n. Khi phơng trình có hai nghiệm x
1

và x
2
,
4
chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào m :
1 2
2 2
1 2 2 1
x 1 x 1
x x x x

= +B
Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
( ) ( )
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + +
( )
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = +
Vì
( ) ( )
2 2
2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt x
1
và x
2
với mọi m. Theo định lí Viet ta có :

{
1 2
1 2
x x 2m 1 (1)
x .x m 1 (2)
+ =
=

( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2
2
2 2
2 2 2
x x x x

x 1 .x x 1 .x
x 1 x 1
Ta có:
x x x x x x x x
x x x x 2x x 2m 1 2m 1 2 m 1
x x
m 1
4 m 1
4m 4m 1 2m 1 2m 2 4m 8m 4
4
m 1 m 1 m 1
+ +
+

= + = =
+ +
= =


+ + + +
= = = =

B
Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của m.
Đề bài 2. Cho phơng trình (m+1)x
2
- 2(m+2)x + m + 5 = 0
a. Giải phơng trình với m = -5
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm
c. Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất

d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
f. *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
g. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
+ 3x
2
= 4
h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm mà tích của chúng bằng -1
i. Khi phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.Tính theo m giá trị của
2 2
1 2
A x x= +
j. Tìm m để A = 6
k. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
trong đó có một nghiệm là
1
2
. Khi đó hãy lập phơng

trình có hai nghiệm là
1 2
2 1
6x 1 6x 1
và
3x 3x
+ +
Giải :
a. Giải phơng trình với m = -5
Thay m = -5 vào phơng trình ta có : -4x
2
+ 6x = 0
( )
x 0
2x 0
3
2x 2x 3 0
2x 3 0
x
2
=

=


=
=

=

Vậy với m = -5 , phơng trình có hai nghiệm là 0 và
3
2
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm
Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0
x 2
=
. Phơng trình có một nghiệm x = 2
Với m

-1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5
( ) ( ) ( )
2
' 2 2
m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + =
Phơng trình có nghiệm khi
1
2m 1 0 m
2


Tóm lại phơng trình có nghiệm khi
1
m
2


c. Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất

Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0
x 2
=
. P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2
Với m

-1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5
5
( ) ( ) ( )
2
' 2 2
m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + =
Phơng trình có nghiệm duy nhất khi
1
2m 1 0 m
2

= =
( thỏa mãn )
Tóm lại phơng trình có nghiệm duy nhất khi
1
m 1 hoặc m
2

= =
Chú ý :
Trờng hợp phơng trình bậc hai có
0 =
cũng đợc coi là có nghiệm duy nhất
d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0
x 2
=
. P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2
Với m

-1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5
( ) ( ) ( )
2
' 2 2
m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + =
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi
1
2m 1 0 m
2

> <

Tóm lại phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi
1
m và m 1
2

<
e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0
x 2
=
. P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2
Với m

-1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5
Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0

( ) ( )
{
{
{
{
m 1 0 m 1
(vô nghiệm)
m 5 0 m 5
m 1 m 5 0 5 m 1
m 1 0 m 1
m 5 0 m 5

+ > >

+ < <
+ + < < <

+ < <

+ > >

Vậy với -5 < m < -1 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Chú ý :
Giải BPT ( m + 1 )( m + 5 ) < 0 (1) có cách nhanh hơn nh sau :
Để (1) xảy ra thì m + 1 và m + 5 là hai số trái dấu. Ta luôn có m + 1 < m + 5 nên (1) xảy ra
khi

{ {
m + 1 <0 m <-1
5 m 1
m + 5 >0 m >-5
< <
Trờng hợp chỉ cần biết kết quả của các BPT dạng nh (1), hãy học thuộc từ

ngoài cùng
trong khác

và dịch nh sau : ngoài khoảng hai nghiệm thì vế trái cùng dấu với hệ số a,
trong khoảng hai nghiệm thì vế trái khác dấu với hệ số a ( hệ số a là hệ số lũy thừa bậc
hai của vế trái khi khai triển, nghiệm ở đây là nghiệm của đa thức vế trái )
Ví dụ với BPT (1) thì vế trái có hai nghiệm là -1 và -5 , dạng khai triển là m
2
+ 6m + 5 nên
hệ số a là 1 >0. BPT cần vế trái < 0 tức là khác dấu với hệ số a nên m phải trong khoảng
hai nghiệm, tức là -5 < m < -1. Còn BPT ( m + 1 )( m + 5 ) > 0 (2) sẽ cần m ngoài khoảng
hai nghiệm (cùng dấu với hệ số a), tức là m < -5 hoặc m > -1
Một số ví dụ minh họa :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
m 3 m 7 0 m 7hoặcm 3; 2m 4 3m 9 0 3 m 2
2m 6 1 m 0 1 m 3 ; 5 m 2m 8 0 m 4 hoặc m 5
+ > < > + < < <

f. *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0
x 2 =
. P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

Với m

-1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5
( ) ( ) ( )
2
' 2 2
m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + =
Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi
6

( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
m m 1
2m 1 0
0
2 2
ac 0 m 1 m 5 0 m 1 m 5 0 m 5hoặc m 1 2 I
b
2 m 2 m 2 m 1 0 m 2hoặc m 1 3
0
0
a
m 1

1
m 5hoặc 1 m
2











> + + > + + > < >



+ + + > < >
>
>



+
< < <
Chú ý :
Để tìm nghiệm của hệ bất phơng trình (I) ta lấy nháp vẽ một trục số, điền các số mốc lên
đó và lấy các vùng nghiệm. Sau đó quan sát để tìm ra vùng nghiệm chung và kết luận.
Việc làm đó diễn tả nh sau :

ở hình trên các đờng (1) ; (2) ; (3) lần lợt là các đờng lấy nghiệm của các bất phơng trình (1) ;
(2) ; (3) trên trục số. Qua đó ta thấy m<-5 hoặc -1 < m <
1
2

là các giá trị chung thỏa mãn cả
ba bất phơng trình (1) ; (2) ; (3) nên đó là tập nghiệm của hệ bất phơng trình (I)
g. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
+ 3x
2
= 4
Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0
x 2
=
. P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2
Với m

-1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5
( ) ( ) ( )
2
' 2 2
m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + =
Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x

2
khi nó là phơng trình bậc hai có
0
Tức là
{
m 1
m 1
1
2m 1 0
m
2










Khi đó theo đề bài và định lí Viet ta có
( )
( )
( )
( )
1 2
1 2
1 2
2 m 2

b
x x 1
a m 1
c m 5
x .x 2
a m 1
x 3x 4 3

+
+ = =

+

+

= =

+

+ =



Từ (1) và (3) ta có hệ phơng trình
1 2 1 2 1
1 2
1 2
2 2 2
2m 4 2m 4 2m 4 m m 4
2m 4

x x x x x
x x
m 1 m 1 m 1 m 1 m 1
m 1
2m 4 m m
x 3x 4
2x 4 x x
m 1 m 1 m 1
+ + + +

+
+ = = = =



+ =
+ + + + +


+
+
+ =

= = =

+ + +
Thay vào (2) ta có phơng trình :

( ) ( ) ( ) ( )
( )

2 2
m 4 m m 5
. m 4 .m m 5 m 1 do m 1
m 1 m 1 m 1
5
m 4m m 5m m 5 2m 5 0 m thỏa mãn
2
+ +
= + = + +
+ + +
+ = + + + + = =
7
-5
-2 -1
1
2

(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
Vậy
5
m
2
=
là giá trị cần tìm.
h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm mà tích của chúng bằng -1
Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0

x 2
=
. P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2
Với m

-1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5
( ) ( ) ( )
2
' 2 2
m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + =
Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khi nó là phơng trình bậc hai có
0
Tức là
{
( )
m 1
m 1
1
1
2m 1 0
m
2

Khi đó theo định lí Viet ta có x
1
.x
2
=
m 5
m 1
+
+
Vậy để phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn tích hai nghiệm bằng -1 thì m phải thỏa mãn điều
kiện (1) và
( )
m 5
1 m 5 m 1 m 3 thỏa mãn
m 1
+
= + = =
+
Vậy m = -3 là giá trị cần tìm.
i. Khi phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.Tính theo m giá trị của

2 2
1 2
A x x= +
Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0
x 2 =
. P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2
Với m

-1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5
( ) ( ) ( )
2
' 2 2
m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + =
Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khi nó là phơng trình bậc hai có
0
Tức là
{
( )
m 1
m 1
1
1
2m 1 0
m
2

Khi đó theo định lí Viet :
( )
( )
( )
1 2
1 2
2 m 2
b
x x 1
a m 1
c m 5
x .x 2
a m 1

+
+ = =

+

+

= =
+
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2
2 2 2
2 2 2
2 m 5
2m 4
Ta có A x x x 2x x x 2x x x x 2x x
m 1 m 1
2m 4 2 m 5 m 1
4m 16m 16 2m 12m 10 2m 4m 6
m 1 m 1 m 1
+
+

= + = + + = + =
ữ
+ +

+ + +
+ + + +
= = =

+ + +
( )
2
2
2m 4m 6 1
Vậy A với m 1và m
2
m 1
+ +

=
ữ

+
j. Tìm m để A = 6
( )
2
2
2m 4m 6 1
Ta có A với m 1và m
2
m 1
+ +

=
ữ

+
( )
( )

( )
2
2
2
2
2 2 2
1 2m 4m 6
Với m 1và m ta có A 6 6 2m 4m 6 6 m 1
2
m 1
2m 4m 6 6m 12m 6 4m 8m 0 4m m 2 0 m 0hoặc m 2
+ +
= = + + = +
+
+ + = + + + = + = = =
Kết hợp với điều kiện ta có m = -2 là giá trị cần tìm.
k. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
trong đó có một nghiệm là
1
2
. Khi đó hãy lập
phơng trình có hai nghiệm là
1 2
2 1
6x 1 6x 1
và
3x 3x

+ +
Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0
x 2 =
. P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2
Với m

-1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5
( ) ( ) ( )
2
' 2 2
m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + =
Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khi nó là phơng trình bậc hai có
0
8
Tức là
{
( )
m 1
m 1
1
1
2m 1 0
m
2

Thay x =
1
2
vào phơng trình đã cho ta có
(m+1).(
1
2
)
2
- 2(m+2).
1
2
+ m + 5 = 0

m+1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0

m = -13 ( thỏa mãn (1))
Vậy với m = -13 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
trong đó có một nghiệm là

1
2
.
Thay m = -13 phơng trình trở thành -12x
2
+ 22x - 8 = 0 6x
2
- 11x + 4 = 0
Theo định lí Viet :
1 2 1 2
11 4 2
x x : x x
6 6 3
+ = = =
. Khi đó :
( ) ( )
2
2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 2
2 1 1 2 1 2
11 2 11
6. 12.
6 x x 12x x x x
6x 1 6x 1 6x x 6x x
14
6 3 6
7
2

3x 3x 3x x 3x x 2
3.
3

+
ữ
+ + +
+ + + + +

+ = = = = =
( )
1 2 1 2
1 2
2 1 1 2
2 11
36. 6. 1
36x x 6 x x 1
6x 1 6x 1
36
3 6
. 6
2
3x 3x 9x x 6
9.
3
+ +
+ + +
+ +
= = = =
Do đó phơng trình cần tìm có dạng y

2
- 7y + 6 = 0 (2)
Chú ý :
Phơng trình (2) không nên lấy ẩn là x vì dễ gây nhầm lẫn với phơng trình của đề bài
II. Chú ý :
Khi gặp phơng trình có tham số ( thờng là m) ở hệ số a (hệ số của lũy thừa bậc hai)ta cần xét
riêng trờng hợp hệ số a = 0 để kết luận trờng hợp này có thỏa mãn yêu cầu của đề bài hay
không. Sau đó xét trờng hợp a khác 0, khẳng định đó là phơng trình bậc hai rồi mới đợc
tính

.
C. hàm số và đồ thị
I. Ví dụ
Đề bài 1: Cho hàm số bậc nhất : y = ( 2m 5 )x + 3 với m


5
2
có đồ thị là đờng thẳng d
Tìm giá trị của m để
a. Góc tạo bởi (d) và và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến, nghịch biến)
b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)
c. (d) song song với đờng thẳng y = 3x 4
d. (d) song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1
e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x 4y 3 = 0
f. (d) cắt đờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm có hoành độ là -2
g. (d) cắt trục hoành tại điểm ở bên trái trục tung ( có hoành độ âm)
h. (d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có hoành độ âm (hoặc ở bên trái trục tung)
i. (d) cắt đờng thẳng y = 5x 3 tại điểm có tung độ dơng ( hoặc ở trên trục hoành)
j. Chứng tỏ (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung

Giải :
Hàm số có a = 2m 5 ; b = 3
a. Góc tạo bởi đờng thẳng d và và trục Ox là góc nhọn, góc tù
9