CAC DE ON THI DH - TO HOP XAC SUAT

Ôn thi ĐH Tháng 5/2009
Cấu trúc đề thi môn toán năm 2009
Cục khảo thí và kiểm định chất lợng bộ giáo dục - đào tạo
Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT
* Phần chung dành cho tất cả thí sinh: ( 7 điểm)
Câu I: ( 3 điểm)
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp
tuyến, tiệm cận( đứng và ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trớc, tơng giao giữa
hai đồ thị ( một trong hai đồ thị là đờng thẳng).
Câu II: ( 3 điểm)
- Hàm số, phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Bài toán tổng hợp.
Câu III: ( 1 điểm)
- Hình học không gian ( tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay, tính thể
tích khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp tròn xoay, khối trụ tròn xoay, tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
* Phần riêng ( 3 điểm):
Thí sinh học chơng trình nào chỉ đợc làm phần dành riêng cho chơng trình đó.
1. Theo chơng trình chuẩn:
Câu IVa: ( 2 điểm)
Nội dung kiến thức:
- Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phơng trình mặt phẳng, đờng thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tơng đối của đờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V. a( 1 điểm)
Nội dung kiến thức:
- Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phơng trình bậc hai hệ số có
biệt thức

âm.
- ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
2. Theo chơng trình nâng cao:
Câu IV. b( 2 điểm)
Nội dung kiến thức:
Phơng pháp toạ độ trong không gian:
- Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phơng trình mặt phẳng, đờng thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng, mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đờng thẳng. Vị trí tơng đối
của đờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V. a ( 1 điểm)
Nội dung kiến thức:
- Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số phức. Phơng trình bậc hai với hệ số
phức. Dạng lợng giác của số phức.Đồ thị hàm số hữu tỉ dạng
qpx
cbxax
y
+
++
=
2
và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đờng cong.
- Hệ phơng trình mũ và lôgarit.
- ứng dụng của hai tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1
Ôn thi ĐH Tháng 5/2009
Cấu trúc đề thi môn toán tuyển sinh ĐH CĐ 2009
Đề thi toán kì ĐH 2009, phần chung dành cho tất cả thí sinh chiếm 7 điểm. Phần riêng ( Gồm 2 câu) chiếm 3 điểm.

đề thi yêu cầu nhiều kiến thức mở rộng hơn so với kì thi tốt nghiệp.
Cấu trúc đề thi cụ thể nh sau:
I. Phần chung cho tất cả thí sinh( 7 điểm)
Câu 1( 2 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.
- các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số, cực trị, giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tiếp tuyến, tiệm cận ( đứng và ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những
điểm có tính chất cho trớc, tơng giao giữa hai đồ thị ( một trong hai đồ thị là đờng thẳng) .
Câu II ( 2 điểm):
- Phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đại số.
- Công thức lợng giác, phơng trình lợng giác.
Câu III ( 1 điểm):
- Tìm giới hạn.
- Tìm nguyên hàm. Tính tích phân
- ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Câu IV.( 1 diểm);
Hình học không gian( tổng hợp): Quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đờng thẳng, mặt phẳng. Tính diện tích
xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay, tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay,
khối trụ tròn xoay, tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu V. bài toán tổng hợp ( 1 điểm)
II. Phần riêng ( 3 điểm)
Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần ( Phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chơng trình chuẩn:
Câu VI.a ( 2 điểm);Nội dung kiến thức:
Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian.
- Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
- Đờng tròn, elip, mặt cầu.
- Viết phơng trình mặt phẳng, đờng thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tơng đối của đờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu VII. a ( 1 điểm)Nội dung kiến thức:

- Số phức.
- Tổ hợp, xác suất , thống kê.
- Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.
2. Theo chơng trình nâng cao:
Câu VI. b ( 2 điểm)
Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian:
- Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
- Đờng tròn, ba đờng cônic, mặt cầu.
- Viết phơng trình mặt phẳng, đờng thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng, mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đờng thẳng. Vị trí tơng đối
của đờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu VII. b ( 1 điểm)Nội dung kiến thức:
- Số phức.
- Đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ dạng
qpx
cbxax
y
+
++
=
2
và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đờng cong.
- Hệ phơng trình mũ và lôgarit.
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
- Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số
Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1
Ôn thi ĐH Tháng 5/2009
Các bài toán tổ hợp và nhị thức Niutơn
Kiến thức cơ bản:

1) Hoán vị:
Định nghĩa: Cho tập A có n
( )
1

n
phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta đợc một hoán vị các
phần tử của tập A ( gọi tắt là một hoán vị của A).
Định lý: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:
1)....2)(1(!
==
nnnnP
n
2) Chỉnh hợp:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k
( )
nk

1
. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp
chúng theo một thứ tự, ta đợc một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A ( gọi là một chỉnh hợp chập k của A).
b) Số các chỉnh hợp: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là:
k
n
A
( )
NknnkknnnnA
k
n
+=

,;0),1)...(2)(1(
Quy ớc:
1
0
=
n
A
và

là tập con duy nhất không chứa phần tử nào.
Chú ý:
n
n
n
PnA
==
!
3) Tổ hợp:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với
nk

0
. Mỗi tập con của A có k phần tử đợc gọi là
một tổ hợp chập k của n phần tử của A.
b) Định lý: Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:
nk

0
:
!

)1)....(1(
! k
knnn
k
A
C
k
n
k
n
+
==
Với 0 < k < n ta có thể biểu diễn công thức dới dạng:
( )
*
)!(!
!
knk
n
C
k
n

=
Tính chất 1: Cho số nguyên dơng n và số nguyên k với
nk

0
. Khi đó
kn

n
k
n
CC

=
Tính chất 2: Cho các số nguyên dơng n và k với
nk

0
. Khi đó
1
1

+
+=
k
n
k
n
k
n
CCC
.
4) Nhị thức Niutơn:
( )
( )
1.....
00
0

11
1
0
===+++++=+

=


babaCbCbaCbaCaCba
n
k
kknk
n
nn
n
kknk
n
n
n
n
n
n
Số hạng thứ k + 1 của nhị thức Niutơn là:
kknk
nk
baCT

+
=
1

Câu 1: Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh,
tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia nh vậy?
Giải:
Có 3 trờng hợp:
Tr ờng hợp 1: Tổ 1 có 3 nữ, 7 nam
7
26
3
7
CC

Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam
9
19
2
4
CC

Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam
10
10
2
2
CC

Vậy ta có:
9
19
2
4

7
26
3
7
CCCC
cách.
Tr ờng hợp 2: Tổ 1 có 2 nữ, 8 nam
8
26
2
7
CC

Tổ 2 có 3 nữ, 8 nam
8
18
3
5
CC

, Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam
10
10
2
2
CC

Vậy ta có:
8
18

3
5
8
26
2
7
CCCC
cách
Tr ờng hợp 3: Tổ 1 có 2 nữ, 8 nam
8
26
2
7
CC

, Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam
9
18
2
5
CC

Tổ 3 có 3 nữ, 9 nam
9
9
3
3
CC

, Vậy ta có:

9
18
2
5
8
26
2
7
CCCC
cách
Theo quy tắc cộng ta có:
9
19
2
4
7
26
3
7
CCCC
+
8
18
3
5
8
26
2
7
CCCC

+
9
18
2
5
8
26
2
7
CCCC
cách.
Câu 2: Cho hai đờng thẳng song song d
1
và d
2
. Trên đờng thẳng d
1
có 10 điểm phân biệt, trên đờng thẳng d
2
có n
điểm phân biệt
( )
2

n
. Biết rằng 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n thoả mãn điều kiện trên.
Giải:
Số tam giác có một đỉnh thuộc d
1
, hai đỉnh thuộc d

2
là:
2
10
n
C
Số tam giác có một đỉnh thuộc d
2
, hai đỉnh thuộc d
1
là:
2
10
nC
Theo đề bài ta có:
2005608280010
22
10
2
==+=+
nnnnCC
n
Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1
Ôn thi ĐH Tháng 5/2009
Câu 3: Từ các chữ số 0, 1,. 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau và mỗi số
lập đợc đều nhỏ hơn 25000.
Giải: Gọi
54321
aaaaan
=

chẵn,
( )
25000,
<
njiaa
ji
.
Vì
{ }
2;125000
1
<
an
ta có các trờng hợp sau:
Trờng hợp 1: a
1
= 1. Ta có 1 cách chọn a
1
. Ta có 4 cách chọn a
5
( n chẵn).
3
5
A
cách chọn
432
aaa
. Vậy ta có:
240.4.1
3

5
=
A
số n.
Tr ờng hợp 2: a
1
= 2, a
2
chẵn nhỏ hơn 5.
Ta có 1 cách chọn a
1
. Ta có 2 cách chọn a
2
.
Ta có 2 cách chọn a
5
.
2
4
A
cách chọn a
3
a
4
.
Vậy ta có:
48.2.2.1
2
4
=

A
số n.
Tr ờng hợp 3: a
1
= 2, a
2
lẻ nhỏ hơn 5.
Ta có 1 cách chọn a
1
. Ta có 2 cách chọn a
2
Ta có 3 cách chọn a
5
.
2
4
A
cách chọn a
3
a
4
Vậy ta có;
72.3.2.1
2
4
=
A
số n.
Theo quy tắc cộng ta có:
3607248240

=++
số n.
Câu 4: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có
đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau.
Giải:
Số cách chọn hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau từ 3 chữ số 1, 3, 5 là:
6
3
5
=
A
cách. Ta xem mỗi cặp số lẻ nh một phần tử
x.
Vậy mỗi số cần lập gồm phần tử x và 3 trong 4 chữ số chẵn 0, 2, 4, 6.
Gọi
01234
aaaaan
=
. ta có các trờng hợp sau:
Tr ờng hợp 1: a
0
= 0. Đa x vào 4 vị trí đầu: Có 3 cách.
Đa 2 chữ số chẵn 2,4, 6 vào 2 vị trí còn lại có
2
3
A
cách.
Vậy có:
18.3
2

3
=
A
cách.
Tr ờng hợp 2: a
0
chẵn khác 0 và x ở hai vị trí a
3
a
4
. Có
18.3
2
3
=
A
cách..
Tr ờng hợp 3: a
0
chẵn khác 0 và x ở hai vị trí a
3
a
2
hoặc a
2
a
1
. Có 24 cách. Vậy ta có:
( )
3602418186

=++
số n.
Câu 5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả
các số tự nhiên đó.
Giải:
Cách 1: Gọi
01
2
2
3
3
4
401234
1010.10.10. aaaaaaaaaan
++++==
là số cần lập. Ta có 4 cách chọn a
4
, 4 cách chọn
a
3
, 3 cách chọn a
2
, 2 cách chọn a
1
, 1 cách chọn a
0
. Vậy có:
961.2.3.4.4
=
số n.

Cách 2: Ta có 4 cách chọn và 4! Cách sắp xếp 4 số còn lại.
Vậy có: 4. 4! = 96 số n.
* Tính tổng 96 số n lập đợc:
Cách 1: Có 24 số n
01234
aaaaan
=
, có 18 số
1
1234
aaaan
=
, có 18 số
2
1234
aaaan
=
, có 18 số
3
1234
aaaan
=
,
có 18 số
4
1234
aaaan
=
.
Tổng các chữ số hàng đơn vị là:

180)4321(18
=+++
. Tơng tự: Tổng các chữ số hàng choc là 1800, tổng các chữ
số hàng trăm là 18000, tổng các chữ số hàng nghìn là 180000.
Có 24 số
0123
1 aaaan
=
, có 24 số
0123
2 aaaan
=
, có 24 số
0123
3 aaaan
=
, có 24 số
0123
4 aaaan
=
.
Tổng các chữ số hàng chục nghìn là
240000010000).4321(24
=+++
Vậy tổng 96 số n là:
25999802400000180000180001800180
=++++

Cách 2: Có 24 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng ở vị trí a
4

.
Có 18 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng ở vị trí a
i
, với i = 0, 1, 2, 3
Vậy tổng 96 số n là:
[ ]
)10101010(1810.24)4321(
01234
+++++++
Câu 6: áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn của
( )
100
2
xx
+
, chứng minh rằng:
0
2
1
200
2
1
199..
2
1
101
2
1
100
199

100
100
198
99
100
100
1
101
99
0
100
=






+






+

CCCC
. (
k
n
C
là tổ hợp chập k của n phần tử)
Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1
Ôn thi ĐH Tháng 5/2009
Giải:
Ta có:
( )
200100
100
1022
100
1011
100
1000
100
100
2

.. xCxCxCxCxx
++++=+
, lấy đạo hàm hai vế, cho
2
1
=
x
và nhân hai vế với
( -1), ta có kết quả:
0
2
1
200
2
1
199..
2
1
101
2
1
100
199
100
100
198
99
100
100
1

101
99
0
100
=






+






+

CCCC
Câu 7: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và
tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8.
Giải:
Gọi
654321
aaaaaan
=
là số cần lập. Yêu cầu bài toán:
{ }
5,2,1,,8
543543
=++
aaaaaa
hay
{ }
4,3,1,,
543

aaa
a) Khi
{ }
5,2,1,,
543

aaa
. Có 6 cách chọn a
1

; có 5 cách chọn a
2
.
Có 3! Cách chọn a
3
, a
4
, a
5
. Có 4 cách chọn a
6
.
Vậy ta có:
7204.6.5.6
=
số n.
b) Khi
{ }
4,3,1,,
543

aaa
tơng tự ta cũng có 720 số n.
Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n .
Cách khác: * Khi
{ }
5,2,1,,
543

aaa

. Có 3! = 6 cách chọn
543
aaa
, có
3
6
A
cách chọn a
1
, a
2
, a
6
.
Vậy ta có:
7204.6.5.6
=
số n.
* Khi
{ }
4,3,1,,
543

aaa
, tơng tự ta cũng có 720 số n.
Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n .
Câu 8: Tìm hệ số của x
7
trong khai triển đa thức
( )

n
x
2
32

, trong đó n là số nguyên dơng thoả mãn:
1024...
12
12
5
12
3
12
1
12
=++++
+
++++
n
nnnn
CCCC
. (
k
n
C
là tổ hợp chập k của n phần tử)
Giải:
Ta có:
( )
1212

12
33
12
22
12
1
12
0
12
12
...1
++
+++++
+
+++++=+
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCCx
Cho x = 1, ta có:
( )
1...2
12
12
3
12
2
12
1
12

0
12
12
+
+++++
+
+++++=
n
nnnnn
n
CCCCC
Cho x = -1, ta có:
( )
2...0
12
12
4
12
3
12
2
12
1
12
0
12
+
++++++
++=
n

nnnnnn
CCCCCC
Lây (1) (2)
[ ]
12
12
5
12
3
12
1
12
12
...22
+
++++
+
++++=
n
nnnn
n
CCCC
1012
12
5
12
3
12
1
12

2
21024...2
==++++=
+
++++
n
nnnn
n
CCCC
Vậy 2n = 10.
Ta có:
( )

=

=
10
0
10
10
10
)3(2)1(32
k
kkkk
xCx
.
Suy ra hệ số của x
7
là:
377

10
2.3.C

hay
373
10
2.3.C

Câu 9: Một đội văn nghệ có 15 ngời gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 ngời
biết rằng trong đó phải có ít nhất 3 nữ.
Giải:
Ta có 3 trờng hợp:
* 3 nữ và 5 nam: có
2520
5
10
3
5
=
CC
cách.
* 4 nữ và 4 nam: Có
1050
4
10
4
5
=
CC
cách.

* 5 nữ và 3 nam: có
120
3
10
5
5
=
CC
cách
Theo quy tắc cộng, ta có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách.
Câu 10: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và
nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5.
Giải:
Gọi
54321
aaaaan
=
là số cần lập.
Ta có thể xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí
205.4
2
5
==
A
cách.
Xếp 1, 5 rồi ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại đầu tiên
4 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 2.
3 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 3
Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1
Ôn thi ĐH Tháng 5/2009

* Theo quy tắc nhân ta có:
120060.203.4.5.
2
5
==
A
số n.
Cách khác:
B ớc 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: Ta có:
205.4
2
5
==
A
cách.
B ớc 2: Có
605.4.3
3
5
==
A
cách bốc 3 trong 5 số còn lại rồi xếp vào 3 vị trí còn lại. Vậy có 20. 60 = 1200 số n thoả
mãn yêu cầu bài toán.
Câu 11: Tìm
{ }
2005;........;2;1;0

k
sao cho
k

C
2005
đạt giá trị lớn nhất ( với
k
n
C
là tổ hợp chập k của n phần
tử).
Giải:
k
C
2005
lớn nhất
( )
Nk
CC
CC
kk
kk










+

1
20052005
1
20052005




+











+



kk
kk
kkkk
kkkk
2006
20051

)!2006()!1(
!2005
)!2005(!
!2005
)!2004()!1(
!2005
)!2005(!
!2005



=
=







1003
1002
,10031002
1003
1002
k
k
Nkk
k
k

.
Câu 12: Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức:
1262
22
=+
nnnn
APAP
( P
n
là số hoán vị của n phần tử và
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
Giải:
Ta có:
( )
1,1262
22
>=+
nNnAPAP
nnnn
0)!6(2
)!2(
!.6
)!2(
!
12
)!2(
!

!
)!2(
!.6
!.2
=

=



+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n



=
=

=
=




=
=






=

=

3
2
02
3
02)1(
6!
02
)!2(
!
0!6
2

n
n
nn
n
nn
n
n
n
n
( Vì
2

n
)
Câu 13: Tìm
Nyx

,
thoả mãn hệ:





=+
=+
66
22
23
32

xy
yx
CA
CA
Giải:
Với điều kiện:
3,2

yx
, ta có:
Giáo viên : Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1