chuyên đề CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẶC NHẤT, BẬC HAI

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
- Hàm số: Cho một tập hợp khác rỗng D ⊂ ¡ . Hàm số f xác định trên D là
một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x ∈ D với một và chỉ một số, kí hiệu f(x).
f(x) được gọi là giá trị của hàm số f tại x, x gọi là biến số (hay đối số) của
hàm f, D gọi là tập xác định.
- Cách cho một hàm số: công thức, bảng, biểu đồ, đồ thị.
- Sự biến thiên của hàm số:
Cho hàm số f xác định trên D (khoảng, nửa khoảng, đoạn).
+ f được gọi là đồng biến hay tăng trên D nếu:
∀x1 , x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )

+ f được gọi là nghịch biến hay giảm trên D nếu:
∀x1 , x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )

- Hàm số y=f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu:
∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D và f (− x) = f ( x )

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
- Hàm số y=f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu:
∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D và f (− x) = − f ( x)

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
- Tịnh tiến đồ thị:
Cho các số dương p, q và hàm số y=f(x) có đồ thị (G).
+ Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x)+q.
+ Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x)-q.
+ Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x+p).
+ Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x-p).
 Chú ý: Tịnh tiến (G) lên trên (hoặc xuống dưới) q đơn vị rồi tịnh tiến sang
trái (hoặc sang phải) p đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f ( x ± p) ± q
B.PHÂN DẠNG TOÁN:

 DẠNG 1: TẬP XÁC ĐỊNH VÀ TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ.
 Phương pháp giải:
 Tìm tập xác định D của hàm số y=f(x) là tìm các giá trị của biến số x để
f(x) xác định.

1


D = { x ∈ ¡ f ( x ) có nghia} .

 Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:
P ( x)

1. Hàm số y = Q( x)
2. Hàm số y = R( x)

Điều kiện xác định: Q( x) ≠ 0
Điều kiện xác định R( x) ≥ 0

P( x)

3. Hàm số y = Q( x)

Điều kiện xác định Q(x)>0.
 P ( x) ≠ 0
Q( x ) ≠ 0

 Chú ý: P( x).Q( x) ≠ 0 ⇔ 

Tính giá trị của hàm số y=f(x) tại x=a.
Nếu a ∉ D thì không tồn tại f(a).
Nếu a ∈ D thì tồn tại duy nhất f(a).
 Điều kiện để hàm số f xác định trên tập A là A ⊂ D
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số:
x+3
2x − 4
x −1
e. y = 3
x +1

a. y =

2x + 5
2x +1
x −1
c. y = 2
d. y = 2
4 − 3x
x − 3x + 2
x − x +1
x−2
1
f. y = (1 − x)( x 2 − 4 x + 3)
g. y = 4
x − 2x2 + 3

b. y =

Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số:
a. y = 2 − 5 x

b. y =

e. y = 4 − x + x + 1
h. y =

5 − 2x
( x − 2) x − 1

m. y =
p. y =

x +1 + 4 − x
( x − 2)( x − 3)
1
x − 2 x −1

x+5
x−2
c. y =
d. y = 2 x − 4
( x + 1) x − 1
x +1
1
f. y = x − 1 +
g. y = x + 3 − 2 x + 2
x−3
x

x −1
k. y = 2 x − 4 +
l. y = x + 3 + 2
x − 3x + 2
x +1

n. y = 3 x 2 − 4 + x 2 − 4 x + 4 o. y =
q. y =

x+3
x −1 + 3 − 2x + x − 2

x 2 + 2 x + 2 − ( x + 1)

r. y =

4x2 −1
4− x x

Bài 3: Tìm tham số a để hàm số:

2x +1
xác định trên D= ¡
x − 6x + a − 2
3x + 1
b. y = 2
xác định trên D= ¡
x − 2ax + 4
c. y = x − a + 2 x − a − 1 xác định trên D= (0; +∞)
x−a

d. y = 2 x − 3a + 4 +
xác định trên D= (0; +∞)
x + a −1

a. y =

2

Đáp số: a>11
Đáp số: -2Đáp số: a ≤ 1
Đáp số: 1 ≤ a ≤

4
3

2


x + 2a
xác định trên D=(-1;0)
x − a +1
1
+ − x + 2a + 6 xác định trên D=(-1;0)
f. y =
x−a
1
g. y = 2 x + a + 1 +
xác định trên D= (1; +∞)
x−a

1
h. y =
xác định trên D= [ −1;1]
x + 3a − 2 + a + 2 − x
k. y = 2 x + 2a − 1 + x + 2a − 5 xác định trên D= (1; +∞)

e. y =

a ≤ 0

Đáp số: 
a ≥ 1

Đáp số: −3 ≤ a ≤ 1
Đáp số: −1 ≤ a ≤ 1
Đáp số: a ≥ 1
Đáp số: a ≥ 2

 2
 x − 1 khi x<0

Bài 4: Cho hàm số y = f ( x) =  x + 1 khi 0 ≤ x ≤ 2
 x 2 − 1 khi x>2



a. Tìm tập xác định của hàm số.
b. Tính f(-1), f(0), f(1), f(2), f(3).

 DẠNG 2: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

 Phương pháp giải:
Cho hàm số f xác định trên D.
+ y=f(x) đồng biến trên D
⇔ ∀x1 , x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
⇔ ∀x1 , x2 ∈ D : x1 ≠ x2 ⇒

f ( x2 ) − f ( x1 )
>0
x2 − x1

+ y=f(x) nghịch biến trên D

⇔ ∀x1 , x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
⇔ ∀x1 , x2 ∈ D : x1 ≠ x2 ⇒

f ( x2 ) − f ( x1 )
<0
x2 − x1

 Chú ý: Các hàm hữu tỉ thì phân chia tập xác định dựa vào các giá trị x làm
cho mẫu thức bằng 0, các hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) thì phân chia
tập xác định ¡ qua giá trị x = −

b
.
2a

Nếu cho đồ thị, ta dựa vào dáng điệu của đồ thị để lập bảng biến thiên.
Bài tập minh họa:
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của hàm số:

a. y = x 2 + 2 x − 2 trên (-∞;-1),(-1;+∞)
b. y = −2 x 2 + 4 x + 1 trên (-∞;1),(1;+∞)
c. y =

5
trên (-∞;-3),(-3;+∞)
x+3

3


−1
trên (-∞;4),(4;+∞)
x−4
e. y = x 2011 +2012 trên (-∞;+∞)
1
1
f. y =
g. y = 2
h. y = x
x
x

d. y =

k. y =

1
x −1

Bài 6: Chứng minh hàm số:
a. y =

3x − 2
giảm trên (1; +∞)
x −1

b. y = x x 2 tăng trên ¡

Bài 7: Lập bảng biến thiên của hàm số cho bởi đồ thị:

a.

b.

Bài 8: Với giá trị nào của m thì hàm số:
a. y = f ( x) = (m − 1) x + m 2 − 3 đồng biến trên ¡ .
b. y = f ( x) = − x 2 + (m − 1) x + 2 nghịch biến trên (1;2).
Bài 9: Cho hàm số y = ax+b x − 1 + c x − 2 luôn luôn tăng . Chứng minh a>0.
Bài 10: Cho hàm số f(x) tăng trên ¡ , g(x) giảm trên ¡ .
a. Chứng minh hàm số h(x)=f(x)-g(x) tăng trên ¡ .
b. Chứng minh nếu phương trình f(x)=g(x) có nghiệm x0 thì đó là nghiệm
duy nhất.
Bài 11: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: y = f ( x) = x 2 + x − 3 .

 DẠNG 3: HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Để xét tính chẵn, lẻ của hàm số ta tiến hành các bước như sau:
- Tìm tập xác định D.
- Kiểm tra x ∈ D ⇒ − x ∈ D (tức đối xứng qua 0).

- Tính f(-x): + Nếu f(-x)=f(x) thì f là hàm số chẵn.
4


+ Nếu f(-x)=-f(x) thì f là hàm số lẻ.
 Chú ý: - Hàm số y=f(x)=0 là hàm số vừa chẵn, vừa lẻ trên D tập đối xứng qua
0.
- Để chứng minh hàm số không chẵn ta chứng minh hoặc miền xác
định D không đối xứng qua 0, hoặc có x0 ∈ D sao cho f (− x0 ) ≠ f ( x0 ) .
- Để chứng minh hàm số không lẻ ta chứng minh hoặc miền xác định
D không đối xứng qua 0, hoặc có x0 ∈ D sao cho f (− x0 ) ≠ − f ( x0 ) .
BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài 12: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a. y = x 4 − 4 x 2 + 2 b. y = −2 x3 + 3x
c. y = x 4 + 8 x
d. y = x + 3 − x − 3
e. y = 2 x + 5 + 2 x − 5
h. y = x − 1
m. y = ( x − 1)

f. y = x + x
k. y = 3 x + 2 − 3 x − 2

2

n. y =

− x4 + x2 + 1
2x

g. y =

2x x

x2 −1
l. y = 5 2 x − 3 − 5 2 x + 3 .
x2 + 2
y
=
o.
3 3
x −x

Bài 13: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
1 khi x>0

a. y = f ( x) = 0 khi x=0
 −1 khi x<0


-x 3 +1 khi x ≤ −3

khi -3b. y = f ( x) =  x
 3
 x +1 khi x ≥ 3

Bài 14: Tìm điều kiện của tham số để:
a. hàm số bậc nhất y=ax+b là hàm số lẻ.
b. hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c là hàm số chẵn.

Bài 15: Cho hàm số y=f(x) và y=g(x) xác định trên ¡ .
Đặt S(x)=f(x)+g(x) và P(x)=f(x)g(x). Chứng minh rằng:
a. Nếu y=f(x) và y=g(x) là những hàm số lẻ thì y=S(x) là hàm số lẻ và
y=P(x) là hàm số chẵn.
b. Nếu y=f(x) và y=g(x) là những hàm số chẵn thì y=S(x) và y=P(x) là
những hàm số chẵn.
c. Nếu y=f(x) là hàm số chẵn và y=g(x) là hàm số lẻ thì y=P(x) là hàm số lẻ.
Bài 16: Xác định hàm số y=f(x) có miền xác định là ¡ và vừa chẵn vừa lẻ.
Bài 17: Cho hàm số y=f(x), x ∈ ¡ .
Chứng minh rằng, ta có thể biểu diễm f(x)=g(x)+h(x) ∀x ∈ ¡ trong đó hàm số
y=g(x), x ∈ ¡ là hàm số chẵn; còn hàm số y=h(x), x ∈ ¡ là hàm số lẻ.
Bài 18: Xét tính chẵn lẻ và tìm trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ
thị hàm số:
a. y = 1 + x + 1 − x
d. y =

3

1
x −3 + 3 x +3

b. y = 2 + x − 2 − x
e. y = x −

1
x

c. y =

x2 −1

x2 + 1
x+2 + x−2

f. y = x + 2 − x − 2

5


DẠNG 4: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Cho các số dương p, q và hàm số y=f(x) có đồ thị (G).
+ Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x)+q.
+ Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x)-q.
+ Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x+p).
+ Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x-p).
 Chú ý: Tịnh tiến (G) lên trên (hoặc xuống dưới) q đơn vị rồi tịnh tiến sang
trái (hoặc sang phải) p đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f ( x ± p) ± q
Đối xứng đồ thị (chứng minh như bài tập)
- Nếu lấy đối xứng qua trục Ox thì được đồ thị hàm số y= -f(x)
- Nếu lấy đối xứng qua trục Oy thì được đồ thị hàm số y= f(-x)
- Nếu lấy đối xứng qua gốc O thì được đồ thị hàm số y= -f(-x)
BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 19: Cho đồ thị (H) của hàm số y =

x
ta được đồ thị hàm số nào khi:
x −1

a. Tịnh tiến lên trên 2 đơn vị
b. Tịnh tiến sang trái 3 đơn vị

c. Tịnh tiến lên trên 2 đơn vị, sau đó tịnh tiến sang trái 3 đơn vị.
Bài 20: Cho parabol (P): y = x 2 + 1 . Ta được đồ thị hàm số nào khi tịnh tiến:
a. Lên trêm 3 đơn vị rồi sang phải 2 đơn vị.
b. Xuống dưới 2 đơn vị rồi sang trái 4 đơn vị.
Bài 21: Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị (d): y=f(x)=5x-3 thành (d’): y=5x+2
bằng 2 cách.
Bài 22: Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị:
a. (P): y = x 2 thành (P’): y = x 2 − 6 x + 10
2x +1
2x + 5
thành (H’): y =
.
x −3
x −1
Bài 23: Cho đồ thị (C): y = − x 2 + x + 3 . Ta được đồ thị hàm số nào khi lấy đối

b. (H): y =

xứng qua:
a. Trục hoành
b. Trục tung.
C. Gốc tọa độ O.
Bài 24: Chứng minh:
a. Đồ thị của hàm số y=x-2 và đồ thị của hàm số y=2-x là 2 đường thẳng đối
xứng nhau qua trục hoành.
b. Đồ thị của hàm số y=3x+1 và đồ thị của hàm số y=-3x+1 là 2 đường thẳng
đối xứng nhau qua trục tung.
1
5

Bài 25: Chứng minh rằng các đồ thị của hàm số y=5x và hàm số y = x đối
xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
 DẠNG 5: MỘT SỐ DẠNG KHÁC
6


Bài 26: Cho hàm số y =

x 2 − mx + m
. Hãy xác định m sao cho:
x−m

a. Đồ thị của hàm số không cắt trục tung.
b. Đồ thị của hàm số không cắt trục hoành.
c. Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
Bài 27: Gọi D(k) là đường thẳng có phương trình y=kx-k+1
a. Chứng tỏ rằng khi k thay đổi, đường thẳng D(k) luôn đi qua một điểm cố
định.
4
x

b. Tìm k để D(k) cắt (C): y = .
Bài 28: Cho hàm số: y = f ( x) =

x
1 + x2

. Hãy xác định hàm số:

a. f(f(x))

b. f(f(f(x)))
Bài 29: Xác định g(f(x)), f(g(x)) và f(f(x), g(g(x)) biết:
a. f(x)=2x-4, g ( x) = x 2 + 13 .

b. f ( x) =

2x +1
, g(x)=6-4x.
3x + 1

----------------------------------------

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Hàm số bậc nhất y = ax + b, (a ≠ 0)
- Tập xác định D = ¡ , có hệ số góc a.
- Sự biến thiên: - Khi a>0 hàm số đồng biến trên ¡ .
- Khi a<0 hàm số nghịch biến trên ¡ .
- Đồ thị của hàm số y = ax + b, (a ≠ 0) là một đường thẳng y=ax+b:
+ Không song song và không trùng với các trục tọa độ.
+ Cắt trục tung tại điểm B(0;b) và cắt trục hoành tại điểm A(

−b
, 0) .
a

Cho hai đường thẳng (d): y=ax+b và (d’): y=a’x+b’. Khi đó:
a = a '
b ≠ b '
a = a '
(d) trùng với (d’) ⇔ 

b = b '
(d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a ' .
(d) vuông góc với (d’) ⇔ a.a ' = −1

(d) song song với (d’) ⇔ 

7


2. Hàm số y = ax + b ,(a ≠ 0)
−b

khi x ≥
ax + b
a
y = ax + b = 
−(ax + b) khi x< −b

a

 Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b ,(a ≠ 0) ta vẽ hai đường thẳng
y=ax+b và
y=-(ax+b) rồi xóa đi phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành.
Bài tập minh họa:
 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Hàm số bậc nhất y = ax + b, (a ≠ 0) hoàn toàn xác định khi biết đường thẳng của
nó:
- Đi qua 2 điểm phân biệt.
- Đi qua 1 điểm và có hệ số góc a = tan α .

Cho hai đường thẳng (d): y=ax+b và (d’): y=a’x+b’. Khi đó:
a = a '
b ≠ b '
a = a '
(d) trùng với (d’) ⇔ 
b = b '
(d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a ' .
(d) vuông góc với (d’) ⇔ a.a ' = −1

(d) song song với (d’) ⇔ 

BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài 30: Lập phương trình đường thẳng:
a. đi qua điểm A(1,2) và B(-1,3).
b. Đi qua điểm A(-2,5) và có hệ số góc bằng -1,5.
2
3

c. Đi qua điểm A(4:-3) và song song với (d’): y = − x + 1 .
1
3

d. Đi qua gốc O và vuông góc với đường thẳng (d’): y = x + 1 .
e. Đi qua điểm A(-2,1) và song song với phân giác của góc phần tư thứ hai.
Bài 31: Cho tam giác ABC có A(-6,-3), B(-2,5), C(4,8). Lập phương trình các
cạnh, phương trình đường cao AH và trung tuyến AM.
Bài 32: Tìm phương trình 4 cạnh hình vuông nhận gốc O làm tâm đối xứng
và biết một đỉnh A(3;0).
DẠNG 2: ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax + b ,(a ≠ 0)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Để vẽ đồ thị hàm số y=ax+b ta chỉ cần xác định 2 giao điểm phân biệt của
đường thẳng.

8


−b

khi x ≥
ax + b
a
- y = ax + b = 
−(ax + b) khi x< −b

a
Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b ,(a ≠ 0) ta vẽ hai đường thẳng y=ax+b và

y=-(ax+b) rồi xóa đi phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành.
Chú ý: Từ đồ thị ta có thể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng như biện luận số
nghiệm của phương trình.
BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 33: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
4
3

a. y = x + 1

2 x khi x ≥ 0
− x khi x<0

b. y=6-2x. c. y = 

2 x − 1 khi x ≥ 1
− x + 1 khi x<1

d. y = 

Bài 34: Cho hàm số f xác định bởi:
 x + 2 khi x<-1

y = f ( x) = − x
khi -1 ≤ x ≤ 1
 x − 2 khi x>1


a. Chứng minh hàm số f là hàm số lẻ.
b. Vẽ đồ thị hàm số.
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x)=m
Bài 35: Vẽ đồ thị hàm số y = x − 3 và y = x + 2 . Nêu nhận xét về mối quan
hệ giữa chúng.
Bài 36: Vẽ đồ thị hàm số y = x − 1 − 2 x + 1 . Lập bảng biến thiên và tìm giá
trị nhỏ nhất của hàm số.
 2 x + 1 khi -2 ≤ x<-1

Bài 37: Cho hàm số y = f ( x) = −2 x khi -1 ≤ x ≤ 1
 x − 2 khi 1

a. Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số.
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x)=2m.

c. Tìm m để phương trình f(x)=m
i.
có nghiệm.
ii.
có 2 nghiệm phân biệt.
iii. có 2 nghiêm cung dấu.
iv.
có 3 nghiệm phân biệt.
 DẠNG 3: MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC
- Để tìm giao điểm của 2 đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) ta lập phương trình
hoành độ giao điểm hoặc giải hệ phương trình.
- Để xác định điểm cố định của họ đường cong f(x,m) ta biến đổi về dạng:
A = 0
Am + B = 0, ∀m ⇔ 
.
B = 0
9


- Để tìm giá trị của m để 3 đường thẳng đồng quy ta tìm giao điểm của hai
đường thẳng rồi thế vào phương trình đương thẳng còn lại.
BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài 38: a. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y=5x+6 và y=x-10.
b. Biện luận sự tương giao của hai đồ thị: y=mx+4, y=x-3m.
Bài 39: Tìm a để ba đường thẳng sau đồng quy:
a. y=2x, y=-x-3, y=ax+5.
b. y=2ax-8, y=5x-a, y=4x-5.
Bài 40: Tìm điểm cố định của họ đồ thị:
a. y=4mx-3+m
b. mx+5(m-2)y+2m-1=0.

KIẾN THỨC CƠ BẢN:
- Hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) có tập xác định D = ¡ .
- Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) là một đường parabol có
đỉnh là I (

−b −∆
−b
, ) , có trục đối xứng là đường thẳng x =
.
2a 4a
2a

- Parabol có bề lõm hướng lên trên nếu a>0, hướng xuống dưới nếu a<0.
- Sự biến thiên:

PHÂN DẠNG TOÁN:
 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI – PARABOL
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Parabol (P): y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) :
- (P) đi qua điểm A: y A = f ( xA ) = ax A 2 + bxA + c .
- (P) có đỉnh I (

−b −∆
, ).
2a 4a

10

- (P) có điểm cực đại I (

−b −∆
−b −∆
, ) nếu a<0. và (P) có điểm cực tiểu I ( , )
2a 4a
2a 4a

nếu a>0.
- (P) đạt giá trị lớn nhất là M =
nhỏ nhất là m =

−∆
b 2 − 4ac
=−
nếu a<0 và (P) đạt giá trị
4a
4a

−∆
b 2 − 4ac
=−
nếu a>0.
4a
4a

BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài 41: Xác định parabol (P): y = ax 2 + c biết:
a. Đi qua điểm A(2;3) và có giá trị nhỏ nhất là -2.
b. Đỉnh là I(0;3) và một trong hai giao điểm của (P) với trục hoành là A(2;0)

Bài 42: Xác định parabol (P): y = ax 2 + bx − 1 biết rằng (P):
a. Đi qua hai điểm M(1;2) và N(-1,3).
3
2
3
c. Đi qua điểm B(-1;2), đỉnh có tung độ bằng − .
2
2
Bài 43: Xác định hàm số bậc hai (P): y = − x + bx + c biết rằng (P):

b. Đi qua điểm A(2;1) và có trục đối xứng x = − .

a. Có trục đối xứng là đường thẳng x=-1 và cắt trục tung tại điểm A(0,3).
b. Có đỉnh là I(-1;-2).
c. Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(-1;2).
DẠNG 2: ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Các bước vẽ parabol (P): y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) :
- Tập xác định D = ¡ .
- Đỉnh I (

−b −∆
, ).
2a 4a

- Trục đối xứng : x =

−b
.
2a

- Xác định bề lõm và bảng biến thiên:
Parabol có bề lõm hướng lên trên nếu a>0, hướng xuống dưới nếu a<0

- Tìm các giao điểm đặc biệt: giao điểm với trục hoành, với trục tung.
- Vẽ Parabol (P).
11


 Chú ý:
i.
Từ đồ thị ta có thể tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giải bất
phương trình và biện luận số nghiệm của phương trình.
ii.
Sử dụng các phép tịnh tiến y=f(x+a)+b để suy đồ thị này ra đồ thị
khác.
iii. Từ đồ thị (P): y=f(x) ta có thể suy ra đồ thị của hàm số:
- y=-f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số y=f(x) qua trục hoành.
-

 f ( x ) khi f(x) ≥ 0
y = f ( x) = 
bằng cách giữ nguyên phần đồ thị phía trên
− f ( x) khi f(x)<0

trục hoành, còn phần phía dưới trục hoành thì lấy đối xứng qua trục
hoành.
- y=f(-x) bằng cách lấy đối xứng qua trục tung.
- y = f ( x ) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung, và lấy đối
cứng phần đồ thị đó qua trục tung.

BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài 44: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a. y = x 2 − 6 x
b. y = − x 2 + 4 x + 5 c. y = 3x 2 + 2 x − 5
Bài 45: Cho (P): y = −2 x 2 − 4 x + 6
a. Vẽ (P).
b. Tìm x sao cho y ≥ 0 .
1
2

Bài 46: Cho (P): y = x 2 + x − 4
a. Vẽ (P).
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

1 2
x + x −m = 0.
2

Bài 47: Cho (P): y = 2 x 2 − 3x + 1 .
a. Vẽ (P).
2
b. Từ đồ thị (P) suy ra cách vẽ đồ thị hàm số y = 2 x − 3 x + 1 .
2
c. Xác định m để phương trình y = 2 x − 3 x + 1 vô nghiệm, có 2 nghiệm, có 3
nghiệm, có 4 nghiệm.
Bài 48: Cho y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) . Chứng minh nếu có số α sao cho af (α ) < 0 thì
phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 hơn nữa
x1 < α < x2 .
Bài 49: Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị :
a. (P): y = x 2 thành (P’): y = x 2 − 8 x + 12 .

b. (P): y = −3x 2 thành (P’): y = −3x 2 − 12 x + 9 .
DẠNG 3: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO – TƯƠNG TUYẾN.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
1. Cho đồ thị (C):y=f(x) và (P): y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) .
12


 y = f ( x)

- Tọa độ giao điểm nếu có là nghiệm của hệ 

.

2
 y = ax + bx + c
- Phương trình hoành độ giao điểm: f ( x) = ax 2 + bx + c , nếu biến đổi về
được dạng: Mx 2 + Nx + P = 0 thì:
+ ∆ <0: không có điểm chung.
+ ∆ =0: tiếp xúc nhau.
+ ∆ >0: cắt nhau tại 2 điểm.
Đặc biệt, nếu (C) là đương thẳng và khi ∆ =0 thì đường thẳng là tiếp tuyến

của (P).
2. Lập phương trình tiếp tuyến với (P): y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) tại điểm
A( x A ; y A ) ∈ ( P) hoặc đi qua điểm A( x A ; y A ) .
- Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
y- y − y A = k ( x − xA ) ⇒ y = k ( x − x A ) + y A .
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) với (P).
- Cho điều kiện tiếp xúc: ∆ =0 để tìm ra k.
3. Cho (P): y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) có ∆ = b 2 − 4ac

- Nếu ∆ >0 thì (P) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
- Nếu ∆ =0 thì (P) tiếp xúc với trục hoành.
- Nếu ∆ <0 thì (P) không cắt trục hoành.
BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 49: Tìm tọa độ giao điểm của:
a. y = x − 1 và y=x 2 − 2 x − 1 b. y = 2 x − 5 và y=x 2 − 4 x − 1
c. y = x 2 − 4 và y=-x 2 + 4

1
4

d. y = x 2 +x+1 và y=x 2 − 2 x + 1

Bài 50: Chứng minh đường thẳng:
a. y=-x+3 cắt (P): y=-x 2 − 4 x + 1 . b. y=2x-5 tiếp xúc với (P): y=x 2 − 4 x + 4 .
Bài 51: Cho hàm số: y=x 2 − 2 x + m − 1 . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số:
a. Không cắt trục Ox.
b. Tiếp xúc với trục Ox.
c. Cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt về bên phải gốc O.
Bài 52: Biện luận theo m số giao điểm của (d): y=2x+m với (P): y = x 2 +x-6 .
Bài 53: Cho (P): y = x 2 -4x+3 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm
A(4;1) biết rằng:
a. d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
b. d tiếp xúc với (P).
Bài 54: Lập phương trình tiếp tuyến với (P): y = x 2 +x-1 .
a. Tại điểm A(-2;1).
b. Đi qua điểm B(-1;-5).
Bài 55: Cho (P): y = x 2 -3x+2 . Lập phương trình tiếp tuyến của (P) biết rằng:
a. Tiếp tuyến đó tạo với tia Ox một góc bằng 45° .

13


b. Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y=2x+1.
1
3

c. Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = − x + 2 .
Bài 56: Tìm phương trình tiếp tuyến chung của hai parabol
( P ) : y = x 2 + 4 x + 8 và (P'): y=x 2 + 8 x + 4 .
Bài 57: Xác định (P) biết (P) tiếp xúc với 3 đường thẳng y=x-5; y=-3x+3;
y=3x-12.
Bài 58: Chứng minh rằng các parabol y = mx 2 − (4m − 1) x + 4m − 1 (m ≠ 0) luôn
tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Bài 59: Chứng minh rằng các đường thẳng y = 2mx − m 2 + 4m + 2 luôn luôn tiếp
xúc với một parabol cố định.
Bài 60: Tìm m để đường thẳng d: y=x-1 cắt (P): y = x 2 +mx+1 tại 2 điểm P, Q
sao cho PQ=3.
DẠNG 4: MỘT SỐ DẠNG KHÁC.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Cho (P): y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
b
) , đồng biến trên
2a
b
∆
b
khoảng (− ; +∞) . Lúc đó hàm số đạt GTNN bằng −
tại x = − .
2a

4a
2a
b
Nếu a<0 thì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; − ) , nghịch biến trên
2a
b
∆
b
khoảng (− ; +∞) . Lúc đó hàm số đạt GTLN bằng −
tại x = − .
2a
4a
2a

- Nếu a>0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −

-

- Dựa vào BBT hay đồ thị ta tìm được GTLN và GTNN.
BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài 61: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
a. y = 7 x 2 -3x+10
b. y = −2 x 2 -x+1 .
c. y = x 2 − 2 x với 0 ≤ x ≤ 3
d. y = − x 2 + 5 x − 4 với 0 ≤ x ≤ 3 .
Bài 62: Cho hàm số y=mx 2 + 2(m − 2) x − m + 1 . Chứng minh rằng với mọi giá trị
của m đồ thị của hàm số luôn đi qua 2 điểm cố định.
Bài 63: Tìm m để hàm số:
a. y = x 2 + 2mx + 5 luôn đồng biến trên khoảng (1; +∞) .
b. y = − x 2 − 4mx + 6 luôn nghịch biến trên khoảng (2; +∞) .

Bài 64: Tìm giá trị của m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a. y = − x 2 + 2 x + m − 5 trên [0;3] bằng 4.
b. y = x 2 − 2mx + 3m − 1 trên [0;1] bằng 1.

14


--------------------------------------------HẾT---------------------------------------“Trên bước đường thành công không có bước chân của kẻ lười
nhác”

15