Dạy giải toán chủ đề phương trình và bất phương trình theo quan điểm hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
––––––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ NGA

DẠY GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH THEO QUAN ĐIỂM HÀM
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TS. NGUYỄN HỮU CHÂU

THÁI NGUYÊN – 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sỹ là công trình nghiên cứu khoa học
của riêng tôi. Các kết quả nghiên cứu của Luận văn là trung thực và có nguồn
gốc rõ ràng.
Tác giả Luận văn

Nguyễn Thị Nga

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

i

/>

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này là kết quả của quá trình học tập và nghiên cứu của tôi. Với
tình cảm chân thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo
trong Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên – Đại học Thái Nguyên đã quan
tâm, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TS. Nguyễn Hữu
Châu, thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành Luận
văn này. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, thầy cô
trong nhóm Toán thuộc tổ Tự nhiên trường THPT Nguyễn Tất Thành – Uông
Bí – Quảng Ninh, cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học Lý luận và phương
pháp dạy học bộ môn Toán khóa 21, các em học sinh, người thân trong gia đình
đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tôi thực hiện đề tài này.
Cuối cùng, dù rất tâm huyết và hết sức cố gắng song bản Luận văn chắc
chắn còn nhiều thiếu sót. Kính mong được sự chỉ dẫn của các nhà khoa học và
các bạn đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn !
Uông Bí, ngày

tháng

năm 2015

Học viên

Nguyễn Thị Nga

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

2

/>

MỤC LỤC
Lời cam đoan ........................................................................................................ i
Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii
Mục lục ............................................................................................................... iii
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt .............................................................. iv
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 3
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu................................................................. 3
4. Giả thuyết khoa học .........................................................................................
3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 3
6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 4
7. Những đóng góp của luận văn .........................................................................
4
8. Cấu trúc của luận văn ...................................................................................... 4
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 5
1.1. Hàm và quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông .................
5
1.1.1. Khái niệm hàm........................................................................................... 5
1.1.2. Quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông .......................... 7
1.1.3. Đặc trưng của quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông....
7
1.1.4. Chủ đề hàm trong chương trình Toán phổ thông ......................................
8
1.2. Thực trạng việc dạy giải toán chủ đề phương trình và bất phương trình
theo quan điểm hàm ở trường phổ thông........................................................... 24

1.3. Kết luận chương 1....................................................................................... 29
Chương 2: DẠY GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH THEO QUAN ĐIỂM HÀM ........................................... 31
2.1. Một số dạng toán có thể giải theo hướng vận dụng quan điểm hàm..........
31
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

3

/>

2.1.1. Phân loại, phân bậc các bài toán.............................................................. 31
2.1.2. Hướng dẫn học sinh phương pháp chung để giải một bài toán theo
hướng vận dụng quan điểm hàm ....................................................................... 32
2.2. Một số tri thức cơ bản về hàm số ............................................................... 33

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

4

/>

2.2.1. Dấu hiệu của đạo hàm về tính đơn điệu của hàm số ............................... 33
2.2.2. Dấu hiệu của đạo hàm về sự tồn tại nghiệm của phương trình ............... 33
2.2.3. Các kết quả toán ...................................................................................... 33
2.3. Hệ thống bài tập và những gợi ý với giáo viên nhằm rèn luyện kỹ năng
giải phương trình và bất phương trình dựa vào quan điểm hàm ....................... 34
2.3.1. Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải phương trình đại số hữu tỉ
và phương trình đại số vô tỉ ............................................................................... 34
2.3.2. Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải phương trình lượng giác ...... 54

2.3.3. Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải phương trình mũ và
phương trình lôgarit ........................................................................................... 66
2.3.4. Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải bất phương trình đại số
hữu tỉ, bất phương trình đại số vô tỉ .................................................................. 90
2.3.5. Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải bất phương trình mũ và lôgarit
..... 94
2.4. Kết luận chương 2....................................................................................... 98
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .................................................... 100
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ............................................................... 100
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm...................................................... 100
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm ..................................................... 100
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ............................................................... 100
3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm .............................................................. 101
3.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ................................................................. 101
3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm .................................................................. 101
3.5.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................ 101
3.5.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm ............................................................... 114
3.6. Kết luận chương 3..................................................................................... 117
KẾT LUẬN..................................................................................................... 118
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 119
PHỤ LỤC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

5

/>

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
CĐ

Cao đẳng

ĐH

Đại học

ĐK

Điều kiện

HS

Học sinh

NXB

Nhà xuất bản

QĐH

Quan điểm hàm

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

TXĐ

Tập xác định

VD

Ví dụ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

iv

/>

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong các môn học ở nhà trường phổ thông, môn Toán có một vị trí rất
quan trọng vì Toán học là công cụ ở nhiều môn học khác. Môn Toán có khả
năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện
cho học sinh óc tư duy trừu tượng, tư duy chính xác, và tư duy lôgic. Qua đó có
tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh tính tư duy lôgic. Trong những
năm gần đây, nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn
Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục. Đảng và
nhà nước ta đã đề ra nhiều chủ trương, chính sách nhằm phát triển giáo dục với
mục tiêu là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có tri thức, phẩm
chất tốt, có trình độ thẩm mỹ và lòng yêu nghề nghiệp, đáp ứng yêu cầu của sự
nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc trong thời kỳ mới. Một trong những nhiệm
vụ và giải pháp lớn về giáo dục được đề ra trong Đại hội đại biểu toàn quốc lần
thứ XI của Đảng là: "Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện. Đổi mới cơ cấu,

tổ chức, nội dung, phương pháp dạy và học theo hướng chuẩn hoá, hiện đại
hoá, xã hội hoá. Phát huy trí sáng tạo, khả năng vận dụng, thực hành của
người học".
Điều 28 khoản 2 của Luật Giáo dục nêu rõ: "Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp
với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả
năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn;
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh" [19].
Với mục tiêu đó thì đổi mới nội dung và phương pháp dạy học nói
chung, nội dung và phương pháp dạy học môn Toán nói riêng diễn ra sâu rộng
ở tất cả các bậc học và cấp học. Trong môn Toán ở trường Phổ thông chủ đề
phương trình và bất phương trình giữ vị trí quan trọng. Kiến thức và kỹ năng về
chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

1

/>

phương trình và bất phương trình còn là chìa khóa để giải quyết nhiều vấn đề
thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là
Hình học giải tích. Bên cạnh đó kiến thức hàm số cũng có vai trò quan trọng
trong toàn bộ chương trình môn Toán phổ thông. Hàm số giữ vị trí trung tâm,
việc đảm bảo vị trí trung tâm của hàm số sẽ tăng cường tính thống nhất của
giáo trình Toán phổ thông, góp phần xóa bỏ ranh giới giả tạo giữa các phần
khác nhau của chương trình.
Theo [17, trang 93], quan điểm này thể hiện rõ nét trong chương trình
Toán ở trường THPT :
- Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ chủ yếu suốt chương trình bậc
Phổ thông;

- Phần lớn chương trình Đại số và Giải tích giành cho việc trực tiếp
nghiên cứu hàm số;
- Cấp số cộng và cấp số nhân được nghiên cứu như những hàm số của
đối số tự nhiên;
- Lượng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lượng giác, còn phần
công thức biến đổi được giảm nhẹ;
- Phương trình và bất phương trình được trình bày liên hệ chặt chẽ với
hàm số.
Trong dự thảo chương trình môn Toán ở trường THPT (Dự thảo 1989 –
trang 17) có quy định: " Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ chủ yếu suốt
chương trình bậc Phổ thông trung học…" theo [4].
Có thể nói rằng hàm nói chung và hàm số nói riêng như sợi chỉ đỏ xuyên
suốt nội dung môn Toán ở trường Phổ thông. Các kiến thức về hàm được thể
hiện trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là trong phương trình và bất phương trình.
Nhưng trong thực tế dạy học về phương trình và bất phương trình ở THPT có
thể nhận thấy rằng HS thường mắc một số sai lầm và đa số các em chưa có kỹ
năng thành thạo để giải phương trình và bất phương trình theo QĐH. Hơn nữa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

2

/>

những năm gần đây các đề thi CĐ - ĐH, thi học sinh giỏi các cấp luôn luôn có
dạng bài tập về phương trình và bất phương trình, trong đó có rất nhiều bài tập
được giải theo QĐH. Đã có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng
cao chất lượng dạy học nội dung phương trình, bất phương trình. Nhưng chưa
có công trình nào nghiên cứu về việc dạy giải toán phương trình và bất phương
trình theo QĐH.
Xuất phát từ những lý do trên nên tôi chọn đề tài "Dạy giải toán chủ đề

phương trình và bất phương trình theo quan điểm hàm".
2. Mục đích nghiên cứu
Tổng kết được một số yếu tố lý luận và thực tiễn về dạy giải toán theo
QĐH và đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển khả năng giải toán
phương trình, bất phương trình theo QĐH cho học sinh THPT.
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học phương trình và bất
phương trình ở trường THPT.
3.2. Đối tượng nghiên cứu: Các mô hình dạy giải toán chủ đề phương
trình và bất phương trình cho học sinh THPT theo QĐH.
4. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở lý luận của phương pháp dạy học môn Toán và thực tiễn dạy
học về phương trình và bất phương trình, nếu khai thác và vận dụng thành thạo
QĐH để giải phương trình và bất phương trình thì sẽ phát huy được khả năng
phát hiện tìm lời giải, phân tích bài tập, hệ thống dạng toán của HS trong việc
học tập, qua đó nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Tổng kết một số vấn đề lý luận về QĐH và giải toán theo QĐH.
5.2. Đề xuất một số biện pháp sư phạm giúp HS phát triển khả năng giải
phương trình và bất phương trình theo QĐH thông qua việc phân loại các bài
tập về phương trình, bất phương trình có thể giải theo QĐH.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

3

/>

5.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả
của các nội dung đã đề xuất.
6. Phương pháp nghiên cứu

6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu
về dạy học theo QĐH, phương pháp dạy học môn Toán và các tài liệu khác liên
quan đến đề tài.
6.2. Phương pháp điều tra, quan sát: Khảo sát thực trạng dạy học giải
toán phương trình, bất phương trình theo QĐH ở trường THPT hiện nay.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm
để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc dạy giải toán chủ đề phương trình
và bất phương trình theo QĐH ở trường Phổ thông.
7. Những đóng góp của luận văn
7.1. Góp phần hệ thống lại một số yếu tố lý luận và thực tiễn về dạy giải
toán theo QĐH ở trường Phổ thông.
7.2. Hệ thống và phân loại các dạng bài tập về phương trình và bất
phương trình thường gặp ở THPT có thể giải theo QĐH.
7.3. Đưa ra một số chỉ dẫn cho giáo viên giúp HS giải hệ thống bài tập về
phương trình, bất phương trình theo QĐH.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, phụ lục, nội
dung chính của luận văn gồm ba chương.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Dạy giải toán chủ đề phương trình và bất phương trình theo
quan điểm hàm.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

4

/>

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Hàm và quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông
1.1.1. Khái niệm hàm
1.1.1.1. Định nghĩa hàm dựa vào đại lượng biến thiên
Theo [4, trang 15] có hai dạng định nghĩa sau:
a) Dạng thứ nhất: "Đại lượng y được coi là hàm số của đại lượng x, nếu
với mỗi giá trị của x (trong khoảng biến thiên của nó) thì tương ứng một giá trị
xác định của y; x gọi là đối số ".
b) Dạng thứ hai: "Luật (quy tắc) theo đó các giá trị của đại lượng biến
thiên phụ thuộc tương ứng với những đại lượng biến thiên độc lập gọi là hàm"
(bài giảng về đại số cao cấp của Mytskit).
1.1.1.2. Định nghĩa hàm dựa vào tập hợp
Theo [4, trang 15, 16] có bốn dạng định nghĩa sau:
a) Định nghĩa tình huống hàm (dạng thứ nhất): theo Klomogorov và
Fomin: "Giả sử M và F là hai tập hợp bất kì. Người ta nói rằng trên M xác định
một hàm f nhận các giá trị trong F nếu với mỗi phần tử xM đặt tương
ứng
một và chỉ một phần tử trong F". Trong trường hợp các tập hợp có bản chất bất
kì thì thay từ "hàm" người ta dùng từ ánh xạ và nói về "ánh xạ" của tập M đến
tập F.
b) Hàm như một quy tắc tương ứng giữa hai tập hợp ( dạng thứ hai):
Chẳng hạn, theo Lê Đình Phi: "X và Y là hai tập hợp đã cho. Một ánh xạ f từ X
đến Y là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x X duy nhất
phần tử y Y". Những định nghĩa thuộc dạng trên, người ta dùng
những khái niệm "quy tắc" hay "luật". Ý nghĩa của những từ này có thể
được chính xác
hóa nhờ khái niệm thuật toán, nhưng một sự chính xác như thế lại dẫn đến
thu hẹp khái niệm hàm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

5

/>

c) Hàm như một tương ứng (dạng thứ ba): theo Klini trong cuốn nhập
môn vào toán học, có viết: "Theo định nghĩa tổng quát nhất thì hàm là một sự
tương ứng mà theo đó với mỗi phần tử x của tập hợp X tương ứng với một
phần tử y của tập Y nào đó".
d) Định nghĩa hàm dựa vào tập hợp (dạng thứ tư): các định nghĩa hàm
thuộc ba dạng trên đã dựa vào tập hợp nhưng chưa triệt để. Vì vậy chúng chưa
chỉ đích danh định nghĩa hàm là gì (dạng thứ nhất), hoặc còn những thuật ngữ
chưa rõ ràng, chẳng hạn như quy tắc (dạng thứ hai), "sự tương ứng" (dạng thứ
ba). Để khắc phục được những đặc điểm trên, dạng thứ tư đem vào tập hợp
những cặp để chính xác hóa khái niệm hàm. Dạng này có hai cách định nghĩa:
định nghĩa đầy đủ và định nghĩa rút gọn.
Về định nghĩa đầy đủ, Bourbaki cho rằng: "Một tập G mà mỗi phần tử
của nó là những cặp được gọi là một đồ thị. Tập hợp các phần tử thứ nhất của
các cặp trong G được gọi là miền xác định của đồ thị G, ký hiệu là pr 1 G. Tập
hợp tất cả các phần tử thứ hai của các cặp trong G được gọi là miền giá trị của
G, ký hiệu là pr 2 G".
Một bộ ba (G, A, B) trong đó G là một đồ thị sao cho pr 1 G  A
và
pr 2 G  B, được gọi là một sự tương ứng giữa các tập hợp A và B, A được
gọi là nguồn, B gọi là đích của sự tương ứng đó. Một đồ thị được gọi là đồ thị
hàm
nếu trong đó không có hai cặp phân biệt nào cùng chung phần tử thứ nhất. Một
sự tương ứng (F, A, B) được gọi là một hàm nếu F là một đồ thị hàm và A = pr 1
G.
Về định nghĩa rút gọn, theo kolmogorov: "Một hàm là một tập hợp
những cặp (x, y) sao cho đối với mỗi x bất kì trong tập hợp đó không có quá

một cặp (x, y) với phần tử thứ nhất x cho trước". Như thế định nghĩa hàm theo
định nghĩa rút gọn chính là đồ thị hàm theo định nghĩa đầy đủ, còn nguồn và
đích không có mặt trong định nghĩa rút gọn. Trong các định nghĩa hàm theo
/>Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 6


khuynh hướng hiện đại, thực chất chỉ có dạng thứ tư là triệt để dựa vào lý
thuyết tập hợp.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

7

/>

1.1.2. Quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông
- Theo [4], QĐH trong dạy học Toán ở phổ thông là: xem xét các sự vật
và hiện tượng dựa trên tương quan hàm, trong đó chú trọng vào các biểu hiện
cơ bản của hàm gồm "tương ứng, biến thiên, phụ thuộc", trong sự hình thành và
phát triển một bộ phận (một ngành) của Toán học.
1.1.3. Đặc trưng của quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông
Khi vận dụng QĐH trong dạy học Toán ở trường phổ thông chúng có
những biểu hiện sau đây:
- Trình bày các đối tượng toán học trong sự chuyển động và sự biến đổi
của chúng;
- Thể hiện quan điểm tác động - ảnh hưởng đến các sự kiện toán học
trong mối quan hệ nhân quả;
- Khuynh hướng diễn đạt các sự kiện toán học một cách thực chất và
tăng cường ứng dụng của toán học;
- Làm rõ kiến thức về hàm xuyên suốt qua hầu hết các chủ đề toán học

trong nhà trường.
Với khái niệm hàm số được học ở trường Phổ thông thì sự thể hiện 4
biểu hiện trên là:
- Khi cho hàm số cần phải đảm bảo tính đa dạng (bảng, sơ đồ Ven; biểu
thức giải tích; đường cong hình học), tránh tình trạng „„độc quyền‟‟ bằng biểu
thức giải tích, dẫn đến HS gặp nhiều khó khăn khi đối diện với các tình huống
trong đó hàm số xuất hiện dưới dạng bảng hay đồ thị (biểu hiện 1).
- Sự thể hiện quan điểm tác động - ảnh hưởng đến các sự kiện toán học
trong mối quan hệ nhân quả; hàm (hàm số nói riêng) có tác động - ảnh hưởng
trong 7 lĩnh vực: xây dựng và mở rộng các hệ thống số; các phép biến đổi đồng
nhất; phương trình và bất phương trình; hàm số (giới hạn, đạo hàm, nguyên
hàm, tích phân) và các phép biến hình với các tập điểm và phương pháp tọa độ
(tương ứng giữa tập hợp điểm và tập số), lượng giác, tính liên môn trong dạy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

8

/>

học (biểu hiện 2 - 4). Ngay cả trong chương tập hợp - mệnh đề, nếu chú ý khai
thác ta vẫn tìm ra mối quan hệ với hàm. Thật vậy, khi nói đến mệnh đề là đúng
hoặc sai, như thế thực chất là ta có một ánh xạ từ tập hợp tất cả các mệnh đề lên
tập hợp gồm hai phần tử, một trong chúng mang tên là đúng, còn phần tử kia
mang tên là sai.
- Diễn đạt khái niệm hàm phải thể hiện rõ đặc trưng của nó là: phụ thuộc,
tương ứng, biến thiên. Ứng dụng của nó vào việc rèn luyện một số kỹ năng giải
toán, hay giải quyết một số bài toán thực tiễn, hay vận dụng tri thức về hàm khi
học các môn khác trong quan hệ liên môn. Chẳng hạn trong vật lý phải xác
định trạng thái chuyển động của vật tại thời điểm nào đó, tức là phải thiết lập
được một hàm số biểu diễn tọa độ, vận tốc của vật tại thời điểm t. Để làm được

điều này cần phải thiết lập hệ quy chiếu; phân tích, tổng hợp lực; dùng ý nghĩa
của đạo hàm (a =x") để lập phương trình vi phân; giải phương trình vi phân tìm
ra hàm số x = f(t). Cụ thể ở lớp 10 đó là các phương trình: v  v0  at ;
x  x 0  v 0t 

1 2
at của chuyển động thẳng biến đổi đều. (biểu hiện 3).
2

1.1.4. Chủ đề hàm trong chương trình Toán phổ thông
Tuy thuật ngữ "hàm số" và định nghĩa khái niệm hàm số chỉ được đưa
chính thức ở lớp 7, nhưng những hình ảnh và những VD về hàm số đã xuất hiện
một cách ngầm ẩn ngay từ bậc Tiểu học. Vì vậy, việc nghiên cứu khái niệm
hàm số trong toàn bộ chương trình và SGK ở trường Phổ thông phải tính đến
hai giai đoạn khác nhau : "giai đoạn ngầm ẩn" (trước lớp 7) và "giai đoạn
tường minh" (từ lớp 7 đến lớp 12). Tuy nhiên phân tích trong giáo trình tập
trung chủ yếu vào giai đoạn thứ hai.
1.1.4.1. Giai đoạn ngầm ẩn (trước lớp 7)
Ngay từ những lớp đầu tiên của bậc Tiểu học, HS đã được làm quen
ngầm ẩn với khái niệm "tương ứng". Đó là những tương ứng đơn giản giữa các
phần tử của hai tập hợp như: tương ứng giữa số chén và số đĩa, tương ứng giữa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

9

/>

số HS và số ghế, tương ứng giữa giá trị của tổng và số hạng khi cho cố định số
hạng còn lại, …Các em cũng được là quen với một số bảng cộng, trừ các số tự

nhiên. Từ lớp 4, SGK bắt đầu giới thiệu về các biểu thức chứa chữ đơn giản,
các bài toán tìm x hay tìm giá trị của biểu thức với 1 hoặc 2 biến.
VD 1 [14, trang 9] : Điền giá trị vào bảng sau :
a

0

2

3

5

125  a
Đặc biệt, ở lớp 4, HS đã được học về các đại lượng tỉ lệ thuận và đại
lượng tỉ lệ nghịch, đây là những VD cụ thể về tương quan hàm số. Qua sự trình
bày của SGK, HS có thể nắm được mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa hai
đại lượng tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch.
Như vậy, SGK Toán ở Tiểu học và lớp 6 bước đầu giúp HS làm quen
một cách ngầm ẩn với những đặc trưng của khái niệm hàm số như mối quan hệ
phụ thuộc giữa 2 đại lượng biến thiên, sự tương ứng giữa các phần tử của 2 tập
hợp, … nhằm hình thành những biểu tượng ban đầu về khái niệm hàm số, làm
cơ sở cho việc trình bày chính thức khái niệm này ở lớp 7. Đồng thời, việc đưa
vào những công thức, những biểu thức chứa biến và bảng tính giá trị biểu thức
là ngầm cho HS thấy được cách biểu thị sự tương ứng, sự phụ thuộc giữa các
đại lượng bằng công cụ toán học, tạo điều kiện sau này tiếp thu các cách cho
hàm số dễ dàng hơn.
1.1.4.2. Giai đoạn tường minh (từ lớp 7 trở lên)
a. Lớp 7
♦ Phần lý thuyết: Những vấn đề cơ bản về hàm số như định nghĩa hàm

sô, đồ thị hàm số, … được trình bày trong chương II của SGK Toán 7. Ở đây,
HS cũng được nghiên cứu hai hàm số cụ thể, đơn giản là hàm số y = ax (y =
được đưa vào phần đọc thêm).

a
x


• Phần 1: Trình bày kĩ về tương quan tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch, đưa ra
các công thức biểu thị mối quan hệ giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại
lượng tỉ lệ nghịch.
Ở những lớp trước, HS đã làm quen với những đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ
nghịch và mối quan hệ phụ thuộc giữa chúng. SGK Toán 7 tổng kết lại, đưa ra
định nghĩa tổng quát và công thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Xuất phát từ
những VD thường gặp trong vật lý như khối lượng sắt tỉ lệ thuận với thể tích,
vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian đi một quãng đường cố định, … SGK ngầm
ẩn cho HS hình dung ra sự phụ thuộc tương ứng giữa hai đại lượng biến đổi.
Như vậy, từ sự trình bày cụ thể qua một số VD, SGK ngầm ẩn nêu lên sự phụ
thuộc, sự tương ứng giữa hai đại lượng (khối lượng và thể tích chẳng hạn).
Tính chất biến thiên của các đại lượng được mô tả dựa vào bảng giá trị tương
ứng: V tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì m cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu
lần. Ở đây, SGK chưa đưa vào thuật ngữ hàm số, sự phụ thuộc, sự tương ứng
hay sự biến thiên của hàm số nhưng VD trên chính là hình ảnh cụ thể của một
hàm số bậc nhất được biểu thị bằng công thức, bằng bảng và SGK đã ngầm ẩn
thể hiện đầy đủ các đặc trưng của khái niệm này. SGK đưa ra công thức tổng
quát biểu thị mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch.
Việc giới thiệu những tương quan tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch có ý nghĩa chuẩn bị
nghiên cứu về hàm số. Các VD, các bài toán thường xuất phát từ thực tế, từ
những quan hệ trong vật lý mà HS đã học để biểu thị tương quan tỉ lệ thuận, tỉ
lệ nghịch có tác dụng giúp HS hiểu việc nghiên cứu hàm số bắt nguồn từ thực

tiễn, hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tiễn và trong các bộ môn khoa học
khác, tức là gợi động cơ đưa vào khái niệm hàm số.
• Phần 2: Trình bày khái niệm hàm số.
SGK trình bày khái niệm hàm số bằng con đường quy nạp, xuất phát từ
những VD cụ thể về hàm số rút ra những thuộc tính bản chất của khái niệm, sau
đó định nghĩa khái niệm và củng cố khái niệm. Mở đầu bài "Hàm số", SGK nêu


ra các VD về các đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch. Chẳng hạn: [9, trang 62]
có VD: Nhiệt độ T ( 0 C) tại các thời điểm t (giờ) cùng một ngày được cho
bằng bảng sau:
t (giờ)

0

4

8

12

16

20

T ( 0 C)

20

18

22

26

24

21

Như vậy, bản chất của việc lập bảng hay cho công thức đều là diễn tả sự
tương ứng giữa x và y; với mỗi giá trị của x thì giá trị tương ứng y là duy nhất.
Bảng và công thức đều cho thấy mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng biến
thiên một cách ngầm ẩn, đều cho ta quy tắc thiết lập sự tương ứng giữa các
phần tử của hai tập hợp. Từ đây, HS có thể rút ra thuộc tính bản chất của khái
niệm hàm số là sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp thỏa mãn một số
điều kiện nào đó. SGK nêu "khái niệm hàm số" [9, trang 63] : "Nếu đại lượng y
phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác
định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x
gọi là biến số".
Cách trình bày trên không xuất hiện đặc trưng biến thiên, chỉ đề cập đến
đặc trưng tương ứng, phụ thuộc. Qua các VD thực tế về hàm số có thể coi hàm
số là công cụ mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau của hai đại lượng biến thiên một
cách ngầm ẩn. SGK Toán 7 chưa nhắc tới thuật ngữ "biến thiên" và đặc trưng
biến thiên của hàm số. Có lẽ để HS tiếp thu một cách tường minh đặc trưng này
ngay sau khi vừa làm quen với khái niệm hàm số là một việc khó, nó đòi hỏi ở
mức độ cao hơn khi HS đã nắm được những vấn đề cơ bản về hàm số. Vì vậy,
ở đây chưa đề cập tới sự đồng biến, nghịch biến của hàm số mà chỉ mô tả đặc
trưng biến thiên dưới dạng: x tăng bao nhiêu lần thì y tăng bấy nhiêu lần, …
• Phần 3: Trình bày về đồ thị của hàm số và nghiên cứu các hàm số
y  ax, y 

a
.
x


SGK giới thiệu về mặt phẳng tọa độ thông qua một số VD thực tế, sau đó
xây dựng tọa độ của một điểm. Xây dựng khái niệm đồ thị của hàm số f(x), [9,
trang 69] đã nêu : "Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn
các cặp giá trị tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ".
Việc lập các cặp số (x; y) để định nghĩa đồ thị của hàm số có tác dụng
củng cố đặc trưng tương ứng, đặc trưng phụ thuộc và cả đặc trưng biến thiên
của hàm số một cách ngầm ẩn. Thật vậy, mỗi cặp số (x; y) cho thấy sự tương
ứng giữa mỗi phần tử xX với mỗi giá trị y = f(x) Y là duy nhất, xác
định.
Đồ thị của hàm số bao gồm tất cả các điểm có tọa độ (x; y) trong đó x thay đổi
nhận hết các giá trị trong X, y thay đổi tương ứng nhận hết các giá trị trong Y
hoặc nhận các giá trị trong một tập con của Y. Ở lớp 7, HS chỉ làm quen với
việc
vẽ đồ thị một hàm số đơn giản (thường là tập xác định hữu hạn hay hàm
số
a
y  ax, y  ). Việc trình bày các hàm số
a cũng thông qua các VD
y  ax, y  x
x
cụ thể để khái quát lên đồ thị của chúng. Chẳng hạn: "Đồ thị của hàm số y =
ax
 a  0  là tập hợp những điểm nằm trên một đường thẳng đi qua gốc tọa độ"
[9].

Đây là hai hàm số đơn giản để minh họa cho khái niệm hàm số và đồ thị
của hàm số một cách cụ thể, có tác dụng củng cố các đặc trưng và khái niệm đồ
thị của hàm số đã được trình bày trước đó.
• Phần bài tập
Một số dạng bài tập mà SGK Toán 7 quan tâm sau đây:
Dạng bài tập
Bài tập củng cố đặc trưng tương ứng (tường minh)
Bài tập củng cố đặc trưng phụ thuộc (tường minh)
Bài tập củng cố đặc trưng biến thiên (tường minh)
Các bài tập khác (kể cả các bài tập củng cố các đặc
trưng
tương ứng, phụ thuộc, biến thiên một cách ngầm ẩn).
Cách cho hàm số

Số lượng
10/56
9/56
0/56

Tỉ lệ %
17,9%
16,1%
0%

37/56

66%

Số lượng

Tỉ lệ %


Hàm số cho bằng bảng
Hàm số cho bằng công thức
Hàm số cho bằng đồ thị
Hàm số cho bằng biểu đồ Ven

2/16
8/16
6/16
0

12,5%
50%
37,5%
0%


Như vậy, trong toàn bộ chương trình lớp 7, hàm số chỉ nhấn mạnh về đặc
trưng tương ứng và đặc trưng phụ thuộc. Đặc trưng biến thiên chưa được đề
cập đến một cách tường minh. Phần lớn các hàm số được cho bằng bảng số,
biểu thức hoặc đồ thị trong cách biểu diễn hàm số bằng biểu thức giải tích
chiếm ưu thế hơn cả.
b. Lớp 8
Trong toàn bộ chương trình SGK Toán lớp 8 không xuất hiện thuật ngữ
"hàm số", không trình bày những vấn đề về hàm số, nhưng ta có thể thấy hàm
số được sử dụng một cách ngầm ẩn qua các mối liên hệ khác trong toán học
như đa thức, phân thức, phương trình. Ở đây HS làm quen với việc thực hiện
các phép biến đổi trên các biểu thức chứa chữ (các đa thức, phân thức, …) và

tìm giá trị của biến để đa thức, phân thức nhận giá trị 0 (tức là giải phương
trình). Qua đó giúp cho HS rèn luyện kỹ năng làm việc trên các đối tượng tổng
quát chứ không chỉ là làm việc với các số cụ thể, nhằm tạo cơ sở để HS tiếp thu
những khái niệm về hàm số sau này.
c. Lớp 9
Bước đầu nghiên cứu về tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số,
xem xét các hàm số y = ax + b và y = ax 2 . SGK nêu định nghĩa hàm số :
"Hàm số f từ tập hợp X đến tập hợp số Y là một quy tắc tương ứng mỗi
giá trị x thuộc X một và chỉ mỗi giá trị y thuộc Y mà ta kí hiệu là f(x), x là biến
số, y = f(x) là giá trị của hàm số tại x" [1].
Hàm số được hiểu là một quy tắc tương ứng giữa các phần tử của hai tập
hợp. Ta thấy SGK muốn nhấn mạnh đặc trưng tương ứng của hàm số, điều đó
được thể hiện rõ nét trong bảng giá trị tương ứng và cách viết các điểm (x ; y):
với mỗi phần tử x X xác định thì có một phần tử tương ứng y Y duy nhất
và
hoàn toàn xác định. Qua đó, có lẽ SGK cũng muốn nhấn mạnh lại các cách cho
hàm số và sự tương đương giữa các cách cho đó, từ cách cho hàm số bằng công
thức, có thể lập được bảng giá trị tương ứng, rồi vẽ đồ thị hàm số. Đặc biệt ở


lớp 9, HS được tiếp cận một cách tường minh với đặc trưng biến thiên của hàm
số. Cùng với các đặc trưng tương ứng, phụ thuộc đã được làm quen ở các lớp
trước, đến đây HS mới thấy được đầy đủ các đặc trưng của khái niệm hàm số.
Tuy nhiên, ở lớp 9 HS chỉ làm quen bước đầu với các đặc trưng biến thiên qua
việc nắm khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến và xét sự đồng biến, nghịch
biến của một số hàm số đơn giản. Đặc trưng biến thiên chưa được ứng dụng
vào việc vẽ đồ thị và giải toán. SGK chưa chính thức đưa vào thuật ngữ "sự
biến thiên của hàm số".
Về bài tập ta có bảng tổng kết sau :
Dạng bài tập

Số lượng

Tỉ lệ %

Củng cố đặc trưng tương ứng (tường minh)

13

28,2%

Củng cố đặc trưng phụ thuộc (tường minh)

3

6,5%

Củng cố đặc trưng biến thiên (tường minh)

3

6,5%

(Tổng số bài tập của chương II, chương III về hàm số là : 46)
Như vậy, hàm số cho bằng một công thức chiếm ưu thế, và phần lớn là
chuyển hàm số từ cách cho bằng công thức sang dạng đồ thị (vẽ đồ thị của hàm
số). Bảng cặp phần tử bây giờ chỉ là những phương tiện trung gian cho bước
chuyển đổi trên. Qua bảng tổng kết trên ta thấy: mặc dù ở lớp 9 đã đưa vào khái
niệm hàm số đồng biến, nghịch biến, nhưng các bài tập chủ yếu vẫn nhằm củng
cố đặc trưng tương ứng của hàm số. Các đặc trưng biến thiên, phụ thuộc không

được nhấn mạnh. Chỉ có một số ít bài tập về các đặc trưng này nhằm cho HS
bước đầu làm quen với sự biến thiên của hàm số một cách tường minh. Về mặt
lý thuyết, hàm số được xem xét đầy đủ cả ba đặc trưng, nhưng trong phần bài
tập, việc nhấn mạnh, khắc sâu đặc trưng biến thiên của hàm số là chưa quan
trọng.
d. Lớp 10
♦ Phần lý thuyết
Những vấn đề về hàm số tiếp tục được trình bày trong chương II của


SGK Đại số 10. Ở đây, SGK giới thiệu lại định nghĩa hàm số một cách chính


xác hơn có đề cập đến TXĐ của hàm số, đồng thời đưa ra các khái niệm hàm số
đồng biến, hàm số nghịch biến, hàm số chẵn, hàm số lẻ đồng thời giới thiệu
một phương pháp nghiên cứu hàm số đó là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của chúng. SGK tổng kết và trình bày đầy đủ hai loại hàm số y = ax + b;
2
y  ax  bx  c , giới thiệu thêm về hàm số y  ax  b và cụ thể là hàm số
y  x . Định nghĩa hàm số được nêu một cách tổng quát hơn ở lớp 7 trên cơ sở
xem xét một số VD cụ thể về hàm số. SGK Đại số 10 không xuất phát từ các
VD mà giới thiệu ngay định nghĩa và cho VD minh họa.
Định nghĩa trong SGK Đại số 10 :
"Giả sử có 2 đại lượng biến thiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc
tập D.
Nếu với mỗi giá trị x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng
của y thuộc tập số thực  thì ta có một hàm số. Ta gọi x là biến số và y là
hàm số của x. Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số" [11, trang 32].
Định nghĩa trong SGK Đại số nâng cao :
"cho D là một tập con khác rỗng của tập số thực  . Một hàm số f

xác định trên D là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x D với một và
chỉ một số, kí hiệu là f(x) ; số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x. Tập D
gọi là tập
xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f" [33,
trang 35].
Định nghĩa này vẫn theo quan điểm lý thuyết tập hợp, coi hàm số là một
quy tắc tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp D và  , giống như
quan điểm của định nghĩa hàm số ở lớp 7, lớp 9. Định nghĩa này làm nổi
bật đặc
trưng tương ứng của hàm số, quy tắc tương ứng xác định một hàm số là quy tắc
thỏa mãn : cho tương ứng với mỗi phần tử x D một và chỉ một số thực.
SGK Đại số 10 nâng cao dùng thuật ngữ "quy tắc tương ứng" để định
nghĩa khái niệm hàm số. Ở đây, SGK không định nghĩa quy tắc tương ứng mà
xem đây là một khái niệm cơ bản và mô tả quy tắc tương ứng xác định một
hàm số là quy tắc thỏa mãn với mỗi số x D ứng với một và chỉ một số f(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 15

/>