Đề tài : Tích hợp bất phương trình vào phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (736.28 KB, 29 trang )
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
Contents
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 2
I. ĐẶT VẤN ĐỀ .......................................................................................... 2
II. MỤC ĐÍCH CỦA CHUYÊN ĐỀ ............................................................. 3
III. ĐỐI TƢỢNG ÁP DỤNG ........................................................................ 4
IV. THỜI LƢỢNG CHUYÊN ĐỀ ................................................................ 4
V. MỘT SỐ THUẬT NGHỮ VIẾT TẮT..................................................... 4
NỘI DUNG ....................................................................................................... 5
I. Bài toán mở đầu ......................................................................................... 5
1.1 Những khó khăn đối với học sinh khi giải BPT bằng PP trên ....... 5
1.2 Nhận xét về phƣơng trình (3) ......................................................... 6
II. Cơ sở lý thuyết.......................................................................................... 6
III. Thuật toán giải bất phƣơng trình ............................................................. 8
IV. Các ví dụ vận dụng ................................................................................. 9
1. BPT hữu tỷ ................................................................................................ 9
1.1 Ví dụ minh họa .................................................................................... 9
1.2 Bài tập tự luyện. ................................................................................ 11
2. Bất phƣơng trình chứa dấu trị tuyệt đối .................................................. 11
2.1. Ví dụ minh họa ................................................................................. 11
2.2. Bài tập tự luyện ................................................................................ 13
3. Bất phƣơng trình vô tỷ. ........................................................................... 13
3.1. Ví dụ minh họa ................................................................................. 14
3.2. Bài tập tự luyện. ............................................................................... 27
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ......................................................................... 28
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 29
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 1
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Giáo dục hiện nay đang trong lộ trình chuyển mình mạnh mẽ với chủ
trƣơng “đổi mới toàn diện”. Nói là đổi mới toàn diện nghĩa là đổi mới mọi
mặt, bao gồm cả chƣơng trình, phƣơng pháp giảng dạy, phƣơng pháp kiểm tra
đánh giá,… Đề án chƣơng trình giáo dục phổ thông tổng thể có thuật ngữ
“tích hợp” và “liên môn” đƣợc đề cập đến nhiều. Gần đây Bộ giáo dục cũng
tổ chức nhiều cuộc tập huấn cho giáo viên và các nhà quản lý về nội dung
này. Ngoài ra Bộ cũng tổ chức nhiều cuộc thi liên quan nhƣ: “Thi dạy học tích
hợp” cho giáo viên, thi “Sử dụng kiến thức liên môn giải quyết các vấn đề
thực tiễn” cho học sinh. Nhƣ vậy có thể thấy vấn để “Tích hợp, liên môn” là
cái trọng tâm đổi mới của “Đổi mới toàn diện”.
Theo quan điểm của các chuyên gia BGD thì tích hợp là việc lồng ghép
một cách hữu cơ những vấn đề có liên quan đến nhau vào cùng một chủ đề để
tránh phải đề cập lại nhiều lần. Đã dạy học tích hợp là phải sử dụng kiến thức
liên môn và sử dụng kiến thức liên môn là phải tích hợp, hai khái niệm này
gắn bó hữu cơ với nhau không thể tách dời. Tuy nhiên trong phạm vi nhỏ, đơn
môn chúng ta cũng có thể tích hợp những nội dung có liên quan đến nhau vẫn
đàm bảo tính logic của kiến thức và tiết kiệm đƣợc thời gian và công sức của
ngƣời học.
Trong chƣơng trình Toán học trung học phổ thông có hai nội dung
“Phƣơng trình” và “Bất phƣơng trình” đƣợc xây dựng với thời lƣợng và mức
độ yêu cầu tƣơng đƣơng nhau. Thoạt nhìn chúng có vẻ nhƣ độc lập với nhau.
Tuy nhiên nếu nghiên cứu kỹ cấu trúc nghiệm của PT cũng nhƣ BPT chúng ta
có thể thấy chúng có quan hệ hữu cơ với nhau. Từ phƣơng trình ta có thể kết
luận về tập nghiệm của một BPT tƣơng ứng. Vậy câu hỏi đặt ra là tại sao phải
đặt hai nội dung này độc lập nhau?
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 2
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
Chuyên đề này không đi trả lời câu hỏi đó. Đứng trên quan điểm của mỗi
ngƣời có hàng triệu lý do để chúng có thể đứng độc lập với nhau. Ở đây
chúng tôi tiếp thu tinh thần của “Đổi mới toàn diện” về tích hợp và liên môn
để đề xuất phƣơng án “Tích hợp Bất phương trình vào Phương trình” trong
chƣơng trình phổ thông. Nói nhƣ thể nghĩa là chúng ta có thể lồng ghép nội
dung BPT khi dạy PT. Thực chất khi giải BPT f ( x) g ( x) là chúng ta đang
tìm những khoảng mà trên đó đồ thị hàm số f ( x) nằm trên đồ thị hàm số
g ( x) , thế nhƣng những khoảng nhƣ thế lại bị chi phối bởi các nghiệm của
phƣơng trình f ( x) g ( x). Thực tế là nếu giải BPT f ( x) g ( x) mà phƣơng trình
f ( x) g ( x) không tìm đƣợc nghiệm tƣờng minh thì ta cũng không thể kết luận
một cách tƣờng minh tập nghiệm của BPT đó đƣợc. Ngoài ra những dạng
BPT trong chƣơng trình THPT đều đều có dạng PT tƣơng ứng và các PP giải
BPT đều có thể coi là kế thừa các PP giải PT và hầu hết các BPT đều có thể
kết luận đƣợc tập nghiệm thông qua các nghiệm của phƣơng trình tƣơng ứng.
Nội dung chuyên đề bàn về phƣơng pháp đó.
II. MỤC ĐÍCH CỦA CHUYÊN ĐỀ
Chuyên đề xây dựng cơ sở lý thuyết chặt chẽ để là cơ sở đúng đắn cho
việc giải BPT bằng phƣơng pháp trên. Từ đó làm cơ sở vững chắc cho việc
tích hợp BPT vào PT. Nếu đề tài này đƣợc áp dụng sẽ tiết kiệm đƣợc nhiều
thời lƣợng dạy học trong chƣơng trình Toán lớp 10, vì ta có thể tích hợp gần
nhƣ toàn bộ bài toán “Giải bất phƣơng trình” vào bài toán “Giải phƣơng
trình”.
Về mặt phƣơng pháp, chuyên đề tiếp cận vấn đề tuy không mới nhƣng
nâng tầm của nó lên một vị thế mới. Giúp ngƣời học có thể tự tin khi áp dụng
và là một phƣơng pháp hiệu quả để giải BPT. Với phƣơng pháp này học sinh
không cần phải ghi nhớ “Giải BPT nhƣ thế nào” mà chỉ cần luyện cho sắc kỹ
năng “Giải phƣơng trình” và chỉ cần ghi nhớ rằng “Tập nghiệm mà các em
tìm đƣợc, nếu muốn các em có thể suy ra tập nghiệm của BPT”. Qua đó góp
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 3
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
phần tích cực vào việc đổi mới phƣơng pháp giảng dạy, đề cao phƣơng pháp
dạy học lấy học sinh làm trung tâm.
III. ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG
Chuyên đề có thể áp dụng cho các đối tƣợng học sinh lớp 10,11,12 và học
sinh chuẩn bị thi THPT quốc gia.
IV. THỜI LƯỢNG CHUYÊN ĐỀ
- Đối với học sinh khá giỏi: 04 tiết trên lớp, 04 tiết luyện tập.
- Đối với học sinh trung bình: 05 tiết trên lớp, 05 tiết luyện tập.
V. MỘT SỐ THUẬT NGHỮ VIẾT TẮT
PT: Phƣơng trình
BPT: Bất phƣơng trình
PP: Phƣơng pháp.
TXĐ: Tập xác định
THPT: Trung học phổ thông
Vĩnh tường, tháng 10 năm 2015
Tác giả
Hoàng Đức Trƣờng
Tổ Toán –Tin, TrƣờngTHPT Lê Xoay
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 4
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
NỘI DUNG
I. Bài toán mở đầu
Xét bài toán tổng quát giải BPT có dạng
f ( x) g ( x)
(1)
f ( x) g ( x)
(2)
hoặc
Tiếp theo ta xét bài toán giải phƣơng trình dạng:
f ( x) g ( x)
(3)
Trong các tài liệu chuyên môn về BPT đều đề xuất phƣơng pháp giải tổng
quát bằng PP biến đổi tƣơng đƣơng nhƣ sau:
g ( x) 0
f ( x) 0
(1)
g ( x) 0
2
f ( x) g ( x)
(i)
(ii)
g x 0
(2) f x 0
2
f ( x) g( x)
1.1 Những khó khăn đối với học sinh khi giải BPT bằng PP trên
Các BPT dạng (1) và (2) là hai dạng BPT cơ bản nhất của lớp BPT vô tỷ,
một nội dung tốn rất nhiều thời gian và công sức đối với học sinh lớp 10 và
ngay cả học sinh chuẩn bị thi THPT Quốc Gia. Tuy nhiên khi giải các BPT cơ
bản này học sinh thƣờng gặp những khó khăn sau:
Học sinh thƣờng nhầm lẫn giữa hai dạng (1) và (2).
Đối với dạng (1) học sinh thƣờng bỏ qua điều kiện (i)
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 5
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
Ngay cả khi đặt đúng các điều kiện thì cũng hay mắc sai lầm trong
việc lấy tổng hợp các điều kiện nghiệm.
1.2
Nhận xét về phương trình (3)
Có thể thấy (3) là dạng cơ bản nhất của lớp các phƣơng trình vô tỷ.
PT(3) có thể giải đơn giản bằng PP biến đổi tƣơng đƣơng nhƣ sau:
g x 0
(3)
2
f
(
x
)
g(
x
)
(iii)
(iv).
Ở trên điều kiện (iii) là điều kiện để hai vế không âm và là điều kiện để
phép biến đổi trên là tƣơng đƣơng, nó có thể thay thế cho điều kiện xác định
của phƣơng trình. Tuy nhiên ở PT này học sinh có thể không đặt điều kiện
(iii) nghĩa là biến đổi không tƣơng đƣơng, nhƣng sau đó thử lại thì cũng tìm
đƣợc nghiệm đúng của phƣơng trình.
Nhƣ vậy cùng dạng phát biểu giống nhau về dạng thức nhƣng giải
phƣơng trình rõ ràng đơn giản và linh hoạt hơn bài toán BPT tƣơng ứng.
Vì những nhận xét trên chúng ta nên tận dụng việc giải PT để kết luận
cho việc kết luận nghiệm của BPT tƣơng ứng.
II. Cơ sở lý thuyết
Cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp là các tính chất của hàm số liên tục.
Định lý 1. Cho hàm số f ( x) liên tục trên a; b . Khi đó nếu f a . f b 0
thì tồn tại giá trị c a; b sao cho f (c) 0 , nói một cách khác, phương trình
f ( x) 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng a; b .
Đây là định lý quan trọng về hàm số liên tục đƣợc phát biểu trong
chƣơng trình Giải tích lớp 11.
Định nghĩa 1. Cho hàm số f ( x) . Khoảng a; b , (với a, b hữu hạn hoặc vô
hạn) được gọi là một khoảng cơ bản của hàm số f ( x) nếu f ( x) liên tục trên
a; b và không triệt tiêu tại bất kỳ điểm nào trên a; b . Đoạn a; b được gọi
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 6
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
là đoạn cơ bản của hàm số f ( x) nếu f liên tục trên a; b và chỉ triệt tiêu
(nếu có) tại hai đầu mút của đoạn đó.
Định nghĩa tƣơng tự với các nửa khoảng cơ bản. Sau đây ta sẽ gọi
chung là các khoảng cơ bản.
Nhận xét: Hầu hết các hàm số trong chương trình phổ thông đều có TXĐ
được biểu diễn thành hợp của của các khoảng cơ bản đôi một không giao
nhau. Có những hàm số có TXĐ không thể phân tích được như vậy, chẳng
hạn hàm Dirichlet. Tuy nhiên trong phạm vi chương trình THPT không gặp
những hàm số như vậy. Hơn nữa những hàm số xuất hiện trong các BPT
trong các đề thi thường là những hàm số có hữu hạn các khoảng cơ bản.
Định lý 2. Trên mỗi khoảng cơ bản hàm số không đổi dấu.
Chứng minh
Thật vậy giả sử f đổi dấu trên một khoảng cơ bản a; b nào đó, nghĩa là
tồn tại , a; b sao cho và f . f 0 . Nhƣng khi đó lại tồn
tại c ; : f (c) 0. Điều này mâu thuẫn vì a; b là một khoảng cơ bản.
Định nghĩa 2. Ta gọi một khoảng cơ bản là khoảng cơ bản dương nếu trên đó
f ( x) mang dấu dương. Ta cũng gọi là khoảng cơ bản âm nếu trên đó f ( x)
mang dấu âm.
Nhận xét 2. Một BPT bất kỳ đều có thể đưa về một trong các dạng sau
f x 0; f ( x) 0, f ( x) 0, f ( x) 0 . Ta gọi chúng là các BPT có dạng
chuẩn.
Nhận xét 3. Nếu f ( x) là hàm số liên tục hoặc liên tục từng đoạn thì nghiệm
của một bất phương trình có dạng chuẩn là hợp của những khoảng cơ bản
của hàm số f ( x) .
Thật vậy. Ta phân tích tập xác định của f ( x) thành hợp của những
khoảng đôi một không giao nhau mà trên đó f ( x) liên tục. Giả sử phương
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 7
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
trình f ( x) 0 có các nghiệm x1 , x2 ,..., xn . Các nghiệm này sẽ phân hoạch các
khoảng liên tục trên thành những khoảng cơ bản. Khi đó nghiệm của một
BPT, chẳng hạn f ( x) 0 sẽ là hợp tất cả những khoảng cơ bản dương.
III. Thuật toán giải bất phương trình
Trên cơ sở những nhận xét trên chúng tôi đề xuất thuật toán để giải
BPT dựa vào phƣơng trình nhƣ sau:
Bước 1. Viết lại BPT dƣới dạng chuẩn
Bước 2. Tìm TXĐ của f ( x) .
Bước 3. Giải phƣơng trình f x 0. Các nghiệm của PT này sẽ là
những điểm phân hoạch TXĐ của f ( x) thành những khoảng cơ bản.
Bước 4. Xét dấu f(x) trên mỗi khoảng cơ bản.
Bước 5. Kết luận về tập nghiệm
Phân tích thuật toán:
- Bƣớc 1 là bƣớc luôn phải làm với mọi BPT dù làm theo bất kỳ cách
nào
- Bƣớc 3 là bƣớc quan trọng nhất. Để làm bƣớc này học sinh phải thành
thạo các PP giải phƣơng trình. Tuy nhiên, nhƣ đã phân tích ở trên việc
giải PT tránh đƣợc cho học sinh nhiều phiền phức và sai lầm không
đáng có.
- Trong bƣớc 4, ta có thể mở rộng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai
hoặc quy tắc “đổi dấu qua nghiệm bội lẻ và không đổi dấu qua nghiệm
bội chẵn”. Tuy nhiên để tránh phải giải thích nhiều về nghiệm bội chẵn
và nghiệm bội lẻ, ta có thể hƣớng dẫn học sinh khi xét dấu trên khoảng
nào thì lấy một điểm bất kỳ trên khoảng đó rồi xét dấu tại điểm đó. Dấu
tại điểm đó chính là dấu trên toàn khoảng.
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 8
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
- Ở bƣớc 5, nếu BPT có dạng f ( x) 0 ta sẽ lấy những khoảng mà trên
đó f ( x) mang dấu (+) nếu BPT có dạng f ( x) 0 thì ta sẽ lấy những
khoảng mà trên đó f ( x) mang dấu (+) và cả những điểm mà tại đó hàm
số triệt tiêu. Tƣơng tự với hai trƣờng hợp còn lại.
IV. Các ví dụ vận dụng
Mặc dù nội dung phƣơng pháp có thể áp dụng cho mọi bất phƣơng
trình, từ bất phƣơng trình đại số, bất phƣơng trình mũ, logarit,…Tuy nhiên
trong khuôn khổ báo cáo chuyên đề này chúng tôi chỉ xét các ví dụ minh họa
với các dạng BPT đại số.
1. BPT hữu tỷ
1.1 Ví dụ minh họa
Đối với loại BPT này thì Phƣơng pháp trên thể hiện tính vƣợt trội hơn cả.
Ví dụ 1. Giải bất phƣơng trình:
x 3 x 2 1.
x2 1
Lời giải: TXĐ D \{-1;1} .
BPT
x 3 x 2 1 0. Đặt
f ( x)
x 1
2
x 3 x 2 1
x 1
2
x 5
.
x 1 x 1
Ta có f ( x) 0 x 5. Lập bảng xét dấu của f ( x) :
x
f(x)
-5
+
0
-1
-
||
1
+
||
-
Vậy tập nghiệm của BPT là S 5; 1 1; .
Ví dụ 2. Giải bất phƣơng trình:
x2 x 2
2x 1.
x2
Lời giải: TXĐ D \{2}.
x2 x 2
x2 4x
x2 4x
BPT
2x 1 0
0. Đặt f ( x)
.
x2
x2
x2
Ta có f ( x) 0 x 0 x 4 Lập bảng xét dấu của f ( x) :
x
f(x)
0
+
0
2
-
||
4
+
0
-
Vậy tập nghiệm của BPT là S ;0 2;4 .
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 9
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
Minh họa tập nghiệm của BPT bằng đồ thị
(Phần tô đậm là tập nghiệm)
Ví dụ 3. Giải bất phƣơng trình:
1
1
1
1
.
2
2
x x 1 x 3x 2 2 x 5 x 6
Lời giải:
TXĐ D \{-3;-2;-1;0}
BPT
1
1
1
1
2
2
0
x x 1 x 3x 2 x 5 x 6 2
1
1
1
1
1
1
1
0.
x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 2
1
1
1
6 3x x 2
0
0.
x x3 2
2 x x 3
3 33
x
6 3x x
2
Đặt f ( x)
.Ta có f ( x) 0
.
2 x x 3
3 33
x
2
2
Lập bảng xét dấu của f ( x) :
x
f(x)
3 33
2
-
0
-3
-2
+ || - || -
-1
||
3 33
2
0
-
+
0
-
3 33
3 33
; 3 0;
.
2
2
Vậy tập nghiệm của BPT là S
Minh họa tập nghiệm của BPT bằng đồ thị
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 10
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
1.2 Bài tập tự luyện.
Giải các bất phương trình sau
x 1 4 x 2
0
3 x
1
2
3
2.
x 1 x 2 x 3
1
3
3.
2
3x 2 x
7 x 4 3x 2
2 x
1 2x
4. 3 2 3
x x
x 4x2
1.
6 x 2 28 x 24
x
5.
x2 5x 6
2. Bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
2.1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 4. Giải các BPT
a. x 2 5 x 6
b. x 2 2 x x 2 4 0
c.
x 3
2
x 5x 6
2
Lời giải:
a. Đặt f ( x) x 2 5x 6 , BPT f ( x) x 2 5x 6 0 .
x 1
x 2
Phƣơng trình f ( x) 0
. Xét dấu f ( x) ta có
x 3
x 6
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 11
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
x
f(x)
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
-1
+
2
0
-
0
3
+
0
6
-
0
+
Vậy tập nghiệm của BPT là S 1;2 3;6 .
Minh họa tập nghiệm của BPT
bằng đồ thị
b. Đặt f ( x) x 2 2 x x 2 4 , BPT f ( x) 0 .
x 1
.
x 2
Phƣơng trình f ( x) 0
Xét dấu f ( x) ta có
x
f(x)
-1
+
0
2
-
0
+
Vậy tập nghiệm của BPT là S ; 1 2; .
Minh họa tập nghiệm của BPT bằng đồ thị
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 12
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
c. TXĐ D \{2,3} .
x 3
2 , BPT f ( x) 0 .
x 5x 6
3
Phƣơng trình f ( x) 0 x .
2
Xét dấu f ( x) ta có
Đặt f ( x)
x
2
3
2
f(x)
-
0
2
+
||
3
-
||
-
3
2
Vậy tập nghiệm của BPT là S (; ] 2;3 3; .
Minh họa tập nghiệm của BPT bằng đồ thị
2.2. Bài tập tự luyện
Giải các BPT sau:
1. x 6 x 2 5x 9
2. x 1 x 2 x 3
3.
x2 1 x 1
2
x x 2
3. Bất phương trình vô tỷ.
Đây là dạng BPT xuất hiện phổ biến nhất và cũng gây cho học sinh nhiều
khó khăn nhất. BPT vô tỷ thƣờng đƣợc hƣớng dẫn giải bằng các phƣơng pháp
nhƣ:
- PP biến đổi tƣơng đƣơng (nâng lũy thừa làm mất căn thức)
- PP đƣa về BPT tích (Phân tích thành nhân tử, nhân chia liên hợp)
- PP đặt ẩn phụ
- PP sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 13
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
- PP đánh giá.
Tuy nhiên, có thể thấy rằng tất cả những phƣơng pháp trên đều kế thừa các
PP giải phƣơng trình vô tỷ. Khi áp dụng vào BPT nó cũng có những khó khăn
nhất định và thƣờng không tránh khỏi sai sót ngay cả đối với học sinh khá.
Đặc thù của những phƣơng pháp này là mỗi phép biến đổi đều phải là biến đổi
tƣơng đƣơng, vậy nên đôi khi một BPT có thể biến thành hệ BPT với những
điều kiện ràng buộc phức tạp để phép biến đổi đó là tƣơng đƣơng, thành ra
gây rối rắm khi kết hợp nghiệm. Phƣơng pháp giải bằng việc xét dấu đôi khi
có thể dài dòng hơn một chút (do phải xét dấu) nhƣng rõ ràng nó khắc phúc
đƣợc những khó khăn trên đối với học sinh. Chúng ta sẽ thấy điều đó qua các
ví dụ sau:
3.1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 5. Giải bất phƣơng trình: x2 6 x 5 8 2 x
Lời giải
Cách 1. Giải theo phép biến đổi tƣơng đƣơng thông thƣờng
ĐKXĐ: x2 6 x 5 0 1 x 5
TH1: Nếu 8 2 x 0 x 4
Kết hợp với điều kiện xác định thì bất phƣơng trình có nghiệm 4 x 5 .
TH2: Nếu 8 2 x 0 x 4
Bất phƣơng trình (1) x2 6 x 5 (8 2 x)2
5 x 2 38 x 69 0
3 x
23
5
Kết hợp với điều kiện xác định thì bất phƣơng trình có nghiệm 3 x 4
Vậy nghiệm của bất phƣơng trình đã cho là: 3 x 5
Cách 2.
TXĐ D = [1;5]
BPT x2 6 x 5 2 x 8 0.
Xét phƣơng trình
x 4
f ( x) 0 x 2 6 x 5 8 2 x 2
x 3.
5 x 38 x 69 0
Ta có bảng xét dấu của f(x)
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 14
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
x
1
f(x)
-6
3
-
5
0
+
2
Vậy tập nghiệm của BPT là [3;5].
Đồ thị minh họa của f ( x)
Nhận xét: Ở cách 1 học sinh thường bỏ qua trường hợp 1 và sai khi kết hợp
nghiệm. Ở cách 2, học sinh không phải xét nhiều trường hợp và lấy tập
nghiệm cũng dễ dàng. Ở bài này cách 2 ngắn gọn và đơn giản hơn.
Ví dụ 6. Giải bất phƣơng trình x 2 x 2 2x 4 x 2 2 x.
Lời giải.
Cách 1. BPT x 2
x 2
(I)
2
x
2x
4
x
0
x 2 2x 4 x 0
.
x
2
(II)
2
x
2x
4
x
0
x 2
x 2.
2x 4 0
Giải hệ (I)
x 2
x 2
Giải hệ (II) 2
x 0
x 2.
x 2x 4 x 0
2x 4 0
Vậy tập nghiệm cùa BPT S {2}.
Cách 2. TXĐ D . Đặt f ( x) x 2 x 2 2 x 4 x 2 2 x , BPT f ( x) 0.
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 15
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
Tc a có f ( x) 0 x 2
x 2 2 x 4 x 0 x 2.
Xét dấu f ( x) ta có
x
f(x)
2
-
0
-
Vậy BPT có nghiệm duy nhất x = 2.
Ví dụ 7. Giải bất phƣơng trình: 5x 1 x 1 2 x 4
Giải
Cách 1. Giải theo PP biến đổi tƣơng đƣơng
ĐKXĐ: x 2 . Bất phƣơng trình 5x 1 2 x 4 x 1
5 x 1 2 x 4 x 1 2 ( x 1)(2 x 4)
x 2 ( x 1)(2 x 4)
x2 4 x 4 2 x2 6 x 4
x 2 10 x 0 0 x 10
Kết hợp với điều kiện ta đƣợc nghiệm của bất phƣơng trình là: 2 x 10
Cách 2.
TXĐ D = [2; ) .
BPT f ( x) 2 x 4 x 1 5x 1 0.
Phƣơng trình f ( x) 0 2 x 4 x 1 5x 1 ( x 1)(2 x 4) x 2
x 0
x 2 10 x 0
. Kết hợp đk suy ra x = 10.
x 10
Ta có bảng xét dấu của f(x) nhƣ sau:
x
f(x)
2
10
-
0
+
Từ đó suy ra tập nghiệm của BPT là [2;10).
Đồ thị minh họa của f ( x)
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 16
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
Nhận xét: Ở ví dụ này, giải theo cách 2 học sinh sẽ không phải thực hiện thao
tác kết hợp nghiệm.
1
Ví dụ 8. Giải bất phƣơng trình:
2 x 2 3x 5
1
2x 1
Lời giải:
5
Cách 1. TXĐ D ; 1; .
2
1
5
TH 1. Với x , BPT luôn đúng. Suy ra BPT có nghiệm ;
2
2
1
2
TH2. Với x , BPT 2 x 2 3x 5 2 x 1 2 x 2 7 x 6 0
5
3
3
x 2.
2
Suy ra tập nghiệm của BPT là S ; ;2
2
2
5
Cách 2. TXĐ D ; 1; .
2
1
BPT f ( x)
2 x 2 3x 5
Phƣơng trình f ( x) 0
1
0.
2x 1
1
2 x 2 3x 5
1
2 x 2 3x 5 2 x 1
2x 1
1
x 2
x
2
3.
x
2 x 2 7 x 6 0
2
Ta có bảng xét dấu của f(x) nhƣ sau:
x
f(x)
5
2
3
2
1
+
0
5
3
2
+
0
-
Suy ra tập nghiệm của BPT là S ; ;2 .
2
2
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 17
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
Ví dụ 9. Giải bất phƣơng trình:
x3 1
x 1 x2 x 1 x 3
x3
Lời giải: TXĐ D 1; .
Đặt f ( x)
x3 1
x 1 x 2 x 1 x 3 , BPT f ( x) 0 .
x3
x3 1
x 3 x2 x 1 x 1
x3
Phƣơng trình f ( x) 0
x 1 3
x3 1
Bình phƣơng 2 vế ta đƣợc:
.
x2 x 1 x2 2x 2 0
x3
x 1 3
Thử lại thấy không thỏa mãn PT. Vậy PT f ( x) 0 vô nghiệm, suy ra f không
đổi dấu trêm D. Mà f(0) < 0 nên BPT vô nghiệm.
Nhận xét: Ở bài này nếu giải bằng phương pháp thông thường sẽ gặp nhiều
khó khăn do việc biến đổi thuận lợi để giải BPT không phải là phép biến đổi
tương đương. Khi đưa về giải PT ta có thể biến đổi hệ quả rồi thử lại.
Đồ thị minh họa của hàm f ( x)
Ví dụ 10. Giải bất phƣơng trình:
Lời giải:
Cách 1.
TXĐ D .
2 x2 x 9 2 x2 x 1 x 4
Từ BPT nhận thấy x 4 0 và 2 x2 x 9 2 x 2 x 1 2x 8 0
2 x2 x 9 2 x 2 x 1 , từ đó
BPT
2x 8
2x x 9 2x x 1
2
2
x 4 2x2 x 9 2x2 x 1 2
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 18
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
2 x2 x 9 2 x2 x 1 4 2 x2 x 1 4
x 2
4 2x2 x 1 2x 4 2
7 x 8 x 0
x 2
8.
0
x
7
8
Tập nghiệm của BPT là 0;
7
Cách 2.
TXĐ D .
Đặt f ( x) 2 x 2 x 9 2 x 2 x 1 x 4 , BPT f ( x) 0.
Xét phƣơng trình f ( x) 0 , ta thấy x 4 không phải là nghiệm của PT.
Xét x 4 ,
PT
2x 8
2x x 9 2x x 1
2
2
x 4 2 x2 x 9 2 x2 x 1 2
Từ đó ta có hệ pt:
x 0
2
2
2x x 9 2x x 1 2
2
2 2x x 9 x 6
2
2
x 8
2
x
x
9
2
x
x
1
x
4
7
Thử lại thỏa mãn; vậy phƣơng trình có 2 nghiệm: x = 0, x =
8
.
7
Xét dấu f(x) ta có
x
f(x)
8
7
0
+
0
-
0
+
8
Từ bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của BPT là 0; .
7
Minh họa tập nghiệm của BPT bằng đồ thị
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 19
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
x 3 2x x 1 2x x2 4x 3 .
Ví dụ 11. Giải bất phƣơng trình:
HD: ĐKXĐ: x 1 .
Đặt f ( x) x 3 2 x x 1 2 x x 2 4 x 3 .
BPT f ( x) 0 .
PT : f ( x) 0
x 3 2x
x 1
x 1 1 0
.
x
0
Xét dấu f ( x) ta có:
x
f(x)
-1
0
-
0
1
+
0
-
Tập nghiệm của BPT là S 1;0 1; .
Ví dụ 12. Giải bất phƣơng trình
x2 8x 15 x2 2x 15 4x2 18x 18.
Lời giải:
x 2 8 x 15 0
x 5
Điều kiện: x 2 2 x 15 0 x 5 . TXĐ D ; 5 {3} 5; .
2
x 3
4 x 18 x 18 0
Đặt f ( x) x2 8x 15 x2 2 x 15 4 x2 18x 18, BPT f ( x) 0
f ( x) 0
x 5 x 3 x 5 x 3 4x 6 x 3
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 20
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
x 5 x 3 x 5 x 3 2 x 2 25 x 3 4 x 6 x 3
2
2 x 2 25 x 3 2 x 3 x 2 25 x 3 x 3
2
2
2
4
x 3
x 3 6 x 34 0 17
x
3
2
Xét dấu f ( x)
x
f(x)
3
-5
-
17
3
5
0
-
0
+
17
; .
3
Tập nghiệm của BPT: S {3}
Ví dụ 13. Giải bất phƣơng trình : 3 2 x 6 2 x 4 4 x 2 10 3x
Lời giải:
Cách 1. ĐKXĐ: 2 x 2 .
Đặt t 2 x 2 2 x . Từ đó suy ra t 2 10 3x 4 4 x 2
Bất phƣơng trình trở thành: 2t t 2 0 t 2
Nghiệm bất phƣơng trình là
6
x2
5
Cách 2. TXĐ D 2; 2
BPT f ( x) 3 2 x 6 2 x 4 4 x 2 10 3x 0
Đặt t 2 x 2 2 x . Từ đó suy ra t 2 10 3x 4 4 x 2
Phƣơng trình f ( x) 0 trở thành: 2t t 2 t 0 t 2
6
5
Giải ra ta đƣợc x 2 x .
Xét dấu f ( x) ta có
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 21
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
x
-2
f(x)
6
5
-
2
0
6
+
Vậy tập nghiệm của BPT là S ;2 .
5
Ví dụ 14. Giải bất phƣơng trình: x 1 x2 4 x 1 3 x (1)
Lời giải :
Cách 1. Tập xác định: D [0;2 3] [2+ 3; )
Ta có x 0 là 1 nghiệm của (1)
Với x 0 chia 2 vế của (1) cho
Đặt t x
x ta đƣợc:
x
1
1
x 4 3
x
x
1
1
x t 2 2 ( t 2 ).
x
x
Ta đƣợc bất phƣơng trình: t t 2 6 3
Giải bất phƣơng trình t
5
2
1
T [0; ] [4; ) là tập nghiệm của bất phƣơng trình.
4
Cách 2.Tập xác định: D [0;2 3] [2+ 3; )
Đặt f ( x) x 1 x 2 4 x 1 3 x BPT đã cho f ( x) 0 .
Giải PT f ( x) 0 .
Dễ thấy x 0 không là 1 nghiệm phƣơng trình.
Với x 0 , PT x
Đặt t x
1
1
x 4 3
x
x
1
1
x t 2 2 ( t 2 ).
x
x
5
2
Ta đƣợc phƣơng trình: t t 2 6 3 t .
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 22
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
Thay
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
x 4
1
5
x
2x 5 x 2 0
.
x 1
x 2
4
Xét dấu f(x) ta đƣợc
x
f(x)
1
4
0
+
0
2 3
-
2 3
`
-
4
0
+
1
4
Suy ra tập nghiệm của BPT là T [0; ] [4; )
Ví dụ 15. Giải bất phƣơng trình:
x2 x 2 3 x 5x2 4 x 6
Lời giải:
Cách 1.
Điều kiện xác định: x 2 .
Bình phƣơng 2 vế và rút gọn ta đƣợc : 3. x( x 2)( x 1) 2 x( x 2) 2( x 1)
Chia 2 vế cho ( x 1) ta đƣợc bất phƣơng trình:
3.
x( x 2)
x( x 2)
2
2
x 1
x 1
Đặt t
x( x 2)
( t 0 ) ta đƣợc bất phƣơng trình: 2t 2 3t 2 0 .
x 1
Giải bất phƣơng trình ta đƣợc tập nghiệm cuối cùng của bất phƣơng trình là:
T=[3 13; )
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 23
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
Cách 2.
Đặt f ( x) x 2 x 2 3 x 5x 2 4 x 6 , BPT f ( x) 0.
PT f ( x) 0 3. x( x 2)( x 1) 2 x( x 2) 2( x 1)
3.
Đặt t
x( x 2)
x( x 2)
2
2
x 1
x 1
x( x 2)
( t 0 ) ta đƣợc phƣơng trình: 2t 2 3t 2 0 t 2.
x 1
Từ đó suy ra x 3 13 . Xét dấu f(x) ta cũng có tập nghiệm T=[3 13; ) .
Minh họa tập nghiệm của BPT bằng đồ thị
Ví dụ 16. Giải bất phƣơng trình
6
3x 2 1 3 x3 x 2 1 1 3 x3 x 2 1 1 3x .
x
Lời giải.
TXĐ D \{0} .
6
Đặt f ( x) 3x 2 1 3 x3 x 2 1 1 3 x3 x 2 1 1 3x , BPT f ( x) 0.
x
PT f ( x) 0 3x3 3x 2 x x 6 3 x3 x 2 1 1 3 x3 x 2 1 0 .
Đặt t 3 x3 x 2 1 ta đƣợc phƣơng trình: t 2 t 1 3t x 3 0 x 3t 3
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 24
BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH
x 0
.
3 x x 1 x 3 x 26 x 18 x 27 0
x 9 3 87
26
3
3
2
2
Lập bảng xét dấu f ( x) ta có tập nghiệm S ;
9 3 87 9 3 87
0;
.
26
26
Ví dụ 17. Giải bất phƣơng trình 32 x 2 32 x 2 x 15 20 .
Lời giải:
TXĐ D ; . Đặt f ( x) 32 x 2 32 x 2 x 15 20, BPT f ( x) 0.
2
15
Giải phƣơng trình f ( x) 0 2 4 x 2 2 x 15 28 . Đặt
2
4 x 2 2 2 y 15
1
2 x 15 4 y 2, ( y ) ta đƣợc hệ phƣơng trình
.
2
2
4 y 2 2 x 15
1
2
Giải hệ PT trên ta đƣợc x , x
9 221
.
16
Lập bảng xét dấu f ( x) ta đƣợc tập nghiệm của bất phƣơng trình là
9 221 1
S
; .
16
2
Nhận xét. Đối với BPT trong ví dụ 16, nếu không chuyển về phương trình thì
sẽ rất khó khăn.
Ví dụ 18. Giải bất phƣơng trình: x 5 x 3 1 3x 4 0
Lời giải:
TXĐ D ; .
3
1
Đặt f x x 5 x 3 1 3x 4 0 .
Ta có: f x 5x 4 3x 2
3
0 f (x) đồng biến trên , 1 .
3
2 1 3x
Mặt khác f (1) 0 nên phƣơng trình f (x) 0 có nghiệm duy nhất x 1.
1
Lập bảng xét dấu f(x) ta suy ra tập nghiệm của BPT là S 1; .
3
[THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 25
