Tuyển chọn các bài toán về hàm số

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> />§ÆNG VIÖT HïNG
/> /> />TUYỂN CHỌN
CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ 1 VIỆT NAM

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ (P1)
/> /> /> />(KHÓA LUYỆN THI 2015 – 2016)

/> /> /> /> /> />Sách hay, chỉ TẶNG chứ không BÁN!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

CHỦ ĐỀ 1. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
/> /> /> /> /> />DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ

2x
, có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của
x−2
giao điểm của ( C ) với đường thẳng y = 3 x − 3 .

Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =

( C ) tại các

Lời giải:

Phương trình giao điểm 2 đồ thị là

2x
= 3 x − 3 ⇔ 2 x = ( x − 2 )( 3 x − 3) ⇔ 3 x 2 − 11x + 6 = 0
x−2


2
2

 x = 3 ⇒ M  3 ; −1 
⇔

.
 x = 3 ⇒ M ( 3;3)

 2
9
2x
4
 y ' 3  = − 4
Với y =
⇒ y' = −
⇒
 
2
x−2
( x − 2 )  y ' ( 3) = −4


9
2
9x 1
2

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M  ; −1 là y = −  x −  − 1 = − + .
4
3
4 2
3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( 3;3) là y = −4 ( x − 3) + 3 = −4 x + 15.

/> />(
)
/> />Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x 3 − 2 x 2 + 5 , có đồ thị ( C ) . Tìm M ∈ ( C ) sao cho tiếp tuyến với

( C ) tại

M vuông góc với đường thẳng x + 2 y − 6 = 0 .

Lời giải:

Gọi M m; 2m − 2m + 5 .
3

2

y = 2 x 3 − 2 x 2 + 5 ⇒ y ' = 6 x 2 − 4 x ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = 6m 2 − 4m .

x
Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2 y − 6 = 0 hay y = − + 3 nên
2
2
6m − 4m = 2
 m = 1 ⇒ M (1;5 )

2
⇔ 6 m − 4m − 2 = 0 ⇔ 
1
 −1 127 
m=− ⇒M ;


3
 3 27 

/> /> />(
)
/>(
)
(
)
/> />Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 4 x 2 ( C ) . Tìm M ∈ ( C ) sao cho tiếp tuyến với ( C ) tại M đi

qua điểm A ( 0;1) .

Lời giải:

Gọi M m; m − 4m .

4

2

Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng :
y = y 'm ( x − m ) + m 4 − 4 m 2 = 4 m 3 − 8 m ( x − m ) + m 4 − 4 m 2 .

m2 = 1
Tiếp tuyến qua A ( 0;1) nên 1 = 4m3 − 8m ( 0 − m ) + m4 − 4m 2 ⇔ 3m 4 − 4m 2 + 1 = 0 ⇔  2 1
m =

3
 m = ±1 ⇒ M ( ±1; −3)

⇔
1
11  là các điểm cần tìm.
 1
m
=
±
⇒
M
±
;
−


9 
3

3



Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

/> /> /> /> /> />6x + 5
( C ) . Tìm M thuộc ( C ) sao cho tiếp tuyến qua M cắt Ox và
x +1
Oy lần lượt tại A và B sao cho OA = 4OB.

Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Ta có y =

6x + 5
1
⇒ y'=
.
2
x +1
( x + 1)

Lời giải:

 6m + 5 
Gọi M  m;
 là điểm thuộc đồ thị cần tìm.
m +1 

1
6m + 5
 6m + 5 
Phương trình tiếp tuyến tại M  m;
x − m) +
.
 có dạng y =
2 (
m +1
m +1 

( m + 1)

y = 0

6m + 5
Phương trình giao điểm với Ox:  1
x − m) +
=0
 ( m + 1) 2 (
m +1


y = 0
⇔
⇒ A ( −6m 2 − 10m − 5; 0 )
2
 x = −6m − 10m − 5
x = 0
 6m 2 + 10m + 5 

2
0
−
m
Phương trình giao điểm với Oy: 
(
) 6m + 5 6m + 10m + 5 ⇒ B  0;
.
2

m + 1)
2
(
 y = m +1 2 + m +1 =


(
)
( m + 1)

6m 2 + 10m + 5 = 0 ( vo nghiem )
2

6m + 10m + 5

Theo bài OA = 4OB ⇔ 6m 2 + 10m + 5 = 4.
⇔
4
2
1=
( m + 1)
 ( m + 1) 2


 11 
 m = 1 ⇒ M 1; 2 


⇔ m 2 + 2m − 3 = 0 ⇔ 

 13 
 m = −3 ⇒ M  −3; 
2



/> /> /> />
/> /> /> /> /> />Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 4 x − m + 1 ( Cm ) . Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( Cm )

tại giao điểm của ( Cm ) với trục tung. Viết phương trình ∆ biết khoảng cách từ A ( 2; −1) đến ∆
bằng

34 .

Lời giải:
x = 0 ⇒ y = 1 − m suy ra B ( 0;1 − m ) là giao điểm của

( Cm )

với trục tung.

Ta có: y ' = 3x 2 − 6 x ( m + 1) + 4 ⇒ y ' ( 0 ) = 4 suy ra phương trình tiếp tuyến của ( Cm ) đi qua B là:

∆ : y − (1 − m ) = 4 ( x − 0 ) ⇔ 4 x − y + 1 − m = 0

⇒ d ( A; ∆ ) =

4. ( −2 ) − ( −1) + 1 − m
42 + ( −1)

2

 m = −6 + 17 2
= 34 ⇒ m + 6 = 17 2 ⇔ 
 m = −6 − 17 2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 4 x − y + 7 − 17 2 = 0 hoặc 4 x − y + 7 + 17 2 = 0 .
3x + 1
Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại
x −1
điểm x0 biết x0 là nghiệm của phương trình y ′′ + y − 15 = 0 .

Lời giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

/> /> />( )
( )
/> />(
)
/>(
)
Ta có y = 3 +

4
4
8
⇒ y' = −
⇒ y '' =
2
3
x −1
( x − 1)
( x − 1)

Ta có y ''+ y − 15 = 0 ⇔

8

( x − 1)

3

+ 3+

4
4
2
− 15 = 0 ⇔
+
−6 = 0 ⇔ x = 2
3
x −1
( x − 1) x − 1

Ta có y ( 2 ) = 7 , y ' ( 2 ) = −4 suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y − 7 = −4 ( x − 2 ) ⇔ y = −4 x + 15

Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 2 ( 2m + 1) x 2 − m − 1 Cm . Gọi A là điểm có hoành độ
dương mà Cm luôn đi qua với mọi m . Viết phương trình tiếp của hàm số tại A khi m = 1.

Lời giải:
Ta có:

y = x 4 − 2 ( 2m + 1) x 2 − m − 1 ⇔ y − x 4 = 2 ( 2m + 1) x 2 − m − 1 ⇔ y − x 4 + 2 x 2 = ( m + 1) 4 x 2 − 1

1

 x0 = 2
 y0 − x04 + 2 x02 = 0
7
1
Gọi A x0 , y0 ta có:  2
⇔
(Do x0 > 0 ) ⇒ A  ; − 
 2 16 
y = − 7
4 x0 − 1 = 0
0

16
11
1
Khi m = 1 ta có y = x 4 − 6 x 2 − 2 ⇒ y ' = 4 x3 − 12 x ⇒ y '   = −
2
2
7
11 
1
11
37
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y +
= − x−  ⇔ y = − x+
16

2
2
2
16
x−2
Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số: y =
( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại.
x +1
a) Giao điểm của ( C ) với trục hoành.

/> /> /> />b) Giao điểm của ( C ) với trục tung.

Lời giải:

Ta có: y ' =

3

( x + 1)

2

/> /> /> /> /> />a) Phương trình trục hoành là: y = 0 . Do đó y0 = 0 ⇒ x0 = 2 . Khi đó: y ' ( x0 ) =
Do đó phương trình tiếp tuyến là: y =

3

( x0 + 1)

2

=

1
3

1
1
( x − 2) + 0 = ( x − 2) .
3
3

b) Phương trình trục tung là: x = 0 . Do đó x0 = 0 ⇒ y0 = −2 . Khi đó: y ' ( x0 ) =
Do đó phương trình tiếp tuyến là: y = 3 ( x − 0 ) − 2 hay y = 3 x − 2 .

3

( x0 + 1)

2

=3

Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 4 x 2 + 1 ( C ) . Viết phương trình tuyến tuyến của ( C ) tại điểm
x0 thoã mãn điều kiện y '' ( x0 ) = 4 .

Lời giải:

Ta có: y ' = 4 x − 8 x suy ra y '' = 12 x − 8 .
3

2

Do đó: y '' ( x0 ) = 12 x02 − 8 = 4 ⇔ x02 = 1 ⇔ x0 = ±1 .
Xét 2 trường hợp:
+) Với x0 = 1 ⇒ y0 = −2; y ' ( x0 ) = 4 x03 − 8 x0 = −4 . Do vậy phương trình tiếp tuyến là:

y = −4 ( x − 1) − 2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Hay y = −4 x + 2 .

/> /> /> /> />(
)
/>+) Với x0 = −1 ⇒ y0 = −2; y ' ( x0 ) = 4 x03 − 8 x0 = 4 . Do vậy phương trình tiếp tuyến là:

y = 4 ( x + 1) − 2

Hay y = 4 x + 2 .
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = −4 x + 2 và y = 4 x + 2 .

Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 + x 2 − x + 2 ( C ) .
a) Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và trục Ox.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại các giao điểm đó.

Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: x3 + x 2 − x + 2 = 0

⇔ ( x + 2 ) x 2 − x + 1 = 0 ⇔ x = −2 . Vậy toạ độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là A ( −2;0 ) .

b) Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 .

Trong đó ta có: x0 = −2; y0 = 0 . f ' ( x ) = 3x 2 + 2 x − 1 ⇒ f ' ( x0 ) = f ' ( −2 ) = 7 .
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 7 ( x − 2 ) .

/> /> /> />1 4
x − ( m + 1) x 2 + m − 2 , có đồ thị ( Cm ) . Tìm m đề tiếp tuyến
2
tại điểm có hoành độ x = −2 đi qua gốc tọa độ O .

Câu 11: [ĐVH]. Cho hàm số y =
của ( Cm )

+) TXĐ: D = ℝ . Ta có y′ = 2 x − 2 ( m + 1) x .

Lời giải:

3

+) Tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm M ( −2; −3m + 2 ) có hệ số góc là k = y′ ( −2 ) = 4m − 20 .

Khi đó, phương trình tiếp tuyến d tại M là y = ( 4m − 20 )( x + 2 ) − 3m + 2 .

+) Vì d đi qua gốc tọa độ O nên 0 = 2 ( 4m − 20 ) − 3m + 2 ⇔ 5m − 38 = 0 ⇔ m =
Vậ y m =

38
.
5

38
là giá trị cần tìm.
5

/> /> /> /> /> />(
)
2x − 1
( C ) . Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận của hàm số. Viết
x+2
5
phương trình tiếp tuyến của ( C ) qua M ∈ ( C ) biết IM =
IO và M có hoành độ dương.
2
Lời giải:
Ta có tiệm cận đứng của ( C ) là x = −2 , tiệm cận ngang của ( C ) là y = 2

Câu 12: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Suy ra I ( −2; 2 ) ⇒ IO 2 = 8 .

5

5
 2m − 1 
Gọi M  m;
IO ⇒ IM 2 = IO 2 = 10
 . Ta có IM =
2
4
 m+2 

2
2
2
 2m − 1

 −5 
⇒ ( m + 2) + 
− 2  = 10 ⇒ ( m + 2 ) + 
 = 10 ⇔ ( m + 2 ) = 5 ⇒ m = −2 + 5
 m+2

m+2
(do xM > 0 )
5
5
⇒ y' =
⇒ y ' −2 + 5 = 1
Ta có y = 2 −
2
x+2
( x + 2)

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
2

2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

(

)

Facebook: Lyhung95

(
)
(
)
/> /> /> /> /> />y−

2 −2 + 5 − 1
5

= x − −2 + 5 ⇔ y − 2 − 5 = x + 2 − 5 ⇔ y = x + 4 − 2 5

DẠNG 2. TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC
2x −1
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến d của
3x + 2
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x − 28 y + 4 = 0 .
Lời giải:
2 ( 3 x + 2 ) − 3 ( 2 x − 1)
7
 −2 
+) TXĐ: D = ℝ \   . Ta có: y′ =
=
.
2
2
3
( 3x + 2 )
( 3x + 2 )

(C )


2x −1 
−2
+) Gọi M  x0 ; 0
là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị ( C ) . Do d song
 , với x0 ≠
3
 3x0 + 2 
1

5
1
song với đường thẳng x − 28 y + 10 = 0 hay y =
x+
nên y′ ( x0 ) =
. Ta có phương trình:
28
14
28
 x0 = 4 ( tm )
3 x0 + 2 = 14
7
1
2
=
⇔ ( 3 x0 + 2 ) = 196 ⇔ 
⇔
.
2
 x = −16 ( tm )
( 3x0 + 2 ) 28
3 x0 + 2 = −14
 0
3
1
1
1
5
 1
+) Với x0 = 4 ⇒ M  4;  . Phương trình tiếp tuyến d là: y = ( x − 4 ) + hay y ==

x+
28
2
28
14
 2
(loại).
1
43
−16
1 
16  5
 −16 5 
+) Với x0 =
hay y =
x+
(tm).
⇒M
;  . Phương trình d là: y =  x +  +
28
42
3
28 
3 6
 3 6
1
43
Vậy y =
x+
là đường thẳng d cần tìm.

28
42
Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 + 5 , có đồ thị ( C ) . Tìm M ∈ ( C ) sao cho tiếp tuyến của

/> /> /> />( C ) tại

M vuông góc với đường thẳng x + 12 y − 7 = 0 .

Lời giải:

/>(
)
/> /> /> /> />+) TXĐ: D = ℝ . Ta có: y′ = 6 x − 6 x .
2

+) Gọi M x0 ; 2 x03 − 3 x02 + 5 là điểm cần tìm. Tiếp tuyến d của ( C ) tại M có hệ số góc là
k = 6 x02 − 6 x0 .

−1
7
x+
nên k = 12 .
12
12
 x0 = −1
Ta có phương trình 6 x02 − 6 x0 = 12 ⇔ x02 − x0 − 2 = 0 ⇔ 
.
 x0 = 2
+) Với x0 = −1 ⇒ M 1 ( −1; 0 ) .

Vì d vuông góc với đường thẳng x + 12 y − 7 = 0 hay y =

+) Với x0 = 2 ⇒ M 2 ( 2;9 ) .

Vậy M 1 ( −1; 0 ) và M 2 ( 2;9 ) là các điểm cần tìm.

2 3
x − 4 x 2 − x + 1 , có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của
3
( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 7 x + y − 1 = 0 .

Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Lời giải:
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y ' ( x0 )
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

/> /> /> /> /> />Ta có y ' = 2 x 2 − 8 x − 1

Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng 7 x + y − 1 = 0 ⇒ y ' ( x0 ) = −7

11


 y1 − y0 = −7 ( x − 1)
y1 = −7 x −
x =1

3
⇒ 2 x − 8 x − 1 = −7 ⇒ ( x − 1)( x − 3) = 0 ⇒ 
⇒
⇒
 x = 3  y2 − y0 = −7 ( x − 3)  y = −7 x + 1( loai )
 2
2

Vậy phương trình tiếp tuyến của ( C ) là y = −7 x −

11
3

3x − 2
, có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết
x +1
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5 x + y − 12 = 0 .

Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Lời giải:
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y ' ( x0 )
Ta có y ' =

5

( x + 1)

2

/> /> /> />Theo giả thiết, tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5 x + y − 12 = 0 ⇒ y ' ( x0 ) =

⇒

5

( x + 1)

2

1
5

1
1
6


y1 − y0 = ( x − 4 )
y1 = x +


x = 4
1
2

5
5
5
= ⇒ ( x + 1) = 25 ⇒ 
⇒
⇒
5
 x = −6  y − y = 1 ( x + 6 )  y = 1 x + 26
2
0
2
5
5
5



Vậy phương trình tiếp tuyến của ( C ) là y =

1
6
1
26
x+ ;y = x+
5
5
5
5

x − 2m 2

, có đồ thị ( Cm ) . Tìm m đề tiếp tuyến của ( Cm ) tại giao
x+m
điểm của đồ thị hàm số với trục tung song song với đường thẳng 5 x − y + 17 = 0 .

Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =

/>(
)
/> /> /> /> />Lời giải:
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y ' ( x0 )

Ta có y =

( x + m) −

m + 2m 2

x+m

⇒ y'=

m + 2m 2

( x + m)

2

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là nghiệm của phương trình:
x = 0



x − 2m2 ⇒ x0 = 0 ⇒ M ( x0 ; y0 ) = M ( 0; y0 )
y =
x+m


Phương trình tiếp tuyến của ( Cm ) song song với đường thẳng 5 x − y + 17 = 0 .

m = 0
2m 2 + m
2
⇒ y ( x0 ) = 5 ⇒
= 5 ⇒ 3m − m = 0 ⇒ 
1
m =
m2
3

Khi m = 0 ⇒ y0 không có giá trị. ⇒ Loại
'

Khi m =

1
2
2
⇒ y − y0 = y ' ( x0 )( x − x0 ) ⇒ y + = 5 ( x − 0 ) ⇒ y = 5 x −
3
3
3

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

/> /> /> /> />(
)
/>Vậy m =

1
3

1 4
x + ( m − 1) x 2 − 4m + 3 , có đồ thị ( Cm ) . Tìm m m đề tiếp tuyến
8
tại tại điểm A vuông góc với đường thẳng 2 x + y + 3 = 0 , ở đó A là điểm cố định có

Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =

của ( Cm )

hoành độ âm của hàm số đã cho.

Lời giải:

Gọi A ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y ' ( x0 )

1
x3
Ta có y = x 4 + ( m − 1) x 2 − 4m + 3 ⇒ y ' ( x ) = + 2 ( m − 1) x
8
2
A là điểm cố định có hoành độ âm của hàm số đã cho nên

y0 =

 x4

1 4
x0 + ( m − 1) x0 2 − 4m + 3 ⇒ m x02 − 4 +  0 − x02 − y0 + 3  = 0
8
 8


 x02 = 4
 x = −2

⇒  x04
⇒ 0
⇒ A ( −2;1)

2
 8 − x0 − y0 + 3  = 0  y0 = 1



/> /> /> />Đề tiếp tuyến của ( Cm ) tại tại điểm A vuông góc với đường thẳng 2 x + y + 3 = 0

x3
1
1
1
⇒ 0 + 2 ( m − 1) x0 = ⇒ m = −
2
2
2
8
1
9
7
Thử lại, ta có y = x 4 − x 2 + ,
8
8
2
⇒ y ' ( x0 ) =

 −23

1
1
 1 
PT tiếp tuyến: y − 1 = 
+ 2  − − 1 . − 2  ( x + 2 ) ⇒ y − 1 = ( x + 2 ) ⇒ y = x + 2
2
2

 8 
 2

1
Vậy m = − là giá trị cần tìm.
8

Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 2 , có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C )

/> /> /> /> /> />biết tiếp tuyến song song với đường thẳng đi qua 2 điểm A ( 0;3) , B (1; −6 ) .

Lời giải:
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y ' ( x0 )

Ta có y = x3 − 3 x 2 + 2 ⇒ y ' = 3 x 2 − 6 x

Tiếp tuyến đi qua 2 điểm A ( 0;3) , B (1; −6 ) thì hệ số góc của tiếp tuyến là

⇒ y ' ( x0 ) =

y B − y A −6 − 3
=
= −9
xB − x A
1− 0

 y1 = −9 x − 11
 x = −1  y 1 − y0 = −9 ( x + 1)
⇒ 3 x02 − 6 x0 = −9 ⇒ ( x + 1)( x − 3) = 0 ⇒ 
⇒

⇒
x = 3
 y2 − y0 = −9 ( x − 3 )  y2 = −9 x + 29

⇒ y = −9 x − 11; y = −9 x + 29

Vậy phương trình tiếp tuyến của ( C ) y = −9 x − 11; y = −9 x + 29

Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =

−x −1
( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến
x −1

có hệ số góc bằng 2 .
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

/> /> /> /> /> />Lời giải:

Ta có: f ' ( x ) =
⇔

2

( x0 − 1)

2

2

( x − 1)

2

. Vì tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 nên ta có: f ' ( x0 ) = 2

 x0 = 0
2
= 2 ⇔ ( x0 − 1) = 1 ⇔ 
 x0 = 2

+) Với x0 = 0 ⇒ y0 = 1 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 2 ( x − 0 ) + 1 hay y = 2 x + 1 .

+) Với x0 = 2 ⇒ y0 = −3 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 2 ( x − 2 ) − 3 hay y = 2 x − 7 .

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 2 x + 1 và y = 2 x − 7 .

Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 − 3x 2 − 4 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng d : y = 9 x + 5
Lời giải:
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 9 .

 x0 = −1
Ta có: f ' ( x ) = 3x 2 − 6 x . Xét phương trình: f ' ( x0 ) = 3x02 − 6 x0 = 9 ⇔ 3 x02 − 6 x0 − 9 = 0 ⇔ 
 x0 = 3
+) Với x0 = −1 ⇒ y0 = −8 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 9 ( x + 1) − 8 hay y = 9 x + 1 ( t / m ) .

/> /> /> />+) Với x0 = 3 ⇒ y0 = −4 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 9 ( x − 3) − 4 hay y = 9 x − 31 ( t / m ) .

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 9 x + 1 và y = 9 x − 31 .

Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 + 3 x 2 − 4 ( C ) .

a) Viết phương trình tiếp tuyến d của ( C ) tại điểm có hoành độ x0 = −3 .

b) Với đường thẳng d ở câu a hãy viết phương trình tiếp tuyến ∆ của ( C ) biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng d.
Lời giải:
2
Ta có : f ' ( x ) = 3x + 6 x
a) Ta có: x0 = −3 ⇒ y0 = −4 , f ' ( x0 ) = f ' ( −3) = 9

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 9 ( x + 3) − 4 hay y = 9 x + 23 ( d ) .

 x0 = 1
b) Do ∆ / / d ⇒ k∆ = kd = 9 . Xét phương trình f ' ( x0 ) = 3 x02 + 6 x0 = 9 ⇔ 
 x0 = −3
+) Với x0 = −3 ⇒ y0 = −4 ( loại vì khi đó ∆ trùng với d ).

/> /> /> /> /> />+) Với x0 = 1 ⇒ y0 = 0 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 9 ( x − 1) .

Câu 11: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x 4 − 4 x 2 + 1 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp

tuyến vuông góc với đường thẳng d : x + 16 y − 4 = 0 .
Lời giải:
−1
1
−1
Viết lại đường thẳng d ta có: d : y =
x + suy ra hệ số góc của d là kd = .
16
4
16
Vì tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng d nên ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 16 .

Xét phương trình f ' ( x0 ) = −4 ⇔ 4 x03 − 8 x0 = 16 ⇔ x03 − 2 x0 − 4 = 0 ⇔ x0 = 2 ⇒ y0 = 1 .
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 16 ( x − 2 ) + 1 hay y = 16 x − 31 .

DẠNG 3. TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM
2x +1
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =
( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) .
x −1
a) Tại điểm có hoành độ x = 2 .

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

b) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( 4; −1) .

/> /> /> /> /> />Ta có: f ' ( x ) =

Lời giải:

−3

( x − 1)

2

.

a) Ta có : x0 = 2 ⇒ y0 = 5 ⇒ f ' ( x0 ) = f ' ( 2 ) = −3 .

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −3 ( x − 2 ) + 5 hay y = −3 x + 11

 2x +1 
b) Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M  x0 ; 0  ∈ ( C ) là:
x0 − 1 

2x +1
−3
y=
x − x0 ) + 0

.
2 (
x0 − 1
( x0 − 1)
Vì tiếp tuyến đi qua A ( 4; −1) nên ta có: −1 =

( x0 − 1)

2

( 4 − x0 ) +

2 x0 + 1
x0 − 1

( 2 x0 + 1)( x0 − 1) ⇔ − x − 1 2 = 2 x 2 + 2 x − 11 ⇔ 3x 2 = 12 ⇔  x0 = 2
( 0 )
0
0
0

2
( x0 − 1)
( x0 − 1)
 x0 = −2
x0 = 2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = −3 ( x − 2 ) + 5 hay y = −3 x + 11

⇔ −1 =

3 ( x0 − 4 )

−3

2

+

/> /> /> />+) Với

1
−1
1
( x + 2 ) + 1 hay y = x +
3
3
3
3
Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x − 2 x + 2 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) .

+) Với x0 = −2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = −

a) Tại điểm có hoành độ x = 0 .
b) Biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O.

Lời giải:

Ta có: y ' = 3 x − 2
2

a) Ta có: x0 = 0 ⇒ y0 = 2 và y ' ( x0 ) = y ' ( 0 ) = −2 .

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −2 ( x − 0 ) + 2 hay y = −2 x + 2 .

b) Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; x03 − 2 x0 + 2 ) ∈ ( C )
là: y = ( 3 x02 − 2 ) ( x − x0 ) + x03 − 2 x0 + 2 .

/>(
)
/> /> />(
)
(
)
/>(
)
/>( )
Vì tiếp tuyến đi qua O ( 0; 0 ) nên ta có: 0 = 3 x02 − 2 ( 0 − x0 ) + x03 − 2 x0 + 2
⇔ −2 x03 + 2 = 0 ⇔ x0 = 1

Với x0 = 1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = x .

Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x 4 − 3x 2 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua

a) Gốc toạ độ O ( 0; 0 ) .

b) Qua điểm A ( −36;0 )

Lời giải:

Gọi M x0 ; x − 3 x
4

0

2
0

là toạ độ tiếp điểm.

( x − x0 ) + x04 − 3x02
4 x03 − 6 x0 ( 0 − x0 ) + x04 − 3 x02

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = 4 x03 − 6 x0

a) Vì tiếp tuyến đi qua O ( 0; 0 ) nên ta có: 0 =

 x0 = 0
⇔ −3 x04 + 3x02 = 0 ⇔ x02 x02 − 1 = 0 ⇔ 
 x0 = ±1
+) Với x0 = 0 phương trình tiếp tuyến là: y = 0 .

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

+) Với x0 = 1 phương trình tiếp tuyến là: y = −2 ( x − 1) − 2 hay y = −2 x .

/>(
)
/> /> /> /> />+) Với x0 = −1 phương trình tiếp tuyến là: y = 2 ( x + 1) − 2 hay y = 2 x .

b) Vì tiếp tuyến đi qua O ( 0; 0 ) nên ta có: −36 = 4 x03 − 6 x0 ( 0 − x0 ) + x04 − 3 x02

t = 4
⇔ −3 x04 + 3 x02 = −36 ⇔ x04 − x02 − 12 = 0. Đặt t = x02 ( t ≥ 0 ) ta có: t 2 − t − 12 = 0 ⇔ 
t = −3 ( loai )
Khi đó x02 = 4 ⇔ x0 = ±2 .

• Với x0 = 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 20 ( x − 2 ) + 4 hay y = 20 x − 36

• Với x0 = −2 phương trình tiếp tuyến là: y = −20 ( x + 2 ) + 4 hay y = −20 x − 36

Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 − 3x ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến
đi qua điểm A (1; −3) .

Lời giải:

Ta có y ' = 3 x − 3
2

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; x03 − 3 x0 ) là: y = ( 3 x02 − 3) ( x − x0 ) + x03 − 3 x0
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A (1; −3) nên ta có: −3 = ( 3 x02 − 3) (1 − x0 ) + x03 − 3 x0

/> /> /> /> x0 = 0
⇔ −2 x + 3 x = 0 ⇔ 
 x0 = 3


2
• Với x0 = 0 phương trình tiếp tuyến là: y = −3 x
3
0

2
0

3
15 x 27
15 
3 9
phương trình tiếp tuyến là: y =  x −  − hay y =
−
.
2
4
4
4
2 8
15 x 27
Vây có 2 phương trình tiếp tuyến thoã mãn là: y = −3 x hoặc y =
−
.
4
4
Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 2 , có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của

• Với x0 =

(C )

biết tiếp tuyến đi qua M (1; 0 ) .

/>(
)
/>(
)
(
)
/> /> /> />Lời giải:

Ta có: y ' = 3 x − 6 x
2

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A x0 ; x03 − 3 x02 + 2 là:
y = 3 x02 − 6 x0

( x − x0 ) + x03 − 6 x02 + 2

Vì tiếp tuyến đi qua điểm M (1; 0 ) nên ta có: 0 = 3 x02 − 6 x0 (1 − x0 ) + x03 − 3 x02 + 2
⇔ 9 x02 − 3 x03 − 6 x0 + x03 − 3 x02 + 2 = 0 ⇔ −2 x03 + 6 x02 − 6 x0 + 2 = 0 ⇔ x0 = 1

Với x0 = 1 phương trình tiếp tuyến là: y = −3 ( x − 1) hay y = −3 x + 3

Vây có phương trình tiếp tuyến thoã mãn là: y = −3 x + 3

Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =
tiếp tuyến đi qua M ( 2; −5) .

Ta có: y =

2 ( x − 2) + 5
x−2

2x +1
, có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của
x−2

(C )

biết

Lời giải:

= 2+

5
5
⇒ y'= −
2
x−2
( x − 2)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

/> /> /> /> /> />
5 
5
5
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A  x0 ; 2 +
x − x0 ) + 2 +
 là: y = −
2 (
x0 − 2 
x0 − 2
( x0 − 2 )

Vì tiếp tuyến đi qua điểm M ( 2; −5) nên ta có: −5 =
⇔

5

( x0 − 2 )

2

( x0 − 2 ) + 2 +

5
x0 − 2

10
4
= −7 ⇔ x0 =
x0 − 2
7

Với x0 =

4
49 x 1
49 
4 3
phương trình tiếp tuyến là: y = −  x −  − hay y = −
− .
7
20 10
20 
7 2

Vây có phương trình tiếp tuyến thoã mãn là: y = −

49 x 1
−
20 10

Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 1 , có đồ thị ( C ) . Tìm M ∈ ( C ) sao cho tiếp tuyến

của ( C ) tại M đi qua điểm M ( 0;3) .

Lời giải:

Ta có: y ' = 3 x − 12 x + 9
2

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A ( x0 ; x03 − 6 x02 + 9 x0 − 1) là:

/>(
)
(
)
/> /> />(
)(
)
y = 3 x02 − 12 x0 + 9 ( x − x0 ) + x03 − 6 x02 + 9 x0 − 1

Vì tiếp tuyến đi qua điểm M ( 0;3) nên ta có: 3 = 3 x02 − 12 x0 + 9 ( 0 − x0 ) + x03 − 6 x02 + 9 x0 − 1

 x0 = 1

⇔ −3 x03 + 12 x02 − 9 x0 + x03 − 6 x02 + 9 x0 = 4 ⇔ −2 x03 + 6 x02 − 4 = 0 ⇔  x0 = 1 + 3

 x0 = 1 − 3

• Với x0 = 1 phương trình tiếp tuyến là: y = 0 ( x − 1) + 3 hay y = 3

• Với x0 = 1 + 3 phương trình tiếp tuyến là: y = 9 − 6 3 x − 1 − 3 − 6 + 3 3 hay

(

)

y = 9−6 3 x+3

(
)(
)
/>(
)
/>(
)
(
)
/> /> />(
)
(
)
/>• Với x0 = 1 − 3 phương trình tiếp tuyến là: y = 9 + 6 3 x − 1 + 3 − 6 − 3 3 hay
y = 9+6 3 x+3

Vây có 3 phương trình tiếp tuyến thoã mãn là: y = 3 ; y = 9 − 6 3 x + 3 và y = 9 − 6 3 x + 3

Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 2mx 2 + ( m + 2 ) x + 1 , có đồ thị ( Cm ) . Tìm m đề tiếp tuyến của

( Cm )

tại điểm có hoành độ x = −1 đi qua điểm M ( −2;3 ) .

Lời giải:

Ta có: y ' = 3 x − 4mx + m + 2

2

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A −1; −1 − 2m − ( m + 2 ) + 1 hay A ( −1; −3m − 2 ) là:
y = 3 x02 − 4mx0 + m + 2 ( x − x0 ) − 3m − 2 ⇔ y = ( −3 + 4m + m + 2 )( x + 1) − 3m − 2

⇔ y = ( 5m − 1) x + 2m − 3

Vì tiếp tuyến đi qua điểm M ( −2;3) nên ta có: 3 = −2. ( 5m − 1) + 2m − 3 ⇔ m = −

1
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

/> /> /> /> /> />1
7
phương trình tiếp tuyến là: y = − x − 4
2
2
1
Vây m = −
2

3− x
Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến
2x +1
a) Tại giao điểm của đồ thị và đường thẳng d : 2 x + y − 3 = 0

Với m = −

b) Song song với đường thẳng AB biết A ( 0;1) , B (1; −6 )
Ta có: f ' ( x ) =

Lời giải:

−7

( 2 x + 1)

2

a) Viết lại đường thằng d: y = −2 x + 3 .

−1

3− x
x ≠
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có: −2 x + 3 =
⇔
2
2x + 1
( 2 x + 1)( −2 x + 3) = 3 − x


1

x = 0
x ≠ −
⇔
⇔
2
5
x =
2
 −4 x + 5 x = 0

4


/> /> /> />+) Với x0 = 0 ⇒ y0 = 3 ⇒ f ' ( 0 ) = −7 . Phương trình tiếp tuyến là:

y = −7 ( x − 0 ) + 3 hay

y = −7 x + 3 .
5
1
4
−4 
5 1
5
+) Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ f '   = − . Phương trình tiếp tuyến là: y =
x− +
4

2
7
7 
4 2
4
−4 x 17
Hay y =
+ .
7
14
b) Ta có: AB = (1; −7 ) ⇒ n AB = ( 7;1) . Phương trình đường thẳng AB là: 7 x + y − 1 = 0 hay
y = −7 x + 1
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng AB nên ta có: ktt = −7
 2 x0 + 1 = 1
 x0 = 0
2
= −7 ⇔ ( 2 x0 + 1) = 1 ⇔ 
⇔
 2 x0 + 1 = −1  x0 = −1

/> /> /> /> /> />Xét phương trình f ' ( x0 ) = −7 ⇔

−7

( 2 x0 + 1)

2

+) Với x0 = 0; y0 = 3; f ' ( x0 ) = −7 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −7 x + 3

+) Với x0 = −1 ⇒ y0 = −4 ; f ' ( −1) = −7 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −7 ( x + 1) − 4 hay
y = −7 x − 11 .

Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số y =

2x +1
, (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp
x −1

tuyến
a) Tại giao điểm của đồ thị và đường thẳng d : 2 x − y + 1 = 0
b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = −3
c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d ' : x − 12 y + 3 = 0
Lời giải:
−3
.
Ta có f ' ( x ) =
2
( x − 1)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
y = 2 x + 1.

Facebook: Lyhung95

/> /> /> /> /> />a)

Viết

lại

d:

Xét

phương

trình

hoành

độ

giao

điểm:

1

x=−
2 x + 1 = 0
2x +1

= 2x +1 ⇔ 

⇔
2.

x −1
 x −1 = 1
x = 2
1
1
4
 1
+) Với x0 = − ⇒ y0 = 0 ; x0 = − ⇒ y0 = 0; f '  −  = − . Phương trình tiếp tuyến là
2
2
3
 2
4
1
y = − x+ .
3
2
+) Với x0 = 2 ⇒ y0 = 5 ; f ' ( 2 ) = −3 . Phương trình tiếp tuyến là y = −3 ( x − 2 ) + 5 hay

y = −3 x + 11 .

 x0 = 0
2
= −3 ⇔ ( x0 − 1) = 1 ⇔ 
.
( x0 − 1)
 x0 = 2

+) Với x0 = 0 ⇒ y0 = −1 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −3 x − 1 .
−3

b) Ta có: k = f ' ( x0 ) =

2

+) Với x0 = 2 ⇒ y0 = 5 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −3 ( x − 2 ) + 5 hay y = −3 x + 11 .
1
3
1
x+
có kd ' = .
12
12
12
Do tiếp tuyến vuông góc với d ' nên ta có: ktt = −12

c) Viết lại phương trình d ' : y =

/> /> /> />Xét phương trình

−3

( x0 − 1)

2

1


x0 =

1
2
2
= −12 ⇔ ( x0 − 1) = ⇔ 
4
x = 3
 0 2

1
1

⇒ y0 = −4 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −12  x −  − 4 hay y = −12 x + 2 .
2
2

3
3

+) Với x0 = ⇒ y0 = 8 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −12  x −  + 8 hay y = −12 x + 26 .
2
2


+) Với x0 =

/> /> /> /> /> />Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

CHỦ ĐỀ 2. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
/> /> />(
)
/> /> />DẠNG 1. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA

Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − ( m + 3) x 2 + ( 3m + 1) x − 3 , có đồ thị là ( C ) . Tìm m để ( C )
giao Ox tại 3 điểm phân biệt.

Lời giải :

Phương trình hoành đọ giao điểm

x = 3
x3 − ( m + 3) x 2 + ( 3m + 1) x − 3 = 0 ⇔ ( x − 3) x 2 − mx + 1 = 0 ⇔ 
2
 g ( x ) = x − mx + 1 = 0
Để ( C ) giao Ox tại 3 điểm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 3

m > 2, m < −2
∆ > 0
m2 − 4 > 0

⇔

⇔
⇔
10
 g ( 3) ≠ 0
10 − 3m ≠ 0
m ≠ 3
 10   10

Vậy m ∈ ( −∞; −2 ) ∪  2;  ∪  ; +∞ 
 3  3


/> /> />(
)
/>Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x 3 − 5 x 2 − 2 ( 2m − 1) x + 6m − 1 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng
d : y = x − 4 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ
dương.
Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm
2 x 3 − 5 x 2 − 2 ( 2m − 1) x + 6m − 1 = x − 4 ⇔ 2 x 3 − 5 x 2 − ( 4m − 1) x + 6m + 3 = 0

3

x=

2
⇔ ( 2 x − 3 ) x − x − 2m − 1 = 0 ⇔

2
 g ( x ) = x − x − 2m − 1 = 0

3
Ta có x = > 0 nên để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ
2
3
dương thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm trái dấu khác
2
1

P < 0
m>−
−2m − 1 < 0




2
⇔  3
⇔ 1
⇔
g  2  ≠ 0
− 4 − 2m ≠ 0
m ≠ − 1
  

8
 1 1  1

Vậy m ∈  − ; −  ∪  − ; +∞ 
 2 8  8


2

/> /> /> /> /> />Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x3 − 6 x − 7 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng d : y = 2m − 5 . Tìm

m để ( C ) giao d tại 2 điểm phân biệt.

Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm : 2 x 3 − 6 x − 7 = 2m − 5 ⇔ g ( x ) = 2 x3 − 6 x − 2m − 2 = 0

 x = 1 ⇒ y = −2 m − 6
Ta có g ' ( x ) = 6 x 2 − 6; g ' ( x ) = 0 ⇔ 
 x = −1 ⇒ y = 2 − 2 m
Để ( C ) giao d tại 2 điểm phân biệt thì hàm số y = g ( x ) phải có cực trị và yCD . yCT = 0

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

 m = −3
⇔ ( −2m − 6 )( 2 − 2m ) = 0 ⇔ 
m = 1
Vậy m = 1 hoặc m = −3

/> /> /> /> /> />Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − ( 3m + 1) x 2 + 3mx + 6m − 1 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng

d : y = 4 x − 5 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn

x12 + x22 + x32 = 18 .

Lời giải :

Phương trình hoành độ giao điểm
x3 − ( 3m + 1) x 2 + 3mx + 6m − 1 = 4 x − 5 ⇔ x 3 − ( 3m + 1) x 2 + ( 3m − 4 ) x + 6m + 4 = 0

x = 2
⇔ ( x − 2 )  x 2 − ( 3m − 1) x − 3m − 2  = 0 ⇔ 
2
 g ( x ) = x − ( 3m − 1) x − 3m − 2 = 0
Đề ( C ) giao d tại 3 điễm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2
9m 2 + 6m + 9 > 0, ∀m
∆ > 0
4

⇔
⇔
⇔m≠
4
9
 g ( 2 ) ≠ 0
m ≠
9


/> /> /> /> x1 + x2 = 3m − 1
Giả sử x3 = 2 thì x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 ⇒ 

 x1 x2 = −3m − 2
Ta có :

x12 + x22 + x32 = 18 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + x32 = 18 ⇔ ( 3m − 1) + 2 ( 3m + 2 ) + 4 = 18 ⇔ m = ±1
2

2

Vậy m = ±1 là giá trị cần tìm.

Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + (1 − 3m ) x 2 − 4mx − m + 2 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng
d : y = −2 x . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1.

Lời giải :

Phương trình hoành độ giao điểm
x3 + (1 − 3m ) x 2 − 4mx − m + 2 = −2 x ⇔ x 3 + (1 − 3m ) x 2 + ( 2 − 4m ) x − m + 2 = 0

/>(
)
/> /> /> /> /> x = −1
⇔ ( x + 1) x 2 − 3mx − m + 2 = 0 ⇔ 
2
 g ( x ) = x − 3mx − m + 2 = 0
Để ( C ) giao d tại 3 điễm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác −1


−2 + 2 19
−2 − 2 19
m

>
,
m
<
2

∆ > 0
9m + 4m − 8 > 0

9
9
⇔
⇔
⇔
( *)
g
−
1
≠
0
(
)
2
m
+
3
≠
0
3



m ≠ −

2
 x1 + x2 = 3m
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 ⇒ 
 x1 x2 = − m + 2
 x1 + x2 < 2
 x1 + x2 < 2
 x1 < 1
3m < 2
2
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔m<
3
 x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 > 0
− m + 2 − 3m + 1 > 0
 x2 < 1
( x1 − 1)( x1 − 1) > 0
3  3 2

Kết hợp với điều kiện (*) , vậy m ∈  −∞; −  ∪  − ; 
2  2 3


Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − ( 2m + 1) x 2 + ( m 2 + 3m ) x − m 2 ( C ) và đường thẳng

/> />(
)
(
)
/> />(
)
/> />d : y = − x + m . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn

x13 + x23 + x33 = 10 .

Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
x3 − ( 2m + 1) x 2 + m 2 + 3m x − m 2 = − x + m ⇔ x3 − ( 2m + 1) x 2 + m2 + 3m + 1 x − m 2 − m = 0

x = 1
⇔ ( x − 1)  x 2 − ( 2m + 1) x + m 2 + m  = 0 ⇔ 
2
2
 g ( x ) = x − ( 2m + 1) x + m + m = 0
Để ( C ) giao d tại 3 điễm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

( 2m + 1) − 4 m 2 + m > 0
∆ > 0
1 > 0
⇔
⇔
⇔
⇔ m ≠ {1; 0}
 g (1) ≠ 0
m ≠ 0, m ≠ 1
m 2 − m ≠ 0
2

2m + 1 + 1

= m +1
x =
2
Ta có: g ( x ) = 0 ⇒ 
 x = 2m + 1 − 1 = m

2
Giả sử x1 = 1, x2 = m, x3 = m + 1 ta có

/>(
)
/> /> />Khi đó 1 + m3 + ( m + 1) = 10 ⇔ 2m3 + 3m2 + 3m − 8 = 0 ⇔ ( m − 1) 2m 2 + 5m + 8 = 0 ⇔ m = 1
3

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − ( m + 1) x 2 + 2mx + 1 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng
d : y = − x + 1 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điễm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1 .

Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
x3 − ( x + 1) x 2 + 2mx + 1 = − x + 1 ⇔ x3 − ( m + 1) x 2 + ( 2m + 1) x = 0

x = 0
⇔ x  x 2 − ( m + 1) x + 2m + 1 = 0 ⇔ 
2
 g ( x ) = x − ( m + 1) x + 2m + 1 = 0
Để ( C ) giao d tại 3 điễm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

/> /> /> /> />(
)
/> m > 3 + 2 3, m < 3 − 2 3
m 2 − 6m − 3 > 0
( m + 1)2 − 4 ( 2m + 1) > 0
∆ > 0


⇔
⇔
⇔
⇔
( *)
1
1
m

≠
−
m
≠
−
 g ( 0 ) ≠ 0
2m + 1 ≠ 0



2

2
 x1 + x2 = m + 1
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 ⇒ 
 x1 x2 = 2m + 1
 x1 < 1
m + 1 < 2
 x1 + x2 < 2
 x1 + x2 < 2
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔ −1 < m < 1
( x1 − 1)( x2 − 1) > 0
 x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 > 0
2m + 1 − m − 1 + 1 > 0
 x2 < 1
1  1



Kết hợp với điều kiện (*) , vậy m ∈  −1; −  ∪  − ;3 − 2 3 
2  2



Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số: y = ( x − 1) x 2 + mx + 1

(C ) .

a) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất.

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

b) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoã mãn

/>(
)
/> /> /> /> />(
)
x12 + x22 + x32 = 10 .

Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: ( x − 1) x 2 + mx + 1 = 0

x = 1
⇔
(1)
2
g
x
=
x
+
mx
+
1
=
0
(
)

Đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất ⇔ (1) có nghiệm duy nhất là x = 1 .
TH1: PT : g ( x ) = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ g ( x ) = m 2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2 .

∆ g ( x ) = 0
m2 − 4 = 0
TH2: PT : g ( x ) = 0 có nghiệm kép x = 1 ⇔ 
⇔
⇔ m = −2 .
m + 2 = 0

 g (1) = 0
Kết luận: Vậy −2 ≤ m < 2 là giá trị cần tìm.
b) ) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: ( x − 1) x 2 + mx + 1 = 0

 x3 = 1
⇔
(1)
2
 g ( x ) = x + mx + 1 = 0
Đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm

/> /> /> />2
∆
m2 > 4
 = m −4 > 0
phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1 ⇔ 
.
⇔
m + 2 ≠ 0
 g (1) ≠ 0

 x1 + x2 = −m
Khi đó cho x3 = 1 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0 . Theo định lý Viet ta có: 
.
 x1 x2 = 1
Theo đề bài ta có:
x12 + x22 + x32 = 10 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 9 ⇔ m 2 − 2 = 9 ⇔ m 2 = 11 ⇔ m = ± 11 ( tm )
2

Vậy m = ± 11 là giá trị cần tìm.

Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số: y = ( x − 2 ) ( 2 x 2 + 2mx − m − 1) ( C ) .
a) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt.

/> />(
)
/> /> /> />b) Tìm m đề đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoã mãn :
A = x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 = 8

Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: ( x − 2 ) 2 x 2 + 2mx − m − 1 = 0 .

 x = 2
⇔
(1)
2
 g ( x ) = 2 x + 2mx − m − 1 = 0
Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt.

2
∆
 ' = m + 2 ( m + 1) = 0
TH1: g ( x ) = 0 có 1 nghiệm duy nhất và nghiệm đó khác 2 ⇔ 
( vn ) .
g
2
≠
0
(
)


2
∆
 ' = m + 2 ( m + 1) > 0
TH2: g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và 1 trong 2 nghiệm bằng 2 ⇔ 
 g ( 2 ) = 8 + 4m − m − 1 = 0
−7
⇔m=
là giá trị cần tìm.
3
b) Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

2
∆
 ' = m + 2 ( m + 1) > 0
⇔
(*) . Khi đó gọi x3 = 2 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0 .
 g ( 2 ) = 7 + 3m ≠ 0
 x1 + x2 = − m


Theo Viet ta có : 
−m − 1
 x1 x2 = 2

/> /> /> /> /> />Theo bài ra ta có: A = x12 + x22 + 4 + 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) + 4 = 8 ⇔ m 2 + 4 = 8 ⇔ m = ±2 ( tm ) .
2

Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm.

Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số : y = x3 − mx + m − 1 ( C ) . Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoã mãn: A =

1 1 1
+ + = 2.
x1 x2 x3

Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là : x3 − mx + m − 1 = 0

 x3 = 1
⇔ x3 − 1 − m ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + x + 1 − m ) = 0 ⇔ 
(1)
2
g
x
=
x
+
x
+

1
−
m
=
0
(
)

Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt

/> /> /> />∆ = 1 − 4 (1 − m ) = 4m − 3 > 0
⇔
( *) .
 g (1) = 3 − m ≠ 0
Khi đó Khi đó gọi x3 = 1 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0

 x1 + x2 = −1
1 1
x +x
−1
Theo Viet ta có: 
. Do vậy A = + + 1 = 1 2 + 1 =
+ 1 = 2 ⇔ m = 2 ( tm )
x1 x2
x1 x2
1− m
 x1 x2 = 1 − m
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Câu 11: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + mx + m + 1 ( C ) . Tìm m để đồ thì ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm

phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoả mãn A = x1 x2 x3 ( x12 + x22 + x32 ) = 4.

/>(
)
/> /> /> /> />Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là x3 + mx + m + 1 = 0

 x3 = −1
⇔ x 3 + 1 + m ( x + 1) = 0 ⇔ ( x + 1) x 2 − x + 1 + m = 0 ⇔ 
2
 g ( x) = x − x +1+ m = 0
Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt

(1)

∆ = 1 − 4 (1 + m ) = −4m − 3 > 0
⇔
( *) .
 g ( −1) = 3 + m ≠ 0
Khi đó Khi đó gọi x3 = −1 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0

 x1 + x2 = 1
Theo Vi-et ta có: 
. Do vậy
 x1 x2 = 1 + m
2
A = − (1 + m ) ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + 1 = − (1 + m )  2 − 2 (1 + m ) 



 m = 1 ( loai )
A = 2m (1 + m ) = 4 ⇔ m2 + m − 2 = 0 ⇔ 
 m = −2
Vậy m = −2 là giá trị cần tìm.

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Câu 12: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + x , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng

/> /> />(
)
/> /> />d : y = − mx + m − 1 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A (1; −1) , B, C sao cho

xB2 + 4 xC = 4

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm
x3 − 3 x 2 + x = − mx + m + 1 ⇔ x 3 − 3 x 2 + ( m + 1) x − m + 1 = 0

x = 1
⇔ ( x − 1) x 2 − 2 x + m − 1 = 0 ⇔ 

2
 g ( x) = x − 2x + m −1 = 0
Để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

1 − m + 1 > 0
m > 2
∆ ' > 0
⇔
⇔
⇔
⇔m>2
m − 2 ≠ 0
m ≠ 0
 g (1) ≠ 0
Gọi xB , xC là hoành độ điểm B, C thì xB , xC là 2 nghiệm của phương trình

 xB + xC = 2
g ( x) = 0 ⇒ 
 xB xC = m − 1

Ta có: xB2 + 4 xC = 4 ⇔ xB2 + 4 ( 2 − xB ) = 4 ⇔ xB2 − 4 xB + 4 = 0 ⇔ ( xB − 2 ) = 0 ⇔ xB = 2 ⇒ xC = 0
2

/> /> /> />⇒ xB .xC = 0 ⇒ m − 1 = 0 ⇔ m = 1
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Câu 13: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − ( 2m + 2 ) x 2 + ( 3m + 2 ) x − m − 1 , có đồ thì là ( C ) . Tìm m

để ( C ) giao trục hoành tại 3 điễm phân biệt A, B, C (trong đó điểm A có hoành độ ko đổi) sao cho
hoành độ điểm hai điễm B, C là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng

Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm
x3 − ( 2m + 2 ) x 2 + ( 3m + 2 ) x − m − 1 = 0 ⇔ ( x − 1)  x 2 − ( 2m + 1) x + m + 1 = 0

5

x = 1
⇔
2
 g ( x ) = x − ( 2m + 1) x + m + 1 = 0
Để ( C ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì PT g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

/> /> /> /> /> />2
∆ > 0
4m 2 − 3 > 0
( 2m + 1) − 4 ( m + 1) > 0
⇔
⇔
⇔
 g (1) ≠ 0
1 − m ≠ 0
m ≠ 1
Gọi xB , xC là hoành độ điểm B, C thì xB , xC là 2 nghiệm của phương trình

 xB + xC = 2m + 1
g ( x) = 0 ⇒ 
 xB xC = m + 1
Từ giả thiết ta có
x + x = 5 ⇔ ( xB + xC )
2

B

2
C

Vậy m = 1, m = −

2

m = 1
− 2 xB xC = 5 ⇔ ( 2m + 1) − 2 ( m + 1) = 5 ⇔ 4m + 2m − 6 = 0 ⇔ 
m = − 3

2
2

2

3
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Câu 14: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 ( m 2 − 1) x 2 − ( 2m + 1) x + 3 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng

/> /> />(
)
(
)
/>(
)
(
)
/> />d : y = x + 3 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A ( 0;3) , B, C sao cho A là trung điểm

của BC .

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình

x3 − 3 m 2 − 1 x 2 − ( 2m + 1) x + 3 = x + 3 ⇔ x 3 − 3 m 2 − 1 x 2 − 2mx = 0

x = 0
⇔ x  x 2 − 3 m 2 − 1 x − 2m  = 0 ⇔  2
2
 x − 3 m − 1 x − 2m = 0

(1)

Với x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ A ( 0;3) ứng với đề bài đã cho.

Khi đó d và ( C ) cắt nhau tại A ( 0;3) , B, C phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
2
∆ = 9 ( m 2 − 1)2 + 8m > 0
2

9 ( m − 1) + 8m > 0
⇔
⇔
( *) .
2
2
0 − 3 ( m − 1) .0 − 2m ≠ 0
m ≠ 0

/> />(
)
/> />Do B, C ∈ d nên ta gọi B ( x1 ; x1 + 3) , C ( x2 ; x2 + 3) .

 x1 + x2 = 3 m2 − 1
Ta có x1 ; x2 là 2 nghiệm của (1). Theo Vi-et thì 
 x1 x2 = 2m

( 2)

 x1 + x2
 2 = x A = 0
Khi đó A là trung điểm của BC ⇔ 
⇔ x1 + x2 = 0.
x
+

3
+
x
+
3
(
)
(
)
1
2

= yA = 3

2

Kết hợp với (2) ta được 3 ( m 2 − 1) = 0 ⇔ m = ±1. Đối chiếu với (*) ta được m = 1 thỏa mãn.

/> /> /> /> />(
)
/>(
)
Đ/s: m = 1.

Câu 15: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 5 x 2 + 7 x − 2 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng d đi qua

A ( 2;0 ) có hệ số góc k . Tìm k để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A, B, C .

Lời giải:
Bài ra d đi qua A ( 2;0 ) và có hệ số góc k nên PT của d có dạng

d : y = k ( x − 2) + 0 ⇔ y = k ( x − 2) .

Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình

x3 − 5 x 2 + 7 x − 2 = k ( x − 2 ) ⇔ ( x − 2 ) x 2 − 3x + 1 − k ( x − 2 ) = 0

x = 2
⇔ ( x − 2 ) x 2 − 3x + 1 − k = 0 ⇔  2
 x − 3x + 1 − k = 0

(1)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Với x = 2 ⇒ y = 0 ⇒ A ( 2;0 ) ứng với đề bài đã cho.

/> /> /> /> /> />(
)
Khi đó d và ( C ) cắt nhau tại A ( 2; 0 ) , B, C phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2
9


 ∆ = 9 + 4k > 0
k > −
⇔ 2
⇔
4 ( *) .
2 − 3.2 + 1 − k ≠ 0
k ≠ −1

Câu 16: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + (1 − m ) x 2 + ( m − 1) x + 2m − 2 , có đồ thị là ( C ) và đường
thẳng d : y = 3 x + 2 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A ( −1; −1) , B, C sao cho B, C đối
xứng nhau qua đường thẳng x + 3 y − 2 = 0 .

Lời giải:
Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình

x3 + (1 − m ) x 2 + ( m − 1) x + 2m − 2 = 3 x + 2 ⇔ x3 + x 2 − 4 x − 4 − m x 2 − x − 2 = 0

 x = −1
⇔ ( x + 1)( x − 2 )( x + 2 ) − m ( x + 1)( x − 2 ) = 0 ⇔ ( x + 1)( x − 2 )( x + 2 − m ) = 0 ⇔  x = 2
 x = m − 2

/> /> /> />Với x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ A ( −1; −1) ứng với đề bài đã cho.

m − 2 ≠ 2
m ≠ 4
Khi đó d và ( C ) cắt nhau tại A ( −1; −1) , B, C phân biệt ⇔ 
⇔
( *) .
 m − 2 ≠ −1  m ≠ 1

Do vai trò của B, C là như nhau nên ta có thể giả sử xB = 2; xC = m − 2.

 yB = 3.2 + 2 = 8
 B ( 2;8 )
Mà B, C ∈ d ⇒ 
⇒
 yC = 3 ( m − 2 ) + 2 = 3m − 4 C ( m − 2;3m − 4 )

Gọi M là giao điểm của BC và d ' : x + 3 y − 2 = 0.

/> /> /> /> /> />2

x=−

 y = 3x + 2
3 x − y = −2

 2 4
5
Tọa độ M là nghiệm của hệ 
⇔
⇔
⇒ M  − ; .
 5 5
x + 3y − 2 = 0
x + 3y = 2
y = 4

5
Rõ ràng d ⊥ d ' nên khi đó B, C đối xứng nhau qua d ' ⇔ M là trung điểm của BC

2
4
2 + m − 2

 xB + xC
=
−
m
=
−
=
x
M
 2
4


2
5
5
⇔
⇔
⇔
⇔ m = − . Đã thỏa mãn (*).
5
 yB + yC = y
 8 + 3m − 4 = 4
m = − 4
M

 2


2
5
5


4
Đ/s: m = − .
5

Câu 17: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + x 2 + 3 ( m − 2 ) x + 9m , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng

d : y = x + 3 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A, B, C , trong đó A là điểm cố định và

độ dài BC = 2 10 .
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

/> />(
)
(

)
/> /> /> />Lời giải:
Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình

x3 + x 2 + 3 ( m − 2 ) x + 9m = x + 3 ⇔ x3 + x 2 − 7 x − 3 + 3m ( x + 3) = 0

 x = −3
⇔ ( x + 3) x 2 − 2 x − 1 + 3m ( x + 3) = 0 ⇔ ( x + 3) x 2 − 2 x + 3m − 1 = 0 ⇔  2
 x − 2 x + 3m − 1 = 0

(1)

Với x = −3 ⇒ y = 0. Bài ra A là điểm cố định ⇒ A ( −3; 0 ) .

Khi đó d và ( C ) cắt nhau tại A, B, C phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác −3
2

∆ ' = 1 − ( 3m − 1) > 0
m < 3
⇔
⇔
( *) .
2
( −3) − 2. ( −3) + 3m − 1 ≠ 0
m ≠ − 14

3

Do B, C ∈ d nên ta gọi B ( x1 ; x1 + 3) , C ( x2 ; x2 + 3) ⇒ BC = ( x2 − x1 ; x2 − x1 )

⇒ BC 2 = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = 2 ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2 .

/> />( )
/> />2

2

2

 x1 + x2 = 2
Ta có x1 ; x2 là 2 nghiệm của (1). Theo Vi-et thì 
⇒ BC 2 = 2.22 − 8 ( 3m − 1) = 16 − 24m.
x
x
=
3
m
−
1
 1 2
Bài ra BC = 2 10 ⇒ 16 − 24m = 2 10

2

= 40 ⇔ m = −1. Đã thỏa mãn (*).

Đ/s: m = −1 là giá trị cần tìm.

Câu 18: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + ( 4 − m ) x 2 + ( 3 − 5m ) x − 4m + 1 , có đồ thị là ( C ) và đường

thẳng d : y = x − 7 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A ( −4; −11) , B, C sao cho diện tích
tam giác OBC bằng

21
.
2

/> />(
)
(
)
(
)
/> /> /> />Lời giải:
Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình

x 3 + ( 4 − m ) x 2 + ( 3 − 5m ) x − 4 m + 1 = x − 7 ⇔ x 3 + 4 x 2 + 2 x + 8 − m x 2 + 5 x + 4 = 0

 x = −4
⇔ ( x + 4 ) x 2 + 2 − m ( x + 4 )( x + 1) = 0 ⇔ ( x + 4 ) x 2 + 2 − mx − m = 0 ⇔  2
 x − mx + 2 − m = 0

(1)

Với x = −4 ⇒ y = −11 ⇒ A ( −4; −11) ứng với đề bài đã cho.

Khi đó d và ( C ) cắt nhau tại A ( −4; −11) , B, C phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác −4

∆ = m 2 − 4 ( 2 − m ) > 0
 m 2 + 4m − 8 > 0

⇔
⇔
( *) .

2
m ≠ −6
( −4 ) − m. ( −4 ) + 2 − m ≠ 0

Do B, C ∈ d nên ta gọi B ( x1 ; x1 − 7 ) , C ( x2 ; x2 − 7 ) ⇒ BC = ( x2 − x1 ; x2 − x1 )

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

⇒ BC 2 = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = 2 ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2 .

/> /> /> /> />(
)
/>2

Ta

có

x1 ; x2

2

là

2

2

nghiệm

của

(1).

Theo

Viet

thì

 x1 + x2 = m
⇒ BC 2 = 2m 2 − 8 ( 2 − m ) = 2m 2 + 8m − 16.

x
x
=
2
−

m
 1 2

Bài ra có S∆OBC =

0 − 0 − 7 7 BC 21
1
1
BC.d ( O; d ) = BC.
=
= ⇒ BC 2 = 18.
2
2
2
1+1
2 2

Do đó 2m2 + 8m − 16 = 18 ⇔ m = −2 ± 21. Đã thỏa mãn (*).

Đ/s: m = −2 ± 21 là giá trị cần tìm.

Câu 19: [ĐVH]. Cho hàm số: y = ( x − 2 ) x 2 + mx − 1

( C ) . Tìm m đề đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3

điểm phân biệt A; B; C ( 2; 0 ) sao cho độ dài AB = 5

Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: ( x − 2 ) ( x 2 + mx − 1) = 0 .

/> /> /> /> x = 2 ⇒ C ( 2; 0 )
⇔
(1)
2
 g ( x ) = x + mx − 1 = 0
Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt
2
∆
 =m +4>0
⇔
(*) . Khi đó gọi x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0 .
 g ( 2 ) = 3 + 2m ≠ 0
 x1 + x2 = −m
Theo Vi-et ta có : 
 x1 x2 = −1

Khi đó : A ( x1 ;0 ) ; B ( x2 ; 0 ) ta có: AB 2 = ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = m 2 + 4 = 5 ⇔ m = ±1 ( tm )
2

2

Vậy m = ±1 là giá trị cần tìm.

/> />( )
/>(
)
(
)
/> /> />Câu 20: [ĐVH]. Cho hàm số : y = x3 − x ( C ) và đường thẳng d : y = m ( x − 1) . Tìm m để đồ thị

( C ) cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt

 1

A; B; C (1; 0 ) sao cho điểm M  − ; −9  là trung điểm
 2


của đoạn AB.

Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d là: x x 2 − 1 − m ( x − 1) = 0

 x = 1
⇔ ( x − 1) x 2 + x − m ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1) x 2 + x − m = 0 ⇔ 
2
 g ( x ) = x + x − m = 0
Đồ thị ( C ) cắt d tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân
4m + 1 > 0
∆ = 1 + 4m > 0
biệt và 2 nghiệm đó khác 1 ⇔ 
⇔
( *) .
2 − m ≠ 0
 g (1) ≠ 0

 x1 + x2 = −1
.
Khi đó gọi x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0 . Theo định lý Vi-et ta có: 
 x1 x2 = −m

Ta có: A ( x1 ; m ( x1 − 1) ) ; B ( x2 ; m ( x1 − 1) ) , trung điểm của AB

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

/> /> /> /> /> />(
)
x1 + x2 −1

 xM = 2 = 2
là 
 y = m ( x1 − 1) + m ( x2 − 1) = m ( x1 + x2 ) − 2m = −3m
 M
2
2
2
−3m
 1 
Theo bài ra M  − ; 0  nên
= −9 ⇔ m = 6 ( tm ) .
2
 2 
Vậy m = 6 là giá trị cần tìm.

Câu 21: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 + ( m + 2 ) x − m ( C ) và đường thẳng d : y = 2 x + 1 . Tìm m để
đồ thị ( C ) cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt có tung độ y1 ; y2 ; y3 thoã mãn
A = y12 + y22 + y32 = 11 .

Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d là: x3 + mx − m − 1 = 0

 x3 = 1 ⇒ y3 = 3
⇔ ( x − 1) x 2 + x + 1 − m = 0 ⇔ 
(1)
2
g
x
=
x
+
x
+
1
−
m
=
0
(
)

Đồ thị ( C ) cắt d tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân

/> /> />(

)
/>∆ = 1 − 4 (1 − m ) > 0
4m − 3 > 0
biệt và 2 nghiệm đó khác 1 ⇔ 
⇔
( *) .
3
−
m
≠
0
g
1
≠
0
(
)


Khi đó cho x3 = 1; y3 = 3 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0 . Theo định lý Viet ta có:

 x1 + x2 = −1
.

x
x
=
1
−
m

 1 2

Theo đề bài ta có: A = y12 + y22 + y32 = ( 2 x1 + 1) + ( 2 x2 + 1) + 9 = 4 x12 + x22 + 4 ( x1 + x2 ) + 11 .
2

2

2
A = 4 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  + 4 ( x1 + x2 ) + 11 = 4 1 − 2 (1 − m )  − 4 + 11 = 8m + 3 = 11 ⇔ m = 1 ( tm )


Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Câu 22: [ĐVH]. Cho hàm số : y = x3 + mx − 4 ( C ) và đường thẳng d : y = 2mx + 4 . Tìm m để d

/> /> />(
)
(
)
/> /> /> 2 
cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt A,B,C sao cho trọng tâm tam giác OAB là G  − ;8  trong đó C là
 3 
điểm có hoành độ xC = 2 và O là gốc toạ độ.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và d là : x3 + mx − 2mx − 8 = 0

 x = 2 ⇒ C ( 2; 4m + 4 )
⇔ ( x − 2) x2 + 2 x + 4 + m ( x − 2) = 0 ⇔ ( x − 2) x2 + 2 x + 4 + m = 0 ⇔ 
(1)
2

 g ( x ) = x + 2 x + 4 + m = 0

Để đồ thị ( C ) cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt
∆ ' = 1 − 4 − m = − m − 3 > 0
⇔
( *) .
 g ( 2 ) = 12 + m ≠ 0

 x1 + x2 = −2
.
Khi đó gọi x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0 . Theo Viet ta có: 
 x1 x2 = 4 + m

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên