Đề cương toán 12 học kì 2 đại số ( có file word)

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
«»«»«»
CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM
I. CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN.
Dạng 1: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) .
VD1: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 3 x .
B.  cos 3xdx =

A.  cos 3 xdx = 3sin 3 x + C

sin 3x
+C
3

sin 3x
+C
D.  cos 3 xdx = sin 3 x + C
3
………………………………………………………………………………………………………………..
1
VD2: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
.
5x − 2
dx
1
dx
1
= ln 5 x − 2 + C
= − ( ln 5 x − 2 ) + C
A. 
B. 

5x − 2 5
5x − 2
2
dx
dx
= 5ln 5 x − 2 + C
= ln 5 x − 2 + C
C. 
D. 
5x − 2
5x − 2
………………………………………………………………………………………………………………..
VD3: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 7 x .
C.  cos 3xdx = −

7x
+C
ln 7
7 x +1
+C
C.  7 x dx = 7 x +1 + C
D.  7 x dx =
x +1
………………………………………………………………………………………………………………..
x
VD4: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
là
5
(1 + x )
A.  7 x dx = 7 x ln 7 + C

A. F ( x ) = −
C. F ( x ) =

1
3 ( x + 1)
1

3 ( x + 1)

3

3

−

B.  7 x dx =

B. F ( x ) =

+C
1
4 ( x + 1)

4

+C

D. F ( x ) =

1
4 ( x + 1)

4

1
4 ( x + 1)

4

+C
−

1
3 ( x + 1)

3

+C

………………………………………………………………………………………………………………..
VD5: Nguyên hàm của hàm số x.ln x là

x 2 .ln x x 2
x 2 .ln x x 2
x2
x 2 .ln x
− +C
+ +C
+C

+C
B.
C.
D.
2
4
2
4
4
2
………………………………………………………………………………………………………………..
1
VD6: Nguyên hàm của hàm số y = x 2 − 3x + là
x
3
2
3
2
x 3x
x 3x
1
x3 3x 2
x3 3x 2
−
− ln x + C .B.
−
+ 2 + C . C.
−
+ ln x + C . D.
−

+ ln x + C .
A.
3
2
3
2
x
3
2
3
2
………………………………………………………………………………………………………………..
x2 − x + 1
VD7: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
.
x −1
1
x2
1
+C .
+ ln x −1 + C .
A. x +
B. 1 +
.
C.
D. x 2 + ln x − 1 + C .
+
C
2
x −1

2
( x − 1)
A.

………………………………………………………………………………………………………………..
Phan Anh Duy – Y18
1


VD8: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x 2 + 1 là

x3
A. x + C .
B.
C. 6x + C .
D. x3 + x + C .
+ x+C.
3
………………………………………………………………………………………………………………..
VD9: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x là
3

3x
3x +1
C.
D. 3x +1 + C .
+C .
+C.
ln 3
x +1

………………………………………………………………………………………………………………..
1 1
VD10: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 7 x 6 + + 2 − 2 là
x x
1
1
A. x 7 + ln x − − 2 x .
B. x 7 + ln x + − 2 x + C .
x
x
1
1
C. x 7 + ln x + − 2 x + C .
D. x 7 + ln x − − 2 x + C
x
x
………………………………………………………………………………………………………………..
Dạng 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện ràng buộc.
 
VD1: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin x + cos x thỏa mãn F   = 2 .
2
A. F ( x ) = cos x − sin x + 3
B. F ( x ) = − cos x + sin x + 3
A. 3x.ln 3 + C .

B.

C. F ( x ) = − cos x + sin x − 1

D. F ( x ) = − cos x + sin x + 1

………………………………………………………………………………………………………………..
VD2: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ' ( x ) = 3 − 5sin x và f ( 0 ) = 10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f ( x ) = 3x + 5cos x + 5

B. f ( x ) = 3x + 5cos x + 2

C. f ( x ) = 3x − 5cos x + 2

D. f ( x ) = 3x − 5cos x + 15

………………………………………………………………………………………………………………..
VD3: Cho F ( x ) = x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ' ( x ) e 2 x ?

 f '( x) e
C.  f ' ( x ) e
A.

2x

2x

= − x2 + 2x + C
= 2x2 − 2x + C

 f '( x) e
D.  f ' ( x ) e
B.

2x

= − x2 + x + C

2x

= −2 x 2 + 2 x + C

………………………………………………………………………………………………………………..
VD4: Cho F ( x ) = ( x − 1) e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số
f ' ( x ) e2 x .

 f '( x) e
C.  f ' ( x ) e
A.

2x

dx = ( 4 − 2 x )e x + C

2x

dx = ( 2 − x ) e x + C

2− x x
e +C
2
2x
dx = ( x − 2 ) e x + C

 f '( x) e

D.  f ' ( x )e
B.

2x

dx =

………………………………………………………………………………………………………………..
1
VD5: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) =
và F ( 0 ) = 2 thì F (1) bằng.
x +1
A. ln 2 .
B. 2 + ln 2 .
C. 3 .
D. 4 .
………………………………………………………………………………………………………………..
1
 e −1  3
VD6: Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
, biết F 
 = là:
2x +1
 2  2
1
A. F ( x ) = 2 ln 2 x + 1 − .
B. F ( x ) = 2 ln 2 x + 1 + 1 .
2
Phan Anh Duy – Y18
2

1
1
ln 2 x + 1 + 1 .
D. F ( x ) = ln 2 x + 1 + .
2
2
………………………………………………………………………………………………………………..
1
VD7: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
và F ( 2 ) = 1 . Tính F ( 3) .
x −1
1
7
A. F ( 3) = ln 2 − 1 .
B. F ( 3) = ln 2 + 1 .
C. F ( 3) = .
D. F ( 3) = .
2
4
………………………………………………………………………………………………………………..
Dạng 3: Chứng minh F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x ) trên D  .
C. F ( x ) =

VD1: Cho F ( x ) = ln ( ln ( ln x ) ) . Hỏi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A. f ( x ) =

1
1

1
1
B. f ( x ) =
C. f ( x ) =
D. f ( x ) =
x.ln ( ln x )
ln x.ln ( ln x )
x.ln x.ln ( ln x )
ln ( ln ( ln x ) )

………………………………………………………………………………………………………………..
1
x −3 1
+ . Hỏi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
VD2: Cho F ( x ) = .ln
6
x + 3 12
1
1
1
x
1
x
+
+
A. f ( x ) = 2
B. f ( x ) =
C. f ( x ) = 2
D. f ( x ) = 2
x −9

x −9
x − 9 12
x + 9 12
………………………………………………………………………………………………………………..
VD3: Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F ( x ) = ln x ?

x3
1
B. f ( x ) = .
C. f ( x ) = .
D. f ( x ) = x .
2
x
………………………………………………………………………………………………………………..
A. f ( x ) = x.

VD4: Hàm số F ( x ) = e x là một nguyên hàm của hàm số:
3

3

3
ex
A. f ( x ) = e .
B. f ( x ) = 3 x .e .
C. f ( x ) = 2 .
D. f ( x ) = x 3 .e x −1 .
3x
………………………………………………………………………………………………………………..
Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) .

x3

Tìm

VD1:

a,

2

b,

c,

d

để

x3

F ( x ) = ( ax 3 + bx 2 + cx + d ) e x

là

một

nguyên

hàm

của

f ( x ) = ( 2 x3 + 9 x 2 − 2 x + 5) e x .
A. a = 3; b = 3; c = −7; d = 13
B. a = 2; b = 3; c = −8; d = 13
C. a = −2; b = 3; c = −8; d = 13
D. a = 3; b = 3; c = −8; d = 15
………………………………………………………………………………………………………………..
VD2: Cho hai hàm số F ( x ) = ( x 2 + ax + b ) e − x và f ( x ) = ( − x 2 + 3x + 6 ) e − x . Tìm a và b để F ( x ) là một
nguyên hàm của hàm số f ( x ) .
A. a = 1 , b = −7 .
B. a = −1 , b = −7 .
C. a = −1 , b = 7 .
D. a = 1 , b = 7 .
………………………………………………………………………………………………………………..
II.
CÁC NGUYÊN HÀM ĐẶC BIỆT.
Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích, thương:
1
VD1: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
là:
1 + ex
A.
C.

 f ( x ) dx = x − ln ( e

 f ( x ) dx =

x

+ 1) + C

B.

 f ( x ) dx = ln ( e

+C

D.

 f ( x ) dx = x ln ( e

ln ( e x + 1)
x

x

+ 1) + C
x

+ 1) + C

Phan Anh Duy – Y18
3


………………………………………………………………………………………………………………..
1 + ex ) − ex

1 + ex ) '
(
(
1
ex
f ( x) =
=
= 1−
= x '−
= x '− ln ( e x + 1) '
1 + ex
1 + ex
1 + ex
1 + ex

(

(

)

)

= x − ln ( e x + 1) '   f ( x ) dx = x − ln ( e x + 1) + C

VD2: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

1

 f ( x ) dx = ln

3

+

1

( ln x )

2

1
+C
ln 2 x

−

1
là
ln x

B.

1

 f ( x ) dx = ln

−

3

1
+C
ln 2 x

x
x
x
−x
+C
+C
C.  f ( x ) dx =
D.  f ( x ) dx =
ln x
ln x
………………………………………………………………………………………………………………..
Ta có f ( x ) =

( ln x )

−x
1
1 − ln x ( − x ) '.ln x − ( − x ) . ( ln x ) '  − x 
−
=
=
=
   f ( x ) dx = ln x + C .
2

2
ln x ( ln x )
 ln x 
( ln x )
/

1
2

VD3: : Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x.ln ( ex 2 ) với x  0 .
A. F ( x ) = ex 2 .ln ( ex ) + C B. F ( x ) = x 2 .ln ( ex ) + C C. F ( x ) = x 2 .ln x + C D. F ( x ) = x ln x + C
………………………………………………………………………………………………………………..
1
f ( x ) = x. ( ln e + 2 ln x ) = x (1 + 2 ln x ) = x 2 . + ( 2 x ) ln x = x 2 . ( ln x ) '+ ( x 2 ) '.ln x
x

= ( x 2 ln x ) '  F ( x ) = x 2 .ln x + C

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ:
a/. Trường hợp phương trình Q ( x ) = 0 không có nghiệm phức và các nghiệm đều là nghiệm đơn.
VD1: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

4x − 3
là
x − 3x + 2
2

x −1
x −1
+C

+C
B. F ( x ) = 4 ln x − 2 − ln
x−2
x−2
x−2
x−2
+C
+C
C. F ( x ) = −4 ln x − 2 − ln
D. F ( x ) = 4 ln x − 2 − ln
x −1
x −1
………………………………………………………………………………………………………………..
4x − 3
5 
 −1
dx =  
+
Ta có  2
 dx = − ln x − 1 + 5.ln x − 2 + C
x − 3x + 2
 x −1 x − 2 
x−2
x −1
= 4.ln x − 2 + ln
+ C = 4.ln x − 2 − ln
+C
x −1
x−2
A. F ( x ) = 4 ln x − 2 + ln

b/. Trường hợp Q ( x ) = 0 không có nghiệm phức, nhưng có nghiệm thực là nghiệm bội.
VD2: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

2x

(1 − x )

3

A. F ( x ) =

2
1
+
+C
x − 1 ( x − 1)2

B. F ( x ) =

2
1
−
+C
x − 1 ( x − 1)2

C. F ( x ) =

1
1

+
+C
1 − x 4 (1 − x )4

D. F ( x ) =

1
1
−
+C
1 − x 4 (1 − x )4

………………………………………………………………………………………………………………..

Phan Anh Duy – Y18
4


Nhận thấy

2x

(1 − x )

3

x = 1 là nghiệm bội ba của phương trình

( x − 1)

3

= 0 , do đó ta biến đổi

A ( x 2 − 2 x + 1) + B (1 − x ) + C
Ax 2 + ( −2 A − B ) x + A + B + C
A
B
C
=
=
+
+
=
3
3
1 − x (1 − x )2 (1 − x )3
(1 − x )
(1 − x )

A = 0
A = 0


Từ đây ta có −2 A − B = 2   B = −2 .
A + B + C = 0
C = 2


TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ thực sự được đưa về các dạng nguyên

hàm sau:
A
A
A
1
dx = A.ln x − a + C k  1
1. 
2. 
dx = −
.
+C
k
x−a
k − 1 ( x − a )k −1
( x − a)
BÀI TẬP NGUYÊN HÀM – 01 (Nhận biết – Thông hiểu)
Câu 1: Cho f ( x ) , g ( x ) là các hàm số xác định và liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề
nào sai?
A.

B.  2 f ( x ) dx = 2  f ( x ) dx .
 f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx. g ( x ) dx .
C.   f ( x ) + g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . D.   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx .

Câu 2: Nếu

1

 f ( x ) dx = x + ln x + C

thì f ( x ) là

A. f ( x ) = x + ln x + C . B. f ( x ) =

x −1
1
1
C. f ( x ) = − 2 + ln x + C . D. f ( x ) = − x + + ln x + C
2
x
x
x

.

x3
+ e x + C thì f ( x ) bằng:

3
x4
2
x
A. f ( x ) = x + e .
B. f ( x ) = + e x .
C. f ( x ) = 3x 2 + e x .
3
Câu 4: Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 10x là
Câu 3: Nếu

f ( x ) dx =

x4
D. f ( x ) = + e x .
12

10 x +1
+ C.
A. F (1) = 1
B.
C. 10x ln10 + C.
x +1
Câu 5: Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2 x +3 là

1

2x +3

1

2x +3

A.

 f ( x ) dx = 3 e

C.

 f ( x ) dx = 2 e

10 x +1

+ C.
D.
11

+ C.

B.

 f ( x ) dx = e

+ C.

D.

 f ( x ) dx = 2e

Câu 6: Giả sử là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

2x + 3

+ C.

2x + 3

+ C.

1
trên khoảng F ( 2 ) = 4 . Mệnh đề nào sau
3x + 1

đây đúng?

1
A. F ( x ) = ln ( 3x + 1) + C
3
C. F ( x ) = ln 3 x + 1 + C
Câu 7: Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C thì

1
B. F ( x ) = ln ( −3x − 1) + C
3
D. F ( x ) = ln ( −3x − 1) + C

 f ( u ) du = F ( u ) + C .

B.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( G (1) =

3
là hằng số và k  0 ).
2

Phan Anh Duy – Y18
5


C. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ) .
D.

  f ( x ) + f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

1

2

1

2

Câu 8: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k  .
B.

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx với f ( x ) ; g ( x ) liên tục trên

(

.

)

1  +1

x với   −1 .
D.  f ( x ) dx = f ( x ) .
 +1
1
Câu 9: Nếu  f ( x ) dx = + ln 2 x + C với x  ( 0; + ) thì hàm số f ( x ) là
x
1 1
1

1
1
1
A. f ( x ) = − 2 + . B. f ( x ) = x + . C. f ( x ) = 2 + ln ( 2 x ) .
D. f ( x ) = − 2 + .
x
x
2x
x
x 2x
Câu 10: Mệnh đề nào dưới đây đúng?
32 x
9x
32 x
32 x +1
A.  32 x dx =
+ C . B.  32 x dx =
+ C . C.  32 x dx =
+ C . D.  32 x dx =
+C .
ln 3
ln 3
ln 9
2x +1
Câu 11: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + sin 2 x là
C.

x



dx =

1
1
A. x 2 − cos 2 x + C . B. x 2 + cos 2 x + C . C. x2 − 2cos 2 x + C .
2
2
Câu 12: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2018 x .
1

A.

 f ( x ) dx = 2018 .e

C.

 f ( x ) dx = 2018e

2018 x

2018 x

+C .

+C .

B.

 f ( x ) dx = e

D.

 f ( x ) dx = e

2018 x

2018 x

D. x2 + 2cos 2 x + C .

+C .
ln 2018 + C .

Câu 13: Hàm số F ( x ) = cos 3 x là nguyên hàm của hàm số:

sin 3x
.
B. f ( x ) = −3sin 3 x . C. f ( x ) = 3sin 3 x .
3
Câu 14: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 52 x .
A. f ( x ) =

D. f ( x ) = − sin 3 x .

52 x
25x
25x +1
+ C .B.  52 x dx =
+ C .C.  52 x dx = 2.52 x ln 5 + C .D.  52 x dx =

+C .
ln 5
2 ln 5
x +1
Câu 15: Tìm nguyên hàm I =  x cos xdx .
A.  52 x dx = 2.

x
x
A. I = x 2 s in + C . B. I = x sin x + cosx + C .C. I = x sin x − cosx + C .D. I = x 2 cos + C .
2
2
Câu 16: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 3 x là:
A.

1
cos 3x + C .
3

B. cos3x + C .

1
C. − cos 3 x + C .
3

ln x
.
x
1
f ( x ) dx = ln 2 x + C .C.

2

D. − cos3x + C .

Câu 17: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

 f ( x ) dx = ln

2

x + C .B.



 f ( x ) dx = ln x + C D.  f ( x ) dx = e

x

+C

Câu 18: Tính I =  3x dx .

3x
+C .
B. I = 3x ln 3 + C .
C. I = 3x + C .
ln 3
Câu 19: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x 3 − 9 là:
A. I =

D. I = 3x + ln 3 + C .

Phan Anh Duy – Y18
6


1 4
1
B. 4 x4 − 9 x + C .
C. x 4 + C .
D. 4 x3 − 9 x + C .
x − 9x + C .
2
4
Câu 20: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
x4 + C
1
A.  x3dx =
.
B.  dx = ln x + C . C.  sin xdx = C − cos x .D.  2e x dx = 2 ( e x + C ) .
4
x
Câu 21: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x2 + 8sin x .

A.

 f ( x ) dx = 6 x − 8cos x + C .
C.  f ( x ) dx = x − 8cos x + C .

 f ( x ) dx = 6 x + 8cos x + C .
D.  f ( x ) dx = x + 8cos x + C .

A.

B.

3

3

Câu 22: Cho hàm số f ( x ) xác định trên K và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K . Khẳng định
nào dưới đây đúng?
A. f  ( x ) = F ( x ) , x  K .
B. F  ( x ) = f ( x ) , x  K .
C. F ( x ) = f ( x ) , x  K .

D. F  ( x ) = f  ( x ) , x  K .

Câu 23: Biết rằng x3 + x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Hỏi đa thức 6 x −

1
là gì cuả hàm
4x x

số f ( x ) ?
A. Là hàm số f ( x )

B. Đạo hàm cấp 2

C. Đạo hàm cấp 1

D. Đạo hàm cấp 3

1
, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
x+2
A. Trên ( −2; + ) , nguyên hàm của hàm số f ( x ) là F ( x ) = ln ( x + 2 ) + C1 ; trên khoảng ( −; −2 ) ,

Câu 24: Cho f ( x ) =

nguyên hàm của hàm số f ( x ) là F ( x ) = ln ( − x − 2 ) + C2 ( C1 , C2 là các hằng số).
B. Trên khoảng ( −; −2 ) , một nguyên hàm của hàm số f ( x ) là G ( x ) = ln ( − x − 2 ) − 3 .
C. Trên ( −2; + ) , một nguyên hàm của hàm số f ( x ) là F ( x ) = ln ( x + 2 ) .
D. Nếu F ( x ) và G ( x ) là hai nguyên hàm của của f ( x ) thì chúng sai khác nhau một hằng số.
Câu 25: Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

 f ( x ) dx = x − ln x + 1 + 1 .
C.  f ( x ) dx = x − ln ( x + 1) .

x
.
x +1

A.

B.

 f ( x ) dx = ln x + 1 + x + 1 .

D. x + ln ( x + 1) .

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM – 02 (Nhận biết – Thông hiểu)
Câu 1: Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( 3x + 1) ?
5

A. F ( x )

( 3x + 1)
=

6

+ 8 . B. F ( x )
18
Câu 2: Khẳng định nào sau đây sai?

( 3x + 1)
=
18

6

− 2 . C. F ( x )

( 3x + 1)
=
18

6

. D. F ( x )

( 3x + 1)
=

6

6

.

1
x5
A.  0 dx = C .
B.  x dx = + C . C.  dx = ln x + C .
D.  e x dx = e x + C .
x
5
Câu 3: Khẳng định nào đây sai?
1
A.  cos x dx = − sin x + C . B.  dx = ln x + C . C.  2 x dx = x 2 + C . D.  e x dx = e x + C .
x
Câu 4: Khẳng định nào đây đúng?
1
A.  sin x dx = − cos x + C .
B.  sin x dx = sin 2 x + C .
2
4

C.  sin x dx = cos x + C .

D.  sin x dx = − sin x + C

Phan Anh Duy – Y18
7


Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x − sin 6 x
A.



f ( x ) dx =

x 2 cos 6 x
−
+C.
2
6

B.



f ( x ) dx =

x 2 sin 6 x
−
+C .

2
6

x 2 cos 6 x
x 2 sin 6 x
+
+
C
f
x
d
x
=
+
+C .
.
D.
(
)


2
6
2
6
Câu 6: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x + cos x + 2018 là
f ( x ) dx =

C.

A. F ( x ) = e x + sin x + 2018 x + C .

B. F ( x ) = e x − sin x + 2018 x + C .

C. F ( x ) = e x + sin x + 2018 x .

D. F ( x ) = e x + sin x + 2018 + C .

Câu 7: Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) là hàm số liên tục, có F ( x ) , G ( x ) lần lượt là nguyên hàm của f ( x )
, g ( x ) . Xét các mệnh đề sau:

( I ) . F ( x ) + G ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) + g ( x ) .
( II ) . k .F ( x ) là một nguyên hàm của k . f ( x ) với k  .
( III ) .

F ( x ) .G ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) .g ( x ) .

Các mệnh đề đúng là
A. ( II ) và ( III ) .

B. Cả 3 mệnh đề.

C. ( I ) và ( III ) .

D. ( I ) và ( II ) .

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục trên  a; b  và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào sai?
b

A.


a

a

f ( x ) dx = −  f ( x ) dx .

B.

b

a

C.

 kf ( x ) dx = 0 .

D.

a

b

b

a

a

 xf ( x ) dx = x  f ( x ) dx .
b

b

b

a

a

a

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .

Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x − 2 x + 1 là
2

1
A. F ( x ) = x3 − 2 + x + C .
B. F ( x ) = 2 x − 2 + C .
3
1
1
C. F ( x ) = x3 − x 2 + x + C .
D. F ( x ) = x3 − 2 x 2 + x + C .
3
3
Câu 10: Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .
B.   f ( x ) .g ( x )  dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx .
C.   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx .
D.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k  0;k  ) .
A.

Câu 11: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2018 , ( x  ) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A. F ( x ) = 2017.x

2018

+C ,

(C  ) .

C. F ( x ) = x 2019 + C , (C  ) .
Câu 12: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

− x4 + x2 + 3
+ C . B. −22 − 2x + C .
A.
3x
x

x 2019
+ C , (C  ) .
B. F ( x ) =
2019
D. F ( x ) = 2018.x 2017 + C , (C  ) .

1
1
− x 2 − là
2
x
3

C. −

x4 + x2 + 3
+C .
3x

− x3 1 x
− − +C .
D.
3 x 3

Phan Anh Duy – Y18
8


Câu 13: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?



x n+1
+ C ( C là hằng số;
B.  x dx =
n +1



x
x
D. e dx = e − C ( C là hằng số).

A. dx = x + 2C ( C là hằng số).
C. 0dx = C ( C là hằng số).
Câu 14: Cho

n

1

 f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C .
C.  f ( ax + b ) dx = F ( ax + b ) + C .

).



 f ( x ) dx = F ( x ) + C . Khi đó với a  0 , a , b

A.

n

là hằng số ta có

 f ( ax + b ) dx bằng

1

 f ( ax + b ) dx = a + b F ( ax + b ) + C .
D.  f ( ax + b ) dx = aF ( ax + b ) + C .
B.

Câu 15: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f  ( x ) = x + sin x và f ( 0 ) = 1 . Tìm f ( x ) .

x2
− cos x + 2 .
A. f ( x ) =
2
x2
f
x
=
+ cos x .
(
)
C.
2

x2
− cos x − 2 .
B. f ( x ) =
2
x2
1

f
x
=
+ cos x + .
(
)
D.
2
2

Câu 16: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2018 x .
cos 2018 x
cos 2018 x
cos 2018 x
A.
B. −
+C.
+ C . C. −
+C .
2018
2019
2018
Câu 17: Mệnh đề nào dưới đây là sai?

D. 2018cos 2018x + C .

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx với mọi hàm f ( x ) , g ( x ) liên tục trên
B.   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx với mọi hàm f ( x ) , g ( x ) liên tục trên
C.   f ( x ) g ( x )  dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx với mọi hàm f ( x ) , g ( x ) liên tục trên .
D.  f  ( x ) dx = f ( x ) + C với mọi hàm f ( x ) có đạo hàm trên .

Câu 18: Họ nguyên hàm  x. x + 1dx bằng
A.

3

A.

1 3 2
. ( x + 1) + C.
8

B.

.
.

2

3 3 2
. ( x + 1) + C.
8

C.

3 3 2
. ( x + 1) 4 + C.
8

D.

A. F ( x ) = 3 x − tan x + C .

1
là
sin 2 x
B. F ( x ) = 3 x + tan x + C .

C. F ( x ) = 3 x + cot x + C .

D. F ( x ) = 3 x − cot x + C .

Câu 19: Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 3 −

1 3 2
. ( x + 1) 4 + C.
8

Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2 x .

1
B.  cos 2 xdx = − sin 2 x + C .
2
1
C.  cos 2 xdx = sin 2 x + C .
D.  cos 2 xdx = sin 2 x + C .
2
1
Câu 21: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3cos x + 2 trên ( 0; +  ) .
x
1

1
1
A. −3sin x + + C .
B. 3sin x − + C .
C. 3cos x + + C .
D. 3cos x + ln x + C .
x
x
x
Câu 22: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e.x e + 4 là
A.  cos 2 xdx = 2sin 2 x + C .

Phan Anh Duy – Y18
9


2

A. 101376 .

B. e .x

e−1

+C .

Câu 23: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

 f ( x ) dx = −2 ln 1 − 2 x + C .

C.

 f ( x ) dx = − 2 ln 1 − 2 x + C .

x e +1
C.
+ 4x + C .
e +1

1
là
1− 2x

1

Câu 24: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) =
A. ln 2 .

B. 2 + ln 2 .

Câu 25: Tất cả nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

1
ln ( 2 x + 3) + C .
2

B.

e.x e +1
D.
+ 4x + C .
e +1

B.

 f ( x ) dx = 2 ln 1 − 2 x + C .

D.

 f ( x ) dx = ln 1 − 2 x + C .

1
và F ( 0 ) = 2 thì F (1) bằng.
x +1
C. 3 .
D. 4 .

1
là
2x + 3

1
ln 2 x + 3 + C .
2

C. ln 2 x + 3 + C .

D.

1
ln 2 x + 3 + C .
ln 2

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM – 03 (Thông hiểu)
Câu 1: Tìm nguyên hàm I =  ( 2 x − 1) e − x dx .

A. I = − ( 2 x + 1) e − x + C B. I = − ( 2 x − 1) e − x + C C. I = − ( 2 x + 3) e − x + C D. I = − ( 2 x − 3) e − x + C

Câu 2: Tìm nguyên hàm I =  x ln ( 2 x − 1) dx .

x ( x + 1)
4 x2 −1
ln 2 x − 1 +
+C
8
4
x ( x + 1)
4 x2 −1
ln 2 x − 1 −
+C
C. I =
8
4
A. I =

x ( x + 1)
4x2 + 1
ln 2 x − 1 +

+C
8
4
x ( x + 1)
4 x2 + 1
ln 2 x − 1 −
+C
D. I =
8
4
B. I =

Câu 3: Tìm nguyên hàm I =  ( x − 1) sin 2 x.dx
A. I =

(1 − 2 x ) cos 2 x + sin 2 x + C

B. I =

( 2 − 2 x ) cos 2 x + sin 2 x + C

2
2
(1 − 2 x ) cos 2 x + sin 2 x + C
( 2 − 2 x ) cos 2 x + sin 2 x + C
C. I =
D. I =
4
4
Câu 4: Cho f ( x ) , g ( x ) là các hàm số liên tục trên . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A.  k . f ( x ) dx = k . f ( x ) dx với k là hằng số

  f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx
C.   f ( x ) .g ( x )  dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx
D.   f ( x ) + g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx
B.

Câu 5: Nguyên hàm của hàm số f = e−2017 x là:
A.

1 −2017 x
e
+C
2017

B. e−2017x + C

C. −2017.e−2017 x + C

Câu 6: Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =

D.

−1 −2017 x
e
+C
2017

4

 
biết F   = 3 .
2
cos 3 x
9

4
3
4
3
4
3
tan 3x −
B. F ( x ) = 4 tan 3 x − 3 3 C. F ( x ) = tan 3x +
D. F ( x ) = − tan 3x −
3
3
3
3
3
3

Phan Anh Duy – Y18
10


Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x x .
2

2

x +C

B.

 f ( x ) dx = 5 x

1

2

x +C

D.

 f ( x ) dx = 2

A.

 f ( x ) dx = 5 x

C.

 f ( x ) dx = 2 x

2

3

x +C

x +C

Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x − 3) .
2

 f ( x)

( 2 x − 3)
dx =

3

 f ( x)

3

C.

( 2 x − 3)
dx =

A.

 f ( x ) dx = cos 3x − sin 3x + C

C.

 f ( x ) dx = − cos 3x − 3 sin 3x + C

A.

+C

3

B.

 f ( x ) dx = ( 2 x − 3)

D.  f ( x )
+C
6
Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số: f ( x ) = 3sin 3 x − cos 3 x .

1

3

( 2 x − 3)
dx =

+C

3

2

+C

B.

 f ( x ) dx = cos 3x + sin 3x + C

D.

 f ( x ) dx = − 3 cos 3x − 3 sin 3x + C

1

1

 f ( x ) dx = −e
D.  f ( x ) dx = −e

x

+ e− x + C

x

− e− x + C

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x − e − x .

 f ( x ) dx = e
C.  f ( x ) dx = e
A.

x

+ e− x + C

x

− e− x + C

B.

Câu 11: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 3x + 4 , biết F ( 0 ) = 8 .
1
38
2
16
3x + 4 +
B. F ( x ) = ( 3x + 4 ) 3x + 4 +
3
3
3
3
2
56
2
8
C. F ( x ) = ( 3x + 4 ) 3x + 4 +
D. F ( x ) = ( 3x + 4 ) 3x + 4 +
9
9
3
3
1

dx
Câu 12: Tìm nguyên hàm I = 
4 − x2
1 x+2
1 x−2
1 x−2
1 x+2
A. I = ln
+ C B. I = ln
+ C C. I = ln
+ C D. I = ln
+C
2 x−2
2 x+2
4 x+2
4 x−2
1
Câu 13: Cho hàm số f ( x ) =
. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) . Chọn phương án sai.
2x − 3
ln 2 x − 3
ln 4 x − 6
+ 10
+ 10
A. F ( x ) =
B. F ( x ) =
2
4
3
ln x −

2
ln ( 2 x − 3)
2
+5
C. F ( x ) =
D. F ( x ) =
+1
4
2
x2 + x −1 x
.e
Câu 14: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
x2 −1

A. F ( x ) =

A. F ( x ) = x 2 − 1.e x + C

B. F ( x ) = − x 2 − 1.e x + C

C. F ( x ) = −2 x x 2 − 1.e −2 x + C

D. F ( x ) = x1 − 1.e − x + C

Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

 f ( x ) dx = x − 13ln x + 2 + C

3x − 7

x+2
B.

 f ( x ) dx = ln x + 2 + C

Phan Anh Duy – Y18
11


C.

 f ( x ) dx = 3x − 13ln x + 2 + C

D.

 f ( x ) dx = 3x − 7 ln x + 2 + C

x4 + 5
Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
.
x +1
1
1
1
A.  f ( x ) dx = x 4 − x3 + x 2 + x − 6 ln x + 1 + C
4
3
2
1
1

1
B.  f ( x ) dx = x 4 − x3 + x 2 − x + 6 ln x + 1 + C
4
3
2
C.

 f ( x ) dx = x

4

− x 3 + x 2 − x + 6 ln x + 1 + C D.

Câu 17: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.
C.




1
x2 + 1 + 1
f ( x ) dx = .ln
+C
2
x2 + 1 − 1

D.



C.



1
ex
f ( x ) dx = ln x
+C
3 e +3

A.



C.

 f ( x ) dx = 3 ln e ( e
1

x

x

+ 3)  + C

x2 + 1 −1



f ( x ) dx = ln



1 1 − x2 + 1
f ( x ) dx = .ln
+C
2 1 + x2 + 1

x2 + 1 + 1

+C

1
.
x +1 + x −1

2
2


f ( x ) dx = ( x + 1) 3 − ( x − 1) 3  + C


2
3
1

f ( x ) dx = ( x + 1) 3 − ( x − 1) 2  + C
3



Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

− x 3 + x 2 − x − 6 ln x + 1 + C

x x2 + 1

B.

A.

4

1

1
x2 + 1 −1
f ( x ) dx = .ln
+C
2
x2 + 1 + 1

Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

 f ( x ) dx = x

3
3



2 − ( x − 1) 2 + C
f
x
dx
=
x
+
1
(
)
(
)



3
3
1

D.  f ( x ) dx = ( x + 1) 2 − ( x − 1) 2  + C
3


B.

1
.
e +3
x

ex
f ( x ) dx = ln x
+C
e +3

B.



D.

 f ( x ) dx = 6 ln e ( e
1

x

x

+ 3)  + C

 
Câu 20: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 3 x.cos x và F ( 0 ) =  . Tìm F   .
2
1
 
 
  
 
A. F   = −

B. F   = − + 
C. F   = + 
D. F   = 
4
2
2
2 4
2
1
Câu 21: Biết F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) = 4 x và F (1) =
. Khi đó giá trị F ( 2 ) bằng
ln 2
7
8
9
3
A.
B.
C.
D.
ln 2
ln 2
ln 2
ln 2


e− x 
Câu 22: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x  2 +
 là:
cos 2 x 


A. F ( x ) = 2e x + cot x + C

B. F ( x ) = 2e x − tan x + C

C. F ( x ) = 2e x + tan x + C

D. F ( x ) = 2e x − tan x

Câu 23: Tìm nguyên hàm F ( x ) =  ( x + sin x ) dx biết F ( 0 ) = 19 .
A. F ( x ) =

1 2
x + cos x + 20
2

B. F ( x ) = x 2 + cos x + 20

Phan Anh Duy – Y18
12


C. F ( x ) = x 2 − cos x + 20

D. F ( x ) =

1 2
x − cos x + 20
2

Câu 24: Cho hai hàm số F ( x ) = ( x 2 + ax + b ) e − x và f ( x ) = ( − x 2 + 3x + 6 ) e − x . Tìm a và b để F ( x ) là
một nguyên hàm của hàm số f ( x ) .
A. a = 1 , b = −7 .
Câu 25: Biết

 xe

2x

B. a = −1 , b = −7 .

dx = axe + be + C ( a, b 
2x

2x

C. a = −1 , b = 7 .

).

Tính tích ab .

1
1
1
A. ab = − .
B. ab = .
C. ab = − .
4
4

8
Lời giải:
Câu 1: Đặt u = 2 x −1  du = 2dx ; e− x dx = dv  v = −e− x . Lúc này ta có

 ( 2 x − 1) e

−x

D. a = 1 , b = 7 .
1
D. ab = .
8

dx = − ( 2 x − 1) .e − x +  2e − x dx = − ( 2 x − 1) .e − x − 2e − x + C = − ( 2 x + 1) e − x + C

2
x2
dx; dv = xdx  v =
. Khi đó
2x −1
2
x2
x2 2
x2
x2
x
ln
2
x
−

1
dx
=
.ln
2
x
−
1
−
.
dx
=
.ln
2
x
−
1
−
(
)
(
)

 2 2x −1
 2 x − 1 dx
2
2

Câu 2: Đặt u = ln ( 2 x − 1)  du =

=

x 1

 x2 x 1

x2
x2
1
=
.ln
2
x
−
1
−
.ln 2 x − 1 −   + +
dx

 + + .ln ( 2 x − 1)  + C
2
2
 4 4 8

 2 4 4 ( 2 x − 1) 

=

x ( x + 1)
4 x2 −1

.ln 2 x − 1 −
+C
8
4

1
Câu 3: I =  ( x − 1) sin 2 xdx . Đặt x −1 = u  dx = du . sin 2 xdx = dv  v = − .cos 2 x
2
− ( x − 1)
(1 − x ) cos 2 x + 1 .sin 2 x + C
1
.cos 2 x +  cos 2 xdx =
Khi đó I =
2
2
2
4
4
4
4

3
 
dx = .tan 3x + C . Mà F   = 3  .tan + C = 3  C = −
2
cos 3x
3
3
3
3

9
1
1
1  1
1 
1
x+a
dx = 
dx =
Câu 12: Ta có:  2
+C
+
dx = .ln


2

a −x
2a
x−a
2a  a − x a + x 
( a + x )( a − x )

Câu 6: Ta có F ( x ) = 

Câu 13: Ta có F ( x ) = 
Với B ta thấy:

ln 2 x − 3
1

1
1
dx =  .
d ( 2 x − 3) =
+ C . Từ đây ta thấy A đúng.
2x − 3
2 ( 2 x − 3)
2

ln 4 x − 6
ln 2 + ln 2 x − 3
+ 10 =
+ 10  F ( x ) , B sai.
4
4

Câu 14: Ta có f ( x ) =

x2 + x −1
x −1
2

.e

x

(x
=

2

− 1) + x

 x

+ x 2 − 1 e x = 
.e x = 

2
x2 −1
 x −1


(

)

x 2 − 1 '+ x 2 − 1 e x


 F ( x ) = x 2 − 1.e x + C (áp dụng bảng ở lý thuyết).

x 4 − 1) + 6
(
x4 + 5
6 

dx = 
dx =  ( x − 1) ( x 2 + 1) +
dx

Câu 16: Ta có 
x +1
x +1
x + 1 

d ( x + 1) 1 4 1 3 1 2
=  ( x3 − x 2 + x − 1) dx + 6
= x − x + x − x + 6 ln x + 1 + C
x +1
4
3
2
Câu 17:

x

1
x2 + 1

dx = 

xdx
x2 x2 + 1

=

2
1 d ( x + 1)
2  x2 . x2 + 1

Phan Anh Duy – Y18
13


=

d

(

x

Câu 18:
=

1
2

x2 + 1

(

2



) = d ( x + 1) = 1 .ln

( x + 1) −1 2
2

2

2

dx
=
x +1 + x −1 

(

(

x2 + 1 −1
x +1 +1
2

+ C (Áp dụng công thức

)

u

2

du
1
u−a
= .ln
+C )

2
−a
2a
u+a

x + 1 − x − 1 dx

x +1 − x −1

)(

x +1 + x −1

)

)

3
3
3
3
1 2
1


x + 1 − x − 1 dx = . ( x + 1) 2 − ( x − 1) 2  + C = ( x + 1) 2 − ( x − 1) 2  + C
2 3
3



d (ex )
1 1
1 
1
ex
dx
e x dx
x
=  x − x
d
e
=
ln
+C
Câu 19: Ta có  x
= x x
= x x
(
)
3  e e + 3 
3 ex + 3
e +3
e ( e + 3)
e ( e + 3)
2 − a = 3
a = −1
Câu 24: Ta có F  ( x ) = ( − x 2 + ( 2 − a ) x + a − b ) e − x = f ( x ) nên 
.


a − b = 6
b = −7
du = dx
u = x
1 2x 1 2x
1 2x 1 2x

2x

Câu 25: Đặt 
1 2 x .Suy ra :  xe dx = xe −  e dx = xe − e + C
2x
2
2
2
4
dv = e dx v = e

2

Phan Anh Duy – Y18
14


CHỦ ĐỀ 2: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. Tính tích phân cơ bản:
Dạng 1: Tính tích phân tường minh:
2
dx
VD1: Tích phân 

bằng
x+3
0
16
5
5
2
.
B. log .
C. ln .
D.
.
225
3
3
15
………………………………………………………………………………………………………………..

A.

1

VD2: Tích phân  32 x +1 dx bằng:
0

9
12
4
27
B.

C.
D.
.
.
.
ln 9
ln 3
ln 3
ln 9
………………………………………………………………………………………………………………..
1
dx
VD3: Tính tích phân I =  2
.
x −9
0
1 1
1 1
1
A. I = ln .
B. I = − ln .
C. I = ln 2 .
D. I = ln 6 2 .
6 2
6 2
6
………………………………………………………………………………………………………………..
A.

b

VD4: Biết

 ( 2 x − 1) dx = 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a

A. b − a = 1.
B. a2 − b2 = a − b − 1 . C. b2 − a2 = b − a + 1 . D. a − b = 1 .
………………………………………………………………………………………………………………..
VD5: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

và F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) , biết

 f ( x ) dx = 9

và

0

F ( 0 ) = 3 . Tính F ( 9 ) .

A. F ( 9 ) = −6 .

9

B. F ( 9 ) = 6 .

C. F ( 9 ) = 12 .

D. F ( 9 ) = −12 .

………………………………………………………………………………………………………………..
1
dx
VD6: Tìm 
2x +1
0
A.

1
ln ( 2 x + 1) + C .
2

B. −

2

( 2 x + 1)

2

+C .

C. ln 2 x + 1 + C .

D.

1
ln 2 x + 1 + C .
2

………………………………………………………………………………………………………………..

3

VD7: Tích phân I =  cos 2 xdx bằng:
0

3
3
3
3
.
B. −
.
C.
.
D.
.
2
4
2
4
………………………………………………………………………………………………………………..
A. −

1

+ 3 x dx
2x + 1


0
1



VD8: Tính I =  

A. 1 + ln 3
B. 2 + ln 3
C. 2 + ln 3
D. 4 + ln 3
………………………………………………………………………………………………………………..
1

VD9: Cho


0

2x + 3
dx = a ln 2 + b ( a và b là các số nguyên). Khi đó giá trị của a là
2−x

Phan Anh Duy – Y18
15


A. −7 .
B. 7 .

C. 5 .
D. −5 .
………………………………………………………………………………………………………………..
1
x −5
VD10: Biết 
dx = a + ln b với a , b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1 2x + 2
3

8
7
9
3
.
B. a + b =
.
C. ab = .
D. a + b = .
81
24
8
10
………………………………………………………………………………………………………………..

A. ab =


2

VD11: Tính tích phân I =  sin 2 x.cos xdx
0

1
1
1
2
B. I =
C. I =
D. I =
5
2
3
3
………………………………………………………………………………………………………………..
4
dx
VD12: Biết I =  2
= a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c
x
+
x
3
A. I =

A. S = 6 .
B. S = 2 .
C. S = −2 .
D. S = 0 .
………………………………………………………………………………………………………………..

3
x2
VD13: Tính tích phân I = 
dx ?
3
0 (1 + x )

33
4121
33
B. I = ln 4 −
C. I = ln 4 −1
D. I = ln 4 −
32
4000
32
………………………………………………………………………………………………………………..
A. I = ln 4 +

VD14: Biết rằng:

 x cos 2 xdx = ax.sin 2 x + b.cos 2 x + C

với a, b là các số hữu tỉ. Tìm tích a.b .

1
1
1
1
A. ab = .

B. ab = .
C. ab = − .
D. ab = − .
8
4
8
4
………………………………………………………………………………………………………………..
1

VD15: Cho hàm số f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 2 x 2 − x + 1 , x  . Tính  f 2 ( x). f '( x)dx .
0

A.

2
3

C. −

B. 2

2
3

D. −2

………………………………………………………………………………………………………………..
Dạng 2: Tích phân hàm ẩn:
2

2

0

0

VD1: Cho I =  f ( x ) dx = 3 . Khi đó J =   4 f ( x ) − 3 dx bằng:
A. 2 .
B. 6 .
C. 8 .
D. 4 .
………………………………………………………………………………………………………………..
VD2: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn  0;10 và

10



f ( x ) dx = 7 và

0

2

10

0

6

6

 f ( x ) dx = 3 . Tính
2

P =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

A. P = 7 .
B. P = −4 .
C. P = 4 .
D. P = 10 .
………………………………………………………………………………………………………………..
VD3: Nếu

2

5

5

1

2

1

 f ( x ) dx = 3 ,  f ( x ) dx = −1 thì  f ( x ) dx bằng

Phan Anh Duy – Y18

16


A. −2 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
………………………………………………………………………………………………………………..
3

VD4: ) Cho hàm số f ( x ) có f  ( x ) liên tục trên đoạn  −1;3 , f ( −1) = 3 và  f ( x) dx = 10 giá trị của
−1

f ( 3) bằng

A. −13 .
B. −7 .
C. 13 .
D. 7 .
………………………………………………………………………………………………………………..

( )

( )

VD5: Cho f x và g x là hai hàm số liên tục trên đoạn 1; 3  , thỏa mãn:
3

  f ( x ) + 3g ( x ) dx = 10 và
1

3

3

1

1

 2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 . Tính I =   f ( x ) + g ( x ) dx

A. I = 8 .
B. I = 9 .
C. I = 6 .
D. I = 7 .
………………………………………………………………………………………………………………..

( )

VD6: Cho hàm số y = f x liên tục trên  a; b  , nếu

d



f ( x ) dx = 5 và

a

d

 f ( x ) dx = 2

(với a  d  b ) thì

b

b

 f ( x ) dx

bằng.

a

A. 3 .

B. 7 .

C.

5
.
2

D. 10 .

………………………………………………………………………………………………………………..
3

VD7: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1; 3  thỏa mãn điều kiện   f ( x ) + 3 g ( x )  dx = 10 đồng thời
1

3

3

1

1

 2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 . Tính   f ( x ) + g ( x ) dx .
A. 9 .
B. 6 .
C. 7 .
D. 8 .
………………………………………………………………………………………………………………..
2

VD8: Cho


1

5

f ( x 2 + 1) xdx = 2 . Khi đó I =  f ( x )dx bằng:
2

A. 2 .

B. 1 .
C. −1 .
D. 4 .
………………………………………………………………………………………………………………..
VD9: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) liên tục trên  0; 2 và f ( 2 ) = 3 ,

2

 f ( x ) dx = 3 . Tính
0

2

 x. f  ( x ) dx .
0

A. −3 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 6 .
………………………………………………………………………………………………………………..
II.
Ứng dụng tích phân:
Dạng 1: Các bài toán về quãng đường, vận tốc,…
VD1: Một ô tô đang chạy với tốc độ 36 ( km/h ) thì người lái xe đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = −5t + 10 ( m/s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ
lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 10 ( m ) .
B. 20 ( m ) .
C. 2 ( m ) .

D. 0, 2 ( m ) .
………………………………………………………………………………………………………………..

Phan Anh Duy – Y18
17


VD2: Một vật đang chuyển động với vận tốc v = 20 (m/s) thì thay đổi vận tốc với gia tốc được tính theo
thời gian t là a ( t ) = −4 + 2t ( m / s 2 ) . Tính quãng đường vật đi được kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến

lúc vật đạt vận tốc nhỏ nhất.
104
104
A.
(m)
B. 104 (m).
C. 208 (m).
D.
(m).
3
6
………………………………………………………………………………………………………………..
VD3: Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) = 1 − 2sin 2t ( m/s ) . Quãng đường vật di chuyển trong khoảng
thời gian từ thời điểm t = 0 ( s ) đến thời điểm t =

3
(s)
4

3

3

3
B.
C. − 2 ( m ) .
D.
− 1( m ) .
+ 1( m ) .
(m) .
4
4
4
4
………………………………………………………………………………………………………………..
Dạng 2: Ứng dụng hình học của tích phân: Tính diện tích, thể tích,…
VD1: Cho hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = − x2 + 2 x , trục hoành. Quay hình phẳng ( H ) quanh trục

A.

Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:
496
32
4
16
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
15
15
3
15
………………………………………………………………………………………………………………..
VD2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  a ; b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b ( a  b ) . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi

quay D quanh trục hoành được tính theo công thức.
b

A. V =   f

2

( x ) dx .

a

b

B. V = 2  f

2

( x ) dx .

C. V = 

a

b

2

 f ( x ) dx .
2

D. V = 

a

b

2

 f ( x ) dx .
a

………………………………………………………………………………………………………………..
VD3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và không âm trên đoạn  a; b  . Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b . Gọi S là diện tích của ( H ) .
Chọn mệnh đề sai.
b

b

a

a

A. S = −  f ( x ) dx . B. S =  f ( x ) dx .

b

C. S =

 f ( x ) dx .

b

D. S =  f ( x ) dx .
a

a

………………………………………………………………………………………………………………..
VD4: Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox và các
đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) .
b

A.



f ( x ) dx .

a

b

B.


a

f 2 ( x ) dx .

b

C.


a

f ( x ) dx .

b

D.   f ( x ) dx .
a

………………………………………………………………………………………………………………..
VD5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 x , y = x 2 , y = 1 trên miền x  0, y  1 là
1
5
2
1

A. .
B. .
C.
.
D. .
3
12
3
2
………………………………………………………………………………………………………………..
VD6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 và y = x5 bằng
1
A. 0 .
B. 4 .
C. .
D. 2 .
6
………………………………………………………………………………………………………………..

Phan Anh Duy – Y18
18


VD7: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 , trục hoành Ox , các đường thẳng
x = 1 , x = 2 là
7
8
A. S = .
B. S = .
C. S = 7 .

D. S = 8 .
3
3
………………………………………………………………………………………………………………..
VD8: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số f1 ( x ) và f 2 ( x ) liên tục trên đoạn  a; b 
và hai đường thẳng x = a , x = b (tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích của hình ( H ) là
y
f1 ( x )
f2 ( x )

O

a c1

b

c2

b x

b

B. S =  ( f1 ( x ) − f 2 ( x ) ) dx .

A. S =  f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx .
a

a

b

C. S =  f1 ( x ) + f 2 ( x ) dx .

b

b

a

a

D. S =  f 2 ( x ) dx −  f1 ( x ) dx .

a

………………………………………………………………………………………………………………..
VD9: Cho hàm số y =  x có đồ thị ( C ) . Gọi D là hình phẳng giởi hạn bởi ( C ) , trục hoành và hai đường
thẳng x = 2 , x = 3 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính bởi công
thức:
3

2

B. V =  3   x dx .

A. V =    2 x dx .

2

3

3

C. V =    2 x dx .
2

3

D. V =  2   x dx .
2

………………………………………………………………………………………………………………..
VD10: Tính diện tích hình phẳng tạo thành bởi parabol y = x 2 , đường thẳng y = − x + 2 và trục hoành trên
đoạn  0; 2 (phần gạch sọc trong hình vẽ)

3
5
2
7
.
B. .
C. .
D. .
5
6
3
6
………………………………………………………………………………………………………………..
A.

BÀI TẬP TÍCH PHÂN – 01 (Nhận biết – Thông hiểu)
1

Câu 1: Tính I =  e3 x .dx .
0

Phan Anh Duy – Y18
19


B. I = e − 1 .

A. I = e − 1 .
3

e3 − 1
C.
.
3

D. I = e3 +

1
.
2

3

Câu 2: Cho hàm số f ( x ) có f  ( x ) liên tục trên đoạn  −1;3 , f ( −1) = 3 và  f ( x) dx = 10 giá trị của
−1

f ( 3) bằng
A. −13 .

B. −7 .

Câu 3: Tích phân

1

 ( 3x

2

C. 13 .

D. 7 .

C. −2 .

D. 2 .

)

+ 1 dx bằng

0

B. −6 .

A. 6 .

( )

Câu 4: Cho hàm số y = f x liên tục trên  a; b  . Mệnh đề nào dưới đây là sai?
b



A.

a

b

b

f ( x ) dx = −  f ( x ) dx .

B.

a

b

b

a

a

a

b

a

c

a

 f ( x ) dx =  f ( t ) dt .

C.



c

f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx , c  R .

D.

 f ( x ) dx = 0 .
a

Câu 5: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Khi đó hiệu số F ( 0 ) − F (1) bằng
1

A.

1

B.  − F ( x ) dx .

 f ( x ) dx .

0

0

1

C.  − F ( x ) dx .
0

1

D.  − f ( x ) dx .
0

Câu 6: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 1; 2 . Gọi ( D ) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

y = f ( x ) , y = 0 , x = 1 và x = 2 . Công thức tính diện tích S của ( D ) là công thức nào trong các công
thức dưới đây?
2

2

A. S =  f ( x ) dx .

B. S =  f

2

( x ) dx .

1

1

2

C. S =  f ( x ) dx .
1

2

D. S =   f 2 ( x ) dx .
1



Câu 7: Tính tích phân  sin 3xdx .
0

1
1
2
2

A. − .
B. .
C. − .
D. .
3
3
3
3
Câu 8: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x và y = e x , trục tung và đường
thẳng x = 1 được tính theo công thức:
1

1

B. S =  ( e − x ) dx .

A. S =  e − 1 dx .
x

x

0

0

1

C. S =  ( x − e ) dx .
x

1

D. S =

e

x

− x dx .

−1

0

Câu 9: Cho hai số thực a , b tùy ý, F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên tập

. Mệnh đề nào

dưới đây là đúng?
b

A.



f ( x ) dx = f ( b ) − f ( a ) .

b

B.

a

b

C.



 f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) .
a

f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) .

a

 f ( x ) dx = F ( b ) + F ( a ) .
a

3

Câu 10: Tính tích phân I = 
0

dx
.
x+2

4581
5

.
B. I = log .
5000
2
Câu 11: Khẳng định nào sau đây sai?
A. I =

b

D.

5
C. I = ln .
2

D. I = −

21
.
100

Phan Anh Duy – Y18
20


A.
C.

b

b

b

b

b

c

a

a

a

a

c

a

b

f ( x ) dx =  f ( x ) dx .

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . B.  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

a

a

b

D.

b

2

Câu 12: Tích phân

x

2

0


a

b

f ( x ) dx =  f ( t ) dt .
a

x
dx bằng
+3

1
7
7
1 7
1 3
log .
B. ln .
C. ln .
D. ln .
2
3
3
2 3
2 7
1
Câu 13: Tìm  2 dx .
x
1
1
1
1
1
1
1
+ C . D.  2 dx = ln x 2 + C .
A.  2 dx = + C .
B.  2 dx = − + C . C.  2 dx =
x
x
x

x
x
2x
x
Câu 14: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  a; b  và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) . Tìm khẳng định
A.

sai.
b

A.



f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) .

b

a

a

B.

a

C.


a

 f ( x ) dx = 0 .
a

b

f ( x ) dx = −  f ( x ) dx .

D.

b

 f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) .
a

2018

Câu 15: Tích phân I =



2 x dx bằng

0

22018 − 1
22018
A. 2 − 1.
B.
.

C.
.
D. 22018 .
ln 2
ln 2
Câu 16: Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng định
nào sau đây sai?
2018

a

A.

b

 f ( x ) dx = 1 .

B.

a
c

C.


a

a

 f ( x ) dx = − f ( x ) dx .

a

b

b

b

f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx, c  ( a; b ) .
c

b

D.

a


a

b

f ( x ) dx =  f ( t ) dt .
a

Câu 17: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x + 3x − 2 , trục hoành và hai đường
2

thẳng . x = 1 ., x = 2 . Quay ( H ) xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích là
2

2

B. V =  x 2 − 3x + 2 dx .

A. V =  x − 3x + 2 dx .
2

1

2

(

)

2

1

2

2

C. V =   x 2 − 3x + 2 dx .

D. V =   x 2 − 3x + 2 dx .

1

1

Câu 18: Cho hình phẳng ( D ) được giới hạn bởi các đường x = 0, x =  , y = 0 và y = − sin x . Thể tích V
của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( D ) xung quanh trục Ox được tính theo công thức:


A. V =   sin x dx.
0



B. V =   sin 2 xdx.
0

C. V = 





0

0

2
 ( − sin x ) dx . D. V =  sin xdx.

Câu 19: Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên K , a, b  K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
sai?
Phan Anh Duy – Y18

21


b

A.

b

b

b

a

a

a

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . B.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx .
a

a

b

C.

b


a

b

b

f ( x ) g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx .
a

D.

a

1

2

2

0

1

0

b

b

b

a

a

a

  f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx .

 f ( x ) dx = 2 ,  f ( x ) dx = 4 , khi đó  f ( x ) dx = ?

Câu 20: Cho
A. 6 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

2

2

2

−1

−1

−1

 f ( x ) dx = 2 và  g ( x ) dx = −1 . Tính I =   x + 2 f ( x ) + 3g ( x ) dx bằng

Câu 21: Cho

11
7
17
5
A. I = .
B. I = .
C. I = .
D. I = .
2
2
2
2
Câu 22: Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn  a; b  và c   a; b  . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh
đề sau.
c

A.


a

C.

b

a

f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx .
c

b

b

c

c

a

a

c

 f ( x ) dx −  f ( x ) dx =  f ( x ) dx .

b

B.


a

D.

c

b

f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx .
a

c

b

a

b

a

c

c

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx .


4

Câu 23: Tích phân





 cos  2 − x  dx bằng.
0

1− 2
2 −1
.
B. 1 − 2 .
C.
.
D. 2 − 1 .
2
2
Câu 24: Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  . Gọi ( H ) là hình phẳng giời hạn bởi hai
A.

đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a , x = b ( a  b ) . Khi đó, diện tích S của ( H ) được tính bằng công
thức:
b

A. S =   f ( x ) − g ( x )  dx .
a

b

b

a

a

C. S =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx .

b

B. S =  f ( x ) − g ( x ) dx .
a

b

D. S =   g ( x ) − f ( x )  dx .
a

Câu 25: Diện tích của hình phẳng ( H ) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường
thẳng x = a , x = b ( a  b ) (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:

b

A. S =  f ( x ) dx .
a

c

b

a

c

B. S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

Phan Anh Duy – Y18
22


b

C. S =

 f ( x ) dx .

c

b

a

c

D. S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

a

BÀI TẬP TÍCH PHÂN 02 – (Nhận biết – Thông hiểu)
Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K và a, b, c  K . Mệnh đề nào sau đây sai?
A.

b

b

c

a

c

a

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx .
b

C.

a

8



D.

b

Câu 2: Biết

a

a

 f ( x ) dx =  f ( t ) dt .
 f ( x ) dx = 0 .
a

8

4

4

1

1

1

 f ( x ) dx = −2 ;  f ( x ) dx = 3 ;  g ( x ) dx = 7 . Mệnh đề nào sau đây sai?
4

f ( x ) dx = 1 .

B.

4

  f ( x ) + g ( x ) dx = 10 .
1

8

C.

b

a

 f ( x ) dx = − f ( x ) dx .
a

A.

B.

b

4

 f ( x ) dx = −5 .

D.

4

 4 f ( x ) − 2 g ( x ) dx = −2 .
1

Câu 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 − x2 và y = x bằng

11
9
3
.
B. 3 .
C. .
D. .
6
2
2
Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.

A.

b

b

a

a

b

 f ( x ) dx =  f ( t ) dt .

B.

a

 f ( x ) dx = − f ( x ) dx .
a

b

b

C.  kdx = k ( a − b ) , k  .

D.

a


a

b

c

b

a

c

f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx , c  ( a; b ) .

Câu 5: Cho hình phẳng ( D ) được giới hạn bởi các đường x = 0 , x =  , y = 0 và y = − sin x . Thể tích

V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( D ) xung quanh trục Ox được tính theo công thức




A. V =   sin x dx .

B. V =   sin 2 xdx .

0

C. V = 

0





 ( − sin x ) dx .

D. V =  sin 2 xdx .

0

0

Câu 6: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

A. I = 8 .

và có

1

3

3

0

1

0

 f ( x ) dx = 2 ;  f ( x ) dx = 6 . Tính I =  f ( x ) dx .

C. I = 36 .
D. I = 4 .
Câu 7: Cho miền phẳng ( D ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , hai đường thẳng x = 1 , x = 2 và trục
B. I = 12 .

hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay ( D ) quanh trục hoành.

3
3
2
.
B. 3 .

C. .
D.
.
2
2
3
Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  . Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
A.

đồ thị các hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) và hai đường thẳng x = a , x = b ( a  b ) được tính theo công thức:
b

A. S =   f ( x ) − g ( x )  dx .
a

b

B. S =    f ( x ) − g ( x )  dx .
a

Phan Anh Duy – Y18
23


b

b

C. S =  f ( x ) − g ( x ) dx .

D. S =   f ( x ) − g ( x )  dx .

a

a

e

Câu 9: Tính

x

2

ln xdx

1

2e + 1
A.
.
9

2e3 − 1
B.
.
9

3

e3 − 2
C.
.
9

e3 + 2
D.
.
9

e

Câu 10: Tính

x

2

ln xdx

1

A.

2e3 + 1
.
9

Câu 11: Cho



B.

2e3 − 1
.
9

C.

e3 − 2
.
9

e3 + 2
.
9

D.

f  ( x ) dx = 7 và f ( b ) = 5 . Khi đó f ( a ) bằng

b

a

A. 12 .
B. 0 .
C. 2 .
D. −2 .

Câu 12: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x.ln x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1
; x = 2 . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới ( H ) khi nó quay quanh trục hoành có thể tích V được xác định
bởi:
A. V =   ( x.ln x ) dx .

B. V =  ( x.ln x ) dx .

C. V =  ( x.ln x ) dx .

D. V =   ( x.ln x ) dx .

2

2

2

1

1

2

2

2

1

0

Câu 13: Tích phân

1
dx bằng
1− 2x



−1

A. 1 − 3 .
2

Câu 14: Cho



1

3 −1.

B.

f ( x ) dx = 1 và

1

3

f ( x ) dx = −2 . Giá trị của


2

3

 f ( x ) dx bằng
1

B. −3 .

A. 1 .

D. − 3 − 1 .

3 + 1.

C.

C. −1 .

D. 3 .

C. S .

3
D. 3 3 − .
2

1

Câu 15: Tích phân



2 x + 1dx có giá trị bằng

0

2
A. 3 3 − .
3

B.

3 3 −1
.
3

Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.

b

a

a

b

 f ( x ) dx = − f ( x ) dx .
b

C.


a

B.

b

f ( x ) dx =  f ( t ) dt .
a

b

c

b

a

a

c

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx , c 

.

a

D.

 f ( x ) dx = 0 .
a

Câu 17: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  0;1 và f (1) − f ( 0 ) = 2 . Tính tích phân

1

 f  ( x ) dx .

0

A. I = −1.
B. I = 1 .
Câu 18: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

C. I = 2 .
D. I = 0 .
, có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là diện tích hình phẳng được giới

hạn bởi đồ thị hàm số f ( x ) , trục hoành và trục tung. Khẳng định nào sau đây đúng?

Phan Anh Duy – Y18
24

d

0

c

d

A. S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx .
d

B.

0

S = −  f ( x ) dx −  f ( x ) dx .
c

d

d

0

c

d

C. S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

d

0

c

d

D. S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

Câu 19: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn  a ; b  và f ( a ) = −2 , f ( b ) = −4 . Tính
b

T =  f  ( x ) dx .
a

A. T = −6 .
B. T = 2 .
C. T = 6 .
D. T = −2 .
2
Câu 20: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x + 3x − 2 , trục hoành và hai đường thẳng

x = 1 , x = 2 . Quay ( H ) xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích là
2

2

A. V =  x 2 − 3x + 2 dx .

B. V =  x 2 − 3x + 2 dx .

1

2

1

2

C. V =   ( x 2 − 3x + 2 ) dx .

D. V =   x 2 − 3x + 2 dx .

2

1

2

Câu 21: Cho

2

1

2

 f ( x ) dx = 3 . Tính  ( f ( x ) + 1) dx ?

0

0

A. 4 .

B. 5 .

C. 7 .
1

Câu 22: Đổi biến x = 2sin t thì tích phân


0


6


3

A.  tdt .

B.  tdt .

0

0

dx
4 − x2

D. 1 .

trở thành




6

6

dt
C.  .
t
0

D.

 dt .
0

Câu 23: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x + 2 , x = 1 , x = 2 , y = 0 .
10
8
13
5
A. S = .

B. S = .
C. S = .
D. S = .
3
3
3
3
Câu 24: Cho hàm số f ( t ) liên tục trên K và a, b  K , F ( t ) là một nguyên hàm của f ( t ) trên K . Chọn
2

khẳng định sai trong các khẳng định sau.
b

A. F ( a ) − F ( b ) =  f ( t ) dt .

b

B.

a

b

C.


a

b

a

b



f ( t ) dt =   f ( t ) dt  .

a



f ( t ) dt = F ( t ) a .

b

D.


a

b

f ( x ) dx =  f ( t ) dt .
a

Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số đã cho và trục Ox . Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V
được xác định theo công thức
Phan Anh Duy – Y18

25