chuyên đề cơ học chất lưu

CHUYÊN ĐỀ DỰ THI
ĐỒNG BẰNG DUYÊN HẢI NĂM HỌC 2017 - 2018
Chuyên đề
CƠ HỌC CHẤT LƯU


MỤC LỤC

Phần I. MỞ ĐẦU
Phần II. NỘI DUNG

1

A. LÝ THUYẾT 1
1. Các khái niệm cơ bản 1
2. Các định luật chất lưu ở trạng thái nghỉ

2

3. Động lực học chất lưu 4
4. Ma sát trong chất lỏng - Lực Stockes
B. BÀI TẬP 6
C. BÀI TẬP CỦNG CỐ 22
Phần III. KẾT LUẬN

28

TÀI LIỆU THAM KHẢO

5

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Chất lỏng là một trong những phần kiến thức chính của chương trình giáo
dục Vật lý phổ thông. Trong những năm gần đây đề thi từ cấp tỉnh, cấp Quốc gia,
khu vực hay Quốc tế thì một trong những dạng bài chủ yếu đó là chất lỏng trong
khi tài liệu chúng ta có được còn khá hạn chế. Xuất phát từ các lí do trên nên
chúng tôi biên soạn chuyên đề: “Cơ học chất lưu” với mục tiêu cung cấp cho các
thầy cô giáo cũng như các em học sinh các kiến thức từ mức độ cơ bản đến nâng
cao.
II. Mục đích
- Tóm tắt hệ thống lí thuyết về chất lưu.
- Nghiên cứu một số dạng bài tập về cơ học chất lưu.

1


Phần II. NỘI DUNG
A. LÝ THUYẾT
1. Các khái niệm cơ bản
Chuyển động của chất lưu có thể chia thành 2 loại: chảy thành dòng và
chảy xoáy. Khi chảy thành dòng các phân tử chuyển động theo quĩ đạo không cắt
nhau, phần tử nọ nối tiếp phần tử kia.
1.1. Các trạng thái cơ bản của vật chất. Chất lưu
Có ba trạng thái cơ bản của vật chất: Rắn, lỏng, khí. Chất lưu là một chất
có thể chảy được, trái với chất rắn. Vì vậy, chất lưu bao gồm các chất lỏng và
chất khí.
Chất lưu không bị nén và không nhớt (bỏ qua lực nhớt) gọi là chất lưu lí tưởng,
và ngược lại là chất lưu thực.
1.2. Áp suất và mật độ áp suất

Giả sử ta có một pít tông, có diện tích A , lồng trong một
xy lanh kín, tác dụng một lực F vào pít tông. Đến vị trí nào đó,
pít tông đứng yên. Khi đó, áp suất trung bình của không khí tác
dụng vào pít tông:
p

F
AA

F
A

Áp suất tại một điểm được định nghĩa là:
F dF

A�0 A
dA

(9. 0)

p  lim

Qua một điểm M trong chất lưu ta lấy một mặt nguyên tố dS. Phần chất
r

lưu bên trái dS tác dụng lên phần bên phải một lực dF .
r
r
r
dF  dFn  dFt

r

r

Đối với chất lưu đứng yên, dF  dFn
dF
Về độ lớn, áp suất p tại điểm M hướng từ trái qua phải mặt dS là: p  n
dS

2


Tính chất:
 Chất lưu đứng yên thì áp suất tại một điểm bất kì theo mọi phương là như
nhau. Hay ta có thể nói là: Áp suất là một đại lượng vô hướng.
 Tập hợp những trị của áp suất tại những điểm khác nhau trong không gian
làm thành một trường vô hướng gọi là trường áp suất.
 Đơn vị của áp suất: N / m2  Pa (Paxcan)
1at  1, 01.105 Pa  760mmHg

1.3. Đường dòng-ống dòng
Đường dòng là đường cong mà tiếp tuyến tại
mọi điểm của nó có phương trùng với véc tơ vận tốc
của trường ở thời điểm đó. Tập hợp nhiều đường
dòng làm thành một họ đường dòng. Đường dòng
cho ta hình ảnh về phương vận tốc ở mỗi điểm trong không gian. Các đường
dòng không thể cắt nhau, bởi vì nếu chúng cắt nhau thì tại giao điểm này chỉ có
một véc tơ vận tốc mà đồng thời lại tiếp tuyến với hai đường dòng giao nhau. Họ
đường dòng tựa trên một đường cong kín C tạo thành một ống gọi là ống dòng.
Vì các đường dòng không cắt nhau nên hạt chất lưu chuyển động trong ống dòng

vẫn tiếp tục chuyển động trong ống dòng và không thể xuyên qua thành ống
được.
2. Các định luật chất lưu ở trạng thái nghỉ
2.1. Biến thiên áp suất theo độ sâu. Định luật Pascal
Giả sử ta có một chất lưu ở trạng thái nghỉ (trạng
thái đứng yên). Chọn hệ trục tọa độ Oz hướng thẳng đứng

O

lên trên, gốc tại biên tiếp xúc mặt chất lưu – không khí.
Xét một mẫu chất lưu chứa trong một hình trụ

F2

y2 y1
y

F1

h
P

thẳng tưởng tượng có đáy A, y1 và y2 lần lượt là độ sâu
tính từ gốc đến đáy trên và đáy dưới của hình trụ ( y2  y1  0 ).
3


Do chất lưu ở trạng thái nghỉ, mẫu chất lưu cân bằng nên tổng lực tác dụng
r

r

r

vào mẫu nước bằng 0: F2  F1  P  0
Chiếu lên hệ trục tọa độ Oz: F2  F1  P hay p2 A  p1 A  P
Ta xét một chất lưu không nén, tức là khối lượng riêng của chất lưu tại
mọi điểm đều như nhau và bằng  . Khối lượng của khối chất lưu mà ta chọn là:
m   A  y1  y2 

Khi đó ta có:
p  p0   g  y1  y2 

Hay p  p0   gh

(9. 0)

Với y1  y2  h .
Khi đó, p là áp suất ở độ sâu h so với mặt chất lưu. Đại lượng  gh được gọi là
áp suất áp kế.
Định luật Pascal:
Với chất lưu không nén thì áp suất tại mọi điểm của chất lưu có cùng độ
cao là như nhau. Khi đó, nếu áp suất tại điểm (1) tăng lên một lượng là p1 thì áp
suất tại điểm (2) cũng tăng lên một lượng là p2  p1 .
Phát biểu: Áp suất tại một điểm nào đó tăng lên một lượng là p thì lượng áp
suất này được truyền nguyên vẹn đến mọi điểm của chất lỏng và lên thành bình.
2.2. Lực đẩy Achimede
Giả sử ta có một chất lưu ở trạng thái nghỉ (trạng thái đứng yên). Chọn hệ
trục tọa độ Oz hướng thẳng đứng lên trên, gốc tại biên tiếp xúc mặt chất lưu –
không khí.

Giả sử chất lưu là không nén   const .
Giả sử ta có một vật rắn hình trụ ngâm trong chất lưu (diện tích đáy trên và đáy
dưới là A, chiều cao là h) thì áp lực của chất lưu tác dụng lên mặt dưới của vật
rắn lớn hơn áp lực của nó tác dụng lên mặt trên của vật rắn. Kết quả là chất lưu
4


sẽ đẩy vật rắn một lực hướng từ dưới lên trên. Đó chính là lực đẩy Achimede, có
giá trị bằng:
F  p2 A  p1 A   p2  p1  A   ghA   gV

(9. 0)

Trong đó, V  hA là thể tích phần vật rắn ngâm trong chất lưu.
 gV là trọng lượng của khối chất lưu có thể tích V .

Định luật Achimede: Lực đẩy hướng từ dưới lên trên có trị bằng trọng lượng
của khối chất lưu mà thể tích bằng phần thể tích vật rắn ngâm trong chất lưu.
3. Động lực học chất lưu
3.1. Phương trình liên tục
Xét chất lưu trong trạng thái dừng. Xét một ống dòng.
S2

Nếu chất lưu là một môi trường liên tục
thì trong khoảng thời gian dt lượng chất lưu
chảy qua tiết diện ngang S1 và S2 của ống dòng

S1

sẽ bằng nhau.

Ta gọi dm là khối lượng chất lưu chảy
qua tiết diện ngang S1 và S2 trong khoảng thời gian dt . Ta có:
dm  1S1v1dt   2 S2v2 dt

Hay:
S1v1  S2 v2  const

(9. 0)

Định lý về tính liên tục của chất lưu: Tích số giữa độ lớn của vận tốc chất lưu
và độ lớn tiết diện ngang của ống dòng là một đại lượng không đổi.
3.2. Phương trình Bernoulli
Giả sử ta có một chất lưu dừng. Ta xét một đơn vị thể tích V của chất lưu. Nhờ
vào định luật bảo toàn năng lượng, ta có:
p

v2
  gh  const
2

5


3.3. Một số ứng dụng
a. Tính vận tốc dòng chảy từ một lỗ nhỏ
Giả sử ta có một bình hình trụ có một lỗ nhỏ ở dưới. Áp suất ở mặt nước
trong bình và áp suất ở lỗ đều bằng áp suất của khí quyển p0 .
v  v2  2 gh

(9. 0)

Nghĩa là trị của vận tốc tia nước chảy từ lỗ nhỏ bằng trị của vận tốc vật rơi từ độ
cao h. Đó là công thức Torriceli.
b. Chuyển động của bơm phun tia
Ta hãy xét chuyển vận của bơm phun tia. Định luật Bernoulli đối với ống
dòng nằm ngang có dạng:
p1  

v12
v2
 p2   2
2
2

Như vậy, ở chỗ tiết diện ngang của ống dòng hẹp (vận tốc lớn) thì áp suất
bé. Nguyên tắc chuyển vận của bơm phun tia dựa trên tính chất đó của dòng chất
lưu. Cho chất lưu a chảy từ A về C. Khi qua lỗ hẹp C áp suất của dòng a bé so
với áp suất của không khí và do đó tạo ra trong bơm một vùng áp suất thấp. Vì
có sự chênh lệch áp suất nên chất lỏng b trong bình được hút lên và phun ra ở
ống B. Bơm phun nước hoa cũng cấu tạo theo nguyên tắc như vậy.
c. Cánh máy bay
Biết sự phân bố của các đường dòng, ta có thể dựa vào định luật Bernoulli
để khảo sát một cách định tính lực tác dụng lên vật rắn nằm trong chất lưu
chuyển động. Ở đây, ta khảo sát lực tác dụng lên cánh máy bay đang bay với vận
r

tốc v trong không khí đứng yên. Việc khảo sát này tương đương với việc khảo
sát trường hợp cánh máy bay đứng yên và dòng không khí chuyển động tương
r

đối với nó với vận tốc v .
4. Ma sát trong chất lỏng - Lực Stockes
4.1. Lực Stockes. Hệ số ma sát nhớt
6


Khi một vật chuyển động trong một
chất lỏng thực, nó chịu một lực cản. Nếu
vận tốc là nhỏ thì lực cản phụ thuộc bậc nhất
vào vận tốc và được gọi là lực Stockes.

z
v+dv

dz

x

0

FS  K v

Trong đó,  là hệ số nhớt của chất
lỏng, K là hệ số phụ thuộc vào hình dạng
của vật.
4.2. Sự rơi của một vật trong chất lưu. Vận tốc tới hạn
Ta hãy xét chuyển động rơi của một vật có khối lượng m trong lòng chất
lưu. Ta nhận thấy khi vận tốc v tăng thì gia tốc a giảm cho đến khi a = 0 thì vận
tốc đạt giá trị tới hạn vth . Khi đó ta có:
vth 

 m  mKK  g
K

mKK là khối lượng của thể tích không khí bị vật chiếm chỗ.

4.3. Vận tốc của một vật chuyển động trong chất lỏng nhớt dưới tác dụng của
một lực không đổi.
Giả thiết chuyển động là thẳng, vận tốc ban đầu là v0 . Vật chuyển động
dưới tác dụng của lực F và lực cản Stockes FS . Ta có:
�K �

t
�
F �
F ��
v
�
v0 
e �m �
�
K � K �

Nếu v0  0 thì công thức trên trở thành:
�K �
t �
�
F � �
v
1  e �m � �

�
�
K �
�
�

7


B. HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Nước có khối lượng riêng 1000 kg/m 3 chảy qua một ống nằm ngang thu
hẹp dần từ tiết diện S1 12cm 2 đến
S2 

v1

S1

S2

v2

S1
. Hiệu áp suất giữa chỗ rộng
2

và chỗ hẹp là 4122 Pa. Lưu lượng
của nước trong ống là bao nhiêu ?
Giải:
Áp dụng công thức lưu lượng chất lỏng :

v1 S1 v2 S 2  v2 v1

Vận

dụng

phương

S1
2v1 .
S2

trình

Béc-nu-li

cho

ống

dòng

nằm

ngang :

1
1
p1  v12  p2  v22 
2

2
1
3
p  p1  p2   (v22  v12 )  v12
2
2

 A= S1.v1 =2.10-3m3/s

Bài 2: Một ống dẫn nước vào tầng trệt có đường kính trong là d, tốc độ nước là
1,5 m/s và áp suất 2.10 5 Pa. Sau đó ống thắt hẹp dần đến đường kính trong là

d
4

khi lên đến tầng lầu cao 5 m so với tầng trệt. Biết khối lượng riêng của nước là
1000 kg/m3 và lấy g = 10 m/s2. Áp suất nước ở tầng lầu bằng bao nhiêu ?
Giải:
Gọi tốc độ mức ở tầng lầu là v2 :
v1 S1 v2 S 2  v2 v1

S1
= 6 m/s.
S2

- Áp dụng phương trình Béc-nu-li cho ống dòng không nằm ngang :

8

1
1
p1  v12  gz1  p2  v22  gz 2 . Biến đổi biểu thức này và chú ý z 2  z1 = 5 m
2
2

Vậy p2 = 1,33.103 Pa.
Bài 3: Dưới đáy một thùng gỗ có lỗ hình tròn tiết diện S = 12 cm 2. Đậy kín lỗ
bằng một nắp phẳng được ép từ ngoài vào bởi một lò xo có độ cứng k = 100
N/m. Đổ vào thùng một lớp nước dày h = 20 cm. Khối lượng riêng của nước là
 10 3 kg/m3. Lấy g = 10m/s2 . Để nước không bị chảy ra ngoài ở lỗ đó thì lò xo

bị nén một đoạn ít nhất là bao nhiêu?
Giải:
- Áp suất thủy tĩnh ở đáy thùng:
p  p a  gh

- Áp lực lên nắp đậy : F  p.S  pa S  ghS
- Lò xo khi bị nén một đoạn x cùng với áp suất của khí quyển đã tác dụng lên
nắp đậy một lực từ ngoài vào là :
F ' k .x  pa S

- Điều kiện để nước không chảy ra ngoài là :
F ' F  kx  pa S  pa S  ghS

 ghS
 x�
k

Vậy: xmin 2,4 cm.

Bài 4: Cho một máy phun nước được cấu tạo
như hình vẽ. Hỏi chiều cao của ống C(so với
mặt chất lỏng) chỉ có thể lớn nhất là bao nhiêu
để máy hoạt động được nếu chất khí là không
nén được và lực nội ma sát coi như không
đáng kể?
Giải:
9


Kí hiệu pB và vB là áp suất và vận tốc của không khí tại phần B của ống ngang, p 0
là là áp suất không khí ở mặt nước.
Độ cao lớn nhất mà chất lỏng có thể dâng lên được trong ống C là:
p0  pB  0 ghmax (1)

Muốn ống hoạt động được thì chất lỏng phải dâng lên đến phần B của ống, như
vậy chiều cao của ống C phải thỏa mãn điều kiện:
h �hmax
p p

0
B
Từ phương trình (1) ta có h �hmax   g (2)
0

Áp dụng phương trình Bec-nu-li cho chất lỏng chuyển động:
pA 

1
1

0v A2  pB   0vB2 (3)
2
2

và v A S A  vB S B (4)
Từ phương trình (2),(3) và (4) ta có:
1
S 2  S2
p0  p A  0v A 2 A 2 B
2
S B
h�
g

Bài 5: Một thanh mỏng đồng chất, đầu trên
được nối với bản lề, đầu dưới nhấn chìm
trong nước. Thanh nằm cân bằng trên mặt
nước ở độ sâu đúng giữa thanh. Xác định
khối lượng riêng của thanh đó
Giải:
ur

Vì thanh mỏng và đồng chất nên có thể coi lực đẩy Ac-si-met Q đặt tại trung
điểm của phần chìm trong nước của thanh.
ur ur

Thanh nằm cân bằng, do đó momen các lực P , Q đối với điểm A cân bằng nhau,
nghĩa là:
uuur uuur
M uPr  M Qur  0 (1)

10


3
2

2
3

Về độ lớn: mgx  Q x (2) � Q  mg (3)
1
2

Trong đó m   g ; Q  Vg
Từ (1), (2) và (3):
3
   0  0, 75 g / cm3
4

Bài 6: Hai quả cầu có bán kính r1 và r2 được làm bằng các chất có khối lượng
riêng 1 ,  2 . Hai quả cầu được nối với nhau bởi thanh nhôm không có trọng
lượng dài l. Sau đó, chúng được nhúng vào trong chất lỏng có khối lượng riêng
 (   1 và    2 ) .

Xác định vị trí điểm tựa cho cho thanh nằm cân bằng trong khối chất
lỏng đó.
Giải:
Hiệu số lực đẩy Ac-si-met và trọng lực tác dụng lên các trọng vật tương ứng
bằng:
4

F1   r13 ( 0  1 ) g (1)
3
4
F2   r23 (  0   2 ) g (2)
3

Trong đó gọi 0 , 1  2 là khối lượng riêng của nước, cầu 1 và cầu 2: r 1, r2 là bán
kính các quả cầu .
Vì thanh nằm cân bằng nên: F1 x  F2 (l x) (3)
trong đó x là khoảng cách từ trọng vật có khối lượng riêng 1 đến điểm giữ cho
thanh cân bằng. Từ (1), (2) và (3):
xl

0  2
3

�r �
( 0   2 )  (  0  1 ) �1 �
�r2 �

11


Bài 7: Một vật có khối lượng m=2kg và thể tích V=1000 cm3 đặt dưới đáy bể
nước có độ sâu h=5m. Tính công thực hiện để nâng vật lên khỏi mặt nước một
khoảng H=5m. Công này có bằng sự thay đổi thế năng của vật không? Hãy giải
thích?
Giải :
Để làm dịch chuyển vật trong nước, cần phải đặt vào vật một lực
F  mg  Fd  mg  Vg

Vì vậy để nâng vật lên độ cao h so với mặt nước cần thực hiện công:
A= (m  V) gh  mgH �150 J
Nhận xét: W1  mg (h  H) là sự thay đổi thế năng của vật
A1   gH �50 J .

Vậy: công này nhỏ hơn so với sự thay đổi thế năng 50J
Bài 8: Một mẫu bấc trong không khí có trọng lượng 0,147N, mẫu chì có trọng
lượng 1,1074N. Nếu ta buộc 2 mẫu này với nhau sau đó đem nhúng vào trong
thùng dầu thì trọng lượng của 2 mẫu này là 0,588N. Xác định khối lượng riêng
của bấc, biết khối lượng riêng của dầu là 0,8g/m3 và của chì là 11,3g/m3.
Giải:
Gọi khối lượng, khối lượng riêng của mẩu bấc là m1, 1
Gọi khối lượng, khối lượng riêng của mẩu chì là m2,  2
m

m

1
2
Khi đó, thể tích của mẩu bấc là V1   và thể tích của mẩu chì là V2  
1
2

m

m

1
2

Thể tích chung là V=V1+V2=   
1
2

Theo định luật Ac-si-met, lực đẩy tác dụng lên vật nhúng trong chất lỏng là
F  3Vg

Với 3 là khối lượng riêng chất lỏng
Mặt khác: F  (m1  m2 ) g  Q
12


Q là trọng lượng đã cho
Giải phương trình ta có:
1 

m1  2 3 g
�
 m1  m2  g  Q �
�
� 2  m2 g 3

Bài 9: Một quả cầu rỗng đồng chất bằng kẽm giới hạn bởi 2 mặt cầu đồng tâm
nổi trên mặt nước. Phần nổi trên mặt nước là một chỏm cầu.
Cho biết tỉ số giữa chiều cao cuả chỏm cầu và bán kính ngoài của cầu
bằng k, khối lượng riêng của nước 0  103 kg/m3, khối lượng riêng của thủy
ngân   13, 6.103 kg / m3
Giải:
Quả cầu ngập trong nước chịu tác dụng của 2 lực:
Trọng lực P  mg   g (V1  V2 ) hướng thẳng đứng

H

� VC  �
dVC 
0


(3RH 2  H 3 ) chiều từ trên xuống.
3

Lực đẩy Acsimet dướng từ dưới lên có giái trị:
FA  0 g V   V1  VC  0 g

(1)

Với VC là thể tích chỏm cầu nhô lên khỏi mặt nước
Thể tính chỏm cầu VC được tính như sau:
Trước hết ta tính cho thể tích của lớp cầu chiều dày dh:
dVC  r 2 dh

trong đó r 2  R 2   R  h   2 Rh  h 2
2

(2)
(3)

Thay (3) vào (2): dVC   (2 Rh  h2 )dh
H

� VC  �

dVC 
0

4
3


3RH 2  H 3 

3
4
3

Mà V  R 3 V  R 3 do vậy thể tích của chỏm cầu có thể viết:
13


VC 

Theo bài ra:

V1 � H 2 H 3 �
3

�
�
4 � R 2 R3 �

(4)

H
 k do đó (4) có thể viết:
R

VC 

V
V
(3k 2  k 3 )  k 2 (3  k)
4
4

(5)

Quả cầu nằm cân bằng trong nước nên ta có:
P  FA
�
V1 
Hay  g  V1  V2   0 g �
�

Suy ra

V1 2
�
k  3k �
4
�

4 V1  4 V2  0V1 �

4 k2  3 k �
�
�
� 0 k 2 0
�
V

V
1 
 3 k  �
Vậy: 2 1 �
4
� 

Bài 10: Trong một hình trụ đựng nước và thủy ngân, khối lượng của thủy ngân
bằng n lần khối lượng của nước, chiều cao chung của cột chất lỏng trong bình
bằng. Cho biết khối lượng riêng của nước ρ0 = 103 kg/m3, khối lượng riêng của
thủy ngân ρ = 13,6.103 kg/m3, gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s2. Tìm áp suất p của
chất lỏng ở đáy bình.
Áp dụng bằng số với n = 1, h = 143 cm.
Giải:
Áp suất của chất lỏng ở đáy bình:
p  0 gh1   gh2

(1)

h = h1 + h2

(2)

trong đó h1 là chiều cao của cột nước, h2 là chiều cao của cột thủy ngân (Hình
1.30) Do khối lượng của cột thủy ngân bằng n khối lượng của nước, ta có:
 Sh2  n0 Sh1

(3)

Từ (1), (2) và (3) ta tìm được:

14


h1 

n 0 h
0 hg
h
; h2 
;
(n  1)
n 0  
n 0  
n 0  

Khi n=1, h=1,43m thì p=26100 N/m2.
Bài 11: Trong một bể nước người ta nhúng một ống
hình trụ đựng đầy dầu với khối lượng riêng ρ = 900
kg/m3 sao cho đáy hình trụ ở trên và miệng hình trụ ở
dưới. Tìm áp suất tại điểm A nằm ở đáy trên trong hình
trụ. Cho biết chiều cao hình trụ bằng h, khoảng cách từ
mặt nước trong bể đến miệng hình trụ bằng H.

Áp suất khí quyển p 0 = 105 N/m2.
Áp dụng bằng số: h = 1 m, H = 3 m, khối lượng riêng của nước 0  103 kg/m3,
g = 9,8 m/s2
Giải:
Trước hết, ta nhận thấy áp suất tại điểm B’ cùng độ sâu với B có giá trị
như nhau và bằng:
pB  pB'  p0   gh

(1)

Xét trong ống đựng dầu, áp suất của điểm A nằm ở đáy bình:
pB  p A   gh � p A   gh  pB

(2)

Thay (1) vào (2) ta được:
p A  p0  g   0 H   h 

Thay p0  105 N/m2 ; g = 9,8 m/s2; 0  103 kg/m3 ;   9.102 kg/m3 ; H=3 m;
h=1 m, ta được:
p A  1, 206.105 N / m 2  1,18 atm .

Bài 12: Trong một bình đựng hai chất lỏng không hòa tan vào nhau được và có
khối lượng riêng khác nhau có một vật đồng chất hình lập phương chìm hoàn
toàn trong chất lỏng. Vật có khối lượng riêng ρ lớn hơn khối lượng riêng ρ1 của
chất lỏng ở trên và nhỏ hơn khối lượng riêng ρ 2 của chất lỏng ở dưới ( ρ1 < ρ < ρ 2 )
15


Xác định tỉ số giữa phần thể tích cầu hình lập phương nằm ở chất lỏng trên

và nằm ở chất lỏng dưới
Giải:
Gọi:
- a là cạnh của hình lập phương.
- x là chiều cao của phần hình lập phương nằm ở chất lỏng trên.
- (a-x) là chiều cao phần hình lập phương nằm ở chất lỏng dưới.
- Thể tích của hình lập phương là V=a3
- Thể tích của hình lập phương nằm ở chất lỏng trên là V1=xa2
- Thể tích của hình lập phương nằm ở chất lỏng dưới là V2=(a-x)a2
Trọng lượng của hình lập phương:
p   ga 3

Lực đẩy Ác-si-mét lên phần thể tích nằm trong chất lỏng trên và chất lỏng dưới
là:
F1  xa 2 1 g ; F2  (a  x )a 2  2 g

Hình lập phương nằm cân bằng trên chất lỏng nên ta có:
P  F1  F2

Hay

 ga 3  xa 2 1 g  (a  x)a 2  2 g
�

x 2  

a  2  1

Ta có:

V1 xa 2 x  2  
 3  
V
a
a  2  1

Và:

V2 V  V1
V
 
  1

 1 1  1 2

V
V
V
 2  1 2  1

Do đó ta tìm được tỉ số thể tích của hình lập phương nằm ở phần chất lỏng trên
và dưới:
k

V1  2  

V2   1

16

Bài 13: Trong một ống có nước chảy, người ta
cắm hai ống áp kế tại những chỗ có tiếp diện
ống bằng S1 và S2 với S1 �S2. Hiệu hai mức
nước trong hai ống áp kế bằng Δh. Tìm thể
tích nước chảy trong một đơn vị thời gian qua
tiết diện của ống.
Giải:
Áp dụng phương trình Béc-nu-li đối với ống dòng nằm ngang:
p1 

 v12
v 2
 p2  2
2
2

(1)

Lượng chất lỏng chạy qua ống trong một đơn vị thời gian:
M  v1S1  v2 S 2
� v2 

S1
v1
S2

(2)

Sự thay đổi áp suất giữa hai vị trí trong lòng chất lỏng:

p2  p1   g h

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:
 v12
 v2 2
 v2 2
 p2  p1 
  g h 
2
2
2
2
� �S �
�
1
v1 �
1  � �� 2 g h
S
�
� � 2 ��
�
2

� v1 

1
S2

2g h
S 2 2  S12

Do vậy, thể tích nước chảy qua ống trong một đơn vị thời gian:

17


M  v1S1 

S1
S2

2 g h
S2 2  S12

Bài 14: Một bình hình trụ thẳng đứng có nước, quay xung quanh trục của nó với
vận tốc góc không đổi. Hãy xác định:
a. Dạng của mặt tự do của nước
b. Sự phân bố áp suất trên đáy bình dọc theo bán kính của bình nếu tăng áp suất
ở tâm bằng p0.
Giải:
a. Xét một phân tử chất lỏng ở cân bằng đối với hệ qui chiếu phi quán tính gắn
liền với hình trụ quay, cách trục quay một đoạn r
ur

uu
r

Lực tác dụng lên phân tử chất lỏng gồm: Trọng lực P ,lực quán tính li tâm Ft và

uu
r

phản lực N .
Phương trình chuyển động là:
ur uu
r uu
r
ur
P  N  F1  mat (1)

Chiếu phương trình lên phương ngang ta có:
 P sin   F1 cos   0

Nên:
Suyra dz 
dz 

tan  

F1 m 2 r dz


P
mg
dr

2
1 2 2
rdr � z 

r C
g
2 g

2
1 2 2
rdr � z 
rC
g
2 g

Khi r=0, z=0 ta có C=0
1 2 2
r mô tả mặt paraboloit tròn xoay
Vậy phương trình quĩ đạo là: z=
2 g

b. Áp dụng công thức p  p0   gz
Trong đó p là áp suất đáy bình, p 0 là áp suất trên mặt chất lỏng ta có:

18


p  p0   g

1 2
2 r2

Bài 15: Một quả bóng bay có bán kính R=5cm bên trong có một viên chì bán
kính r. Khối lượng của quả bóng bay không đáng kể so với khối lượng viên bi.

Bóng nằm lơ lửng trong nước, ngay sát mặt thoáng của một cái bể. Ấn nhẹ của
bóng bay xuống theo phương thẳng đứng. Hãy mô tả chuyển động của hệ đối
với độ chính xác có thể.
Chú ý: Một vật hình cầu bán kính r chuyển động trong chất lưu không xoáy với
vận tốc v sẽ chịu lực cản có dạng:
FV  6 rv và độ nhớt của nước   103 P , khối lượng riêng của nước và chì

tương ứng là  n  103 kg / m3 , c  11,3kg / m3
Giải:
Ở vị trí cân bằng ta có các lực tác dụng lên hệ cân bằng:
4
 n   R 3 g  mg
3

(1)

4
m   n r 3
3

(2)

Từ (1) và (2) suy ra r  2cm
Khi ấn nhẹ, hệ sẽ bắt đầu chuyển động xuống, bán kính của quả bóng sẽ
giảm dần, dẫn đến các lực Ác-si-mét và lực cản nhớt giảm. Hệ thu được gia tốc
hướng xuống và vận tốc của hệ tăng dần. Ở độ sâu nào đó quả bóng sẽ xẹp và
bao lấy viên bi và từ đó bán kính của hệ không giảm nữa (coi xấp xỉ bằng bán
kính viên bi chì). Từ thời điểm đó, lực cản nhớt tăng dần và viên bi sẽ tiến tới
trạng thái tới hạn chuyển động thẳng đều. Ta tính vận tốc tới hạn đó dựa vào
phương trình:

4
mg  6 rv  n gr 3  ma  0 � v  13m / s
3

Bài 16: Một tấm ván có khối lượng không đáng kể, một đầu gắn chặt vào phao
tiêu hình trụ, còn đầu kia được đặt trên bờ một cái kè. Tấm ván hợp với mặt
phẳng ngang một góc   200. Một người có khối lượng m  60 kg từ kè bước vào

19


tấm ván, đi đến phao tiêu, làm cho phao tiêu
chìm dần, nhưng vẫn ở tư thế thẳng đứng. Cho
biết: khối lượng riêng của nước   1000 kg / m3 ;
tấm ván có chiều dài L  2 m; tiết diện ngang
của phao tiêu S  50cm2 . Hãy xác định vị trí của
người đó trên tấm ván tại thời điểm tấm ván
nằm ngang.
Giải:
Muốn cho tấm ván nằm ngang, phao tiêu phải chìm xuống một độ sâu
h  L sin  . Khi đó mômen của trọng lực (mg) của người phải bằng mômen của

lực đẩy Ác-si-mét   Shg   Sl sin  g  tác dụng lên phao tiêu.
Ký hiệu: d là khoảng cách từ người đến bờ kè, khi đó ta có
dmg  L  Sl sin  g � d 

L2 pS sin 
 1,140 m
m

Bài 17: Một tàu hỏa khối lượng m chuyển động với công suất không đổi P. Tại
một thời điểm t0 nào đó, vận tốc của tàu là v0 . Đến thời điểm t1 , vận tốc của tàu
là 2v0 . Tính khoảng thời gian t  t1  t0 và quãng đường mà tàu đi được trong
thời gian đó. Cho biết lực cản của không khí lên tàu tỷ lệ với vận tốc của tàu, bỏ
qua mọi ma sát khác.
Giải:
Phương trình chuyển động của tàu:
m

dv P
  kv, với k là hệ số ma sát nhớt
dt v

2vdv
�2k �
 � �
dt
Từ đó v 2  P
�m �
v

20


2 v0

��
v0

2 v0 �
2vdv
2k �
m �kv02  P �
 � � �
dt
v
�

t

ln �
P
0
�
�m �
v2 
2k �4kv02  P �
k

Phương trình chuyển động cũng có thể viết lại như sau (vì v 

dx
dv P
): mv   kv
dt
dx v

2
2 v0 v dv

k
v2
k t
�  dx 
dv �  �
dx  �
v0
P
P
m
m 0
v2 
v2 
v
v

�
ks �
P 1
�
�
v .
m � k 2
�
�

2 v0

�
�

P�
v
�
�
�
k
k
�
�
�
ln
p �
�
P�
�v 
�
�
k �
�
�
v0

�
�
�
P�
v0 
2v0 
�
�

�
�
k �
m�
1 P� �
�
�
v0 
Từ đó: s  �
�ln
k �
2 k� �
�
�
P�
�
v0 
2v0 
�
�
�
k
�
�
�
�
�

�
P�

�
�
k �
�
�
P�
�
�
k �
�
�

Bài 18: Một khí cầu không khí nóng có khối lượng riêng trung bình 1,20kg/m 3 ở
vị trí cân bằng và nằm ở độ cao 1km so với mực nước biển. Một cơn gió đẩy khí
cầu tới độ cao 1,1km sau đó khí cầu chuyển động xuống không vận tốc ban đầu.
a. Sau bao lâu khí cầu trở lại vị trí cân bằng?
b. Tìm vận tốc của khí cầu khi qua vị trí cân bằng.
Cho biết: Mật độ của khí quyển phụ thuộc tuyến tính vào độ cao. Thể tích của
khí cầu và khối lượng riêng không đổi. Bỏ qua sự thay đổi của gia tốc trọng
trường theo độ cao. Khối lượng riêng không khí ở mực nước biển là 1,29kg/m 3.
Bỏ qua lực cản không khí.
Giải:
Trọn trục Ox hướng lên trên , gốc O là vị trí cân bằng của khí cầu (ở độ
cao h1).
Kí hiệu 1 là khối lượng riêng của không khí ở độ cao h 1, gọi V và M là thể tích
và khối lượng của khí cầu
21


Theo đề bài :

  1  ax (1)

Tại vị trí cân bằng:

1Vg  Mg
� (2)
Vg  Mg  Mx�

Tại tọa độ x:

�(3)
� ( 1  ax)Vg  Mx�
�
�  aVgx  Mx�

Từ (1) và (2)

Khi: x=0 �   1

Tìm a:

Khi: x  h1 �   0
� 0  1  ah1 � a 

M
V  0  D
h1
h1

0 

�a

Thế vào (3): 

0  1
h1

0  D
�
Vg  Mx�
h1

 D

�
 0
gx  0
Nên: x�
h1 D

Phương trình này có nghiệm: x  A sin(t   )


Với

0  D
g
h1 D

Chứng tỏ khí cầu dao động điều hòa.
a. Thời gian khí cầu quay trở lại vị trí cân bằng là:
t

T 
h1 D
 
 64( s )
2 
( 0  D) g

b. Vận tốc của khí cầu quay trở lại vị trí cân bằng là:
V=A   (1100  1000)
Vậy: v=4,9 m/s
Bài 19: (Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT năm 2010):
Trong ống hình trụ có đường kính nhỏ, chất khí chảy ổn định theo đường
dòng song song với trục ống. Tốc độ các dòng chảy giảm dần từ trục ống ra
22


ngoài thành ống do nội ma sát giữa các dòng chảy. Tốc độ dòng chảy lớn nhất ở
trục ống và bằng 0 ở sát thành ống. Lực nội ma sát giữa hai lớp chất khí sát nhau

là Fms

f ms = ηA

dv
dv

dr với A là diện tích tiếp xúc giữa hai lớp chất khí, dr là độ biến

thiên tốc độ trên một đơn vị chiều dài đặt vuông góc với dòng chảy,  là độ nhớt
mà giá trị của nó phụ thuộc vào đường kính phân tử khí d và nhiệt độ T của chất
1

2
2 �mk BT �
η=
�
�
3dπ2 � 3 � với m là khối lượng phân tử khí, kB là
khí theo công thức sau:

hằng số Boltzmann.
Cho các dụng cụ sau:
- bình chứa khí nitơ có áp suất đầu ra không đổi.
- 1 van dùng để thay đổi lưu lượng chất khí.
- 1 ống mao quả hình trụ có chiều dài L, bán kính ống R.
- Một thiết bị đo lưu lượng khí.
- Một áp kế nước hình chữ U.
- Nhiệt kế đo nhiệt độ phòng và các ống dẫn, khớp nối cần thiết.
Hãy:
a. Thiết lập công thức tính lưu lượng khí chảy qua ống theo kích thước ống, độ
trênh lệch áp suất giữa hai đầu ống và độ nhớt của chất khí.
b. Đề xuất phương án thí nghiệm: Vẽ sơ đồ thí nghiệm và nêu các bước tiến
hành để xác định đường kính phân tử khí nitơ.
Giải
a. Thiết lập công thức tính lưu lượng khí chảy qua ống.
Xét hình trụ bán kính r (r < R) đồng trục với ống

hình trụ có dòng khí chảy qua. Do nội ma sát giữa

R
P1

r

vr

P2

các lớp khí bên trong của hình trụ bị triệt tiêu nên
23