SKKN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …………..
TRƯỜNG THPT ……………….

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Người thực hiện: ……………………
Đơn vị: Trường THPT …………..


A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy hình học không gian khối 12, tôi thấy đa phần học sinh rất
lúng túng, kỹ năng giải toán hình không gian còn yếu. Bên cạnh đó bài tập sách giáo khoa
của chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 đưa ra chưa được cân đối,
rất ít bài tập cơ bản, đa phần là bài tập khó, đặc biệt quá khó đối với học sinh yếu dẫn đến
học sinh có tư tưởng nản và không học. Đặc biệt, với học sinh trường THPT Văn Quán có
xuất phát điểm rất thấp nên hầu hết các em rất yếu các môn tự nhiên. Riêng môn Toán, các
em có tâm lý “sợ” câu hình học không gian trong các đề thi. Tôi viết chuyên đề này với
mục đích giúp các em học sinh lớp 12 hệ thống lại các kiến thức cơ bản và hình thành các
phương pháp, kỹ năng giải quyết các bài toán về khối đa diện.
2. Đối tượng áp dụng:
Học sinh lớp 12 chuẩn bị thi THPT Quốc gia.
3. Thời gian dự kiến:
04 tiết dạy chuyên đề + 04 tiết tự học.
B. NỘI DUNG
I. Kiến thức cơ bản:
1)

Cho
a)
b)
c)
d)

∆ABC

Định lý Pitago :

A

BC 2 = AB 2 + AC 2

BA2 = BH .BC; CA2 = CH .CB

AB. AC = BC. AH
C

1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

sin B =
e)
2)

vuông ở A ta có :

H

B

AC
CB
AC
, cosB =
, tan B =
AB
AB
CB

Công thức tính diện tích tam giác :
Đặc biệt :

∆ABC

S=

vuông ở A :

1
AB. AC

∆ABC
2

,

S=

đều cạnh a:

a2 3
4

3) Các tính chất của tam giác vuông, tam giác đều, hình thoi, hình vuông
4) Định lý đường trung bình, định lý Talet.
5) Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý:
 d ⊥ a; d ⊥ b
⇒ d ⊥α

 a, b ⊂ α ; a ∩ b ≠ ∅

2


 d ⊥α
⇒d ⊥a

a ⊂ α

6) Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý:
7) Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng

+, Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng

α

:

α

+ , Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và
8) Lưu ý về công thức tỉ số thể tích
Cho hình chóp S.ABC,

S

A'

A ' ∈ SA, B ' ∈ SB , C ' ∈ SC

VSA' B ' C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
VSABC
SA SB SC

a

B'

, ta có:

A

(*)

C'

B

C

9) Kết quả của bài toán về tam diện vuông
Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC).
+, H là trực tâm của tam giác ABC

+,

1
1
1
1
=
+
+
OH 2 OA2 OB 2 OC 2

II. Nội dung chính:
Bài tập đưa ra trong các tiết dạy được phân theo dạng, lựa chọn bài cho học sinh làm
từ dễ đến khó trong mỗi dạng, một bài có thể giải theo nhiều cách khác nhau.
Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách tìm chiều cao và diện tích đáy

của khối đa diện.
Phương pháp:
1)

+ Xác định đáy hợp lý và dựng được chiều cao khối đa diện.
+ Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào công thức.
Để xác định đường cao ta lưu ý
•
Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.
•
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn
ngoại tiếp mặt đáy.
•
Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao
chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.
•
Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến
của mặt phẳng đó và đáy.
•
Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến
của hai mặt phẳng đó
Để tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý
•
Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông.
3


•

Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc
giữa SC và đáy bằng
a)
b)

60ο

. M là trung điểm SB.

Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Tính thể tích của khối chóp MBCD.

Lời giải:
S

a)Ta có

M

B

A
H

+
+

D
C

1
V = S ABCD .SA
3

S ABCD = (2a ) 2 = 4a 2

∆SAC có : SA = AC tan C = 2a 6

1 2
8a 3 6
⇒ V = 4a .2a 6 =
3
3

Yêu cầu:
+ Học sinh xác định được góc.
+ Xác định được công thức thể tích của
khối, tính độ dài đường cao SA.
+Xác định được đường cao trong
trường hợp chân đường cao có thể
không thuộc mặt đáy của khối.
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác
MH / / SA ⇒ MH ⊥ ( DBC )
b)
Kẻ
vuông
MH =

Ta có:
⇒ VMBCD

1
1
SA S BCD = S ABCD
2
2

,

1
2a 3 6
= V=
4
3

Nhận xét:
+ Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
+ Học sinh gặp khó khăn khi tính SA vì không biết sử dụng hệ thức trong tam giác
vuông.

4


Bài 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a)
b)

Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).
Lời giải:

a) Gọi O là tâm của

∆ABC ⇒ DO ⊥ ( ABC )

1
V = S ABC .DO
3
S ABC

D

+
+

M

a2 3
=
4

,

2
a 3
OC = CI =
3
3

∆DOC vuông có : DO = DC 2 − OC 2
=

A

H

C

O
I
B

Yêu cầu:
+ Học sinh cần nắm được cách vẽ khối
tứ diện đều và tính chất đặc biệt của
khối.

a 6
3

1 a 2 3 a 6 a3 2
⇒V =
.
=
3 4
3
12

b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến
mp(ABC) là MH
MH =

1
a 6
DO =
2
3

+Xác định được đường cao và thể tích
của khối
+Sử dụng thành thạo định lý Pitago
Nhận xét:
+ Học sinh đa phần quên tứ diện đều và tính chất các mặt, các cạnh của nó.
+ Còn yếu trong tính toán độ dài của các yếu tố có trong hình vẽ.
+ Bài tập này là bài 1/25 sgk cơ bản lớp 12 bổ sung thêm câu b.

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
điểm của AC và BD.
a)

AB = a 3

, AD = a, AA’=a, O là giao

Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’.
5


b)
c)

Tính thể tích khối OBB’C’.
Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Lời giải:

B

A

a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.

O
M

D

c

Ta có :

V = AB. AD.AA '

= a 3.a 2 = a 3 3
A'

B'

∆ABD có : DB = AB 2 + AD 2 = 2a
D'

C'

.

* Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường
cao giống khối hộp nên:
1
a3 3
⇒ VOA ' B ' C ' D ' = V =
3
3

Yêu cầu:

b) M là trung điểm BC

⇒ OM ⊥ ( BB ' C ')

1
1 a 2 a 3 a3 3
+Học sinh xác định công thức thể ⇒ VO BB 'C ' = S BB 'C '.OM = . .
=
3
3 2 2
12
tích của khối hộp và khối chóp.

+Biết khai thác tính chất của hình hộp c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện
đứng để làm bài: Chọn đáy của khối
3V
C ' H = OBB ' C '

SOBB '
OBB’C’ là (BB’C’) (thuộc mặt bên
OBB’C’. Ta có :
hình hộp)
+Giải được câu b) tương tự như bài
1b.

∆ABD có : DB = AB 2 + AD 2 = 2a
⇒ SOBB ' =

1 2
a
2 ⇒ C ' H = 2a 3

+ Bài tập này rèn kỹ năng làm toán trên khối lăng trụ đứng, khối hộp chữ nhật.
+ Học sinh khắc sâu cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựa theo thể tích.
Bài tập dạng: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện.
Phương pháp: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính thể tích.
2)

(Trên cơ sở phát hiện những khối dễ xác định đường cao và diện tích đáy)
Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện
ACB’D’.
6


A

Lời giải:

B

Hình lập phương được chia thành: khối
ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC,
D’ACD, AB’A’D’.

D

C

A'

B'

C'

D'

+ Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD,
AB’A’D’ có diện tích và chiều cao bằng nhau
nên có cùng thể tích.
Khối CB’D’C’ có

1 1
1
V1 = . a 2 .a = a 3
3 2
6

+ Khối lập phương có thể tích:

V2 = a 3

Yêu cầu:
+ Học sinh biết chọn đáy và chiều
cao đối với khối nhỏ đang tính.

1
1
VACB ' D ' = a 3 − 4. a 3 = a 3
⇒
6
3

Nhận xét:
+ Học sinh gặp nhiều khó khăn khi phân chia khối.
+ Học sinh không biết chọn đáy để thuận lợi cho việc tính toán.
+ Bài toán này lấy từ bài tập 3/25 sách giáo khoa chỉ thay đổi giả thiết “hình hộp” thành
“hình lập phương cạnh a” có số liệu cụ thể để học sinh dễ tiếp thu. Sau đó, yêu cầu học
sinh tự giải bài 3/25 sách giáo khoa ở nhà.
Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a.
a)
b)

Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE.
Lời giải:
E

A

C

Gọi I là trung điểm AB, Ta có:

F

I

a) Khối A’B’ BC:

1
VA ' B ' BC = S A ' B ' B .CI
3

B

1 a 2 a 3 a3 3
=
.
=
3 2 2
12
C'

A'
J
B'

b) Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và
CFA’B’.

7


+ Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A
Yêu cầu:
+ Học sinh biết cách tính khối A’B’ nên
BC

1
VA 'CEF = SCEF . A ' A
3
1
a2 3
= S ABC =
4
16

SCEF

+Biết phân khối chóp CA’B’FE
thành hai khối chóp tam giác.

3

a 3
+ Biết được đường thẳng nào vuông
⇒ VA 'CEF =
48
góc với mp(CEF), ghi công thức thể
tích cho khối CEFA’.

+ Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối
+ Tương tự cho khối CFA’B’
A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên

1
VA ' B ' CF = SCFB' . A ' J
3
SCFB'

1
a2
= SCBB ' =
2
4

⇒ VA ' B ' CF

1 a 2 a 3 a3 3
=
=
3 4 2
24

VCA'B'FE
+ Vậy :

a3 3
=
16

Nhận xét
+ Bài tập này lấy từ bài 10/27 SGK 12 cơ bản và thay đổi một số giả thiết.
E là trung điểm thay cho trọng tâm G để bài toán dễ hơn, phù hợp với khả năng của
học sinh. (Sau khi học sinh làm được với trung điểm thì sẽ có cơ sở để làm với trọng
tâm tam giác).
+ Sau khi gợi ý giúp học sinh tính thể tích khối A’CEF, học sinh tính được thể tích khối
A’B’CF.
3) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách lập tỉ số thể tích của hai khối đa
diện
Phương pháp:
+ Tìm tỉ số thể tích giữa khối đa diện đã cho với một khối đa diện dễ tìm thể tích .
+ Rút ra thể tích của khối đa diện đã cho.
+ Lưu ý công thức tỉ số thể tích dùng cho khối tứ diện.
8


Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B,

SA = a

với đáy,
a)
b)

AC = a 2

, SA vuông góc

.

Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
α
Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng qua AG và song song với BC cắt
SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Lời giải:
S

a)Ta có:
N

+

G
A

C

M
I

+

SA = a
∆ABC cân có : AC = a 2 ⇒ AB = a

B

⇒ S ABC =

Vậy:

Yêu cầu:
+Học sinh ghi được thể tích khối
SABC và tính.
+Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các
đoạn thẳng để lập tỉ số thể tích hai
khối.
+ Nắm được công thức (*) để lập tỉ số
thể tích đối với khối chóp

1
VS . ABC = S ABC .SA
3

1 2
a
2

1 1
a3
VSABC = . a 2 .a =
3 2
6

b) Gọi I là trung điểm BC.
G là trọng tâm, ta có :

(α)

// BC

⇒

MN// BC

⇒

SM SN SG 2
=
=
=
SB SC SI 3

⇒

VSAMN SM SN 4
=
.
=
VSABC
SB SC 9

VSAMN

Vậy:

SG 2
=
SI 3

4

2a 3
= VSABC =
9
27

Nhận xét:
+ Một số học sinh không nhớ tính chất trọng tâm tam giác, chưa thành thạo định lý
Talet
9


+ Qua bài toán đơn giản này học sinh tiếp cận được cách tính thể tích khối thông qua
khối khác để chuyển qua bài toán khó hơn.
Bài 7:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc
60ο

. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E
và cắt SD tại F.
a)
b)
c)

Hãy xác định mp(AEMF)
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Lời giải:
S

a) Gọi

E

I

C
F

b)

O
A

.

Ta có (AEMF) //BD

M

B

I = SO ∩ AM

D

+

+

S ABCD = a 2

SO = AO.tan 60ο =

∆SOC

có :

Vậy :
+ Học sinh dựng được E, F dưới sự
phát vấn của giáo viên.
+Tính được thể tích của khối S.ABCD
sau khi đã làm qua nhiều bài tập.
+ Giáo viên gợi ý tính thể tích khối
S.AMF. Từ đó học sinh biết cách tính
thể tích khối S.AMF bằng cách lập tỉ
số ( tương tự như bài 5)

c)

EF // BD

1
VS . ABCD = S ABCD .SO
3

VS . ABCD
Yêu cầu:

⇒

VS . AEMF

a 6
2

a3 6
=
6

:

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
⇒

Ta có :
∆SAC

có trọng tâm I, EF // BD nên:
⇒

⇒

SM 1
=
SC 2

SI SF 2
=
=
SO SD 3

VSAMF SM SF 1
=
.
=
VSACD SC SD 3

10


1
1
a3 6
⇒ VSAMF = VSACD = VSABCD =
3
6
36

⇒ VS . AEMF

a3 6 a3 6
=2
=
36
18

Nhận xét:
+ Học sinh gặp khó khăn khi xác định E,F do không nhớ kiến thức về quan hệ song
song.
+ Học sinh đã biết cách sử dụng định lý Talet
+ Sau khi làm bài 6, học sinh tiếp thu bài số 7 dễ dàng hơn.

Bài 8:
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và

AB = a

. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với
CD = a
mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho
. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt
BD tại F và cắt AD tại E.
a)

Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

b)
c)

Chứng minh
Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

CE ⊥ ( ABD )

Lời giải:

D

a)Tính

F

C

VABCD

E

B

Ta có:

1
1
VABCD = S ABC . AD = a 3
3
3

b) Ta có:

⇒ AB ⊥ EC

A

Ta có:
Yêu cầu:

AB ⊥ AC , AB ⊥ CD

c) Tính

DB ⊥ EC ⇒ EC ⊥ ( ABD)

VDCEF

:
11


+ Học sinh chứng minh được đường
thẳng vuông góc mặt phẳng.

Ta có:

+ Nắm được nhu cầu tính các tỉ số
DE DF
DA DB

,

Mà

DE.DA = DC 2

, chia cho

DA2

DE DC 2
a2
1

⇒
=
= 2 =
2
DA DA
2a
2

.

+Biết dụng hệ thức trong tam giác
vuông để suy ra

VDCEF DE DF
=
.
(*)
VDABC DA DB

Tương tự:

DE
DA

DF DC 2
a2
1
=
=
=

2
2
2
DB DB
DC + CB
3

⇒

Từ (*)

VDCEF 1
=
VDABC 6

.

1
a3
VDCEF = VABCD =
6
36

Vậy
Nhận xét:

+ Kỹ năng chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng chưa được tốt.
+ Giáo viên giúp học sinh rút ra tỉ số
vuông và khắc sâu để sử dụng.

DE DC 2
=
DA DA2

từ hệ thức

DE.DA = DC 2

trong tam giác

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy,

SA = a 2

. Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt

SC tại C’.
a)
b)
c)

Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Chứng minh

SC ⊥ ( AB ' D ')

.
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
S

Lời giải:

VS . ABCD
D'

I
B

A

b) Ta có

BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB '

12

O
D

a) Ta có:

B'

C'

1
a3 2
= S ABCD .SA =
3
3

C


SB ⊥ AB '

Ta có

AB ' ⊥ ( SBC )

Suy ra:
c) Tính
+Tính

VS . A B 'C ' D '

VS . AB 'C '

Ta có:

VSA ' B ' C ' SB ' SC '
=
.
(*)
VSABC
SB SC

Yêu cầu:
+Học

sinh

biết

chứng

∆SAC

minh

vuông cân nên

AB ' ⊥ ( SBC )

+ Biết phân thành hai khối chóp
S . AB ' C ', S . AC ' D '
bằng nhau:

Ta có:

+ Sử dụng tỉ số để giải như bài 7.

Từ

SC ' 1
=
SC 2

SB ' SA2
2a 2

2a 2 2
= 2 = 2
=
=
SB SB
SA + AB 2 3a 2 3

(*) ⇒

VSA ' B 'C ' 1
=
VSABC
3

⇒ VSA ' B 'C '

1 a3 2 a3 2
= .
=
3 3
9

VS . A B 'C ' D ' = 2VS . A B 'C '
+

2a 3 2
=
9

Nhận xét:

+ Bài toán này lấy từ bài tập 8/26 sách giáo khoa. Tuy nhiên, tôi thay đổi một số giả
thiết để phù hợp với khả năng của học sinh: “Hình chữ nhật” được thay bởi hình vuông
cạnh a, “Cạnh SA=c” được thay bởi
vậy thì việc tính toán quá nặng.

" SA = a 2 "

. Nếu giữ nguyên các kích thước như

+ Sau khi làm bài 8, học sinh tiếp thu bài toán 9 dễ dàng và nhẹ nhàng hơn.
Nhận xét chung:
+ Một bài toán tính thể tích có thể tính bằng các cách khác nhau.
+ Việc chứng minh quan hệ vuông góc còn dựa vào tính toán (thường học sinh chỉ quen
chứng minh quan hệ vuông góc nhờ vào “định tính”, chưa quan tâm nhiều đến các số liệu
bài toán cho).
+ Sau khi trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản thì học sinh có thể huy động kiến
thức để giải các bài toán tổng hợp.

13


( Việc tính thể tích của khối đa diện có nhiều phương pháp, trong đó còn có thể dùng
phương pháp tọa độ trong không gian. Tuy nhiên, phương pháp này HS chỉ được biết
khi học sang phần “Phương pháp tọa độ trong không gian” và phạm vi ứng dụng của
nó hẹp hơn nên tôi không đề cập ở đây).
4) Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy
góc

60ο

. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc đáy,
SA=

a 2

. Gọi H là trực tâm tam giác ABC.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Tính độ dài đường cao đỉnh A của SABC.
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB=a, BC=
và mp(A’B’C’D’) bằng

30ο

a 2

, góc giữa AC’

. M là trung điểm AD

a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
b) Tính thể tích khối MACB’
Bài 4: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC và ABC đều cạnh a. Góc giữa mp(SBC)
và mp(ABC) bằng

60ο

. Tính thể tích của khối chóp SABC.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có

SA ⊥ ( ABC )

, tam giác ABC vuông cân tại A, BC =

a 2

,

SA=2a. E là trung điểm SB, F là hình chiếu của A lên SC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b) Tính thể tích khối SAEF.
c) Tính khoảng cách từ H đến mp(SAE)
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a, M là
trung điểm SB.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính thể tích khối chóp S.DCM
c) Mặt phẳng(MCD) cắt SA tại N. Tính thể tích khối chóp S.MNDC
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình chữ nhật,
14


AB = 2BC=a, SA= a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) AH, AK là đường cao của tam giác SAB và SAD. Tính thể tích của khối S.AHK
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,
bằng nhau và cùng bằng a

2

AB = 2a, BC = a

. Các cạnh bên

.

a) Tính VS.ABCD theo a.

b) Gọi M, N là trung điểm của AB và CD, K là điểm trên cạnh AD sao cho AK =

a
3

.

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =

a 2

.

SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng
(SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm

của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của
khối tứ diện CMNP.
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABC) là H thuộc AB sao cho
bằng

600

HA = 2 HB

.Góc giữa SC với (ABC)

. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

SA và BC theo a.
Bài 12: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,
cạnh bên AA’ = a

2

.

a) Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BB’. Tính thể tích khối tứ diện
B’AMN theo a.
C. KẾT LUẬN
15


Trong giảng dạy nói chung việc phân loại bài tập và việc chọn trình tự bài tập là vô cùng

cần thiết, Hơn nữa, việc xác định kiến thức trọng tâm, lựa chọn bài tập phong phú, dạy sát
đối tượng là những yếu tố cơ bản đảm bảo thành công hơn nữa. Để dạy học sinh học tốt
phần tính thể tích khối đa diện ngoài những yếu tố trên ta cần lựa các bài tập thật đơn giản
gắn liền những khái niệm cơ bản như góc, khoảng cách, hình chóp đều…một cách nhẹ
nhàng, bên cạnh đó yếu tố nữa mà chúng phải luôn nhắc nhở học sinh khi tính toán nhất
thiết phải đưa về một mặt phẳng, luôn xác định kỹ các khái niệm liên quan đến giả thiết,
mối quan hệ giữa các giả thiêt,c ách dự đoán, cách nhìn ở các góc độ khác nhau…
Chuyên đề này tôi biên soạn xuất phát từ tình hình thực tế ở trường THPT Văn Quán.
Mặc dù đề tài đạt được một số kết quả nhất định song không tránh khỏi những thiếu xót và
hạn chế. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để đề tài phong
phú và có hiệu quả hơn.

16