Bài tập Hình học 11, ôn thi toán THPT

Câu 1: Kết luận nào sau đây là sai?

uuur r
Tur ( A) = B ⇔ AB = u

uur (A) = B
TuAB

A.

B.
T0r ( B ) = B

C.

uuu
r
uuuu
r
uur ( M ) = N ⇔ AB = 2 MN
T2 uAB

D.

Lời giải:
Đáp án D
uuuu
r
uuur
uur ( M ) = N ⇔ MN = 2 AB
T2 uAB

Ta có
. Vậy D sai.
.

Tvr ( M ) = M '; Tvr ( N ) = N '

Câu 2: Giả sử

A.
C.

. Mệnh đề nào sau đây sai?

uuuuuur uuuu
r
M ' N ' = MN

MM ' = NN '

.

B.

.

D.

uuuuur uuuur
MM ' = NN '

MNM ' N '

là hình bình hành.

Lời giải:
Đáp án D

Theo tính chất của một phép tịnh tiến thì các đáp án A, B, C là đúng.
MNM ' N '
không theo thứ tự các đỉnh của hình bình hành nên D sai.
M,N
AD, DC
ABCD
I

Câu 3: Cho hình vuông

tâm

. Gọi

theo vectơ nào sau đây biến tam giác

A.

uuuu
r
AM

.

B.

AMI

lần lượt là trung điểm

thành

. Phép tịnh tiến

INC

uur
IN

.
C.
Ví dụ 1: Lời giải:

uuur
AC

.

D.

uuuu
r
MN

.

Đáp án D uuuu
r uur uur
uuur ( ∆AMI ) = ∆INC
MN = AI = IC ⇒ TuMN
Câu 4: Trong các đối tượng: con cá (hình A), con bướm (hình B), con mèo (hình C), con ngựa (hình
D), hình nào có phép tịnh tiến?


Đáp án D
Trong hình D đối tượng con ngựa này là ảnh của con ngựa kia qua một phép tịnh tiến
theo một hướng xác định.

Câu 5: Cho hình bình hành
Khi đó quỹ tích trung điểm

ABCD
M

A, B
, hai điểm

của cạnh

DC

( C′)
A. là đường tròn

là ảnh của

B. là đường tròn

( C)

là ảnh của
BD

D. là đường tròn tâm

I

( C)
di động trên đường tròn

.

:

( C)

( C ′)

C. là đường thẳng

cố định, tâm

I

TuKIuur , K

qua

là trung điểm của
TuKIuur , K

qua

là trung điểm của

BC
AB

.
.

.
bán kính

ID

.
Lời giải:

Đáp án B.

K
AB ⇒ K

Gọi
là trung điểm của
cố định.
TuKIuur ( I ) = M ⇒ M ∈ ( C ′ ) = TuKIuur ( ( C ) )
Ta có
.
r
M ( 0; 2 ) , N ( −2;1)
v = ( 1; 2 )
Oxy
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ
tịnh tiến theo véctơ

A.

r
v

M ′N ′ = 5

, cho hai điểm

M,N
biến

.

thành hai điểm

B.

M ′N ′ = 7

.

và véctơ

M ′, N ′

tương ứng. Tính độ dài

C.

M ′N ′ = 1

.

. Ơ. Phép

M ′N ′

D.

.

M ′N ′ = 3

.

Lời giải:
Đáp án A.
Tvr ( M ) = M ′
2
2
⇒ MN = M ′N ′ = ( −2 − 0 ) + ( 1 − 2 ) = 5

Tvr ( N ) = N ′
Ta có
.
A ( 2; 4 ) B ( 5;1) C ( −1; −2 )
Oxy
∆ABC

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ

uuur
BC

theo véctơ

∆A′B′C ′

∆ABC

biến

, cho

thành

biết

∆A′B′C ′

,

,

. Phép tịnh tiến

tương ứng các điểm. Tọa độ trọng tâm

G′

của

là:

G′ ( −4; −2 )
A.

G ′ ( 4; 2 )
.

B.

G ′ ( 4; −2 )

.

Lời giải:

C.

G′ ( −4; 4 )
.

D.

.

Đáp án A.

uuur
G ( 2;1) BC = ( −6; −3)
Ta có tọa độ trọng tâm
là
;
.
u
u
u
r
x
=
x
+
x
 G′
 xG ′ = −4

G
BC
uuuu
r uuur ⇔ 
⇔
⇒ G′ ( −4; −2 )
uur
uur ( G ) = G ′ ( x ; y ) ⇔ GG ′ = BC
TuBC
 yG′ = yG + yuBC
 yG′ = −2
G′
G′


∆ABC

r
v = ( a; b )
Câu 8: Cho vectơ

y = f ( x ) = x3 + 3x + 1
sao cho khi tịnh tiến đồ thị
2

nhận được đồ thị hàm số

P=3

. Tính

.

Đáp án A.
Từ

theo vectơ

y = g ( x ) = x − 3x + 6 x − 1
3

A.

B.

P = −1

.
Lời giải:

C.

P = a +b

P=2

.

giả

⇔ x 3 − 3 x 2 + 6 x − 1 = x 3 − 3ax 2 + 3 ( a 2 + 1) x − a 3 − 3a + 1 + b

Đồng nhất thức ta được:

a = 1
⇒ P = a+b =3

b = 2

.

r
v

ta

.

thiết
ta
3
g ( x ) = f ( x − a ) + b ⇔ x 3 − 3x 2 + 6 x − 1 = ( x − a ) + 3 ( x − a ) + 1 + b



Câu 9:

.

D.

P = −3

.
có:


A ( −5; 2 ) C ( −1;0 )

Oxy
Trong mặt phẳng tọa độ
Tìm tọa độ của vectơ

r r
u +v

, cho hai điểm

. Biết

Tur + vr
để có thể thực hiện phép tịnh tiến

( −6; 2 )
A.

,

( 2; −4 )
.

B = Tur ( A ) , C = Tvr ( B )

B.

biến điểm

.

A

thành điểm

( 4; −2 )

.
Lời giải:

C.

C.

( 4; 2 )
.

D.

.

Đáp án C.

uuu
r r
Tur ( A ) = B ⇔ AB = u
Ta có:
uuur r
Tvr ( B ) = C ⇔ BC = v
Mà

uuur uuu
r uuur r r
AC = AB + BC = u + v

Do đó:

uuur r r
Tur +vr ( A ) = C ⇔ AC = u + v = ( 4; −2 )

.

Oxy

F
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ
, cho phép biến hình
xác định như sau: Với mỗi điểm
M ( x; y )
M '= F(M)
M ' ( x '; y ' )
x ' = x + 2; y ' = y − 3
ta có điểm

sao cho
thỏa mãn:
. Mệnh đê
nào sau đây đúng:
r
v
= ( 2;3)
F
F
A.
là
phép
tịnh
tiến
theo
.
B.
là phép tịnh tiến theo
r
v = ( −2;3)
.
r
r
v
=
2;
−
3
v
= ( −2; −3)

(
)
F
F
C.
là phép tịnh tiến theo
.
D.
là phép tịnh tiến theo
.
Đáp án C.

Thật vậy theo biểu thức tọa độ của
Oxy

r
 x′ = x + a  a = 2
⇒
⇒ v = ( 2; −3)

Tvr ( M ) = M ′  y′ = y + b b = −3

r
v = ( −2;1)

.

d : 2x − 3y + 3 = 0

Câu 11: Trong mặt phẳng tọaur độ

, cho
và đường thẳng
,
w = ( a; b )
d1 : 2 x − 3 y − 5 = 0
d1
d
. Tìm tọa độ
có phương vuông góc với đường thẳng để
là ảnh
Tuwr
d
a +b
của qua phép tịnh tiến . Khi đó
bằng:


A.
Đáp án C.

6
13

.

B.

16
13

.

C.

−8
13

.

D.

5
13

.

r
ur
n = ( 2; −3) ⇒ w = ( 2m; −3m)

d
Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là
Twur ( M ) = M ′ ( 2m;1− 3m)
M∈d
, với
u
r
Tw ( d) = d′ ⇒ d′
2x − 3y + β = 0

có dạng
d′
M ⇒ 4m− 3+ 9m+ β = 0 ⇔ β = 3− 13m
Vì
qua
.
⇒ d′ : 2x − 3y + 3− 13m= 0
d1 ≡ d′ ⇒ 3− 13m= −5 ⇔ m=
Để

8
r  16 24 
8 ⇒w
=  ; − ÷⇒ a + b = −
13
 13 13 
13

Câu 12: Cho hai đường thẳng cắt nhau

d

và

d′

. có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường

thẳng này thành đường thẳng kia?

A. Không có.

B. Một.

C. Hai.

D. Vô số.

Lời giải:
Đáp án C.
Có

2

phép đối xứng trục với các trục là hai đường phân giác của góc tạo bởi hai
d
d′
đường thẳng cắt nhau và
.

Câu 13: Hình nào dưới đây có một tâm đối xứng?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.


Lời giải:
Đáp án C.
Hình C có một tâm đối xứng tại giao điểm của hai đường chéo.
Câu 14: Cho đường thẳng

đối xứng với

B

qua

A. Góc giữa
B.
C.
D.

M
M
M

.

d M

AM

d

và hai điểm

là điểm trên

và

d

là giao điểm của
là giao điểm của
là giao điểm của

A, B

thỏa mãn

d

bằng góc giữa
và

A1 B

và

AB1
AB

và

BM

MA + MB

và

d

d

. Gọi

A1

đối xứng với

.

.

d.
Lời giải:

Đáp án D

Với

∀N ∈ d : A1 N + BN ≥ A1 B

do

A1 N = AN , A1M = AM

⇒ AN + BN = A1 N + BN ≥ A1B = A1M + MB = AM + MB
Đẳng thức xảy ra khi

Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ

M ≡N

Oxy

, cho

. Vậy

A1 B ∩ d

A ( −1;3)

.

.

. Tìm ảnh của

A

qua phép đối xứng tâm

O

.

,

A B1

nhỏ nhất. Chọn mệnh đề sai:

.

d
d

nằm cùng phía với


A.

.

A ' ( −1; −3)

B.

A ' ( −1;3)

.

C.

A ' ( 1; −3)

.

D.

A ' ( 1;3)

.

Lời giải:
Đáp án C
Ta có:

x ' = 1
ĐO ( A ) = A ' ⇒ 
⇒ A ' ( 1; −3)
 y = −3

Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ

biến điểm

M

A.

thành

M'

ta có trục

x− y+2=0

x+ y−2= 0

Oxy

.

a

, cho hai điểm

.

M ( 1;3)

và

M ' ( −1;1)

có phương trình:

B.

x− y−2=0

.

C.

x+ y+2=0

.
Lời giải:

Đáp án D

Ta có:
Gọi

a

là trung trực của

MM '

A ( x; y ) ∈ a ⇔ AM 2 = AM '2

⇔ ( x − 1) + ( y − 3) = ( x + 1) + ( y − 1) ⇔ x + y − 2 = 0
2

2

.Phép đối xứng trục

2

2

.

D.

Đa


Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ
tâm

I ( 4;3)

A.

Oxy

, ảnh của đường thẳng

d : x + 2y − 3 = 0

qua phép đối xứng

là:

x + 2 y − 17 = 0

x + 2 y − 15 = 0

.

B.

x + 2 y + 17 = 0

.

C.

x + 2y − 7 = 0

.

D.

.

Lời giải:
Đáp án A.
Sử dụng phương pháp quỹ tích, ta có:

 x′ = 8 − x
 x = 8 − x′
Ðd : M ( x; y ) → M ′ ( x′; y′ ) ⇒ 
⇒
 y′ = 6 − y  y = 6 − y′
Thế vào phương trình

d

ta có:

8 − x′ + 2 ( 6 − y′ ) − 3 = 0 ⇔ − x′ − 2 y′ + 17 = 0 ⇔ x′ + 2 y − 17 = 0.

Câu 18: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm

A. Không có.

B. Một.

C. Hai.

O

, góc quay

α ≠ k 2π , k ∈ ¢.
D. Vô số.

Lời giải:
Đáp án B.

Q( O,α ) ( M ) → M
Câu 19: Chọn
nhiêu độ?

12

khi

M ≡O

tâm quay.

giờ làm mốc, khi kim giờ chỉ một giờ đúng thì kim phút đã quay được một góc bao


A.

360°

.

B.

−360°

.

C.

−180°

.

D.

720°

.

Lời giải:
Đáp án B.
Khi kim giờ chỉ đến một giờ đúng thì kim phút quay được đúng một vòng theo chiêu
âm và được một góc là
.
−360°
Câu 20: Cho hình vuông
ảnh của tam giác

A.
B.
C.
D.

AMN

∆BM ′N ′
∆CM ′N ′
∆DM ′N ′
∆DM ′N ′

với
với

ABCD

tâm

,

O M

qua phép quay tâm

M ′, N ′
M ′, N ′

với
với

M ′, N ′
M ′, N ′

là trung điểm của
góc quay

O

90°

,

AB N

là trung điểm của

OA

. Tìm

.

lần lượt là trung điểm của
lần lượt là trung điểm của

BC , OB

.

BC , OC

lần lượt là trung điểm của
lần lượt là trung điểm của

DC , OD
AD, OD

.
.
.

Lời giải:
Đáp án D.
Ta có:
Q( O,90°) ( A ) = D
Q( O,90°) ( M ) = M ′
Q( O,90°) ( N ) = N ′

là trung điểm
là trung điểm

Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

AD

OD

.

.

, Qua phép quay tâm

O

, góc quay

90

0

biến điểm

M ( −3;5 )

thành điểm nào?

A.

( 3; 4 )

B.

( −5; −3)

.

C.

( 5; −3)

.

D.

( −3; −5 )

.

Lời giải:
Đáp án B

x ' = − y
Q O ,900 : M ( x; y ) → M ' ( x '; y ') ⇒ 
( )
y' = x
Cách 1: Dùng biểu thức tọa độ

 x ' = −5
⇒ M ': 
 y ' = −3

Cách 2: Vẽ biễu diễn tọa độ của điểm trên hệ trục

Cách 3: Ta có

Oxy ⇒ M ' ( −5;3)

.

OM = OM '
 x ' = −5
 34 = x '2 + y '2
ruuuuu
r
Q O;900 ( M ) = M ' ⇔  uuuu
⇔
⇒

(
)
 y ' = −3
OM OM ' = 0  −3 x '+ 5 y ' = 0

Nhận xét: Độc giả vận dụng cách 1 nhanh hơn, các cách 2 và cách 3 khá dễ hiểu
nhưng dài hơn.
Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ

M

qua phép quay tâm

A.

(

M ' 0; 2

)

.

O ( 0; 0 )

Oxy

, cho điểm

, góc quay

B.

M'

(

450

2; 0

M ( 1;1) .

Hỏi điểm nào sau đây là ảnh của điểm

?

)

.

C.

M ' ( 0;1)

Lời giải:
Đáp án A

 x ' = x cos ϕ − y sin ϕ
Q O ,900 : M ( x; y ) → M ' ( x '; y ' ) ⇒ 

( )
 y ' = x sin ϕ + y cos ϕ
Cách 1: Theo biểu thức tọa độ

 x ' = 0
:
⇒ M ' 0; 2
 y ' = 2

(

)

.

D.

M ' ( 1; −1)

.


Góc giữa 2 vecto:

xx '+ yy '

cosϕ =

Cách 2:

x 2 + y 2 . x '2 + y '2

OM = OM '
Q O ;450 M ( x; y ) → M ' ( x '; y ') ⇔= 
0
( )
( OM , OM ' ) = 45

 12 + 12 = x '2 + y '2
 x '2 + y '2 = 2

⇔
⇔
x '+ y '

0
cos45 =
 x '+ y ' = 2
2
2
2 x' + y'


(

Giải hệ trên ⇒ M ' 0; 2

)

Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ

( C ) : x2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0
A.
C.

2

( x − 2 ) 3 + ( y + 1)
2

2

, viết phương trình đường tròn

qua phép quay

( x + 2 ) + ( y + 1) = 9
2

Oxy

Q

.

π
 O ,− ÷
2


.

B.
D.

= 9.

( x − 2)

2

+ ( y − 1) = 9.

( x − 1)

2

+ ( y + 2 ) = 9.

2

2

Lời giải:
Đáp án A
Cách 1: Đường tròn

Q

π

 O,− ÷
2


( C)

( C’)

có tâm

( I ) = I ' ⇒ I ' ( −2; −1)

I ( 1; −2 )

, bán kính

R=3

.

là ảnh của


Đường tròn

( x + 2)

có tâm

( C ')

I ' ( −2; −1)

, bán kính

R' = R = 3

có phương trình:

+ ( y + 1) = 9

2

2

Cách 2: Phương pháp quỹ tích
Ta có

với

π  : M ( x; y ) → M ' ( x '; y ' )

Q

 O,− ÷
2


Từ biểu thức tọa độ

Thế vào

( C ) : ( − y ')

∀M ∈ ( C ) ⇒ M ' ∈ ( C ')

x ' = y
x = − y '
⇔

 y ' = −x
y = x'
+ ( x ' ) + 2 y '+ 4 x '− 4 = 0

2

2

⇔ ( x ') + ( y ') + 4 x '+ 2 y '− 4 = 0
2

2

⇔ ( x '+ 2 ) + ( y '+ 1) = 9
2

Câu 24: Gọi

I

2

là tâm hình vuông

ABCD

(thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào

sau đây sai ?

A.

Q I ,900 ( ∆IBC ) = ∆ICD

(

C.

B.

)

Q I ,1800 ( ∆IBC ) = ∆IDA

(

.

Q I ,−900 ( ∆IBC ) = ∆IAB

(

.

D.

)

)

Q I ,3600 ( ∆IBC ) = ∆IDA

(

.

.

)

Đáp án D.
Câu 25: Cho phép dời hình:

2

2

( C) : ( x +1) +( y - 2) = 2

F : M ( x; y) ® M '( x - 3; y +1) .

qua phép dời hình

F

.

Xác định ảnh của đường tròn


A.
C.

2

2

2

2

( x - 4) +( y + 3) = 2
( x + 4) +( y - 3) = 2

.

B.

.

D.

2

2

2

2

( x + 2) +( y - 1) = 2
( x - 2) +( y +1) = 2

.
.

Đáp án C

ìï x ' = x - 3 ìïï x = x '+ 3
Þ ïí
Û í
F : M ( x; y) ® M '( x '; y ') ïîï y ' = y +1 ïîï y = y '- 1
Ta có
2
2
2
2
M ( x; y) Î ( C) : ( x +1) +( y - 2) = 2 Û ( x '+ 4) +( y '- 3) = 2
2

Vậy phương trình

.

2

( C ') là: ( x + 4) +( y - 3) = 2

Câu 26 : Cho ∆ABC có cạnh 3,5, 7 . Phép đồng dạng tỉ số k = 2 biến ∆ABC thành ∆A′B′C ′ có diện
tích là:

15 3
A. 2 .

15 3
C. 4 .

B. 15 3 .

15 3
D. 8 .

Lời giải::
Đáp án B.
15 3
4
Ta có:
Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
S
⇒ ∆A′B′C ′ = 4 ⇔ S ∆A′B′C ′ = 15 3

S ∆ABC
.
S ∆ABC =

A ( 3; 2 )
Câu 27: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm
. Ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số
k = −1 là:
A.

( 3; 2 )

.

B.

( 2;3) .

C.

( −2; −3) .

D.

( −3; −2 ) .

Lời giải::
Đáp án D.

 x′ = −3

V( O ,−1) ( A) = A′ ⇒ A′ : 
 y ′ = −2
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự:
A ( 0;3) , B ( 2; −1) , C ( −1;5 ) .
Oxy,

Câu 28: Trong mặt phẳng tọa độ

Phép vị tự tâm A tỉ

cho ba điểm

số k biến B thành C . Khi đó giá trị k là:

1
2.
A.
Đáp án A
k =−

B. k = −1 .

C.

k=

1
2.

D. k = 2 .

M ( 2; 4 )
Câu 29: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm
. Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện
liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
điểm nào sau đây?

k=

( 2; −1) .
A.
Đáp án A
Ta có

1
2 và phép quay tâm O góc quay −90° sẽ biến điểm M thành

B.

( 2;1) .

C.

( −1; 2 ) .

D.

( 1; 2 )

Lời giải:
uuuur 1 uuuu
r
V 1  ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) ⇔ OM ′ = OM ⇒ M ′ ( 2; −1)
2
O; ÷
 2

 x′′ = y ′ = 2
Q( O ;−90°) ( M ′ ) = M ′′ ( x′′; y′′ ) ⇒ 
⇒ M ′′ ( 2; −1) .
 y′′ = − x′ = −1

d : 2x − y = 0

Oxy,
Câu 30: Trong mặt phẳng

cho đường thẳng

thỏa mãn phép đồng dạng có được

Oy
O
k = −2
bằng cách thực hiện llieen tiếp phép vị tự tâm
tỉ số
và phép đối xứng trục
sẽ biến
d

đường thẳng thành đường thẳng nào sau đây?
−2 x − y = 0
A.
.
2x + y − 2 = 0

2x + y = 0
B.

4x − y = 0
.

C.

.

Đáp án A
V( O;−2) ( d ) = d ′ ⇒ d ′ Pd
Ta có:
⇒ d′

Chọn

Lời giải:

2x − y + c = 0
có dạng:
N ( 1; 2 ) ∈ d : V( O;−2) ( N ) = N ′ ( −2; −4 ) ∈ d ′ ⇒ −4 + 4 + c = 0 ⇒ c = 0

d ′ : 2x − y = 0

+ phương trình đường thẳng
′
′′
Oy
oy ( d ) = d
Qua phép đối xứng trục
:Đ
−2 x − y = 0
d ′′
cần tìm là:
Suy ra phương trình ảnh

D.


( C ) : ( x − 1)

Oxy
Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ

O

tỉ số

( C)
thành đường tròn nào sau đây? (

2

O

. Phép đồng dạng là

k = −2

và phép quay tâm

A.
2
( x + 2 ) + ( y + 4 ) = 16

O

góc quay

1800

sẽ biến

là gốc tọa độ)

x2 + y 2 − 4x − 8 y − 2 = 0

x2 + y 2 + 4x + 8 y + 2 = 0
B.

( x − 2)

2

C.

+ ( y − 2) = 4

, cho đường tròn

phép thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm
đường tròn

2

2

+ ( y − 4 ) = 16
2

D.

Đáp án D.

( C)

J ( 1; 2 )

R=2
Đường tròn
có tâm
bán kính
V( O;−2) ( J ) = J1 ( x′; y′ ) ⇒ J1 ( −2; −4 )

R1 = 2 R = 4
, bán kính
2
2
( C1 ) : ( x + 2 ) + ( y + 4 ) = 16
⇒
Phương trình
Q O ;1800 ( J1 ) = J 2 ( x′′; y′′ ) ⇒ J 2 ( 2; 4 )
R2 = R1 = 4
(
)
, bán kính
2
2
( x − 2 ) + ( y − 4 ) = 16
Vậy phương trình đường tròn cẩn tìm là:

M ( 0;1)

Oxy
Câu 32: Trong mặt phẳng tọa độ

I ( 4; 2 )
qua phép vị tự tâm
điểm nào sau đây?

tỉ số

, cho điểm

k = −3

( 16;5 )
A.

. Phép đồng dạng là phép thực hiện liên tiếp

d : x − 2y + 4 = 0
và phép đối xứng qua trục

( 14;9 )
B.

sẽ biến

( 12;13)
C.

M

thành

( 18;1)
D.

Đáp án C.

uuuu
r
uuur

V( I ;−3) ( M ) = M ′ ( x; y ) ⇔ IM ′ = −3IM ⇒ M ′ ( 16;5 )

Ta có:
.
′
′′ ′′ ′′
2x + y + c = 0
d( M ) = M ( x ;y ) ⇒ d
M ′M ′′ ⇒ M ′M ′′
Đ
là trung trực của
có dạng:
M′
đi qua


⇒ c = −37 ⇒ M ′M ′′ : 2 x + y − 37 = 0
Gọi

⇒

H

là trung điểm của

tọa độ

H

M ′M ′′

là nghiệm của hệ

2 x + y − 37 = 0
⇒ H ( 14;9 ) ⇒ M ′′ ( 12;13 )

x − 2 y + 4 = 0

.