tuyen chon cac bai hinh hoc 11.on thi ki 2.(Co loi giai)

Tuyển chọn những bài hình hay lớp 11-Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn
Tuyển chọn một số bài hình học 11 ôn thi kì 2
Cõu 1:(2, 5 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD, ỏy tam giỏc ABC vuụng cõn ti B v SA
(ABC)
bit SA = a v BC = a
a. Chng minh:
SB CB
b. Xỏc nh gúc gia SC v (SAB)
c. Tớnh khong cỏch t A n mp(SBC)
H
C
B
A
S
0,25
a

SA (ABC) SA BC (1)
Ta cú: tam giỏc ABC vuụng ti B
AB BC (2)
T (1) v (2)
BC (SAB)
m
SB (SAB)
nờn
BC SB

0,75
b
BC (SAB)
nờn SB l hỡnh chiu ca SC lờn (SAB)

^
^ ^
(SC,(SAB)) ( , )
= =
SC SB
BSC

^
BSC
SB 2
os
SC
3
= =
c
0,75
c
K
AH SB,H SB
Ta cú :
BC (SAB) BC AH
SB AH AH (SBC)
BC,SB (SBC);BC SB=B

Khi ú AH l khong cỏch t A n (SBC)
Tam giỏc SAB vuụng cõn ti A. SA = AB = a
SB a 2 =
AH SB
H l trung im ca SB
1 2
AH = SB = a
2 2

0,75
Cõu 2.(2) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, SA(ABCD). Gi I l
trung im ca cnh SC
a) Chng minh AI BD
b) (BID) (ABCD)
c) Tớnh din tớch tam giỏc BID bit SA = AB = a.
O
I
S
D
C
B
A
V hỡnh
0,5
a) Do ABCD l hỡnh vuụng nờn BD AC, mt khỏc SA (ABCD) nờn
0,5
1
Tuyển chọn những bài hình hay lớp 11-Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn
SA BD, suy ra BD (ASC). Vy AI BD.

b) Gi O l giao im ca AC v BD khi ú O l trung im ca AC nờn OI l
ng trung bỡnh ca tam giỏc SAC, ta cú OI //SA.
Theo gi thit SA (ABCD) do ú OI (ABCD) suy ra (BID) (ABCD).
0,25
0,25
c)
0
2
; 2
2 2 sin 45
1 1 2
. . . . 2
2 2 2 4
BID
SA a a
OI BD a
a a
S OI BD a
= = = =
= = =
V
0,25
0,25
Cõu 3 (2 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, SA vuụng gúc vi mt
phng (ABCD).
a. Chng minh cỏc mt bờn ca hỡnh chúp l cỏc tam giỏc vuụng.
b. Gi M, N ln lt l trung im SB, SD. Chng minh
MN BDP
v
( )

MN SAC
.
a
Chng minh c SAB, SAD vuụng ti A (0,25 im)
Chng minh c SBC vuụng ti B (0,25 im)
Chng minh c SDC vuụng ti D (0,25 im)
0,50
0,25
0,25
0,25
b Chng minh c
MN BDP
(0,25 im)
M
( )
( )
( )
( )
hai đ#ờng chéo của hình vuông
vì
BD AC
BD SAC
BD SA SA ABCD

Nờn
( )
MN SAC
(0,5 im)
0,25
0,25
0,25
Câu 4) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh ch nht, tõm O v AB = SA = a,
BC =
3a
, SA

(ABCD)
a. Chng minh cỏc mt bờn ca hỡnh chúp l nhng tam giỏc vuụng.
b. Gi I l trung im ca SC. Chng minh IO

(ABCD)
c. Tớnh gúc gia SC v (ABCD).
Giải:
a) Cm cỏc mt bờn ca hỡnh chúp l nhng tam giỏc vuụng
* Vì
( ) ;SA ABCD SA AB SA AD
nên các tam giác SAB,SAD vuông tại A
*Xét tam giác SBC có
BC AB
BC SB
BC SA

. vậy tam giác SBC vuông tại B
* Xét tam giác SDC có
DC AD
DC SD
DC SA






.vậy tam giác SDC vuông tại D
b) Ta có
/ /
( )
( )
IO SA
IO ABCD
SA ABCD





c) Vì SA

(ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC xuống (ABCD)
vây (SC,(ABCD))=(SC,AC)=SCA. Tam giác vuông SAC có tanSCA=SA/AC=a/2a=1/2
( AC
2
=AB
2
+BC
2
=a
2
+3a
2
=4.a
2
nên AC=2 )
2
Tuyển chọn những bài hình hay lớp 11-Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn
Câu 5) Cho hỡn chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng tõm O cnh bng 1 v cỏc cnh bờn bng
nhau v bng
2
.
a. Chng minh (SBD)

(SAC)
b. Tớnh di ng cao ca hỡnh chúp.
c. Tớnh gúc gia cnh bờn v mt ỏy.
Giải:
a)
( ) ( ) ( )
BD AC

BD SAC SBD SAC
BD SO






(Tam giác cân SBD có SO là trung tuyến nên SO vuông góc với BD)
b)
( )
SO BD
SO ABCD
SO AC






vậy SO là đờng cao của hình chóp
tam giác SOD vuông tại O có SO
2
=SD
2
-OD
2
mà BD
2
=BC

2
+CD
2
=1+1=2 nên
2
2
2
BD OD= =
vậy có SO
2
=SD
2
-OD
2
=2-2/4=3/2
vậy
3 6
2 2
SO = =
c) Vì SO

(ABCD) nên BO là hình chiếu vuông góc của SB xuống (ABCD
(SB,(ABCD))=(SB,BO)=SBO
cosSBO=
BO
SB
=
2 1
: 2
2 2

=
Vậy (SB,(ABCD))=60
0
Câu 6) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng tõm ti A, SA = AB = AC = a
SA

ỏy
a. Gi I l trung im BC. Chng minh BC

(SAI)
b. Tớnh SI
c. Tớnh gúc gia (SBC) v mt ỏy.
Câu 7) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng, tõm O v SA

(ABCD) . Gi H, K ln
lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn SB, SD.
a. Chng minh BC

(SAB), BD

(SAC)
b. Chng minh SC

(AHK)
giải:
a)
( )
BC AB
BC SAB
BC SA

Tơng tự
( )
BD AC
BD SAC
BD SA






b) Chng minh SC

(AHK)
* Chng minh AH

SC
( )
AH SB
AH SBC AH SC
AH BC

( Vì
( )
BC AB
BC SAB BC AH
BC SA






)
* Chng minh AK

SC
( )
AK SD
AK SCD AK SC
AK DC






Từ Đó

( )
AH SC
SC AHK
AK SC






câu 8) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi, tõm O v SA = SC, SB = SD.
a. Chng minh SO

(ABCD)
3
Tuyển chọn những bài hình hay lớp 11-Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn
b. Gi I, K ln lt l trung im ca AB v BC. Chng minh IK

SD
Giải:
a) tam giác SAC cân tại S có trung tuyến AC nên SO

AC
tam giác SBD cân tại S có trung tuyến BD nên SO

BD
vậy SO

(ABCD)
b)

/ /IK AC
IK BD
AC BD





(1)
Mà SO

(ABCD) nên SO

IK (2)
Từ (1) và (2) suy ra IK

(SBD) nên IK

SD
câu 9) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, tõm O, SA = a v SA

(ABCD) .
a. Tớnh khong cỏch t A n (SBD).
b. Chng minh (SBC)

(SAB)
c. Tớnh khong cỏch t C n (SBD).
Giải:
a) Từ A kẻ AH vuông góc với SO tại H thì H thuộc (SBD)
ta có

( )
BD AC
BD SAC BD AH
BD SA






VậY
( )
AH SO
AH SBD
AH BD






hay d(A,(SBD))=AH
xét tam giác vuông SAO có
2 2 2
1 1 1
AH SA AO
= +
(1)
tính
2 2 2 2

2
2
2
a
AC AB BC a a a AO= + = + = =
thay vào (1) có
2
2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 1 1 3
2
( )
2
2
a
AH SA AO a a a
a
= + = + = + =
.
Vậy d(A,(SBD))=AH=
3
3
3
a a
=
Câu 10 : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA (ABCD), t giỏc ABCD l hỡnh vuụng cnh a,
SA = a
2
. gọi I v K ln lt l trung im ca cỏc cnh CD v DA.
1) Chng minh BD (SAC) v BK SI

2) Xỏc nh gúc gia ng thng SC v (SAD);
3) Xỏc nh gúc gia hai ng thng AI v SC.
Câu 11: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v D.AB =
3a ; AD = DC = 2a . SA

(ABCD) v SA = 4a.
a) Chng minh rng: (SCD)

(SAD)
b) Tớnh gúc gia ng thng SC v mt phng (ABCD).
c) Tớnh khong cỏch t im A n mt phng (SCD).
giải:
a)
( ) ( ) ( )
DC AD
DC SAD SDC SAD
DC SA






b) Vì SA

(ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC xuống (ABCD)
4
Tuyển chọn những bài hình hay lớp 11-Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn
vậy (SC,(ABCD))=(SC,AC)=SCA và tanSCA=
4

2
2 2
SA a
AC
a
= =
Tính
2 2 2 2 2
(2 ) (2 ) 8 2 2AC AD DC a a a a= + = + = =
c) Từ A kẻ AH vuông góc với SD tại H thì AH vuông góc với (SDC) vì
ta có
( )
AH SD
AH SDC
AH DC






hay d(A,(SCD))=AH
xét tam giác vuông SAD có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
16 4 16AH SA AD a a a
= + = + =
.
Vậy d(A,(SCD))=AH=
4 4 5

5
5
a a
=
câu 12. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a , SA vuụng gúc
vi ỏy , SA = a
2
.
a) Chng minh rng cỏc mt bờn hỡnh chúp l nhng tam giỏc vuụng.
b) CMR (SAC)

(SBD) .
c) Tớnh gúc gia SC v mp ( SAB ) .
d) Tớnh gúc gia hai mt phng ( SBD ) v ( ABCD ) .
Giải:
a)
* Vì
( ) ;SA ABCD SA AB SA AD

nên các tam giác SAB, SAD vuông tại A
*Xét tam giác SBC có
BC AB
BC SB
BC SA

.vậy tam giác SBC vuông tại B
* Xét tam giác SDC có
DC AD
DC SD
DC SA






. vậy tam giác SDC vuông tại D
b)
( ) ( ) ( )
BD AC
BD SAC SBD SAC
BD SA






c) Vì BC

(SAB) nên SB là hình chiếu vuông góc của SC xuống (SAB)
vậy (SC,(SAB))=(SC,SB)=BSC và tanBSC=
2 2 2 2
1 3
3

3 3
2
BC BC a a
SB
a
SA AB a a
= = = = =
+ +
vậy (SC,(SAB))=(SC,SB)=60
0
d) ((SBD),(ABCD))=(AO,SO)=AOS tanAOS=SA/AO=2
Câu 13 .Cho t din OABC cú OA , OB , OC , ụi mt vuụng gúc v OA= OB = OC =
a , I l trung im BC .
a . CMR : ( OAI )

( ABC ) .
b. CMR : BC

( AOI ) .
c . Tớnh gúc gia AB v mp ( AOI ) .
Giải :
a) Có tam giác OBC cân tại O nên OI

BC
mặt khác
( )
OA OB
OA OBC OA BC
OA OC

vậy có
( ) ( ) ( )
BC OI
BC OAI ABC OAI
BC OA






b)
( )
BC OI
BC OAI
BC OA






c) Vì BC

(OAI) nên AI là hình chiếu vuông góc của AB xuống (OAI)

5
Tuyển chọn những bài hình hay lớp 11-Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn
vậy (AB,(AOI))=(AB,AI)=BAI. Trong tam giác vuông ABI vuông tại I có sinBAI=BI/AB
2 2 2 2
2AB OA OB a a a= + = + =
2 2 2 2
2
2
2
a
BC OC OB a a a BI= + = + = =
Thay vào có sinBAI=BI/AB=
2
: 2 1/ 2
2
a
a =
vậy (AB,(AOI))=(AB,AI)=30
0
Câu 14:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA

(ABCD) và
SA=2a
a) Chứng minh (SAC)

(SBD) ; (SCD)

(SAD)
b) Tính góc giữa SD và (ABCD) ,SB và (sad) ; sb và (sac)
c) xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của sd và bc ; ad cà sb ; sc và bd

giải :
Cõu 15: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, tõm O. Cnh SA = a v SA

(ABCD). Gi E, F ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn cỏc cnh SB v SD.
a) Chng minh BC

(SAB), CD

(SAD);
b) Chng minh (AEF)

(SAC);
c) Tớnh tan vi l gúc gia cnh SC vi (ABCD).
d) Tớnh khong cỏch d
1
t A n mt phng (SCD).
e) Tớnh khong cỏch d
2
t B n mt phng (SAC).
Giải:
a)
( )
BC AB
BC SAB
BC SA

( )
CD AD
CD SAD
CD SA






b)
(1)
(2)
AE SB
AE SC
AE BC
AF SD
AF SC
AF CD

Từ (1) Và (2) Có
( ) ( ) ( )
SC AE
SC AEF SCA AEF
SC AF






c) Vì SA

(ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC xuống (ABCD)
vậy

=(SC,(ABCD))=(SC,AC)=SCA vậy tan

=tanSCA=
1 2
2
2 2
SA a
AC
a
= = =
d) ta chứng minh

( )AF SCD
Thật vậy có
( )
AF SD
AF SCD
AF CD






VậY d(A,(SCD))=d1=AF
Có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2
AF SA AD a a a
= + = + =
nên d(A,(SCD))=d1=AF=
2
2
2 2
2
a a a
= =
e)
( )
BD AC
BD SAC
BD SA

VậY d(B,(SAC))=d2=BO=
2
2
a
Cõu 16 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng ABCD cnh a, SA (ABCD), SA = a.
1) (SAB) (ABCD);
2) CD (SAD);
6
Tuyển chọn những bài hình hay lớp 11-Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn
3) Tớnh cỏc gúc [SB, (ABCD)]; [(SBD),(ABCD].
4) Tớnh cỏc khong cỏch d[SA, BD]; d[BD, SC].
Giải:
a)
( ) ( ) ( )SA ABCD SAB ABCD
b)
( )
CD AD
CD SAD
CD SA

c) (SB,(ABCD))=(SB,AB)=SBA=45
0
d) Có
AO BD
AO SA






d(SA,BD)=AO=
2
2
a
e) Từ O kẻ OH

SC thì do
( )BD SAC BD OH
vậy OH là đờng vuông góc chung của SC và BD
vậy d(SC,BD)=OH=
2
a
CU 17:T din S.ABC cú ABC u cnh a, SA (ABC), SA =
3
2
a
.Gi I l trung im
BC.

a) Cmr (SBC) (SAI). b) Tớnh d[A,(SBC)].
c) Tớnh d[SA, BC].
Giải:
a)
( ) ( ) ( )
BC AI
BC SAI SBC SAI
BC SA






BC

AI vì tam giác ABC đều có AI là trung tuyến
b) Tớnh d[A,(SBC)].
Trong mp (SAI) kẻ AH vuông góc với SI tại H
Vì
( )BC SAI BC AH
Vậy
( ) ( ,( ))
AH SI
AH SBC d A SBC AH
AH BC


=

Trong tam giác vuông SAI có
2 2 2
1 1 1
AH SA AI
= +
(*)
Tam giác vuông AIC có
2
2 2 2 2 2
3 3
( )
2 4 2
a a a
AI AC IC a AI= = = =
Thay vào (*) có :
2
2
2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 16 9 3
3
3
9 16 4
( )
2
4
a a
AH

a
a
AH SA AI a
= + = + = = =
c)
AI SA
AI BC






AI là đờng vuông góc chung của SA và BC
3
( , )
2
a
d SA BC AI= =
7