Chương 2.BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐIBài 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM & CÁC TÍNH CHẤT

Chương 2. BIẾN NGẪU NHIÊN
VÀ HÀM PHÂN PHỐI
Bài 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM
& CÁC TÍNH CHẤT
1.1. Khái niệm 1:
Biến ngẫu nhiên là một biến số mà
giá trị nó nhận là một số mà ta không nói
trước được. Tức là giá trị biến số này nhận
là một số ngẫu nhiên.
Ví dụ 1: Gieo một con xúc sắc thì giá trị


mà nó nhận có thể là 1; 2; 3; 4; 5; 6, nhưng
không có giá trị nào có thể nói trước được.
Vậy nếu ta gọi X là số chấm xuất hiện
trên mặt con xúc sắc thì X là một biến ngẫu
nhiên.
1.2. Định nghĩa 1:
Gọi  là tập hợp tất cả các biến cố sơ
cấp trong một phép thử. Ánh xạ X từ 
vào R được gọi là biến ngẫu nhiên.


Tức là phép đặt tương ứng một biến cố
sơ cấp A với một số thực X(A) gọi là một
biến ngẫu nhiên.
Ví dụ 1: Gieo một con xúc sắc. Tập các
biến cố sơ cấp là

   A1 ; A2 ; A3 ; A4 ; A5 ; A6 

Ánh xạ X :  � R
Ai a X ( Ai )  i

Là một biến ngẫu nhiên.


Ví dụ 2: Trong hộp có 10 bi trong đó có 3
bi đỏ và 7 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ
hộp.    A0 ; A1; A2 ; A3  Với Ai là biến cố
chọn 3 bi mà có đúng i bi đỏ. Ánh xạ
X : � R
Ai a X ( Ai )  i

Là một biến ngẫu nhiên.
Để cho đơn giản ta chỉ cần gọi X là số bi đỏ
chọn ra được trong số 3 bi đã chọn, thì X là
biến ngẫu nhiên.


Ví dụ 3: Gọi X là khỏang thời gian mà một
bóng đèn (hay một thiết bị nào đó ) bị hỏng.
X là một đại lượng ngẫu nhiên.
X có thể nhận các giá trị từ 0 cho đến vô
cùng
1.3. Phân lọai biến ngẫu nhiên:
Biến ngẫu nhiên mà nó nhận là các giá
trị đếm được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.
Chẵng hạn ví dụ 1, 2

Biến ngẫu nhiên mà nó nhận là các giá
trị không đếm được gọi là biến ngẫu nhiên
liên tục.
Chẵng hạn ví dụ 3.
1.4. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc:
Là bảng gồm hai dòng: dòng trên ghi
những giá trị mà X nhận, dòng dưới ghi xác
suất mà X nhận giá trị đó.


x1
p1

X

P

X

x2
p2

...
...

xn
pn

Trong đó pi  p[ X  xi ]

Ví dụ 1:
Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt
khi gieo một con xúc sắc. Ta có bảng phân
phối xác suất như sau:
X
pX

1
1/6

2
1/6

3
1/6

4
1/6

5
1/6

6
1/6


Ví dụ 2: Trong hộp có 10 sản phẩm trong
đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Chọn
ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp. Gọi X là số
chính phẩm chọn ra được.

Lập bảng phân phối xác suất của X.
X có thể nhận các giá trị
2 0; 1; 2 với xác suất
C4
2
như sau: p[ X  0]  2 
C10 15
1 1
6 4
2
10

2
6
2
10

CC 8
C 1
p[ X  1] 
 ; p[ X  2] 

C
15
C 3


Từ đó ta có bảng phân phối xác suất
của X là:
X 0

X
P 2
15

1
8
15

2
1
3

1.5. Tính chất của bảng phân phối xác suất:
i) p[a �X  b] 
ii)

a �xi b

n

�p[ X  x ]  1
i 1

� p[ X  x ]

i

i

1.6. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc:
Là hàm số có miền xác định là R và
được xác định theo công thức sau:
F ( x)  p[ X  x]  �p[ X  xi ]
xi  x

Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện trên
mặt khi gieo một con xúc sắc. Lập hàm
phân phối xác suất của X
Ta có bảng phân phối xác suất của X


X
px

1
1/6

2
1/6

3
1/6

4
1/6

5
1/6

6
1/6

Từ công thức
F ( x )  p[ X  x ] 

�p[ X

xi  x

ta có hàm phân phối của X

 xi ]


�
�
0
x �1
�
�1
1  x �2
�6
�1 1
�
2  x �3
�6 6
�
�1 1 1

F ( x)  �  
3  x �4
�6 6 6
�1 1 1 1
4  x �5
�6  6  6  6
�
�1  1  1  1  1
5  x �6
�6 6 6 6 6
�
�1  1  1  1  1  1
x6
�6 6 6 6 6 6


Ví dụ 2: Một người dùng 3 viên đạn bắn
vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục
tiêu là 0,6. Người này bắn đến khi hoặc
hết đạn hoặc trúng mục tiêu mới thôi. Gọi
X là số viên đạn bị tiêu hao.
a/ Tìm bảng phân phối của X.
b/ Tìm hàm phân phối xác suất của X.
c/ Tính P[1≤X<4].


1.7. Định nghĩa biến ngẫu nhiên liên tục:
Giá trị của X lấp đầy khoảng (a;b) nào
đó.
a, b có thể vô hạn.

Ví dụ: Nếu quan sát nhiệt độ X tại một
thời điểm trong ngày thì ta có X là ĐLNN
liên tục.
Đối với biến ngẫu nhiên liên tục không
thể dùng bảng phân phối xác suất. Ta có
định nghĩa sau.


1.8. Định nghĩa hàm mật độ (hay hàm mật
độ phân phối xác suất) của biến ngẫu nhiên
liên tục:
Hàm f được gọi là hàm mật độ của
biến ngẫu nhiên liên tục X nếu:
i)

f ( x ) �0
�

ii )

f ( x ) dx  1.
�

�


Ví dụ: Giả sử một máy (thiết bị) nào đó, ta
mở tại thời điểm t=0, còn tại thời điểm
ngẫu nhiên t nó bị hỏng.
Gọi X là thời điểm nó bị hỏng, X là

biến ngẫu nhiên liên tục. Hàm mật độ phân
phối xác suất của X là:
 x
� e
x �0
f ( x)  �
x0
�0
Trong đó

 0


f ( x ) �0 (hiển nhiên)
�

�

�

0

f
(
x
)
dx

�


e
�

 x

dx  e

 x

�
1
0

Ví dụ 2: Tìm a để hàm số f(x) sau đây là
hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên liên
tục.
3

�ax
f ( x)  �
�0

0 �x �1
x �(0,1)


Giải: Ta có a �0 và
�

�f ( x )dx  1

�

0

�

�

�

1

�

0

1

f ( x )dx  �
f ( x )dx
�f ( x )dx  �f ( x )dx  �

1
ax
a
3
 0 �
ax dx  0 


4 0 4
0
Từ đó a=4.
1

4


1.9. Định nghĩa hàm phân phối xác suất của
biến ngẫu nhiên liên tục:
Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có
hàm mật độ là f(x). Hàm phân phối xác suất
của X được định nghĩa như sau:
x

FX (x)  p[X  x] 

f
(t)dt
�

�

Ví dụ: Tìm hàm phân phối của biến ngẫu
nhiên liên tục X có hàm mật độ trong ví dụ1


Giải: F ( x )  p[ X  x ] 

x

�f (t )dt

�

0
x �0
�
�x
 �  t
 x

e
dt

1

e
�
�
�0

0 x

1.10. Tính chất của hàm phân phối xác suất:


i ) p[ �X   ]  �
f ( x )dx  F (  )  F ( )



ii )

f ( x)  F �
( x ).


Ví dụ: Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm
2
mật độ
�ax
0 �x �1
f ( x)  �
0
�

x �(0,1)

a) Tìm a và hàm phân phối xác suất.
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
1� �
1
3�
�
p�
0 �X  �
, p� Y  �
2� �
2

2�
�

Trong đó Y  2 X


1.10. Một số luật phân phối đặc biệt:
1.10.1. Phân phối nhị thức:
a) Định nghĩa dãy phép thử Bernoulli:
Dãy n phép thử thỏa 3 điều kiện sau
được gọi là dãy phép thử Bernoulli
i) Các phép thử độc lập.
ii) Trong mỗi phép thử ta chỉ quan tâm đến một
biến cố A. Nếu A xảy ra gọi là thành công.
iii) Xác suất thành công trong mỗi phép thử luôn
là hằng số p ( A)  p  0.


Ví dụ: Gieo một con xúc sắc cân đối đồng
chất 10 lần. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt
1 chấm trong mỗi lần gieo.
Đây là dãy phép thử Bernoulli.
Với ví dụ ở trên hãy tính các xác suất sau:
a) Mặt 1 chấm xuất hiện cả 10 lần.
b) Mặt 1 chấm không xuất hiện cả 10 lần.
c) Mặt 1 chấm xuất hiện đúng 3 lần.
d) Mặt 1 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần.


a) Ta cần tính xác suất của biến cố

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

Trong đó A1  A2  ...  A10  A , A là biến cố
con xúc sắc xuất hiện mặt 1chấm
p  A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10    p ( A) 

b)



p A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10



10

10

�1 �
��
�6 �

10

�5 �
��
�6 �

c) Biến cố A xuất hiện 3 lần trong 10 lần
3

gieo. Vậy có C10 trường hợp xảy ra.


Trong mỗi trường hợp, xác suất xảy ra
3
7
3 7
cho trường hợp này là: p (1  p )  p q
Vậy xác suất để biến cố A xuất hiện
đúng 3 lần trong 10 lần gieo là
3

7

�1 ��5 �
C p (1  p )  C p q  C � �� �
�6 ��6 �
3
10

3

7

3
10

3 7

3

10

d) Xác suất mặt 1 chấm xuất hiện ít nhất
một lần là biến cố đối lập của biến cố cả
10 lần đều không xuất hiện mặt 1 chấm:
10

5�
�
1 � �
6�
�