chuyên đề hàm số hay luyện thi đại học

Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

1


Vn Tn Hi

Hc chc chn s xộm rt
CHNG HM S

hc c chng ny tng quỏt thỡ cỏc em phi nm vng c phn tng quỏt, nh hỡnh xem l mỡnh
cn phi hc nhng phn no? Gi anh s v mt s n gin em thy rừ hn. ng vi vng gỡ c,
hóy dnh thi gian nghiờn cu nú nhộ. ^^

y ax 3 bx 2 cx d

Kho sỏt s bin
thiờn v v th

y ax 4 bx 2 c

Hm s
y

ax b
cx d

Tập xác định
Tính đạo hàm y'

Tìm giới hạn
B ảng biến thiên

Đồng biến, nghịch biến
Tập xác định
Tính đạo hàm y'

Tìm giới hạn

B ảng biến thiên
Đồng biến, nghịch biến

Điểm uốn
Tập xác định
Tính đạo hàm y'

Tìm giới hạn

Bảng biến thiên
Đồng biến nghịch biến

Tiệm cận

Nhng vn liờn
quan n cõu hi ph

2

Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

Giờ thì anh sẽ giải thích về sơ đồ này.
Trong chương hàm số thì em cần tìm hiểu 2 vấn đề chính, 2 vấn đề này cũng là câu 1 trong đề thi đại học.
Đó là:
-

Khảo sát hàm sự biến thiên và vẽ đồ thị.

-

Những vấn đề liên quan đến câu hỏi phụ

Trong phần khảo sát anh chỉ nói đến 3 hàm số chính mà trong đề thi đại học sẽ cho. Tương ứng với từng
dạng hàm số thì các em sẽ làm theo các bước như anh đã ghi.
Giờ mình sẽ học những gì để có thể khảo sát một hàm số?
Ở đây các em sẽ thấy có một vài kiến thức đã học như:
-

Tìm tập xác định

-

Đạo hàm

-

Giới hạn

-

Bảng biến thiên

Một vài kiến thức mới như:
-

Đồng biến nghịch biến

-

Điểm uốn ( chỉ có trong hàm bậc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d )

-

Tiệm cận

Giờ mình sẽ đi tìm hiểu từng phần.
LOẠI 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH
Em cứ làm lại vấn đề xem như ôn lại có gì áp dụng để giải phương trình hay hệ phương trình.
Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x) =

2x  1 .
Giải

Bài này thì không có gì khó khăn phải không nào?

A xác định khi A  0

Chỉ cần nhớ lại kiến thức:
Áp dụng vào bài:
ĐK: 2x – 1  0  x 

1

1
2


Vậy tập xác định D =  ;   .
2


3


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt
x 1 + 2  x .

Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x) =

Giải
Bài này nhìn vào chỉ thấy cái khác là có thêm một dấu căn bậc hai, nhưng em cứ làm bình thường. cứ áp
dụng kiến thức

A xác định khi A  0 , có bao nhiêu dấu căn thì áp dụng cho bấy nhiêu.

 x 1  0
 x  1
 
x2
2  x  0

ĐK: 

( Tới đây thì các em nhớ lại kiên thức lớp 10 để lấy giao nhé!
Với x  -1 thì trên trục số ta lấy phần bên phải của -1 và bỏ phần bên trái của -1
Ta có trục số
-1

[

Với x  2 thì trên trục số ta lấy phần bên trái của 2 và bỏ phần bên phải của 2
Ta có trục số

2

]

-1

[

Giao 2 trục số trên lại ta có trục số là:

2

]

Chúng ta chọn phần không bị gạch bỏ là đoạn  1;2 ).
Vậy tập xác định D =  1;2 .
Bài 3: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)=

2x  1
.
x2  4
Giải

Bài này cũng rất dễ. Nhìn vào là biết phải không?
Chỉ cần nhớ lại kiến thức

a
xác định khi b  0
b

Áp dụng vào bài này mình thấy ngay b  x 2  4 . Vậy chỉ cần cho x 2  4  0 là đủ.
ĐK: x 2  4  0  x 2  4  x  2
Vậy tập xác định D = R\ 2;2
Bài 4: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)=

3x  2
 x 3 .
x 5
Giải

Nhìn vào thấy có sự thay đổi. Có phải là em đang trách anh là:
4

Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

-

Trời ơi!! Sao cho khó quá vậy

-

Tự nhiên đang làm dễ mà cho cái gì đâu á.

-

Ảnh bị khùng hả? …bla…bla… ^^

Thật sự bài này không có vấn đề gì cả, rất dễ. chỉ cần áp dụng mấy kiến thức vừa nói là xong ngay.

a
xác định khi nào nhỉ?
b
Để trả lời câu hỏi này, em phải kết hợp 2 kiến thức sau:

a
 x¸c ®Þnh khi b  0
b
 b x¸c ®Þnh khi b  0


Vì nếu b = 0 thì
nếu b < 0 thì

Từ đây thấy rất rõ

a
xác định khi b > 0
b

a
không xác định
b

b không xác định

Phân tích nãy giờ chủ yếu muốn nhấn mạnh học toán là phải cố gắng HIỂU chứ đừng có HỌC THUỘC
quá mức nhé ! ^^
Xong, giờ áp dụng mà làm

x  5  0

x  5

 x3
x  3  0

ĐK: 

( Vẫn áp dụng cái trục số mà lấy giao nhé )
Vậy tập xác định D  3;   .

Chú ý: Anh vẽ cái trục số là cho dễ thấy, chứ em vẫn có thể làm thẳng. giờ anh làm thẳng cho em xem nhé.

x  5  0

x  5

x3
 x3
x  3  0

ĐK: 

Vậy tập xác định D  3;   .
Bài 5: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)=

3x  2
 x2 .
x 1
Giải

Bài này nhìn vào có thể áp dụng ngay 2 kiến thức

5


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

a

 x¸c ®Þnh khi b  0
b
 b x¸c ®Þnh khi b  0


 x  1  0 x  1

x  2  0 x  2

ĐK: 

Vậy tập xác định D   2;   \ 1
( Em hãy dùng trục số nhé …..)
Bài 6: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)=

3x  1
.
(x  2)(2 x  1)
Giải

Anh sẽ giải thẳng luôn bài này nhé


 x2
x2  0

ĐK: 

1
2x  1  0

x  2

 1 
;2 
2 

Vậy tập xác định D  R \ 


 x2
x2  0


Tại sao mình lại giải cho 
1 mà không phải là
2x  1  0
x  2



 x2
 x2  0  
có bao giờ
2x  1  0
x  1

2


đặt câu hỏi này chưa?


 x2
x2  0


Nếu em làm cách
em hiểu như thế nào về ý nghĩa của nó
2x  1  0
x  1

2

Nếu vậy nghĩa là hoặc x  2 hoặc x 

1
tức là x khác 1 trong 2 giá trị đó đều được. nếu vậy thì có hợp
2

lý không?
Chắc chắn là không. Vì theo lí thuyết

a
x¸c ®Þnh khi b  0 , b ở đây là nguyên cái mẫu khác không. Mà
b

mẫu của chúng ta là một tích 2 thừa số nên muốn nó khác 0 thì tất cả các thừa số đều phải khác 0.
Nên khi làm toán em cũng hãy cố gắng tư duy về vấn đề này. Tuy nhỏ nhưng nó quan trọng lắm.
Bài 7: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)=

2  x 1
.
2x
6


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt
Giải

 a
x¸c ®Þnh khi b>0

Bài này em áp dụng 2 kiến thức  b
 a x¸c ®Þnh khi a  0


2  x  0

 x2

 2  x  2
x  2
2  x  0

ĐK: 

Vậy tập xác định D   2;2 
Bài 8: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)=

2
 x .
1  x2
Giải

Vừa nhìn vào là thấy

x @@. Có thể phán : “ ư… ảnh cho đề sai . Tại vì

0. Mà hồi nãy ảnh ghi là

x không xác định vì –x <

a xác định khi a  0 . Không chấp nhận được.  đề sai, khỏi làm ^^ ”.

Hazz…. Đừng nở lòng nào kết luận nhanh như thế em.

x với x = -1, x = -2 ; x = -4, x = 0 thì vẫn  0 mà. Kaka…
Thôi, anh chém vài câu cho vui á mà. Bài này không có gì khó khăn cả. em cứ áp dụng bình thường.
1  x 2  0
x  1

ĐK: 
(chia hai vế cho một số âm nhớ đổ chiều nhé. Ở đây cụ thể là chia cho -1)
 x0
 x 

Vậy tập xác định D   ;0 \ 1.
Bài 9: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)=

5 x  7x
.
(x  2)(x  5)
Giải

Bài này chỉ cần áp dụng bình thường như những kiến thức ở trên.

5  x  0
x  5
x  5


7  x  0
 x7

ĐK: 

x7
x  2  0
x2
x2
x  5  0
x  5 
(…..)
Vậy tập xác định D   5;7 \ 2

7

Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt
LOẠI 2: ĐẠO HÀM

Phần này các em đã học ở lớp 11 nên anh không nói sâu về phần này. Vì xung quanh chương này về đạo
hàm thì chỉ có 3 hàm số


y  ax3  bx2  cx  d (Hàm bậc 3)
Tìm đạo hàm của hàm này như thế nào? Quá dễ phải không. y'  3ax2  2bx  c

VD1: Tìm đạo hàm của y  x3  3x2  4
Giải

y'  3x2  6x
VD2: Tìm đạo hàm của y  x3  3x2  4x  2
Giải

y'  3x2  6x  4
Vấn đề rất cơ bản phải không!
Giờ anh sẽ nói qua hàm số thứ 2


y  ax4  bx2  c

( Hàm trùng phương )

Đạo hàm của hàm này là y'  4ax3  2bx
VD1: Tìm đạo hàm của y  x4  x2  6

Giải

y'  4x3  2x
VD2: Tìm đạo hàm của y  x4  2x2
Giải

y'  4x3  4x
Và đây sẽ là hàm số cuối cùng


y

ax  b
cx  d

Để tìm đạo hàm của hàm số này thì mình làm sao?
'

'
'
ad  cb
 u uv vu
Em hãy nhớ lại   
. Lên 12 em sẽ có canh làm nhanh hơn: y' 
2
v
(cx  d)2
v

8

Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

VD1: Tìm đạo hàm của y 

2x
x 1
Giải

 u  2x
v  x  1

Cách 1: áp dụng công thức đã học ở năm 11: với 
'

'
'
2
 2x  (2x) (x  1)  (x  1) .2x 2(x  1)  2x
y'  




2
2
(x  1)

(x  1)
(x  1)2
 x 1

Cách 2:
Ta thấy a=2 , b=0 , c=1 , d=1.

ad  cb
2

2
(cx  d)
(x  1)2

Nên y' 

Em có thể hỏi là “ tại sao anh cho mấy bài dễ quá vậy? chẳng lẽ anh đang xem thường em à? Grừ...”.
Kekeke …. Bình tĩnh đi em, thật sự cái bước tính đạo hàm trong khảo sát hàm số dễ thật mà. Vậy mắc gì
anh cho em làm bài khó ^^
LOẠI 3: ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN
Trong sách thường nói phần này là TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Năm lớp 10 em đã học sơ về nó phải không nào?
Để dễ hình dung hơn anh sẽ vẽ vài hình rồi em sẽ thấy thôi. Sẵn tiện anh kết hợp luôn cái “Bảng biến
thiên”.
+∞

+∞

y

y

M4

10

I

H2

3

M1

x
-1

3

-2

5

x

-2
M2
H1

M3

I

-∞

-∞

Trong H1 ta có điểm I là điểm cực tiểu phải không?
H2 ta có điểm I là điểm cực đại
9


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

Vậy trong H1 đâu là đoạn đồng biến? Đâu là đoạn nghịch biến? câu hỏi này cũng tương tự đối với H2. Em
có thể trả lời được không?
Để anh trả lời nhé!
Đồ thị H1 có 2 nhánh, cả hai nhánh này đều hướng lên  , đồ thị H2 cũng có 2 nhánh nhưng 2 nhanh này
lại hướng xuống  . Mỗi đồ thị chúng ta sẽ quan sát từ trái qua phải.
Với H1 thì từ   I là nghịch biến (đoạn xuống dốc), từ I   là đồng biến (đoạn lên dốc)
Với H2 thì từ   I là đồng biến (đoạn lên dốc), từ I   là nghịch biến (đoạn xuống dốc)
Vậy tại sao đoạn lên dốc là đông biến và đoạn xuống dốc là nghịch biến? “Biến” ở đây nghĩa là gì
Câu trả lời là: ở đây mình đang xét đồ thị trong hệ tọa độ Oxy nên biến ở đây ý muốn ám chỉ là biến x, y.
Đồng biến ở đây nghĩa là cả 2 biến cùng tăng hoặc cùng giảm
Nghịch biến ở đây nghĩa là 1 biến tăng và 1 biến giảm
Để thấy rõ hơn em hãy quan sát H1, máy điểm anh lấy chỉ là minh họa.
Xét điểm M1  2; 3   M2  1; 2 x tăng y giảm.( nghịch biến)
Xét điểm M3  3;  2  M4  5; 10  x tăng y tăng.(đồng biến)
Từ đây sẽ có cái định nghĩa như sau:

1. Định nghĩa
Hàm số f(x) đồng biến trên K  x1,x2  K, x1  x2  f(x1 )  f(x2 )
Hàm số f(x) nghịch biến trên K  x1,x2  K, x1  x2  f(x1 )  f(x2 )
Đọc cái định nghĩa thì hơi khó hiểu, anh sẽ giải thích một tí.
K ở đây muốn nói tới một cái khoảng nào đó mà của x thôi nha.
Vd: Nhìn vào đồ thị H1 có thể nói K là  2; 1 hay 3;5 . Cái này tùy vào đề cho.

f  x1  , f  x2  thật ra cho dễ hiểu có thể nói là tung độ theo x1 , x 2 á mà.
3
2
Vd: f  x   x  2 x  1

Thì f(x1 )  x13  2x1  1 (có thể hiểu đây là y1 )
Còn f(x 2 )  x32  2x 2  1 (có thể hiểu đây là y 2 )


x1  x2  f(x1 )  f(x2 ) thì đồng biến. Xét 2 điểm M3 (3;-2) và M4(5;10)
3  x3  x 4  5
2  f(x3 )  y3  y4  f(x 4 )  10

Ta thấy 



x1  x2  f(x1 )  f(x2 ) thì nghịch biến. Xét 2 điểm M1  2; 3  và M2  1; 2
10


Văn Tấn Hải
Ta thấy

Học chắc chắn sẽ… xém rớt
2  x1  x2  1

3  f(x1 )  y1  y2  f(x2 )  2

Các em thấy chưa, chỉ cần hiểu đơn giản như vậy thôi, không nên học thuộc lòng định nghĩa 1 cách máy
móc mà không hiểu gì hết. Nếu không hiểu sẽ khó áp dụng và nâng cao kiến thức.

Tiếp theo anh sẽ nói sơ qua về “BẢNG BIẾN THIÊN”
Em muốn xây một cái nhà thì phải có một cái bảng vẽ về cái nhà. Trong cái bảng vẽ sẽ có cái hình, có
thông số,… rồi thọ mới dựa vào đó mà xây cho chuẩn. Khi em vẽ đồ thị cũng vậy, cũng phải có bảng vẽ
miêu tả đồ thị có hình dáng như thế nào, tên đó có thông số gì… Bản vẽ đó ở đây gọi là “BẢNG BIẾN
THIÊN”
Cấu tạo của Bảng biến thiên:

x





f '(x)

f x
f '(x) là đạo hàm của f(x)

x là nghiệm của f '(x) khi cho f '(x) =0 rồi giải

f  x  là hàm số ban đầu đề cho.

Giờ anh sẽ giả sử có một đồ thị rồi mình vẽ Bảng biến thiên nhé.
y
M2
N

-1

M1

2

x

-4

Trên lớp thầy, cô dạy em là có Bảng biến thiên trước rồi mới vẽ đồ thị. Ở đây anh làm ngược lại vì em có
cách nhìn khác đi. Chứ theo kinh nghiệm, anh thấy bạn anh vẽ Bảng biến thiên mà không hiểu gì hết. nó là
một công cụ mạnh nên em hãy cố hiểu.
Giờ em hãy quan sát. Tại M1  0; 4 , điểm này gọi là điểm cực tiểu
11


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt
Tại M2  2; 0  , điểm này gọi là điểm cực đại.

Nhìn lại cấu tạo của Bảng biến thiên thì em có muốn hỏi “ x ở đây gồm những đứa nào “ không?
Câu trả lời rất đơn giản: x ở đây là các nghiệm của f '(x) và nó cũng là các giá trị của các điểm cực đại,
cực tiểu.

Giờ anh phát thảo qua nhé

x



f '(x)

f x

0
-

0



2
+



0

-

0

-4



Anh sẽ nói vấn đề chỗ f '(x) sao lại có dấu “ – “, “ + “ sau nha.
Nhìn vào hàng thứ 3 em thấy hướng đi của mũi tên của nó không. Có thấy giống với đồ thị không?
Tương ứng với x  0 thì f  0    4, x  2 thì f  2  0
Nên anh nói Bảng biến thiên như một bảng vẽ kỹ thuật là vậy đó! Kekeke …. ^^
1. Điều kiện cần
Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng I
a) Nếu f(x) đồng biến trên khoảng I thì f '(x)  0, x  I
b) Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng I thì f '(x)  0, x  I
Để giải thích vấn đề này thì không có gì khó khăn. Em hãy nhìn qua cái Bảng biến thiên hồi nãy.
-

Đoạn nào có dấu mũi tên đi lên là đoạn đồng biến. Tương ứng với đoạn này ta thấy f '(x) có dấu
“+” nghĩa là f '(x)  0

-

Đoạn có dấu mũi tên đi xuống là đoạn nghịch biến. Tương ứng với đoạn này ta thấy f '(x) có dấu “
- ” nghĩa là f '(x)  0

Thật đơn giản và không có gì khó khăn ^^. Em đừng nghĩ vấn đề phức tạp làm gì cho mệt, vốn dĩ nó đơn
giản mà.
2. Điều kiện đủ
Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng I
a) Nếu f '(x)  0, x  I ( f '(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm ) thì f(x) đồng biến trên I

12

Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

b) Nếu f '(x)  0, x  I ( f '(x) =0 tại một số hữu hạn điểm ) thì f(x) nghịch biến trên I
c) Nếu f '(x)  0 thì f(x) không đổi trên I
Để giải thích cài này thật ra là ngược lại với cái trên thôi.
a) f '(x)  0 nghĩa là cái đoạn có dấu “+” thì em sẽ thấy dấu mũi tên đi lên  f  x  đồng biến
b) f '(x)  0 nghĩa là cái đoạn có dấu “-” thì em sẽ thấy dấu mũi tên đi xuống  f  x  nghịch biến
c) Để giải thích cái này anh sẽ làm một ví dụ nhỏ

1
y  f(x)  x3  x 2  x  1
3
 y'= f '(x) = x 2  2x  1
f '(x)  0  x 2  2x  1 = 0
 (x - 1)2  0
 x=1
Nghiệm x ở đây là nghiệm kép nên em hãy tưởng tượng có 2 nghiệm x1  1, x2  1 . Lúc nãy anh
nói là mấy cái giá trị x thì điền vào hàng x trong cấu tạo bảng biến thiên
Giờ vẽ ra

x

f '(x)



1
+

0



1
-

0

+

f(x)

Bảng này là anh đang giả tưởng cho em dễ hiểu. Để xét dấu f '(x) thì em căn cứ vào hàm số f '(x) . Ở đây

f '(x) là hàm bậc 2 nên khi xét dấu sẽ là “ trong trái, ngoài cùng”. “trong” ở đây là trong khoảng  x1 ;x 2 
(giả sử x1Vấn đề ở đây là x1, x2 là nghiệm kép, nhưng cứ tưởng tượng là phân biệt đi. Đáng ra chỗ dấu “ – “ mũi trên
đi xuống nhưng do x 1 trùng với x 2  x1  x2  1 nên mũi tên đi tiếp và không bị gián đoạn.
Cho nên f '(x) = 0 tại x =1  f  x  không đổi dấu là vậy.

13


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt


x
f '(x)



1
+

0

+

f x

Giờ tưởng tượng 2 giá trị x1 , x 2 nhập lại làm 1 nhé vì tụi nó cùng một giá trị mà.
Tóm lại với hàm f(x) = ax3 + bx2 +cx + d, khi f '(x) = 3ax2 + 2bx + c có nghiệm kép thì dấu của f '(x)
không đổi khi đi qua nghiệm kép.
Nếu không thật sự hiểu thì chịu khó nghiên cứu lại lần nữa sẽ có lợi cho em. Đừng đọc sơ sơ rồi chuyển
nhé.
Tiếp theo là phần bài tập về dạng này
BÀI TẬP VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Với dạng toán về loại này em cứ áp dụng các bước rất bình thường bằng những kiến thức rất cơ bản không
có gì khó khăn.
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2:
-

Tính đạo hàm y’

-

Cho y '  0 rồi tìm nghiệm
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
Bước 4: Kết luận
+ Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) y = 2x 3  3x 2  1
c) y = x 3  3x 2  3x

b) y = - x 3  3x  2
d) y = x 4  2x 3  3

e) y = - x 4  2x 3  2x 2  1
2x  3
g) y =
x2

f ) y = x 2  2x  3
x2
h) y =
3x  1
Giải

Chỉ cần làm theo các bước anh đã ghi khi nãy là sẽ dễ dàng giải quyết những bài này.
a) Tập xác định: D = R

y'  6x2  6x
14

Vn Tn Hi

Hc chc chn s xộm rt

Cho y' = 0 6x 2 6x 0



x2 x 0
x( x - 1)=0

x 0
y 1
1
1
x 2 1
y2 0

cái này em chỉ cần lấy từng giá trị

của x đã tìm được thế vào y. Đừng
nhầm lẫn mà thế vào y' nha.

Bng bin thiờn

x



0

y'

+

y



1

0

-

0

+

1



0

Vy hm s ng bin trờn cỏc khong ;0 ; 1;
hm s nghch bin trờn khong 0;1
Gii thớch:

y ' l hm bc 2 nờn em c xột du bỡnh thng.
Em nhỡn vo hng th 3 ( hng ca y), em cú thy 2 cỏi , + khụng?. Vy ti sao li in nh vy ?
Tht ra vn nú n gin lm. Trờn hng ca x cng cú , + , vy bit y nh th no thỡ em i
tỡm gii hn ca nú ( cỏi ny nm 11 hc ri)

3 1

lim y lim (2x3 3x 2 1) lim x 3 2 3 (*)
x
x
x
x x


k
0 (vi k l hng s)
x x n

Em hóy nh li kin thc lim

(*) lim x3 2 0 0 lim x3.2
x

x

Vỡ x3 l m l nờn em hóy tng tng kt qu l s õm. Suy ra .2 (õy ch l hỡnh thc
3

minh ha cho em d hiu thụi)
Tng t

3 1

lim y lim (2x3 3x 2 1) lim x 3 2 3
x
x
x
x x

15


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

Đó là lý do tại sao anh điền vào bảng biến thiên như vậy. Mà với dạng này em chỉ cần làm đơn giản như
anh đã trình bày ( giới hạn làm ngoài nháp rồi điền vào thôi).
b) Bài vẫn áp dụng 4 bước như đã nêu.
y = - x3 - 3x + 2

Tập xác định D = R

y'  3x2  3
cho y' = 0  -3x2  3  0


x2  1 (v« nghiÖm)

Tới đây làm sao nhỉ?

y ' của mình đang xét vô nghiệm, mà hệ số a của y ' là -3 < 0. Nên tới đây em cứ kết luận là hàm số luôn
nghịch biến trên R.
Để anh sẽ bảng biến thiên cho em dễ hình dung nhé!

x





y'
y

-




Em thấy không, vì đâu có nghiệm nào của x nên hàng của x đâu cần điền. Còn y ' sẽ cùng dấu với hệ số a,
mà ở đây a < 0 suy ra y ' mang dấu âm

Vậy tại sao y lại đi từ    nhỉ?
Cái này em chỉ cần tìm giới hạn như câu a).

3 2

lim x3  3x  2  lim x3  1  2  3   lim x3  1  0  0   
x 
x 
x x  x






3
( Em hãy tưởng tượng là lim x  1  0  0   lim    .  1  
3

x 

x 

vì    .  1  .  1 mà âm nhân âm là dương nên bằng  . Đây là cách anh tưởng tượng khi làm
3

bài ).
Nói vòng vo nãy giờ chắc em muốn hỏi là trình bày như thế nào cho hoàn chỉnh phải không?
Trình bày
Tập xác định D = R

y'  3x2  3  3(x2  1)  0 x  R do đó hàm số luôn nghịch biến trên D
16


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

Rất gọn gàng phải không ^^
c) y = x3 + 3x2 + 3x
Tập xác định D = R

y'  3x2  6x  3
cho y' = 0  3x 2  6x  3  0
 x 2  2x  1  0
  x  1  0
2

 x = -1
( giải phương trình này em có thể bấm máy tính rồi ghi kết quả vào cũng được)
Phương trình bậc 2 mà có 1 nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm kép. Anh đã hướng dẫn cách làm đối với
nghiệm kép ở phần trước rồi. Áp dụng làm nhé!
Ta có bảng biến thiên:

x



y'



-1
+

0

+



y
-1


Cũng tương tự câu b), em thấy dấu mũi tên đi từ    .

 3 3
lim y  lim (x 3  3x 2  3x)  lim x 3  1   2   
x 
x 
x 
 x x 
 3 3
lim y  lim (x 3  3x 2  3x)  lim x 3  1   2   
x 
x 
x 
 x x 

Trình bày:
y = x3 + 3x2 + 3x
Tập xác định D = R.

y'  3x2  6x  3
y' = 0  3x2  6x  3  0
 x2  2x  1  0

17


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

  x  1  0  x = -1
2

Bảng biến thiên:



x



-1

y'

+

0

+



y
-1


Vậy hàm số luôn đồng biến trên D.
d) y = x4 – 2x2 + 3
Tập xác định D = R.

y'  4x3  4x
y'  0  4x3  4x  0
x1  0
 y1  3


  x 2  1   y2  2
x3  1  y3  2
Tới đây vẫn làm bình thường, nhưng lần này có 3 nghiệm và y ' lần này là hàm bậc 3, mà em có còn nhớ
cách xét dấu hàm bậc 3 không?
Ở phía ngoài cùng của bảng biến thiên sẽ cùng dấu với hệ số a và tiếp tục đan xen dấu vào trong cùng.



x

y'

-1
-

0



y

0
+

0



1
-

0



3
2

+

2

Cũng tương tự câu trên anh tìm cái giới hạn cho em hình dung nhé!

2
3

lim y  x 4  2x 2  3  lim x 4 1  2  4   
x 
x 
 x x 
2
3

lim y  x 4  2x 2  3  lim x 4 1  2  4   
x 
x 
 x x 









18

Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

Không có gì khó khăn phải không nào?
Giờ anh sẽ trình bày hoàn chỉnh để em dễ thấy nhé!
Trình bày:
y = x4 – 2x2 + 3
Tập xác định D = R.

y'  4x3  4x
y'  0  4x3  4x  0
x1  0
 y1  3


  x 2  1   y2  2
x3  1  y3  2
Bảng biến thiên:



x

y'

-1
-

0



y

0
+

0



1
-

0



3
2

+

2

Vậy hàm số đồng biến trên những khoảng  1;0  ; 1;  
Hàm số nghịch biến trên những khoảng  ; 1 ;  0;1 .

e) y  x4  2x3  2x  1
Tập xác định D = R

y'  4x 3  6x 2  2
cho y'=0  4x 3  6x 2  2  0
Để giải phương trình bậc 3 này thì cách đơn giản là bấm máy tính.
Cách 1: Bấm máy tính

1

x


4x  6x  2  0  
2

x  1
3

2

19


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

Đó là bấm máy, nếu muốn phân tích đưa về phương trình tích thì có 2 cách khác. Cách đưa về phương
trình tích nếu các em luyện tốt thì sau này giải phương trình sẽ rất tốt.

Cách 2: Dùng sơ đồ Hoocner.
Sơ đồ hoocner dùng để phân tích một hàm số bậc cao (thường dùng là bậc 3) về tích của bậc nhất và
bậc 2.
Ta có hàm số f  x  =ax 3  bx 2  cx  d . Muốn phân tích f(x) về tích của bậc nhất và bậc 2 ta làm như
sau:
-

Vẽ cái bảng này ra:
a

b

c

d

x0

Trong đó:

a, b, c, d là hệ số viết theo thứ tự của x có mũ giảm dần.
X0 là một nghiệm của f(x).

Làm sao để có x0? Rất đơn giản, chỉ cần giải phương trình f(x)=0 rồi chọn ra 1 nghiệm ghi vào bảng là
xong. Phương trình bậc 3 thường có nhiều nhất 3 nghiệm, ta nên chọn nghiệm đẹp (số nguyên hoặc phân
số, đừng lấy nghiệm lẻ), nghiệm có giá trị nhỏ cho việc tính toán đơn giản hơn. ( thông thường x0 sẽ là ước
của hệ số tự do ( hệ số không đi với x, trong hàm f(x) ở trên thì hệ số tự do là d ).
Trong bảng vẫn còn một số ô trống, điền cái gì vào đó nhỉ?

x0

a

b

c

d

a

b1  x0 .a  b

c1  x0 .b1  c

d1  x0 .c1  d

Em tính b1 , b1 , c1 như anh chỉ rồi điền vào bảng nhé.
Lưu ý: Tính làm sao để một lát ra d1  0 thì mới đúng nhé!. Còn nếu d khác 0 thì nghiệm bị sai hoặc
tính toán bị sai, chịu khó tính lại nha. ^^
Sau khi điền đầy đủ cái bảng thì việc cuối cùng là viết f  x  về dạng tích của bậc nhất là bậc 2. Viết như
thế nào?
Vì f  x  có nghiệm là x0 nên hàm bậc nhất sẽ là  x  x0 



Hàm bậc 2 được viết như sau: ax2  b1x  c1



Như vậy hàm bậc 3 sẽ được biến đổi thành: f  x  

 x  x0 

ax

2

 b1x  c1



Áp dụng sơ đồ hoocner cho bài này như thế nào ?
20


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

f  x  trong bài này là y ' đúng không? Ta có y'  4x3  6x2  2 . Em bấm máy tính y ' = 0 ra nghiệm
là 1 và

1
. ta chọn nghiệm x0  1 nhé. Vẽ bảng ra và thực hiện tính toán ta sẽ được cái bảng như thế
2

này:

1

-4

6

0

-2

-4

2

2

0

Ta thấy trong bảng c = 0 đúng không? Có thắc mắc chỗ này không?
Nguyên tắc của sơ đồ hoocner là phải liệt kê các hệ số của x từ mũ cao nhất tới mũ 0. Trong y ' thì hệ số
đi với x không có đúng không? Em cứ nghỉ là y ' đầy đủ sẽ là y'  4x3  6x2  0.x  2 . Vậy có phải
lúc này c = 0 không? Đừng thấy không có hệ số của x là không ghi nha ( với hệ số khác cũng vậy, nếu
không thấy thì mặc định nó = 0)





Vậy từ cái bảng ở trên ta có y'   x  1 4x2  2x  2 .
Tóm lại mục đích của sơ đồ hoocner là hạ bậc của hàm bậc cao về bậc thấp. Bậc cao bao nhiêu vẫn có thể
hạ xuống thấp được miễn là đa thức đó có nghiệm đẹp. Còn nếu nghiệm lẻ thì dùng cách khác. Phương

pháp sơ đồ hoocner này rất thuận lợi trong việc đưa phương tình bậc cao về phương trình tích. Ráng hiểu
và sử dụng hiệu quả phương pháp này nhé ! ^^
Cách 3: Chọn một nghiệm khi đã bấm máy ra, rồi thêm bớt để chuyển về dạng tích. Anh sẽ chọn x  1 .

 4x 3  6x 2  2  0
 -2x 3  3x 2  1  0


 x  1  2x 2  x  1  0

x1  1
 y1  2
x  1  0 1


 

1
5
2

x2  
y2  
 2x  x  1  0  2 


2
16
x  1
Ở phương trình  2  thật ra là có 2 nghiệm phân biệt 

x   1
2

Nên mình chỉ ghi gọn lại thôi
Giờ làm sao để phân tích ra được như vậy? Anh chỉ chia sẻ kinh nghiệm phần còn lại em hãy cố gắng tập
cho quen
Anh chọn x0  1 thì anh cứ ghi  x  x 0  cái đã rồi mình sẽ thêm bớt ở dấu ngoặc thứ 2 sau
Bước 1:  x  x 0    x  1

21


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

Bước 2: Em nhìn vào phương trình 2x 3  3x 2  1 thì thấy có 2x 3 nghĩa là làm sao mình phải có đủ
2x 3 , mà  x  1 đã có x nghĩa là ở ngoặc thứ 2 còn thiếu 2x 2



  x  1 2x2
Bước 3: Mà ở phương trình 2x 3  3x 2  1 có 3x 2 nhìn lại bước 2 mình thấy đã đủ 2x 3 , nhưng

 1  2x2   2x2 nghĩa là còn thiếu một x 2

nữa vậy bắt buộc x phải nhân cho cái gì đó để đủ 3x 2 , chắc

chắn sẽ là x



  x  1 2x2  x
Bước 4: Nhìn lại phương trình 2x 3  3x 2  1 thì có số 1 mà 1 là hằng số nên không thể lấy x nhân
cho cái gì được. Nên phải dùng 1 , mà 1 nhân với cái gì là được 1 chắc chắn là 1





  x  1 2x2  x  1

Sau 1 hồi phân tích dài dòng cũng ra. Em đọc vào có thể thấy anh viết dài. Nhưng thật sự khi em suy nghĩ
cũng dài mà. Nên em hãy chịu khó nếu như em chưa biết phân tích. Còn nếu em đã khá rồi hãy dùng theo
cách của mình
Bây giờ tới bước lập bảng. Nhưng khi xét dấu y’ em phải cẩn thận vì nó có một nghiệm kép là x  1
Cách 1: Cái này anh làm giống lớp 10 cho dễ hiểu

x





x 1

-

2x 2  x  1

+





y'   x  1 2x2  x  1

1
2



1
-

0

+

0

+

0

-

0

-

0

-

5
6

y

-2





Cách 2: như anh đã nói đáng ra y’ có 3 nghiệm nhưng trong đó có 2 nghiệm trùng nhau là 1 . Vậy giờ
mình giả sử nó có 3 nghiệm phân biệt x1  

1
, x2  1 , x3  1 . Lúc này em cứ lập bảng và xét dấu y’ (
2

hàm bậc 3) như thường. Vị trí cuối phía bên tay phải sẽ cùng dấu với hệ số a và đi qua từng nghiệm cứ đan
xen dấu
22


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

x









y'   x  1 2x2  x  1

+

1
2

1

0

-

0



1
+

0

-

5
6

y

-2
-2




Giờ cứ nhập nghiệm kép lại giống như là tập hợp thế ở trong phim đó mà

x









y'   x  1 2x2  x  1

+

1
2
0



1
-

0

-

5
6

y

-2




Giờ anh cũng tìm giới hạn cho nhé

2 2 1 


lim y  lim x 4  2x3  2x  1  limx 4  1   3  4   
x 
x 
x 
x x x 






2 2 1 

lim y  lim x 4  2x3  2x  1  limx 4  1   3  4   
x 
x 
x 
x x x 






Mình đã phân tích xong, giờ anh trình bày gọn nhé
Trình bày:

y  x4  2x3  2x  1
Tập xác định: D=R

y'  4x3  6x2  2
23


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

cho y'  0  4x 3  6x 2  2  0
 2x 3  3x 2  1  0





  x  1 2x 2  x  1  0
1
5


x1  
y1 



2
6



x 2  1
 y 2  2
Bảng biến thiên:

x









y'   x  1 2x2  x  1

+

1
2
0



1
-

0

-

5
6

y

-2








1
2

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  ;  

 1
 2




Vầy hàm số nghịch biến trên khoảng   ;  
f) y  x2  2x  3

Với bài này thì có sự thay đổi nhỉ nhìn vào thấy và có thể nghĩ “trời ơi! Khó quá, làm sao bây giờ. Mà thôi

khó quá bỏ qua  khỏi làm”
Hoặc
“ cái bài này cũng dễ mà, mà dễ thì thôi  khỏi làm” ^^
Với cách nhìn của anh bài này không khó. Nếu em khá thì vẫn suy nghĩ ra. Còn nếu em chưa suy nghĩ ra
hãy nhớ tới 4 bước và áp dụng nó triệt để
Bước 1:
Tìm tập xác định cái này có dạng

A nên nó xác định khi A  0

Vậy x 2  2x  3  0

24


Văn Tấn Hải

Học chắc chắn sẽ… xém rớt

cho x 2  2x  3  0
x  1

x  3


x

-1

x 2  2x  3

-



3

0

+

0

-

Mà mình chỉ lấy khoảng nào  0 thôi nên

x 2  2x  3  0
 x   ; 1  3;  



Vậy tập xác định: D  ; 1  3;  
Trong bước 1 rất đơn giản cái này đã được nói ở phần trước
Bước 2:
Em hãy nhớ lại kiến thức đạo hàm

 a  '  2a 'a
Giờ áp dụng y' 



x  2x  3
2





x


2

 2x  3 



2 x 2  2x  3



2x  2
2 x 2  2x  3



x 1
x 2  2x  3

Giờ anh sẽ giải phương trình với y '  0 mà điều kiện sẽ là x   ; 1   3;  

x  1
thì sẽ làm cho
x  3

Tại sao như vậy? Vì nếu 

x 2  2x  3  0 

x 1
x2  2x  3

có mẫu bằng 0 . Điều

này sẽ dần đến nó vô nghĩa. Nên bắt buộc mình phải bỏ 1 và 3 đi
Giờ giải phương trình

cho y'  0 

x 1

x 2  2x  3
 x 1 D

 0,  x   ; 1   3;   

Vậy là xong bước 2
Bước 3:
Bảng biến thiên

25