BG toan thong ke cho KHXH mở đầu, chuong 1 mot so kq ve xac suat ngành Công tác xã hội

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

ThS. Phan Văn Linh

Bài mở đầu: GIẢI TÍCH TỔ HỢP
A.MỤC TIÊU
Về kiến thức:
- SV hiểu được các khái niệm chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp lặp và luật tích- luật tổng.
Về kỹ năng:
- SV phân biệt được chỉnh hợp và tổ hợp;
- Biết tính toán về chỉnh hợp, tổ hợp và vận dụng được luật tích, luật tổng;
- Thực hành tính được chỉnh hợp, hoán vị bằng máy tính.
Về thái độ:
SV cảm nhận rõ sự liên quan mật thiết giữa toán học tổ hợp với các tình huống đời thực.

B.NỘI DUNG
1. CHỈNH HỢP
1.1 Định nghĩa
Có n vật khác nhau lấy lần lượt ra k vật, mỗi nhóm k vật như vậy (theo thứ tự đó)
được gọi là một chỉnh hợp chập k của n vật. Nếu vật nào cũng có khả năng được chọn
như nhau thì có n cách chọn vật thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ hai,..., ( n - k +1) cách
chọn vật thứ k. Tất cả có n(n - 1) … (n - k + 1) chỉnh hợp chập k của n vật.
Hai chỉnh hợp khác nhau nếu có ít nhất một vật khác nhau hoặc các vật như nhau
nhưng thứ tự lấy ra khác nhau.
Định nghĩa 1.1
Một nhóm k vật lấy lần lượt có thứ tự trong số n vật khác nhau gọi là một chỉnh
hợp chập k của n vật. Số chỉnh hợp chập k của n vật, kí hiệu là A kn , được tính theo công
thức :

A kn  n(n  1)....(n  k  1), (1  k  n)

(1.1)

1.2 Ví dụ
Ví dụ 1.1 Cửa hàng có 3 cái mũ xanh, đỏ, tím. Có 2 khách đến mua, cô bán hàng
lấy lần lượt ra 2 cái mũ giao cho 2 khách, cái thứ nhất màu xanh, cái thứ hai màu đỏ (kí
hiệu (X, Đ)), (cũng có thể:(Đ, X) hoặc (X, T), (T, X), (Đ, T), (T, Đ)). Ta gọi mỗi kết quả
là một chỉnh hợp chập 2 trong 3 vật.
Như vậy, theo công thức (1.1) có A 32 =3.2 = 6 cách chọn (lần lượt 2 trong 3 cái
mũ).
Hai cách chọn (X, Đ) và (X, T) được xem là khác nhau vì có một mũ khác nhau,
còn 2 cách chọn (X, Đ) và (Đ, X) thì khác nhau về thứ tự chọn.
Ví dụ 1.2 Một tổ có 10 người, chọn từng nhóm 3 người để giao nhiệm vụ: người
thứ nhất là nhóm trưởng, người thứ hai theo dõi các chỉ tiêu kinh tế, người thứ ba theo
dõi các chỉ tiêu kĩ thuật. Mỗi nhóm 3 người chọn theo cách như vậy là một chỉnh hợp
chập 3 của 10 người , số cách chọn bằng:
3
A10
 10.9.8 = 720 (cách).

1


Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

ThS. Phan Văn Linh

Ví dụ 1.3 Có 8 đội bóng chuyền vào chung kết. Có 3 đội sẽ được huy chương: một
đội được huy chương vàng, một đội được huy chương bạc, một đội được huy chương
đồng. Nếu 8 đội thực lực như nhau thì có thể có bao nhiêu danh sách bộ ba đạt được huy
chương?

Như vậy theo (1.1) có tất cả là A83  8.7.6= 336

dự báo về danh sách bộ ba được huy chương.
2. HOÁN VỊ
2.1 Định nghĩa
Có n vật khác nhau được sắp xếp vào n chỗ, có n cách chọn vật thứ nhất để xếp
vào chỗ thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ hai vào chỗ thứ hai,…, (n – k + 1) cách chọn
vật thứ k để sắp vào chỗ thứ k… Mỗi cách sắp xếp được gọi là một hoán vị của n vật.
Định nghĩa 1.2 Một nhóm n vật được sắp xếp vào n chỗ, mỗi cách sắp xếp được
gọi là một hoán vị.
Số hoán vị được tính theo công thức

A nn  n(n  1)...3.2.1  n!

(1.2)

Như vậy mỗi hoán vị n vật được xem là một chỉnh hợp chập n của n vật.
2.2 Ví dụ
Ví dụ 1.4 Trong ví dụ 1.1 có 3 khách đến mua mũ, giả sử cô bán hàng lấy ra cả 3
cái mũ và 3 đưa lần lượt cho 3 khách, nếu khách thứ nhất nhận mũ xanh, khách thứ hai
nhận mũ đỏ, khách thứ ba nhận mũ tím thí ta có kết quả (X, Đ, T), nhưng có thể cô bán
hàng chọn mũ theo thứ tự khác nên kết quả là (Đ, X, T) hay (T, Đ, X), …. tất cả có 3! = 6
kết quả khác nhau .
Vì có 3 mũ lấy cả 3 nên hai kết quả chỉ khác nhau về thứ tự đưa 3 cái mũ cho 3
khách hàng, chẳng khác nào để 3 mũ X, Đ, T bên cạnh nhau sau đó đổi chỗ hoán vị các
mũ, sau mỗi lần đỗi chỗ được một kết quả khác, do đó mỗi kết quả gọi là một hoán vị của
3 mũ nói theo cách trình bày ở ví dụ 1.1 thì mỗi hoán vị ở đây chính là một chỉnh hợp
chập 3 của 3 mũ.
Ví dụ 1.5 Có 4 người rủ nhau đi xem văn nghệ và được chọn 1 dãy 4 ghế ngồi
cạnh nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn.

Nếu sắp A ngồi vào ghế 1, B ngồi ghế 2, C ngồi ghế 3, D ngồi ghế 4 thì có một
cách sắp xếp 4 người vào chỗ. Nếu đỗi chỗ 2 người thì được cách một cách sắp xếp mới,
mỗi cách sắp xếp như vậy gọi là một hoán vị . Áp dụng (1.2) có số hoán vị của 4 người
là
4! =4.3.2.1= 24.
Ví dụ 1.6 Có 6 cụ ông sắp hàng ngang để tập thể dục buổi sáng, sau buổi tập đầy
phấn khích các cụ quyết định từ ngày hôm sau ra tập tiếp và mỗi ngày sẽ sắp hàng theo
một trật tự khác những lần tập trước. Hỏi sau bao nhiêu ngày các cụ mới quay lại cách
sắp xếp hàng trùng với ngày đầu tiên.
Coi mỗi cách sắp hàng là một hoán vị của 6 phần tử, tức là một hoán vị của 6 cụ.
Theo (1.2) tất cả có 6! = 720
2


ThS. Phan Văn Linh

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

cách xếp hàng.
Như vậy sau 720 ngày các cụ mới sắp xếp hàng lại theo đúng cách sắp hàng ngày
đầu tiên.

3. TỔ HỢP
3.1 Định nghĩa
Có n vật khác nhau, lấy ra một nhóm k vật mà không kể thứ tự lấy, gọi một nhóm
như vậy là một tổ hợp chập k của n vật. Hai tổ hợp khác nhau nếu có ít nhất một vật
khác nhau, như vậy khác với chỉnh hợp ở đây ta không chú ý đến thứ tự của các vật trong
nhóm. Khi lấy k vật ta có thể lấy một lần hoặc lấy lần lượt vì ở đây không chú ý đến thứ
tự của các vật được lấy ra.
Định nghĩa 1.3 Một nhóm k vật lấy ra được từ n vật khác nhau gọi là một tổ hợp

chập k của n vật.
Số tổ hợp chập k của n vật, kí hiệu là C kn , được tính theo công thức:
Ckn 

hay

n!
k!(n  k)!

(1  k  n)

A kn
C 
k!

(1  k  n)

k
n

(1.3)

2.3 Ví dụ
Ví dụ 1.7 Khác với cách chọn ở thí dụ 1, cô bán hàng bây giờ chọn 2 trong 3 mũ
chỉ cho 1 khách hàng. Ở đây sẽ có tất cả 3 cách chọn: một xanh một đỏ, hoặc một xanh
một tím, hoặc một đỏ một tím. Khác biệt với cách chọn ở thí dụ 1 là bây giờ không phân
biệt thứ tự mũ chọn ra, chẳng hạn không phân biệt (X,Đ) với (Đ,X). Vậy mỗi cách chọn ở
6
đây là một tổ hợp chập 2 của 3 mũ. Từ đó, với 3 = cách chọn. Ta có hệ thức (1.3).
2!

Ví dụ 1.8 Trong ví dụ 1.2 nếu chọn một nhóm 3 người trong 10 tổ viên mà không
phân công nhiệm vụ, lúc đó mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 10 người.
Vậy có số cách chọn bây giờ, theo (1.3), là
3
A10
C 
 120
3!
3
10

3
( hoặc C10


10!
 120 )
3!7!

Ví dụ 1.9 Trong trường hợp ở ví dụ 0.3 chỉ đưa ra dự báo chung trong 3 đội đoạt
huy chương, không ghi cụ thể đội nào trong 3 đội được huy chương vàng, đội nào đạt
huy chương bạc, đội nào được huy chương đồng thì mỗi dự báo như vậy là một tổ hợp
chập 3 của 8 đội. Bây giờ ta chỉ có dự báo chung, mỗi dự báo là một tổ hợp chập 3 của 8
đội. Số dự báo là
C83 

8!
 56 (theo (1.3)).
3!5!

4. CHỈNH HỢP LẶP
4.1 Định nghĩa
3


Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

ThS. Phan Văn Linh

Có n vật khác nhau, lấy lần lượt k lần, mỗi lần lấy một vật, lấy xong trả lại liền
(nên lần sau lại có thể lấy được vật đã lấy trong các lần trước), mỗi nhóm k vật như vậy
được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n vật.
So với chỉnh hợp ở (1.1) thì chỉnh hợp lặp khác ở chỗ các vật trong chỉnh hợp lặp
có thể giống nhau, tức là có thể lặp lại.
Số chỉnh hợp lặp được tính theo cách lập luận: vật thứ nhất có n cách lấy, vật thứ
hai có n cách lấy ,…, vật thứ k có n cách lấy, tổng cộng có n  n  ....  n  n k chỉnh hợp
lặp.
Số chỉnh hợp lặp chập k của n vật được tính theo công thức :
k

, k  1, 2,3,...

An  n k

(1.4)

4.2. Ví dụ
Ví dụ 1.10 Một khóa chữ có 6 vòng, mỗi vòng ghi năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Chọn
trên mỗi vòng một chữ số ta được một số có sáu chữ số gọi là một mã khóa. Mỗi vòng ta
có 5 lựa chọn do đó có thể tạo được

5  5  5  5  5  5  56  15625
mã khoá
(Cũng thể ghi trên mỗi vòng năm chữ cái A, B, C, D, E) và mỗi mã khóa sẽ là một chữ
gồm năm chữ cái.
Ví dụ 1.11 Số máy điện thoại của một tỉnh gồm bảy chữ số. Hỏi kho số của tỉnh đó
có bao nhiêu.
Giải: Áp dụng (1.4), có:
k

A n  n k  107
số máy điện thoại.
Ví dụ 1.12 Vé xố số có bốn chữ số. Hỏi có mấy vé tất cả?.
Giải: Mỗi vé là một chỉnh hơp lặp chặp 4 của 10 phần tử, như vậy có tất cả
4

A10  104 =10000
vé xổ số có bốn chữ số.

5. LUẬT TÍCH, LUẬT TỔNG
5.1 Khái niệm
Một công việc hoàn thành chỉ khi thực hiện liên tiếp n giai đoạn. Giả sử giai đoạn
thứ i có mi cách thực hiện ( i=1,2,..,n). Khi đó số cách thực hiện cho công việc là tích
m1m2...mn . Đây là luật tích.
Khác với luật tích, nếu công việc hoàn thành khi thực hiện một trong số n giai
đoạn thì số cách thực hiện công việc này bằng tổng m1+m2 +...+ mn. Đây là luật tổng.
5.2 Ví dụ
Ví dụ 1.13 Muốn đi từ TP Kon Tum đến TP Đà Nẵng buộc phải qua hai đoạn
đường: Kon Tum- Pleiku (Gia Lai) và Pleiku- Đà Nẵng. Số cách đi đoạn đường thứ nhất
là 3 (xe máy, xe ô tô, xe đạp), còn đoạn đường thứ hai có 2 cách (ô tô và máy bay). Vậy

4


Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

ThS. Phan Văn Linh

muốn tính số cách đi từ TP Kon Tum đến TP Đà Nẵng ta dùng luật tích, có 3.2 = 6
(cách).
Ví dụ 1.14 Tua du lịch Măng Đen (Kon Tum) được tổ chức tại TP Kon Tum, du
khách có thể chọn lựa một trong hai hình thức: “du lịch cá nhân” tổ chức cho một người
hoặc một cặp hai người đi bằng 3 cách (xe đạp, thuyền độc mộc, xe máy) ; “du lịch tập
thể” tổ chức cho ba người trở lên đi bằng 2 cách (ô tô, xe máy). Để tính số cách thực hiện
tua du lịch trên ta áp dụng luật tổng, kết quả có 3+2 = 5 (cách).

C.TÓM TẮT
Chỉnh hợp
Định nghĩa: Một nhóm k vật lấy lần lượt có thứ tự trong số n vật khác nhau gọi là
một chỉnh hợp chập k của n vật. Số chỉnh hợp chập k của n vật, kí hiệu là A kn , được tính
theo công thức : A kn  n(n  1)....(n  k  1), (1  k  n)
Hoán vị
Định nghĩa: Một nhóm n vật được sắp xếp vào n chỗ, mỗi cách sắp xếp được gọi
là một hoán vị.
Số hoán vị được tính theo công thức: A nn  n(n  1)...3.2.1  n!
Tổ hợp
Định nghĩa: Một nhóm k vật lấy ra được từ n vật khác nhau gọi là một tổ hợp
chập k của n vật.
Số tổ hợp chập k của n vật, kí hiệu là C kn , được tính theo công thức:
Ckn 

n!
(1  k  n)
k!(n  k)!

A kn
C 
k!

(1  k  n)

k
n

hay
Chỉnh hợp lặp

Có n vật khác nhau, lấy lần lượt k lần, mỗi lần lấy một vật, lấy xong trả lại liền
(nên lần sau lại có thể lấy được vật đã lấy trong các lần trước), mỗi nhóm k vật như vậy
được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n vật.
Số chỉnh hợp lặp chập k của n vật được tính theo công thức :
k

An  n k

, k  1, 2,3,...

Luật tích, luật tổng
Một công việc hoàn thành chỉ khi thực hiện liên tiếp n giai đoạn. Giả sử giai đoạn
thứ i có mi cách thực hiện ( i=1,2,..,n). Khi đó số cách thực hiện cho công việc là tích
m1m2...mn . Đây là luật tích.

Khác với luật tích, nếu công việc hoàn thành khi thực hiện một trong số n giai
đoạn thì số cách thực hiện công việc này bằng tổng m1+m2 +...+ mn. Đây là luật tổng.

5


Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

ThS. Phan Văn Linh

D.CÂU HỎI & BÀI TẬP, THỰC HÀNH, THẢO LUẬN
1.1. Ban thường vụ Tỉnh ủy tỉnh Kon Tum gồm 13 người, trong đó có 3 người là dân tộc
thiểu số. Chọn ngẫu nhiên 3 người, tìm số khả năng xảy ra ứng với các tình huống sau:
a- Chọn được cả 3 người là dân tộc thiểu số;
b- Chọn được 2 người là dân tộc thiểu số;
c- Chọn được 1 người là dân tộc thiểu số;
d- Không chọn được dân tộc thiểu số nào.
1.2. Có bao nhiêu số gồm 3 chữ khác nhau lấy từ 5 chữ số 0, 2, 4, 6, 8?
1.3. Một lớp có 50 học viên, cần chọn ra lớp trưởng, lớp phó học tập và lớp phó vật chất.
Nếu ai cũng có khả năng được chọn vào các chức vụ trên thì có bao nhiêu cách chọn?
1.4. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5?
1.5. Có 24 đội bóng tham gia thi đấu, 2 đội phải đấu với nhau một lượt đi, một lượt về.
Ban tổ chức cần tổ chức bao nhiêu trận đấu?
1.6. Có 3 ông cụ, 2 cụ bà và 5 em bé ngồi quanh 1 bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp
xếp chỗ ngồi sao cho các cụ ông ngồi cạnh nhau, các cụ bà ngồi cạnh nhau và các em bé
cũng ngồi cạnh nhau?
1.7. Có mấy cách phân phối 16 tặng phẩm cho 4 người sao cho:
a. Người thứ nhất có 4 tặng phẩm
b. Mỗi người có 4 tặng phẩm
1.8. Hộp kín có 12 bi trắng và 7 bi đỏ, bốc ngẫu nhiên 3 bi. Tìm số khả năng xảy ra ứng

với:
a. được 2 bi trắng và 1 bi đỏ;
b. chỉ một màu bi.
c. có hai màu bi khác nhau.

BÀI ĐỌC THÊM:

Tổng quan về giải tích tổ hợp

Giải tích tổ hợp (hay toán học tổ hợp , đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) là một ngành toán học rời
rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hữu hạn phần tử. Các cấu hình đó là
các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp,... các phần tử của một tập hợp.
Giải tích tổ hợp có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học, như đại số, lý thuyết xác
suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) và hình học, cũng như đến các ngành ứng dụng như khoa học máy
tính và vật lí thống kê.
Giải tích tổ hợp liên quan đến cả khía cạnh giải quyết vấn đề lẫn xây dựng cơ sở lý thuyết, mặc
dù nhiều phương pháp lý thuyết vững mạnh đã được xây dựng, tập trung vào cuối thế kỉ 20. Một trong
những mảng lâu đời nhất của toán học tổ hợp là lý thuyết đồ thị.
Giải tích tổ hợp được dùng nhiều trong khoa học máy tính để ước lượng số phần tử của các tập
hợp.

6


Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

ThS. Phan Văn Linh

Chương 1. MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ XÁC SUẤT
A.MỤC TIÊU

Về kiến thức:
- SV hiểu rõ các khái niệm phép thử- biến cố ngẫu nhiên- định nghĩa xác suất, các quy tắc cộng (
đơn giản) và nhân xác suất ( đơn giản);
- SV Nhận biết phép thử Bernoulli, biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên;
- SV viết được định nghĩa kỳ vọng- phương sai và ý nghĩa của kỳ vọng- phương sai; biết được
phân phối nhị thức và phân phối chuẩn.
Về kỹ năng:
- SV tính được xác suất bằng cách vận dụng định nghĩa, quy tắc nhân, quy tắc cộng xác suất (đơn
giản) và công thức lập bảng phân phối xác suất (rời rạc);
- SV thực hành tính toán được các số đặc trưng kỳ vọng- phương sai.
Về thái độ:
SV cảm nhận bước đầu những ứng dụng của xác suất vào thực tế cuộc sống.

B.NỘI DUNG
1 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT DẠNG CỔ ĐIỂN
1.1 Phép thử, biến cố
Trong nghiên cứu tự nhiên và xã hội ta phải theo dõi các hiện tượng, phải cân,
đong, đo, đếm, làm thí nghiệm- ví dụ như gieo một đồng tiền, gieo con xúc xắc, bắn viên
đạn vào mục tiêu, kiểm tra độ bền của một lô bóng đèn,.... Người ta gọi chung những
công việc này là phép thử. Có 2 loại: phép thử tất yếu và phép thử ngẫu nhiên. Mục
đích của bộ môn xác suất và thống kê là đi nghiên cứu những phép thử ngẫu nhiên để từ
đó rút ra các quy luật của sự vật hiện tượng. Lý thuyết xác suất và thống kê thuộc vào lý
thuyết toán học hiện đại, có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học như Y học, Sinh
học, Kinh tế học, Khoa học giáo dục, Xã hội học,…
Phép thử (ngẫu nhiên) là thực hiện một nhóm các điều kiện xác định ( có thể
được lặp lại nhiều lần) và kết quả của nó ta không thể đoán trước được. Kết quả của
phép thử, gọi là biến cố ( hay sự kiện)- ví dụ khi gieo 1 đồng tiền, kết quả là mặt sấp (S)
hoặc mặt ngửa (N) xuất hiện. Và như thế phép thử này có hai biến cố sơ cấp: S, N.
Nhưng cũng với phép thử này ta xét biến cố A= “hoặc là sấp hoặc là ngửa” thì nó không
là biến cố sơ cấp, vì A có thể được chia nhỏ thành S và N.

Ta gọi 1 biến cố là biến cố sơ cấp (hay sự kiện sơ cấp, biến cố cơ bản) nếu nó
không thể phân chia thành biến cố nhỏ hơn nữa, kí hiệu là e1 ,e 2 ,….Giả sử có n sự kiện
sơ cấp: e1 ,e2 ,...,en thì tập hợp   {e1 ,e2 ,...,e n } gọi là tập hợp các sự kiện sơ cấp.
Một nhóm các sự kiện sơ cấp ( tập hợp con của  ) được gọi là một biến cố ngẫu
nhiên ( hay sự kiện , biến cố). Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ A, B, C ,…
Chẳng hạn, gieo một con xúc sắc. Sự kiện sơ cấp bao gồm 6 sự kiện là xuất hiện
mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm. Sự kiện xuất hiện mặt chẵn A bao gồm ba sự kiện sơ cấp (2, 4,
6), sự kiện xuất hiện mặt lẻ B bao gồm ba sự kiện sơ cấp (1, 3, 5).
Nếu gieo hai con xúc xắc thì có tất cả các sự kiện sơ cấp là 36 cặp số (1, 2), (1, 3)
,…., (6, 6).
- Sự kiện “có mặt 6” bao gồm 11 sự kiện sơ cấp: (1, 6), (2, 6),…., (6, 1),….., (6,
6)
7


Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

ThS. Phan Văn Linh

- Sự kiện “tổng số điểm trên hai con xúc xắc là 10” gồm ba sự kiện sơ cấp (4, 6),
(5, 5), (6, 4).
- Sự kiện “điểm trên hai con xúc xắc bằng nhau” bao gồm 6 sự kiện sơ cấp (1, 1),
(2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).
Biến cố không thể (rỗng) là biến cố không thể xảy ra, kí hiệu  .
Biến cố mà nó chắc chắn xảy ra khi phép thử được thực hiện gọi là biến cố chắc
chắn, ký hiệu  .
Các biến cố sơ cấp hoặc các khả năng có thể mà từ đó ta suy ra biến cố A xảy ra
gọi là khả năng thuận lợi cho biến cố A.
1.2 Xác suất của một biến cố
Khi tiến hành phép thử, mỗi biến cố (sự kiện) A có một mức độ hay khả năng xảy

ra, số đo khả năng xuất hiện đó được gọi là xác suất của biến cố, kí hiệu p(A)
(Probability) được chọn sao cho:
0  p(A)  1

(2.1)

Chẳng hạn, gieo xúc xắc, nếu con xúc xắc là một hình lập phương cân đối và làm
bằng chất lượng đồng đều thì xác suất ra mặt chẵn bằng xác xuất ra mặt lẻ và bằng
1
1
=0,5, còn xác suất “ra một số chia hết cho 3” là =0,3333, xác suất “ra mặt 6” là
2
3
1
=0,6667.
6
Có rất nhiều cách tính xác suất, chúng ta chỉ đề cập hai cách tính xác suất đó là
cách tính thống kê và cách tính cổ điển.
a- Cách tính thống kê
Xác định điều kiện đầu xong ta lặp lại phép thử nhiều lần, càng nhiều càng tốt,
ghi lại số lần thử n và số lần có sự kiện A, gọi là tần số n(A).
Tần suất của sự kiện A, kí hiệu là f(A) được tính theo công thức:
f (A) 

n(A)
n

(2.2)

Tần suất không phải là xác suất nhưng nếu với số phép thử n khá lớn thì có thể thì

lấy tần suất f(A) làm xác suất p(A).
Chẳng hạn, để tính xác suất ra mặt sấp khi gieo 1 đồng tiền, ta có kết quả sau,
dao động quanh 0,5 ( Hình 2.1 ).
Người thực hiện

Số lần gieo

Số lần ra mặt sấp

Tần suất

Buýt phông

4040

2048

0,5080

Piếc sơn

12000

6019

0,5016

Piếc sơn

24000

12012

0,5005

-Hình 2.1b- Cách tính cổ điển:
8


Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

p(A) 

ThS. Phan Văn Linh

m
n

(2.3)

Trong đó m: số khả năng thuận lợi cho biến cố A ;
n: số khả năng có thể xảy ra của phép thử.
Ví dụ 2.1 Gieo đồng tiền cân đối và đồng chất, có thể coi hai kết quả sấp (S),
ngửa (N), là 2 sự kiện sơ cấp. Tính xác suất P(S), P(N)?
Giải:
Áp dụng (2.3), m = 1, n = 2.
Vậy xác suất p(S) =

1
.

2

1
Tương tự tính được p(N) = .
2

Ví dụ 2.2 Nếu gieo một lúc hai đồng tiền cân đối đồng chất. Tính xác suất để có 2
đồng đều xuất hiện mặt sấp.
Giải:
Ta có n= 4 (biến cố sơ cấp: (S S), (S N), (NS), (N N))
Gọi A = “Hai đồng tiền cùng mặt sấp”, số biến cố thuận lợi cho A xảy ra là m = 1
1
[(SS)]. Vậy p(A)  .
4
Ví dụ 2.3 Lấy ngẫu nhiên ra 8 con bài từ cỗ bài 52 con. Tìm xác suất để:
a- Được 5 con màu đỏ;
b- Được 1 con Cơ, 2 con Rô, 3 con Pic;
c- Được 1 con At, 2 con Q, 3 con 10 và 2 con 2.
Giải:
Ta có : n= C852
3
a- Số khả năng thuận lợi cho biến cố A= “Được 5 con màu đỏ” là m= C526 .C52
3
C526 .C52
(luật tích). Vậy p(A) 
=0,23
C852

b- Số khả năng thuận lợi ch  o biến cố B= “Được 1 con Cơ, 2 con Rô, 3 con
2

3
C113 .C13
.C13
.C132
Pic” là m= C .C .C .C . Vậy p(B) 
= 7,7.10-7= 0,00000077
8
C52

1
13

2
13

3
13

2
13

c- Số khả năng thuận lợi cho biến cố C= “Được 1 con At, 2 con Q, 3 con 10 và 2
con 2” là m= C14 .C24 .C34 .C24 . Vậy p(C) 

C14 .C24 .C34 .C24
=0,03.
C852

Ví dụ 2.4 Vé xổ số có 4 chữ số, khi quay số trúng thưởng có một vé trúng giải
nhất là vé có 4 chữ số khác nhau. Tính xác suất để mua 1 vé thì vé đó sẽ trúng giải nhất.

Giải:
Có tất cả 10 4  10000 vé bốn chữ số. Ta có số khả năng có thể là n = 10000.
9


ThS. Phan Văn Linh

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

Số vé có 4 chữ số khác nhau (vé xổ số có thể bắt đầu bằng số
0): A  10.9.8.7  5040 .
4
10

Như vậy số khả năng thuận lợi cho biến cố mua vé trúng giải nhất là: m =

A  10.9.8.7  5040 .
4
10

Xác suất để vé trúng giải nhất có 4 chữ số khác nhau là:

5040
 0,504 .
10000

Ví dụ 2.5 Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để:
a. Tổng số chấm ở hai con xúc xắc bằng 8.
b. Số chấm ở hai con bằng nhau.
Giải:

a. Số khả năng thuận lợi cho biến cố A= “tổng số chấm ở hai con xúc xắc bằng 8”
là m=5 ( các biến cố thuận lợi là (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) ). Số khả năng có thể là
n=6.6=36.
Vậy p(A)=

5
36

b. Số khả năng thuận lợi cho biến cố B= “số chấm ở hai con xúc xắc bằng nhau”
6 1
là m=6. Vậy xác suất phải tìm p(B)=
 .
36 6

2 DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI
2.1 Biến cố độc lập, phép thử độc lập, phép thử lặp, phép toán – quan hệ biến cố.
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra
của biến cố này sẽ không ảnh hưởng gì kết quả xảy ra của biến cố kia.
Hai phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu việc thực hiện và kết quả của phép
thử này không ảnh hưởng và không phụ thuộc vào phép thử kia.
Các phép thử lặp là các phép thử được thực hiện trong điều kiện hoàn toàn như
nhau. Rõ ràng các phép thử lặp là độc lập với nhau.
Ví dụ 2.6. Ba người cùng bắn vào một bia. Gọi Ak=”người thứ k bắn trúng tâm
bia”, k=1,2,3.
Giải: Đây là 3 phép thử độc lập nhưng không phải phép thử lặp.
Các cặp biến cố A1 và A2; A2 và A3 ; A1 và A3 là độc lập nhau.
Nếu một người bắn từng viên một độc lập vào bia 3 lần thì đây là phép thử độc lập và
cũng là phép thử lặp.
Cho hai biến cố A và B, xây dựng các phép toán giữa hai biến cố này sẽ tạo ra
biến cố mới:

- Phép cộng hai biến cố thành biến cố A  B xảy ra khi ít nhất một trong hai biến
cố A và B xảy ra.
- Phép nhân hai biến cố thành biến cố A  B ( hay AB) xảy ra khi cả hai biến cố
A và B đều xảy ra.
(Các phép toán này hiểu như phép hợp và giao của hai tập hợp A và B).
10


Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

ThS. Phan Văn Linh

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu cả hai không thể cùng
đồng thời xảy ra (A B =  )
Hai biến cố A và B được gọi là đối lập với nhau nếu chúng xung khắc nhau và
phép cộng A và B thành biến cố chắc chắn. Nếu ký hiệu A là biến cố đối lập của A thì
A A =  và A  A   . Như vậy hai biến cố đối lập thì xung khắc, còn xung khắc thì
chưa chắc đối lập.
Ví dụ 2.7 Gieo một xúc xắc, sự kiện A ”ra số chẵn” và sự kiện B “ra một số chia
hết cho 3”. Mô tả sự kiện A  B ?
Giải: Kết quả vừa là số chẵn (có sự kiện A) vừa là số chia được cho 3 (có sự kiện
B) chỉ có số 6. Vậy A  B là sự kiện “ra mặt 6”.
Ví dụ 2.8 Gieo 1 xúc xắc gọi A là sự kiện “ra mặt chẵn”. Xác định sự kiện đối lập
của A?
Giải: Sự kiện đối lập cần tính là: A = “ra mặt lẻ”.
Ví dụ 2.9 Khi thi thì sự kiện A “thi đỗ” có sự kiện đối lập A là “thi trượt”.
Ví dụ 2.10 Nếu trong hộp có 3 loại bi màu trắng, màu xanh, màu đỏ thì sự kiện
“rút được bi xanh” xung khắc nhưng không đối lập với sự kiện “rút bi đỏ”, vì có thể rút
bi khác đó là “bi trắng”.
Khi rút bi trong hộp nếu gọi A là sự kiện “rút được bi trắng” thì sự kiện đối lập A

là “rút được bi xanh hoặc bi đỏ”, A  B  C .
Người ta có các công thức tính xác suất sau:

P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB) (công thức cộng tổng quát)

(2.4)

Nếu A, B xung khắc thì:

P(A  B)  P(A)  P(B) (công thức cộng đơn giản)

(2.5)

Đặt biệt P(A  A)  P()  1 do đó P(A)  P(A)  1 , do đó:

P(A)  1  P(A)

(2.6)

Nếu A và B độc lập thì:
P(AB)=P(A).P(B)

(công thức nhân đơn giản)

(2.7)

Ví dụ 2.11 Trong hộp có 3 bi trắng, 4 bi xanh, 5 bi đỏ, gọi A là sự kiện rút được
bi trắng, B là sự kiện rút được bi xanh, C là sự kiện rút bi đỏ. Hãy mô tả các biến cố A
và B  C . Tính xác suất các sự kiện đó.
Giải: Gọi A = “bi rút ra không phải bi trắng”, B  C = “rút được bi xanh hoặc bi

đỏ”.
Ta có: p(A) 

3
4
5
; p(B)  ; p(C) 
.
12
12
12

Suy ra p(A)  1  p(A)  1 

3
9
(theo (2.6))

12 12

Vì B  C   nên p(B  C)  p(B)  p(C) 

4 5
9
  .
12 12 12
11


Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

ThS. Phan Văn Linh

Ví dụ 2.12 Trong kì thi quy định “điểm giỏi” là điểm 9 hoặc 10 (không cho điểm
lẻ). Một học sinh vào thi, A là sự kiện em này “đạt điểm 10”, B là sự kiện “đạt điểm 9”.
Giả sử xác suất p(A) = 0,3, p(B) = 0,4. Tính xác suất sự kiện em học sinh đó đạt điểm
giỏi.
Giải: Gọi C là sự kiện “đạt điểm giỏi”, C là hợp của A và B.
Vì A và B xung khắc nên theo CT (2.5) có:
p(C)  p(A  B)  p(A)  p(B)  0,3  0, 4  0,7 .

Ví dụ 2.13 Trong lô hàng của xí nghiệp bao gồm 70% sản phẩm thuộc loại I, 20%
thuộc loại II, số còn lại thuộc loại III. Tính xác suất để kiểm tra 1 sản phẩm thì nhận
được kết quả cho phép sản phẩm được xuất khẩu. Biết rằng điều kiện xuất khẩu chỉ chấp
nhận sản phẩm loại I hoặc loại II.
Giải: Gọi A là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm thuộc loại I;
B là là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm thuộc loại II;
C là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm được chấp nhận cho xuất khẩu.
Vì A, B xung khắc nên:
p(C)  p(A  B)  p(A)  p(B)  0,7  0, 2  0,9 .

Ví dụ 2.14 Hai người đi cùng bắn một mục tiêu một cách độc lập, xác suất để
người thứ nhất bắn trúng đích là 0,7, xác suất để người thứ 2 bắn trúng đích là 0,8.
a. Tính xác suất để cả 2 người đều bắn trúng đích.
b. Tính xác suất sự kiện đích bị bắn trúng.
Giải:
a. Gọi A là sự kiện người thứ nhất bắn trúng đích, B là sự kiện người thứ hai bắn
trúng đích. Sự kiện cả hai trúng đích là A  B .
Do A, B độc lập, áp dụng công thức nhân đơn giản (2.7), ta có:

p(A  B)  P(A).p(B)  0,7.0,8  0,56.
b. Gọi C là sự kiện đích bị bắn trúng thì C  A  B . Do đó theo công thức cộng
tổng quát (2.4) ta có: p(C)  p(A  B)  0,7  0,8  0,56  0,94 .
2.2 Dãy phép thử Bernoulli, xác suất nhị thức, số có khả năng nhất.
Định nghĩa 2.1
Ta gọi n phép thử độc lập được là n phép thử Bernoulli nếu hai điều kiện sau đều
thỏa mãn:
i) Mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố A và A ;
ii) Xác suất xảy ra A là như nhau đối với mỗi phép thử; p(A)= p, (do đó p( A )=1p).
Ví dụ 2.15
a) Gieo 1 đồng tiền 10 lần. Đó là 10 phép thử Bernoulli, với A=”mặt sấp xuất
hiện”; nếu đồng tiền cân đối và đồng chất thì p=p(A)=1/2 (không đổi).

12


ThS. Phan Văn Linh

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

b) Một xạ thủ bắn vào mục tiêu 5 viên đạn với xác suất bắn trúng đích mỗi viên là p=0,8.
Ta có 5 phép thử Bernoulli, với A= ”trúng đích” và p=p(A)=0,8 (không đổi).
Khi thực hiện n phép thử Bernoulli thì biến cố A có thể xảy ra 0 lần , 1 lần ,..,n
lần. Biến cố “trong n lần đấy có đúng k lần biến cố A xảy ra” là một biến cố ngẫu nhiên.
Ta ký hiệu Pn(k;p) là xác suất của biến cố này, được tính bởi công thức:
Pn(k;p)= Pn  k;p   Ckn pk (1  p)n k (0  k  n)

(2.8)

( Đây là công thức Bernoulli; Chứng minh: xem tại mục II. trang 24 -[1])

Xác suất tính theo (2.8) gọi là xác suất nhị thức.
Ví dụ 2.16: Gieo 8 lần một đồng tiền cân đối đồng chất. Tìm xác suất để trong 8
lần gieo đó có 5 lần xuất hiện mặt ngửa.
Giải: Ở đây n=8, k=5. Áp dụng công thức (2.8), với p=1/2 ta có xác suất để trong
8 lần gieo đó có 5 lần xuất hiện mặt ngửa là:
5

3

1 1
P8 (5;p)  C     = 0,21875
2 2
5
8

Ví dụ 2.17 Tỉ lệ nảy mầm của một loại hạt giống đạt 95%. Tìm xác suất để khi
gieo ngẫu nhiên 10 hạt giống loại đó có 7 hạt nảy mầm.
Giải: Ta kí hiệu M= “Gieo ngẫu nhiên một hạt giống thì hạt đó nảy mầm”.
Vậy p=P(M)=0,95.
7
.0,957.0,053 =0,01
Áp dụng công thức Bernoulli ta có: P10 (7;0,95)  C10

Ví dụ 2.18 Trong một điều tra xã hội gần đây thì tỷ lệ sinh viên học tập không
đúng nghề mà họ yêu thích là 30%. Trong một nhóm ngẫu nhiên 5 người sẽ có mấy
người không yêu thích ngành đang học là có khả năng hơn cả.
Giải: Ta có 5 phép thử Bernoulli ( khi cho tỷ lệ của A mà không cho số phần tử
của tập đang xét được hiểu là khả năng xảy ra A là như nhau trong các lần chọn, bỏ qua
sự khác nhau giữa lấy có hoàn lại và không hoàn lại).
p=P(“sinh viên không yêu thích ngành đang học “)=30%=0,3, do đó:

P5(k;0,3) = C5k .0,3k.0,75k , k=0,1,2,3,4,5.
Ta có bảng :
k

0

1

2

3

4

5

P5(k;0,3)

0,0168

0,3602

0,3087

0,1323

0,0284

0,0024

So sánh 6 xác suất trên ta có P5(1;0,3)=0,362 lớn nhất, tức là trong nhóm 5 sinh
viên sẽ có 1 sinh viên không yêu thích ngành đang học.
Kết quả 1 (người) trên gọi là số có khả năng nhất, ký hiệu k0, đó là số mà xác suất
nhị thức Pn(k0;p) (để biến cố A xuất hiện k0 lần) đạt cực đại.
Quy tắc tính k0:
- Nếu np+p-1 nguyên thì k0 = np+p-1 hoặc k0 = np+p;
- Nếu np+p-1 thập phân thì k0 là số nguyên bé nhất nhưng lớn hơn np+p-1.
(Sinh viên tự kiểm chứng quy tắc tính k0 bằng ví dụ trên).
13


ThS. Phan Văn Linh

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

3 BIẾN NGẪU NHIÊN
3.1 Biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc, bảng phân phối xác suất
Một đại lượng hay một biến nhận các giá trị của nó với xác suất tương ứng được
gọi là biến ngẫu nhiên, ký hiệu X, Y, Z,...
Nếu các giá trị của biến là các giá trị rời nhau trên tập số thực gọi là biến ngẫu
nhiên rời rạc.
Biến ngẫu nhiên liên tục: (khác với biến ngẫu nhiên rời rạc ở chỗ các giá trị của
nó lấp đầy một khoảng của tập số thực, SV tự đọc trang 33-[1]).
Giả sử biến ngẫu nhiên (BNN) X có các giá trị rời rạc x1, x2, x3, ..., xn. Xác suất
tương ứng với các giá trị của BNN X là pi=P(X=xi) , i=1,2,3,..,n gọi là phân phối xác
suất của X. Bảng chứa thông tin về các giá trị xi của X và các xác suất tương ứng pi sau
đây gọi là Bảng phân phối xác suất của X ( Hình 2.2)
X

x1

x2

x3

...xn

pi=P(X=xi)

p1

p2

p3

...pn
, với p1+ p2+ p3 +...+ pn = 1.

- Hình 2.2Ví dụ 2.19: a)Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. X là số chấm xuất hiện ở
mặt trên xúc xắc. Khi đó ta có:
- Các giá trị của X là k = 1,2,3,4,5,6.
- Các xác suất pi tương ứng là : p1= p2= p3 = p4= p5= p6=

1
.
6

Và Bảng phân phối xác suất của X là :
X

1

2

3

4

5

6

P(X=k)

1
6

1
6

1
6

1
6

1
6

1

6

b) Gieo hai đồng tiền cân đối đồng chất. X là số mặt ngửa xuất hiện. Khi đó ta có
Bảng phân phối xác suất của BNN X :
X

0

1

2

pi

1
4

2 1

4 2

1
4

( SV tự giải thích các giá trị của X và kết quả của phân phối xác suất pi ).
Ví dụ 2.20: Bắn ba viên đạn vào một mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi viên
là 0,5. Gọi X là BNN chỉ số viên trúng đích. Hãy tìm phân phối xác suất của BNN X.
Giải: Ta có BNN X nhận các giá trị k= 0; 1; 2; 3.

14

ThS. Phan Văn Linh

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

Gọi bc A: ‘trúng đích’, A : ‘không trúng đích’, ta có số khả năng có thể xảy ra của phép
thử là n = 2.2.2 = 8 ( A A A ; A A A , A A A , A A A; AA A , A A A, A AA; AAA). Kết
quả về phân phối xác suất :
X

0

1

2

3

P

1/8

3/8

3/8

1/8

(SV có thể áp dụng CT Bernoulli để tính phân phối xác suất này, P(X=k) = P3(k;0,5) )

Ví dụ 2.21: Gặp ngẫu nhiên 4 sinh viên của nhóm. Cho biết nhóm gồm có 5 nam
và 3 nữ, gọi X là số sinh viên nữ gặp được.
a) Xác định các giá trị của X và lập bảng phân phối xác suất.
b)Trước khi gặp, bạn đoán xem có mấy người nữ trong 4 người chọn ra.
c) Tìm xác suất để gặp được ít nhất 2 nữ trong 4 người đó.
Giải: a) Vì tối đa nữ 3 người nên X có thể là 0,1,2,3. Các xác suất tương ứng lần
lượt theo cách tính xác suất cổ điển (cũng có thể tính theo xác suất siêu bội), ta có bảng
phân phối xác suất:
X

P(X=xi)

0

1

2

3

C30 .C54
p(X  0) 
C84

C13 .C53
p(X  1) 
C84

C32 .C52
p(X  2) 

C84

C33 .C15
p(X  3) 
C84



1
14



3
7



3
7



1
14

b) Nhìn vào phân phối xác suất ta thấy xác suất có 1 và 2 nữ cao nhất. Vậy đoán
rằng có 1 đến 2 nữ thì khả năng đúng sẽ cao hơn.
c) Ta có xác suất “trong 4 người có lớn hơn hoặc bằng 2 người nữ” là:
P[(X=2)  (X=3)] = P(X=2) + P(X=3) (do xung khắc). Vậy P=

30 5
 =0,5.
70 70

3.2 Hàm phân phối và tính chất
Định nghĩa 2.1
Hàm phân phối của BNN X ( X rời rạc hoặc liên tục ) được xác định như sau:
F(x)=P[X
(2.9)

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì (1) trở thành :

0
p
 1
F(x)   pi  p1  p 2
xi  x
...

p1  p 2  ...  p n  1

khi x  x 1
khi x 1  x  x 2
khi x 2
(2.10)

khi x n  x

Ví dụ 2.22: Trở lại ví dụ 2.20, áp dụng (2.10) ta viết hàm phân phối của BNN X
như sau:

15


ThS. Phan Văn Linh

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

0
1

8
 1 3 1
F(x)    =
8 8 2
1 3 3 7
8  8  8 = 8

1

khi x  0
khi 0khi 1  x  2
khi 2  x  3
khi 3  x

Tính chất 2.1

Hàm phân phối F(x) có các tính chất:
i) Hàm F(x) xác định trên tập số thực
ii) Hàm F(x) đơn điệu tăng: nếu xiii) 0  F(x)  1; F(  )=0; F(+  )=1
iv) P(a  xĐể minh họa các tính chất trên ta vẽ đồ thị của hàm F(x) ví dụ 2.22 (Hình 2.3).

Đồ thị y=F(x) có dạng bậc thang

y

1
7/8
1/2

1/8
O

1

2

3

x

-Hình 2.3-

3.3 Biến ngẫu nhiên liên tục
Ngoài biến ngẫu nhiên rời rạc còn có biến ngẫu nhiên liên tục.

Biến ngẫu nhiên liên tục là biến nhận bất kỳ giá trị nào trong khoảng
(đoạn) (a, b) hoặc toàn tập số thực R= ( ,  ) .
Để nghiên cứu biến ngẫu nhiên liên tục phải dùng 1 trong 2 hàm sau:
Hàm mật độ: Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X nếu f(x)
thỏa 2 điều kiện:
i) f (x)  0 và f(x) liên tục với mọi x  a, b


ii)

 f (x)dx  1 .



16


ThS. Phan Văn Linh

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)


Khi đó xác suất: p(  X  )   f (x)dx,  < 


Hàm phân phối: Hàm phân phối F(x) được định nghĩa giống như trong trong
trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc: F(x) = p[Xhơn x, hay X ở bên trái x).
+ Giữa hàm mật độ xác suất và hàm phân phối có mối quan hệ:
f(x) = F’(x) (đạo hàm của hàm phân phối),

Và ngược lại: F(x) 

x

 f (t)dt, x  R.



+ Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục tại điểm a thì xác suất p(X=a)= 0 ( Xem
Chứng minh, Chương II- [5]).

4 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG
4.1 Kỳ vọng
Định nghĩa 2.2
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là một số, ký hiệu EX, xác định bởi:
n

EX=  x i pi , với pi= P(X=xi)

(2.11)

i 1

Vi dụ 2.23: Trở lại ví dụ 2.19 ta có kỳ vọng là:
1
1
1
1
1
1

a) EX = 1.  2.  3.  4.  5.  6.  3,5
6
6
6
6
6
6
1
1
1
b) EX= 0.  1.  2.  1
4
2
4

Ý nghĩa kỳ vọng: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là giá trị trung bình có trọng
lượng. Công thức tính trung bình kiểu kỳ vọng này khác với cách tính trung bình số
1 n
học  x i mà ta đã biết.
n i 1
Trong trường hợp các xác suất pi bằng nhau thì trung bình có trọng lượng trùng
với trung bình số học. Nhưng các pi khác nhau thì trung bình có trọng lượng phản ánh
bản chất tốt hơn nhiều so với trung bình số học. Để minh họa điều này ta xét ví dụ sau:
Giả sử điểm trung bình môn từng học kỳ của một môn học đối với một học sinh
phổ thông được tính toán dựa trên các con điểm: Miệng = 9 điểm, 15’=10điểm, 1 tiết =
6 điểm, thi = 7 điểm.
+ Nếu tính theo trung bình số học thì có kết quả là: (9+10+6+7) 

1
= 8,0 điểm;

4

+ Còn tính theo trung bình có trọng lượng (kỳ vọng), tức là tính theo hệ số: điểm
miệng và 15’ hệ số 1, điểm kiểm tra 1 tiết hệ số 2 còn điểm bài thi hệ số 3 thì kết quả là
:
1
1
2
3
9   10   6   7  = 7,4 điểm.
7
7
7
7
17


ThS. Phan Văn Linh

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

Rõ ràng tính theo cách thứ 2, trung bình có trọng lượng phản ánh chính xác hơn
về kết quả học tập môn học của học sinh đó.
Ví dụ khác:
1
3
kg và kg
4
4
được treo ở hai đầu thanh tại tọa độ -1 và 1. Tìm tọa độ trọng tâm trên thanh ngang để

khi móc thanh ngang tại vị trí đó thanh ngang sẽ cân bằng . Hình 2.4.

Cho hệ gồm một thanh ngang với hai quả cân trọng lượng lần lượt

Giải:
Ta có phân phối xác suất:
X

-1

1

P

¼

¾

Tọa độ trọng tâm cần tính là EX = ½. Vậy để thanh ngang tại tọa độ x =1/2, tức là
trọng tâm EX, điểm đó lệch về phía đầu quả cân có trọng lượng nặng hơn thì thanh
ngang cân bằng.

-1

0

1

½

¼ kg
¾ kg

-Hình 2.4-

Tính chất 2.2
Kỳ vọng EX có các tính chất sau:
a) EC=C (C là hằng số)
b) E(CX) = C.EX
c) E(X  Y)= EX  EY
d) Nếu X, Y độc lập1 thì E(X.Y)=EX.EY
4.2 Phương sai
Định nghĩa 2.3
Phương sai của biến ngẫu nhiên X là một số không âm, ký hiệu DX, xác định bởi:
DX= E(X  EX)2

(2.12)

hoặc DX= EX2  (EX)2

(2.13)

( ( 2.13) được suy từ (2.12) )

Hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập với nhau nếu mọi biến cố liên quan đến X đều độc lập với biến cố
bất kỳ liên quan đến Y.
1

18

ThS. Phan Văn Linh

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

Ví dụ 2.24 Trở lại giả thiết cho ở thí dụ 2.23. Ta tính phương sai DX trong mỗi
trường hợp như sau:
1
1
1
1
1
1
a) Tính EX2 = 12.  22.  32.  42.  52.  62.  15,167 .
6
6
6
6
6
6

Áp dụng (2.13) ta được phương sai: DX= EX2  (EX)2 = 15,167 - 3,52 = 2,92.
1
1
1
b) Tính EX2 = 02.  12.  22.  1,5 . Vậy DX = 1,5 - 12 = 0,5.
4
2
4

Ý nghĩa phương sai: Phương sai đo mức độ phân tán ( hay độ tản mát) của các
giá trị biến ngẫu nhiên X xung quanh giá trị kỳ vọng EX của nó. DX càng lớn thì các giá
trị của biến ngẫu nhiên càng phân tán, ngược lại độ tập trung xung quanh EX nhỏ.
Phương sai còn được gọi là độ lệch bình phương trung bình của các giá trị X so
với kỳ vọng EX (Biểu thức (2.12) minh họa ý nghĩa DX phù hợp với tên gọi này).
Tính chất 2.3
a) DC = 0 (C là hằng số)
b) D(CX) = C2.DX
c) D(-X) = DX
d) Nếu X và Y độc lập nhau thì D(X  Y) = DX  DY.
Độ lệch chuẩn được ký hiệu là   DX .
Chú ý: Có thể tính phương sai theo:
n

DX=   x i  EX  p i
2

(2.14)

i 1

4.3 Mod
Mốt là giá trị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu xmod , sao cho tại đó xác suất tương
ứng đạt cực đại.
Trở lại ví dụ 2.20, ta có hai giá trị là: xmod =1 và xmod =2.
4.4 Median
Trung vị là giá trị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu xMe , mà tại đó F(x Me ) 

1
.

2

(SV tự tính trung vị qua ví dụ 2.20 )

5 MỘT SỐ PHÂN PHỐI THƯỜNG GẶP
5.1 Phân phối nhị thức
Xét n phép thử Bernoulli với biến cố A có P(A)=p. Gọi X là số lần xuất hiện biến
cố A. Khi đó X có phân phối nhị thức, ký hiệu B(n;p) nếu bảng phân phối có dạng:
X

0

1

…

k

…

n

P

p0

p1

…

pk

…

pn

Trong đó pk  p  X  k   Ckn pk q n k , k=0;1;2;...
Phân phối này, X có kỳ vọng, phương sai:
19


ThS. Phan Văn Linh

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

EX = np ; DX = npq, với q=1-p

(2.15)

5.2 Phân phối Poát-xông
Biến ngẫu nhiên X có phân phối Poát – xông nếu bảng phân phối có dạng:
X

0

1

2

…

k

…

P

p0

p1

p2

…

pk

…

Trong đó:

pk 

e  k

k!

(μ là một tham số dương; k = 0,...,  )

Phân phối này, X có kỳ vọng, phương sai :

EX = DX = 

(2.16)

Nhận xét: Nếu trong phân phối B(n, p) có n khá lớn và xác suất p khá bé thì xem
phân phối nhị thức xấp xỉ với phân phối Poát – xông:

C kn p k q n  k 

e  k
 ,   np
k!

(2.17)

5.3 Phân phối chuẩn
Biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn, ký hiệu N(, 2 ) , nếu X có thể lấy 1 giá
trị từ  đến  với mật độ xác suất:
(x) 


1
e
2

( x  )2
2 2

(  x  )

(2.18)

(SV xem mục 2.3.3 Biến ngẫu nhiên liên tục)
X có phân phối chuẩn N(, 2 ) thì:
EX   và DX  2

(2.19)

Trong thực tế thường gặp biến phân phối chuẩn khi khảo sát các biến định lượng
như chiều cao người lớn, mức độ thông minh của trẻ em, điểm thi của các thí sinh, sức
chịu đựng của một thanh sắt, hay một số đối tượng có liên quan trọng lượng, bán kính,
chiều dài,…
Trong nghiên cứu địa chất, phân phối chuẩn cũng được ứng dụng để mô tả nhiều
hiện tượng địa chất, như hàm lượng và khoáng vật trong đá, hàm lượng một số nguyên tố
hóa học,...
Do có vai trò và vị trí quan trọng của phân phối chuẩn nên người ta đã lập bảng

1  2x
tính các giá trị của hàm mật độ (x)
e (   0,   1 ) và hàm phân phối tiêu chuẩn
2
2

1 x 2t
x 
 e dt (Xem mục III trang 37- [1]). Các giá trị của hàm này được lập
2 
thành bảng (Xem Bảng 1, Bảng 2- G.Phụ lục).
2

20


Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

ThS. Phan Văn Linh

Tra Bảng 2 có thể tìm được   x 0  nếu cho x0 và ngược lại có   x 0  tìm được

x0. Ví dụ, tính  1,96  =0,9750, vì theo Bảng 2 , ta có giá trị 0,9750 là ô giao cắt giữa
dòng t=1,9 với cột t=6.
X 

có phân phối N(0,1) (phép chuyển đổi này gọi là phép chuẩn hóa biến ngẫu nhiên). Khi

Nếu X là có phân phối N(, 2 ) ( viết X N(, 2 ) ) thì biến ngẫu nhiên Y=

đó:

 b 
 a  
P(a  X  b)   
  

  
  

(2.20)

1 x 2t

Với hàm phân phối tiêu chuẩn   x  
 e dt thì:
2 
2

  x   1    x 

(2.21)

Ví dụ 2.25 Giả sử độ cao X của trẻ em tuân theo luật phân phối chuẩn dạng N(1,3;
0,01). Tính xác suất để trẻ em có độ cao nằm trong khoảng (1,2; 1,4).
 1, 4  1,3 
 1, 2  1,3 
Giải: Ta có: p[1, 2  X  1, 4]   
  

 0,01 
 0,01 

=  (1)-  (-1) =  (1) - (1-  (1))

( do (2.21))

= 2  (1) -1 = 2. 0,8413-1= 0,6826.
(Tra Bảng 2, Phụ lục:  (1)=0,8413)
Ví dụ 2.26 Gọi X là chỉ số đo độ thông minh (Intelligent Quota -IQ) của một sinh
viên.
a) Cho biết chỉ số IQ trung bình của sinh viên là bao nhiêu?
b) Khả năng chọn được một sinh viên rất thông minh (X  90) là bao nhiêu? Số
tìm được có phải là tỷ lệ sinh viên rất thông minh hay không?

c) Trong một lớp gồm 100 sinh viên (coi như được phân ngẫu nhiên ) thì trung
bình có bao nhiêu sinh viên có chỉ số IQ trên 90.
d) Gọi Y là số sinh viên có IQ  90 trong 100 sinh viên. Chỉ rõ phân phối xác suất
của Y.
Tìm xác suất để trong 100 sinh viên có 20 sinh viên có IQ  90.
Giải:
a) Chỉ số IQ trung bình là 85
b) P(90  X)  P(90  X  )   ()   (

90  85
)  1   (1) =1-0,8413=0,16.
5

Trên thế giới chưa phát hiện ra bậc vĩ nhân nào có IQ>250. Do đó chỉ số
0,16=16% là tỷ lệ sinh viên rất thông minh (X  90).
c) Xem lớp 100 sinh viên là 100 phép thử Bernoulli, với xác suất biến cố (X  90)
p = 0,16 cho nên về trung bình sẽ có np=100. 0,16= 16 sinh viên có IQ  90 ( theo
(2.15)).
21


ThS. Phan Văn Linh

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

d) Ta có 100 phép thử Bernoulli vậy Y B(100; 0,16) .
k
.0,16k.0,84100k ( k=1,2,3,4,...,100)
Phân phối xác suất của Y: P(Y  k)  C100

Xác

để

suất
20
100

trong
20

100
100  20

P(k=20)= C .0,16 .0,84

sinh

viên

có

20

sinh

viên

có

IQ  90

là

.

Ngoài phân phối chuẩn còn có nhiều phân phối liên tục thường gặp trong nghiên
cứu khoa học và đời sống như phân phối đều, phân phối mũ,…,một số phân phối có quan
hệ trực tiếp với phân phối chuẩn và có nhiều ứng dụng trong thống kê như trong phân
phối khi bình phương 2 , Student ( phân phối t),…( SV xem thêm V. trang 46-[1]).

C.TÓM TẮT
Phép thử, biến cố
Phép thử (ngẫu nhiên) là thực hiện một nhóm các điều kiện xác định ( có thể
được lặp lại nhiều lần) và kết quả của nó ta không thể đoán trước được. Kết quả của
phép thử gọi là biến cố (sự kiện). Ta gọi 1 biến cố là biến cố sơ cấp (hay sự kiện sơ cấp,
biến cố cơ bản) nếu nó không thể phân chia thành biến cố nhỏ hơn nữa, kí hiệu là
e1 ,e 2 ,….Giả sử có n sự kiện sơ cấp: e1 ,e2 ,...,en thì tập hợp   {e1 ,e2 ,...,e n } gọi là tập
hợp các sự kiện sơ cấp.
Một nhóm các sự kiện sơ cấp ( tập hợp con của  ) được gọi là một biến cố ngẫu
nhiên ( hay sự kiện ngẫu nhiên).
Biến cố không thể (rỗng) là biến cố không thể xảy ra, kí hiệu  .
Biến cố mà nó chắc chắn xảy ra khi phép thử được thực hiện gọi là biến cố chắc
chắn, ký hiệu  .
Các biến cố sơ cấp hoặc các khả năng có thể mà từ đó ta suy ra biến cố A xảy ra
gọi là khả năng thuận lợi cho biến cố A.
Xác suất của một biến cố
Khi tiến hành phép thử, mỗi biến cố (sự kiện) A có một mức độ hay khả năng xảy
ra, số đo khả năng xuất hiện đó được gọi là xác suất của biến cố, kí hiệu p(A)
(Probability) được chọn sao cho: 0  p(A)  1

Hai cách tính xác suất:
a- Cách tính thống kê
Xác định điều kiện đầu xong ta lặp lại phép thử nhiều lần, càng nhiều càng tốt,
ghi lại số lần thử n và số lần có sự kiện A, gọi là tần số n(A).
n(A)
Tần suất của sự kiện A, kí hiệu là f(A) được tính theo công thức: f (A) 
n
Tần suất không phải là xác suất nhưng nếu với số phép thử n khá lớn thì có thể thì
lấy tần suất f(A) làm xác suất p(A).
m
b- Cách tính cổ điển: p(A) 
n
Trong đó m: số khả năng thuận lợi cho biến cố A ;
n: số khả năng có thể xảy ra của phép thử.
Biến cố độc lập, phép thử độc lập, phép thử lặp, phép toán – quan hệ biến cố
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra
của biến cố này sẽ không ảnh hưởng gì kết quả xảy ra của biến cố kia.
22


Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

ThS. Phan Văn Linh

Hai phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu việc thực hiện và kết quả của phép
thử này không ảnh hưởng và không phụ thuộc vào phép thử kia.
Các phép thử lặp là các phép thử được thực hiện trong điều kiện hoàn toàn như
nhau. Rõ ràng các phép thử lặp là độc lập với nhau.
Cho hai biến cố A và B, xây dựng các phép toán giữa hai biến cố này sẽ tạo ra
biến cố mới:

- Phép cộng hai biến cố thành biến cố A  B xảy ra khi ít nhất một trong hai biến
cố A và B xảy ra.
- Phép nhân hai biến cố thành biến cố A  B ( hay AB) xảy ra khi cả hai biến cố
A và B đều xảy ra.
(Các phép toán này hiểu như phép hợp và giao của hai tập hợp A và B).
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu cả hai không thể cùng
đồng thời xảy ra (A B =  )
Hai biến cố A và B được gọi là đối lập với nhau nếu chúng xung khắc nhau và
phép cộng A và B thành biến cố chắc chắn. Nếu ký hiệu A là biến cố đối lập của A thì
A A =  và A  A   . Như vậy hai biến cố đối lập thì xung khắc, còn xung khắc thì
chưa chắc đối lập.
Dãy phép thử Bernoulli, xác suất nhị thức, số có khả năng nhất
Ta gọi n phép thử độc lập được là n phép thử Bernoulli nếu hai điều kiện sau đều
thỏa mãn:
i) Mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố A và A ;
ii) Xác suất xảy ra A là như nhau đối với mỗi phép thử; p(A)= p, (do đó p( A )=1p).
Khi thực hiện n phép thử Bernoulli thì biến cố A có thể xảy ra 0 lần , 1 lần ,..,n
lần. Biến cố “trong n lần đấy có đúng k lần biến cố A xảy ra” là một biến cố ngẫu nhiên.
Ta ký hiệu Pn(k;p) là xác suất của biến cố này, được tính bởi công thức:
Pn(k;p)= Pn  k;p   Ckn pk (1  p)n k (0  k  n) (Xác suất tính theo công thức này gọi là
xác suất nhị thức).
Quy tắc tính k0:
- Nếu np+p-1 nguyên thì k0 = np+p-1 hoặc k0 = np+p;
- Nếu np+p-1 thập phân thì k0 là số nguyên bé nhất nhưng lớn hơn np+p-1.
Biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc, bảng phân phối xác suất
Một đại lượng hay một biến nhận các giá trị của nó với xác suất tương ứng được
gọi là biến ngẫu nhiên, ký hiệu X, Y, Z,...
Nếu các giá trị của biến là các giá trị rời nhau trên tập số thực gọi là biến ngẫu
nhiên rời rạc.
Xác suất tương ứng với các giá trị của BNN X là pi=P(X=xi) , i=1,2,3,..,n gọi là

phân phối xác suất của X. Bảng chứa thông tin về các giá trị xi của X và các xác suất
tương ứng pi sau đây gọi là Bảng phân phối xác suất của X
X

x1

x2

x3

...xn

pi=P(X=xi)

p1

p2

p3

...pn
, với p1+ p2+ p3 +...+ pn = 1.

Hàm phân phối và tính chất

23


Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

ThS. Phan Văn Linh

Hàm phân phối của BNN X ( X rời rạc) được xác định như sau:
khi x  x 1
0
p
khi x 1  x  x 2
 1
F(x)   pi  p1  p 2
khi x 2 xi  x
...

p1  p 2  ...  p n  1 khi x n  x
Tính chất: Hàm phân phối F(x) có các tính chất:
+ Hàm F(x) xác định trên tập số thực;
+ Hàm F(x) đơn điệu tăng: nếu x+ 0  F(x)  1; F(  )=0; F(+  )=1;
+ P(a  xBiến ngẫu nhiên liên tục
Để nghiên cứu biến ngẫu nhiên liên tục người ta phải dùng hàm mật độ hoặc hàm
phân phối xác suất.
Biến ngẫu nhiên liên tục là biến nhận bất kỳ giá trị nào trong khoảng
(a,
(đoạn) b) hoặc toàn tập số thực R= ( ,  ) .
Các số đặc trưng
Định nghĩa: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là một số, ký hiệu EX, xác định bởi:
n

EX=  x i pi , với pi= P(X=xi)

i 1

Ý nghĩa kỳ vọng: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là giá trị trung bình có trọng
lượng. Công thức tính trung bình kiểu kỳ vọng này khác với cách tính trung bình số
1 n
học  x i mà ta đã biết.
n i 1
Tính chất: Kỳ vọng EX có các tính chất sau:
+ EC=C (C là hằng số)
+ E(CX) = C.EX
+ E(X  Y)= EX  EY
+ Nếu X, Y độc lập thì E(X.Y)=EX.EY
Định nghĩa: Phương sai của biến ngẫu nhiên X là một số không âm, ký hiệu DX,
xác định bởi: DX= E(X  EX)2 hoặc DX= EX2  (EX)2
Ý nghĩa phương sai: Phương sai đo mức độ phân tán ( hay độ tản mát) của các
giá trị biến ngẫu nhiên X xung quanh giá trị kỳ vọng EX của nó. DX càng lớn thì các giá
trị của biến ngẫu nhiên càng phân tán, ngược lại độ tập trung xung quanh EX nhỏ.
Phương sai còn được gọi là độ lệch bình phương trung bình của các giá trị X so
với kỳ vọng EX.
Tính chất 2.3
+ DC = 0 (C là hằng số)
+ D(CX) = C2.DX
+ D(-X) = DX
+ Nếu X và Y độc lập nhau thì D(X  Y) = DX  DY.
Độ lệch chuẩn:   DX .
Mốt là giá trị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu xmod , sao cho tại đó xác suất tương
ứng đạt cực đại.
24

ThS. Phan Văn Linh

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH)

Trung vị là giá trị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu xMe , mà tại đó F(x Me ) 

1
.
2

Một số phân phối thường gặp
Phân phối nhị thức
Xét n phép thử Bernoulli với biến cố A có P(A)=p. Gọi X là số lần xuất hiện biến
cố A. Khi đó X có phân phối nhị thức, ký hiệu B(n;p) nếu bảng phân phối có dạng:
X

0

1

…

k

…

n

P

p0

p1

…

pk

…

pn

Trong đó pk  p  X  k   Ckn pk q n k , k=0;1;2;...
Phân phối này, X có kỳ vọng, phương sai: EX = np ; DX = npq, với q=1-p
Phân phối Poát - xông
Biến ngẫu nhiên X có phân phối Poát – xông nếu bảng phân phối có dạng:
X

0

1

2

…

k

…

P

p0

p1

p2

…

pk

…

e  k

(μ là một tham số dương; k = 0,...,  )
k!
Phân phối này, X có kỳ vọng, phương sai: EX = DX = 

Trong đó: p k 

Phân phối chuẩn
Biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn, ký hiệu N(, 2 ) , nếu X có thể lấy giá trị
thực bất kỳ với mật độ xác suất: (x) 


1
e
2

( x  ) 2
2 2

(   x  ) .

X có phân phối chuẩn N(, 2 ) thì: EX   và DX  2 .

D.CÂU HỎI & BÀI TẬP, THỰC HÀNH, THẢO LUẬN
2.1. Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng đích của mỗi người đều
bằng 0,50. Điền đúng hoặc sai vào ô trống:
a) Xác suất để cả hai người bắn trúng đích bằng xác suất để cả hai người bắn đúng/sai
trượt.
b) Xác suất để cả hai người bắn trượt lớn hơn xác suất để ít nhất một người đúng/sai
bắn trúng.
2.2 Gieo 1 đồng tiền cân đối và đồng chất. Xác suất để chỉ có một đồng xuất hiện mặt sấp
là:
a. p=1/3

b. p=1/2

c. p =2/3

d. p=3/8.

2.3 Gieo hai đồng tiền cân đối và đồng chất. Xác suất để có ít nhất một đồng xuất hiện
mặt sấp là:
a. p=7/8

b. p=1/2

c. p =3/4

d. p=1/8

25