Nguyen quoc tuan k22 nghien cuu ve gia tri lon nhat va gia tri nho nhat o trung hoc pho thong (lan 2)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quốc Tuấn

NGHIÊN CỨU VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quốc Tuấn

NGHIÊN CỨU VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN LƢƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Lương Công
Khanh, người đã truyền dạy những những kiến thức quý báu và đã tận tình chỉ dẫn,
giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến,
PGS.TS Nguyễn Chí Thành, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Nguyễn Thị Nga,
TS. Vũ Như Thư Hương và các thầy cố đến từ Pháp đã nhiệt tình giảng dạy, giải
đáp thắc mắc, giúp tôi tiếp thu tốt nhất những kiến thức chuyên ngành Didactic
Toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn:
Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau Đại học, ban chủ nhiệm và giảng viên
khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã tạo mọi thuận lợi cho tôi
trong suốt khóa học.
Ban giám hiệu và giáo viên hai trường THPT Phú Quốc và THPT Dương
Đông (huyện Phú Quốc, tỉnh Kiên Giang) đã tạo điều kiện cho tôi thực dự giờ, quan
sát nhiều tiết học và tiến hành các thực nghiệm cần thiết cho luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tha thiết đến gia đình và các bạn cùng khóa,
những người luôn yêu mến, ủng hộ, chia sẻ và động viên tôi suốt quá trình học tập.
Nguyễn Quốc Tuấn


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
THPT
GV
HS
TXĐ
SGV11

SGK11
SBT11
SGV12
SGK12
SBT12

: Trung học phổ thông
: Giáo viên
: Học sinh
: Tập xác định
: Sách giáo viên đại số và giải tích 11 nâng cao
: Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao
: Sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao
: Sách giáo viên giải tích 12 nâng cao
: Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao
: Sách bài tập giải tích 12 nâng cao


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Danh mục các chữ viết tắt
Mục lục
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 1
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu ..................................................... 6
3. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn............................................................ 8
Chƣơng 1. NGHIÊN CỨU VỀ QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ................................................................................................ 10
1.1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở lớp 11 ............................................................. 10

1.1.1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chương trình toán lớp 11 .................. 10
1.1.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong sách giáo khoa toán lớp 11 ............... 11
1.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở lớp 12 ............................................................. 18
1.2.1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chương trình toán lớp 12 .................. 18
1.2.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong sách giáo khoa toán lớp 12 ............... 19
1.3. Phân tích các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng từ năm 2003 đến 2013 ............... 30
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 .................................................................................................. 36
Chƣơng 2. NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN VỀ GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ....................................... 39
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 .................................................................................................. 69
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ......................................................................... 70
3.1. Thực nghiệm đối với giáo viên................................................................................. 70
3.1.1. Mục đích xây dựng thực nghiệm....................................................................... 70
3.1.2. Bộ câu hỏi thực nghiệm giáo viên..................................................................... 70
3.1.3. Phân tích các câu trả lời của giáo viên .............................................................. 72
3.2. Thực nghiệm đối với học sinh .................................................................................. 77
3.2.1. Các bài toán thực nghiệm .................................................................................. 77
3.2.2. Phân tích tiên nghiệm ........................................................................................ 78
3.2.3. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................................ 95
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 .................................................................................................. 99
KẾT LUẬN....................................................................................................................... 100
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


1

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Ghi nhận và nhóm câu hỏi thứ nhất

Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là loại bài toán có rất nhiều ứng
dụng trong đời sống thực tế, chẳng hạn: làm thế nào để quản lý một công ty sao cho
chi phí, tài nguyên, nguồn lực tiết kiệm nhất mà mang lại hiểu quả cao nhất hay làm
thế nào để sản xuất một loại thùng inox dạng hình trụ tròn xoay có thể tích cố định
mà sao cho chiều cao và bán kính đáy của thùng là tiết kiệm vật liệu nhất,.…
Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có mặt đủ ở các cấp học, từ cấp
tiểu học, trung học cơ sở đến trung học phổ thông và cao hơn nữa. Đặc biệt, trong
các kì thi tốt nghiệp, các kì thi vào Đại học, Cao đẳng hàng năm gần đây, các bài
toán liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thường xuyên xuất
hiện trong các đề thi.
Thực tế giảng dạy cho thấy, bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
được giải bằng nhiều kỹ thuật khác nhau từ sơ cấp đến cao cấp và với nhiều trình độ
khác nhau. Trong chương trình toán trung học phổ thông, dạng bài toán này đã xuất
hiện ngay ở khối lớp 10, khối lớp 11 và ở khối lớp 12. Mặc dù giá trí lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất chưa được định nghĩa chính thức trong sách giáo khoa 10 và 11 nhưng
dạng bài toán này đã xuất hiện và để giải chúng thì công cụ chủ yếu là sử dụng kỹ
thuật “bất đẳng thức”. Cho đến khối lớp 12, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mới
được định nghĩa và đưa vào giảng dạy một cách chính thức trong chương trình và
việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chủ yếu là dùng kỹ thuật
“đạo hàm”, sử dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số.
Đặt trọng tâm vào khối lớp 12, chúng tôi nhận thấy việc sử dụng đạo hàm như
là một kỹ thuật chủ yếu để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên chúng tôi tiến
hành một khảo sát nhỏ trên 71 học sinh ở 2 lớp 12 của trường THPT Phú Quốc
nhằm tìm kiếm những ứng xử của học sinh đối với dạng bài toán này như thế nào
thông qua 2 bài tập như sau:


2

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn [0 ; 5].
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
, với x R.
Sau khi phân tích bài làm của học sinh, chúng tôi nhận thấy đa số học sinh đều
sử dụng kỹ thuật đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Bảng dưới đây sẽ trình bày các kỹ thuật mà học sinh sử dụng.

Câu hỏi

Kỹ thuật đạo hàm

Kỹ thuật bất đẳng thức

Không giải

HS

Tỉ lệ

HS

Tỉ lệ

HS

Tỉ lệ

1

71

100%

0

0%

0

0%

2

64

90%

2

3%

5

7%

Trong đó :
- Cột “kỹ thuật đạo hàm” dùng cho những lời giải có sử dụng đạo hàm.
- Cột “Kỹ thuật bất đẳng thức” dùng cho những lời giải sử dụng định nghĩa, sử
dụng bất đẳng thức,… không sử dụng đạo hàm.
- Cột “Không giải” cho các bài không có lời giải.

Đối với câu 1, 100% học sinh sử dụng kỹ thuật đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm số, sau khi lấy đạo hàm chúng ta có 2 cách tiếp cận để
tiếp tục tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, thứ nhất: lập bảng biến
thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận, thứ hai: sử dụng quy tắc mà sách giáo
khoa đã đưa ra. Nhưng qua quan sát, chúng tôi nhận thấy phần lớn các em học sinh
sử dụng quy tắc mà sách giáo khoa đã đưa ra (69/71 học sinh chọn, chiếm 97.2%),
rất ít học sinh sử dụng bảng biến thiên (2/71 học sinh chọn, chiếm 2.8%). Từ đó
chúng tôi nhận định rằng: nếu bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên một đoạn thì đa số học sinh sẽ sử dụng “quy tắc” mà sách giáo
khoa đã đưa ra để tìm đáp án.


3

Đối với câu 2, tiếp tục cho thấy sự ưu tiên của học sinh trong việc sử dụng kỹ
thuật “đạo hàm”. Nhưng qua quan sát bài làm của học sinh thì đa số học sinh không
tìm được đáp án, cụ thể có một học sinh trình bày cách giải của mình như sau:
Bài giải:

Tập xác định: D=R

√
√
[

Bảng biến thiên:
x

√

-∞

y’

+

0

√

-

0

+
3

√

y

+∞

√

3

Suy ra:
√
√

Học sinh này cũng như hầu hết các học sinh khác đều không thể tính được hai
giá trị

√

và

√

, tuy nhiên vẫn có một số học sinh sử dụng máy tính

cầm tay tính được gần đúng hai giá trị trên và đi đến kết luận


4

√

i

.

√

/

Trở lại bảng thống kê, ta thấy có hai học sinh sử dụng kỹ thuật “bất đẳng thức”
(trong trường hợp này chúng tôi gọi đây là kỹ thuật “tập giá trị” mà chúng tôi sẽ đề
cập trong phần sau) cho kết quả chính xác. Tuy nhiên, qua quan sát bài làm của hai
học sinh này, ban đầu hai học sinh này cũng tính đạo hàm nhưng không tìm được

kết quả, sau đó hai học sinh này gạch bỏ phần bài làm của mình và làm bài lại với
một kỹ thuật khác.
Một điều cần lưu ý, đối với câu 2 việc sử dụng kỹ thuật “tập giá trị” sẽ cho ra
kết quả chính xác và khá dễ dàng. Từ kết quả của việc khảo sát này dẫn chúng tôi
đến các câu hỏi: Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì chương
trình và sách giáo khoa 12 đã lựa chọn những kỹ thuật nào để giải ? Sự lựa chọn của
chương trình, sách giáo khoa đã ảnh hưởng như thế nào đến thực tế dạy và học ?
Liệu giáo viên có quan tâm đến việc đa dạng hóa các kỹ thuật để tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay không?

Ghi nhận và nhóm câu hỏi thứ hai
Từ những ghi nhận ban đầu trên, cho thấy rằng đa số học sinh lớp 12 tập trung
vào kỹ thuật “đạo hàm” để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, điều
đó làm cho chúng tôi tự hỏi rằng: Liệu học sinh có thật sự làm chủ được kỹ thuật
đạo hàm trong việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay không ?
Từ đó, chúng tôi đề xuất một bài toán sau đây:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
khoảng (-3 ; 3)
Chúng tôi dự đoán học sinh có thể đưa ra cách giải như sau:

trên


5

Giải
Ta có
;
.
Sau đây là bảng biến thiên của f trên khoảng (-3;3)

x
f’(x)

-3

-1
+

0

1
-

0

3
+

3
f(x)
-1
Từ bảng biến thiên, ta được

Bài toán trên không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, tuy nhiên sự
lựa chọn của học sinh này là hoàn toàn sai, từ đó dẫn chúng tôi đến nhóm câu hỏi
thứ hai: Khi sử dụng kỹ thuật “đạo hàm” để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số thì học sinh có thật sự làm chủ được kỹ thuật này hay không ? Học sinh
đã mắc phải những sai lầm nào ? Các sai lầm này xuất phát từ đâu ? Có những quy
tắc hợp đồng nào được hình thành từ thể chế ?
Sau khi phân tích những ghi nhân trên và đưa ra các câu hỏi cần giải đáp,

chúng tôi quyết định chọn đề tài “Nghiên cứu về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất ở Trung học phổ thông” làm chủ đề cho luận văn của mình. Tuy nhiên, do
thời gian có hạn nên chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu về giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của hàm số ở khối lớp 12. Đồng thời để thấy được tiến trình hình thành
khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở khối lớp 12, cũng như sự xuất hiện
kỹ thuật “tập giá trị” nên chúng tôi quyết định phân tích một cách tổng quát các vấn
đề liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở khối lớp 11.


6

2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu
Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu và tìm lời giải cho phép trả
lời các câu hỏi mà chúng tôi đã nêu trên. Để làm được điều đó, chúng tôi sẽ vận
dụng các công cụ của lý thuyết didactic toán, cụ thể là thuyết nhân học với các khái
niệm quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế, tổ chức toán học, tổ chức didactic và khái
niệm hợp đồng didactic để phục vụ cho quá trình nghiên cứu của mình.

Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân
Quan hệ thể chế: Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các
tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như
thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì,…trong thể chế I.
Quan hệ cá nhân: Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp
các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như
thế nào về O, có thể thao tác O ra sao?
Việc học tập của các nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết
lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ
của thể chế I mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong
quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó trong R(I,O).

Tổ chức toán học
Theo lý thuyết nhân học, một tổ chức toán học là một bộ phận gồm 4 thành
phần [

] trong đó

kiểm nhiệm vụ T,

là một kiểm nhiệm vụ,

là kỹ thuật cho phép giải quyết

là công nghệ giải thích cho kỹ thuật , còn

là lý thuyết giải

thích cho công nghệ .
Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng trị thức O cho
phép vạch rõ mối quan hệ R(I,O), từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X duy trì đối
với tri thức O. Đồng thời, thông qua việc phân tích này, ta cũng xác định được một
số quy tắc hợp đồng dạy học.


7

Hợp đồng dạy học
Hợp đồng dạy học là một sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn
của giáo viên và học sinh đối với các đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy.
“Trong một buổi học có mục đích là dạy cho học sinh một kiến thức nhất
định, học sinh hiểu tình huống được giới thiệu, những câu được hỏi đặt ra, những

thông tin được cung cấp, những ràng buộc áp đặt, tùy theo những gì giáo viên thực
hiện, có ý thức hay không, một cách lặp đi lặp lại trong thực tiễn giảng dạy của
mình. Trong các thói quen này, ta quan tâm đặc biệt hơn đến những gì là đặc thù
cho kiến thức giảng dạy: ta gọi hợp đồng dạy học là tập hợp những cách ứng xử
(chuyên biệt) của thầy được học sinh trông đợi và tập hợp những ứng xử của học
sinh mà thầy trông đợi”. G.Brousseau (1980)
Hợp đồng dạy học là tập hợp những quy tắc phân chia và hạn chế trách
nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán học được giảng
dạy.
Khái niệm hợp đồng dạy học cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên
và học sinh, tìm ra ỹ nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải
thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học.
Sau khi trình bày sơ lược về các cộng cụ của didactic, chúng tôi sẽ giải thích
ngắn gọn lý do tại sao chúng tội lại sử dụng các công cụ trên cho mục đích nghiên
cứu của mình.
Đối tượng O : là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Cá nhân X

: là người ở vị trí giáo viên hay học sinh.

Thể chế I

: là thể chế dạy học theo chương trình giải tích 12 hiện hành.

Các thuật ngữ quan hệ R(I,O), quan hệ R(X,O) gắn liền với nhóm câu hỏi
liên quan đến sự lựa chọn của chương trình và sách giáo khoa ảnh hưởng như thế
nào lên hoạt động dạy của giáo viên và học của học sinh về O. Đồng thời, việc phân
tích tổ chức toán học liên quan đến O sẽ cho phép làm rõ R(I,O) và đây cũng chính
là một công cụ đắc lực để phân tích thực tế dạy và học.

8

Liên quan đến việc giáo viên có quan tâm đến việc đa dạng kỹ thuật tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hay không? Những kiểu nhiệm vụ nào mà giáo viên
muốn học sinh biết,... Chúng tôi sử dụng khái niệm tổ chức Didactic để nghiên cứu
thực hành giảng dạy của giáo viên, phân tích các hoạt động của giáo viên trong lớp
học. Ngoài ra, khái niệm hợp đồng didactic cho phép chúng tôi giải thích cách ứng
xử của giáo viên và học sinh, cho phép giải thích một số sự kiện trong lớp học cũng
như một số sai lầm mà học sinh mắc phải.
Từ việc dựa theo khung lý thuyết tham chiếu đã chọn và những phân tích ban
đầu, chúng tôi đề ra những câu hỏi nghiên cứu sau đây:
CH1: Trong chương trình và sách giáo khoa toán lớp 12, đối tượng giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất tồn tại ra sao? Những kỹ thuật giải nào đã được lựa chọn? Những
kỹ thuật nào được thể chế ưu tiên? Có sự giải thích nào được đưa ra cho sự lựa chọn
đó?
CH2: Trong thực tế dạy học, giáo viên thiết lập các tổ chức didactic nào để tiến
hành giảng dạy các tổ chức toán học liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số? Có sự khác biệt nào giữa tổ chức toán học được dạy với tổ chức
toán học cần dạy ?
CH3: Cách trình bày của sách giáo khoa về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có
ảnh hưởng như thế nào đối với quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh với đối
tượng này?

3. Phƣơng pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
Để đạt được mục tiêu nghiên cứu, chúng tôi tiến hành các phương pháp sau:
Trước hết chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và sách giáo khoa toán
11 và 12 để làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất nhằm để trả lời cho câu hỏi CH1.
Đối với câu hỏi CH2 liên quan đến thực hành dạy học của giáo viên nên

chúng tôi tiến hành quan sát lớp học, phân tích các điều kiện và ràng buộc ảnh
hưởng đến hoạt động của giáo viên.


9

Cuối cùng, thông qua nghiên cứu thực nghiệm trên đối tượng giáo viên và học
sinh, chúng tôi sẽ kiểm chứng những giả thuyết được rút ra sau khi phân tích
chương trình và sách giáo khoa, từ đó giúp chúng tôi tìm ra các yếu tố để trả lời cho
câu hỏi CH3 còn lại. Với tiến trình như vậy, chúng tôi chia luận văn thành các phần
sau:
Mở đầu
Chương 1. Nghiên cứu về quan hệ thể chế đối với giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất
Chương 2. Nghiên cứu thực hành giảng dạy của giáo viên về giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
Kết luận.


10

Chƣơng 1. NGHIÊN CỨU VỀ QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Mục tiêu của chương này là nghiên cứu quan hệ thể chế với đối tượng giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi chọn phân tích
chương trình và sách giáo khoa toán 11 và 12 hiện hành theo chương trình nâng cao
(sử dụng bộ sách giáo khoa nâng cao) nhằm trả lời các câu hỏi:
CH1: Trong chương trình và sách giáo khoa toán lớp 12, đối tượng giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất tồn tại ra sao? Những kỹ thuật giải nào đã được lựa chọn?

Những kỹ thuật nào được thể chế ưu tiên? Có sự giải thích nào được đưa ra cho sự
lựa chọn đó?

1.1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở lớp 11
1.1.1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chƣơng trình toán lớp 11
Chương trình Đại số và Giải tích 11 nâng cao gồm 5 chương:
Chương I.

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương II.

Tổ hợp và xác suất

Chương III.

Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Chương IV.

Giới hạn

Chương V.

Đạo hàm.

Trong 5 chương này, các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chủ
yếu được đề cập ở chương I với các bài học sau:
Bài 1. Các hàm số lượng giác
Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản
Sau khi xem xét sách giáo khoa chúng tôi nhận thấy các bài toán về giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất chủ yếu nằm ở phần bài tập của các bài học. Các khái niệm
về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chưa được định nghĩa và đưa vào giảng dạy
một cách chính thức, có lẽ đây không phải là phần trọng tâm của chương này, bởi vì
mục tiêu chính mà sách giáo viên đã nhấn mạnh rằng:


11

“Về kiến thức
Giúp học sinh
- Hiểu khái niệm các hàm số lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx và
tính chất tuần hoàn của chúng;
- Nắm được sự biến thiên và hình dáng đồ thị của các hàm số lượng giác nêu
trên;
- Hiểu cách tìm nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và phương
pháp giải một số dạng phương trình lượng giác đơn giản.
Về kĩ năng
Giúp học sinh
- Biết xét sự biến thiên, vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác y=sinx, y=cosx,
y=tanx, y=cotx và một số hàm lượng giác đơn giản khác;
- Giải thành thạo các phương trình lượng giác cơ bản;
- Biết cách giải một số dạng phương trình lượng giác không quá phức tạp có
thể quy được về phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác.”
(SGV11, tr.15)
1.1.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong sách giáo khoa toán lớp 11
Khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số chưa được định
nghĩa nhưng các bài toán liên quan đến đối tượng này lại xuất hiện trong sách giáo
khoa và để tìm kiếm các vấn đề liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất,

chúng tôi có lưu ý đến một vài nhận xét mà sách giáo khoa đã trình bày:
“Khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận mọi giá trị thuộc đoạn -1 ; 1]. Ta nói
tập giá trị của hàm số y = sinx là đoạn -1 ; 1].”
“Khi x thay đổi, hàm số y = cosx nhận mọi giá trị thuộc đoạn -1 ; 1]. Ta nói
tập giá trị của hàm số y = sinx là đoạn -1 ; 1].”
Sách giáo khoa có đề cập đến khái niệm tập giá trị của hàm số y = sinx,
y = cosx một cách đơn giản bằng cách nêu lên nhận xét. Từ đó chúng tôi nhận thấy,
có sự ngầm ẩn về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx và y = cosx
thông qua khái niệm tập giá trị. Chẳng hạn:


12

Hàm số y = sinx có giá trị lớn nhất là 1 khi

và giá

trị nhỏ nhất là -1 khi
Hàm số y = cosx có giá trị lớn nhất là 1 khi

và giá trị

nhỏ nhất là -1 khi
Với những nhận xét trên, chúng tôi cho đây chính là công nghệ để giải thích
cho kỹ thuật giải các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số lượng giác.
Các tổ chức toán học gắn với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Kiểu nhiệm vụ Tlg1: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
chứa sinu (hoặc cosu), với u là hàm số theo biến x”
Ví dụ: (Bài tập 3, SGK11, tr.14, với hướng dẫn nêu ra trong SGV11, tr.22)

“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a)

(

c)

√

)

b)

√

Hướng dẫn:
(

a) Do hàm số

) đạt giá trị lớn nhất là 1, giá trị nhỏ nhất là -1 (để ý

lấy mọi giá trị thực tùy ý khi x thay đổi) nên hàm số

rằng
(
b) Do

)

đạt giá trị lớn nhất là 5, giá trị nhỏ nhất là 1.
đạt giá trị lớn nhất là 1 (khi

đạt giá trị nhỏ nhất là -1 (khi
√
c) Do

, k nguyên không âm),
, k nguyên dương) nên hàm số

đạt giá trị lớn nhất là √

và giá trị nhỏ nhất là -1.

(√ ) đạt giá trị lớn nhất là 1 (khi √

âm), đạt giá trị nhỏ nhất là -1 (khi √

, k nguyên không

, k nguyên dương) nên hàm số

√ đạt giá trị lớn nhất là 4 và giá trị nhỏ nhất là -4. ”


13

Kỹ thuật τlg1:
- Hàm số y = sinu có giá trị lớn nhất là 1 khi

và giá

trị nhỏ nhất là -1 khi

(hoặc hàm số y = cosu có giá trị

lớn nhất là 1 khi

và giá trị nhỏ nhất là -1 khi
)

- Sử dụng các phép toán đại số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số.
Công nghệ θlg1:
Từ nhận xét:
“Khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận mọi giá trị thuộc đoạn -1;1]. Ta nói tập
giá trị của hàm số y = sinx là đoạn -1;1].”
“Khi x thay đổi, hàm số y = cosx nhận mọi giá trị thuộc đoạn -1;1]. Ta nói tập
giá trị của hàm số y = sinx là đoạn -1;1].”
Kiểu nhiệm vụ Tlg2: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
có tập xác định là R”
Ví dụ: (Bài tập 1.31, SBT11, tr.12, với hướng dẫn nêu ra trong SBT11, tr.36)
“1.31.a) Từ khẳng định “khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận mọi giá trị tùy ý
thuộc đoạn [-1;1]”, hãy chứng minh rằng: khi x thay đổi, hàm số y = asinx + bcosx
(a,b
[ √

là

hằng

số,

√
b)Xét hàm số

)

lấy

mọi

giá

trị

tùy ý

thuộc

đoạn

]

. Viết đẳng thức đó thành
, để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên

lấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện
Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho.

14

c)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hướng dẫn:
i

√

a) Ta có
mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn [ √
b) Do | i

|

nên dễ thấy hàm số y nhận
].

√

√ nên sinx – cosx + 3

Vậy cặp số (x, y) thỏa mãn

0 với mọi x.
khi và chỉ khi:

(y – 1)sinx – (y + 1)cosx = – (3y +1).
Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá
trị tùy ý thuộc đoạn [ √

]. Đẳng thức

√

trên cho thấy –(3y+1) phải thuộc đoạn đó, tức là:
.
Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để
–

i

–

–

.

Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với
tức là

.

Từ đó ta suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là và –1.
c)
Để ý rằng |

|

√ , nên

với mọi x. Vậy

(x, y) thỏa mãn đẳng thức trên khi và khi

.

Lập luận tương tự như câu b), hàm số y lấy mọi giá trị sao cho

Bất đẳng thức tương đương với

tức là

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và

”


15

Kỹ thuật τlg2: “Tập giá trị”
- Biến đổi hàm số

thành phương trình

- Suy ra điều kiện của phương trình là:
. (*)
- Giải bất phương trình theo ẩn y, rồi kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số.
Công nghệ θlg2:

Nhận xét “khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn [-1;1]”.
Thông qua bài tập này, sách giáo khoa đã hình thành nên một kỹ thuật, kỹ
thuật này dựa trên việc biến đổi một hàm số lượng giác thành phương trình lượng
giác dạng bậc nhất đối với sinx và cosx, sau đó áp dụng khái niệm tập giá trị và các
quy tắc về bất đẳng thức để tìm lời giải đáp. Chính vì vậy, chúng tôi gọi kỹ thuật
giải này là kỹ thuật tập giá trị. Một điều cần lưu ý đối với bài toán này. Sau khi tìm
được hai giá trị m và M sao cho
thích nào trong việc chỉ ra sự tồn tại điểm x

, chúng tôi không tìm thấy có sự giải
D sao cho y(x) = m (hoặc y(x) = M).

Nhưng ta có thể hiểu rằng:
Để tìm điểm x

D sao cho y(x) = m, ta giải phương trình
(1)

hoặc
Để tìm điểm x

D sao cho y(x) = M, ta giải phương trình
(2)

Do các phương trình (1) và (2) đều có nghiệm (do thỏa mãn điều kiện (*)) nên
ta có đủ điều kiện để kết luận giá trị lớn nhất của hàm số là M và giá trị nhỏ nhất
của hàm số là m. Từ đó, cho phép chúng tôi phát biểu qui tắc hợp đồng: Khi sử
dụng kỹ thuật tập giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, sau
khi tìm được hai giá trị m và M sao cho

, học sinh không quan tâm đến


16

việc chỉ ra sự tồn tại của x

D sao cho y(x) = M (hoặc y(x) = m) mà kết luận rằng

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số tương ứng là M và m.
Cụ thể, đối với bài tập 1.31c) sau khi tìm được giá trị y thỏa
đó chúng ta cần phải tìm giá trị x sao cho y = 2 và

, khi

tức là giải các phương

trình:

Do các phương trình đều có nghiệm, tức là tồn tại giá trị x nên ta có đủ điều
kiện để kết luận giá trị lớn nhất của hàm số cần tìm là 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm
số là
Theo tác giả Nguyễn Hồng Tú “… ác bài t án được giải uyết b i ỹ thuật
tập giá t ị chỉ n

t ng sách bài tập và chiế

được giải uyết b i các ỹ thuật b t đ ng th c (2
ng học sinh c th

lượng t i
v i 18)

v i các bài t án
ừ đ , ch ng t i ch

h ng biết đến các ỹ thuật tập giá t ị nếu họ chỉ học t ng

sách giáo khoa”. Chúng tôi đồng ý với nhận xét này, đồng thời chúng tôi cũng nhận
định rằng, ngoài việc sử dụng kỹ thuật tập giá trị để giải bài toán trên, ta còn kỹ
thuật nào giải quyết không ? Chẳng hạn, sử dụng kỹ thuật “đạo hàm” (chúng tôi sẽ
phân tích ở phần sau), khi đó kỹ thuật nào sẽ “thuận lợi” hơn trong việc tìm lời giải
và học sinh sẽ ưu tiên lựa chọn kỹ thuật nào nhiều hơn? Vì sao?
Nhận xét
Qua phân tích sơ lược chương trình và sách giáo khoa khối 11 nâng cao, liên
quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chúng tôi nhận thấy chủ yếu là tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số lượng giác, đặc biệt chúng tôi có lưu
ý đến hai tổ chức toán học liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số, cụ thể là có các kiểu nhiệm vụ sau:
Kiểu nhiệm vụ Tlg1: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa
sinu (hoặc cosu) với u là hàm số theo biến x”


17

Kiểu nhiệm vụ Tlg2: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
có tập xác định là R”
Trong hai kiểu nhiệm vụ liên quan đến bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất, chúng tôi quan tâm đến kiểu nhiệm vụ Tlg2 bởi vì để giải chúng sách giáo
khoa 11 sử dụng kỹ thuật “tập giá trị” là chủ yếu, nhưng do sự xuất hiện rất ít kiểu

nhiệm vụ này nên chúng tôi dự đoán sau này học sinh ít sử dụng kỹ thuật này nữa,
nhất là đối với học sinh ở khối lớp 12, chủ yếu sẽ sử dụng kỹ thuật “đạo hàm” để
giải quyết kiểu nhiệm vụ này. Theo dự đoán của chúng tôi, đối với bài tập 1.31c)
hầu hết học sinh ở khối lớp 12 sẽ giải như sau:
i
i
Tập xác định: D = R (vì

với mọi x)

i
i
Giải phương trình:

i

Đến đây, học sinh sẽ gặp khó trong việc giải phương trình để tìm nghiệm, lập
bảng biến thiên và kết luận. Từ đó, cho thấy rằng tùy thuộc vào mỗi loại bài toán
mà chúng ta có những kỹ thuật khác nhau, thích hợp cho từng loại đó. Và để tìm
hiểu thêm về kỹ thuật “đạo hàm” cũng như tiến trình xuất hiện bài toán về giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chúng tôi tiếp tục phân tích chương trình và sách giáo
khoa giải tích 12 nâng cao.


18

1.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở lớp 12
1.2.1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chƣơng trình toán lớp 12
Chương trình sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao bao gồm 4 chương:
Chương I.

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II.

Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương III.

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Chương IV.

Số phức

Bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chủ yếu nằm trong
chương I của chương trình với mục tiêu của chương là:
“Kiến thức
Giúp học sinh nắm vững
- Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số;
- Khái niệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số;
- Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách tìm giá trị đó;
- Định nghĩa và cách tìm các đường tiệm cận của đồ thị;
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Kĩ năng
Giúp học sinh có kĩ năng thành thạo trong việc xét chiều biến thiên (tức là tính
đơn điệu) của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên một tập hợp số thực cho trước, viết phương trình các đường tiệm
cận của đồ thị và khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đơn giản”.
(SGV12, tr.18)

Đến thời điểm này, thì giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mới được
chính thức đưa vào giảng dạy và được trình bày trong một bài học cụ thể, bài 3:
“Giá t ị l n nh t và giá trị nh nh t của hàm s ”. Đồng thời, theo sự quan sát của
chúng tôi, để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì sách giáo viên có
lưu ý cho học sinh việc vận dụng bảng biến thiên để tìm đáp án bởi “Trong giảng
dạy giá viên nên hư ng dẫn học sinh lập bảng biến thiên của hàm s , giúp các em
hi u ý nghĩa của bảng biến thiên và sử dụng n đ xét chiều biến thiên, tìm cực trị,


19

tìm giá trị l n nh t và giá trị nh nh t của hàm s . Việc lập các bảng biến thiên sẽ
giúp các em nắ được v n đề t t hơn, giải được bài tập nhanh hơn và t

ắc nhầm

lẫn trong thực hành ” (SGV12, tr.19 và tr.20)
Do trọng tâm nghiên cứu của chúng tôi là tìm hiểu các kỹ thuật tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất, sự ảnh hưởng của kỹ thuật đạo hàm lên bài toán này nên
chúng tôi tiếp tục phân tích sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao để làm rõ vấn đề.
1.2.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong sách giáo khoa toán lớp 12
Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chủ yếu được trình
bày trong bài 3: “Giá t ị l n nh t và giá trị nh nh t của hàm s ” với mục tiêu là:
“Kiến thức
Giúp học sinh hiểu rõ định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên một tập hợp số thực và biết ứng dụng đạo hàm để tìm các giá trị đó.
Kĩ năng
Giúp học sinh:
- Có kĩ năng thành thạo trong việc dùng bảng biến thiên của một hàm số để
tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đó.

- Giải một số bài toán liên quan tới việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên một tập hợp số thực cho trước.”
(SGV12, tr.39)
Trước khi đi vào định nghĩa, SGK có dẫn lời: “Nhiều bài toán dẫn đến việc
tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số thực cho
trước. Trong bài này ta sẽ ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số để tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”.
Sách giáo khoa định nghĩa:
“Giả sử hàm s f xác định trên tập hợp D (
a) Nếu tồn tại một đi m

).

sao cho

v i mọi
thì s M = f(x0) được gọi là giá trị l n nh t của hàm s f trên D,
kí hiệu là


20

b) Nếu tồn tại một đi m

sao cho

v i mọi

thì s m = f(x0) được gọi là giá trị nh nh t của hàm s f trên D,
”

kí hiệu là
(SGK12, tr.18)

Từ định nghĩa này, sách giáo khoa có lưu ý đến điều kiện tồn tại của giá trị lớn
nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số như sau:
“ hư vậy,

u n ch ng t

nh nh t) của hà

(h

c

) là giá t ị l n nh t (h

c giá trị

f t ên tập hợp D cần chỉ
(h

a)

ng

c

v i ọi

b) ồn tại t nh t ột đi

.

sao cho f(x0)

(h

c f(x0) = m) ”

(SGK12, tr.18)
Lưu ý này cũng được nhắn mạnh lại trong sách giáo viên:
“Điều kiện b) là quan trọng, h ng được b qua. Một s học inh đã h ng
ch ý đến n , d đ đã ắc sai lầm.”
Sau đó, sách giáo viên đưa ra một ví dụ minh họa cho việc không tuân thủ
điều kiện b)
“

G

và G

của hà

.

học inh lập luận như au
v i ọi

nên

và

v i ọi
v i ọi

ác ết luận đ là ai

.

ại a

nên
đ

.

hật a, ta c

và

.
ọc inh đ

ắc ai lầ v đã h ng đ ý đến điều iện b).”

(SGV11, tr.39, tr.40)
Từ nhận xét này cho thấy, có thể một số em học sinh không quan tâm đến điều
kiện b) và đây cũng chính là một nhận định mà tác giả Nguyễn Hồng Tú đã đưa ra:

“…c nh ng học inh l p
ai lầ này là S )

bị

ắc các ai lầ

the

i u (ch ng t i gọi các